清单07 平行线的证明（9个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

清单07平行线的证明（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 命题、定理、证明 【清单02】平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【清单04】平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【清单05】三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【清单06】三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【考点题型1】判断命题的真假 【典例1】下列四个命题中，是真命题的是（   ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．有理数与数轴上的点一一对应 D．平面内点与点关于轴对称 【变式1-1】下列命题是真命题的是（    ） A．是25的算术平方根 B． C．是一个无理数 D．与互为相反数 【变式1-2】下列命题中，真命题的是（   ） A．若，则． B．对应角相等的三角形全等 C．若，则． D．两点之间，线段最短 【变式1-3】有下列说法： ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等. 其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点题型2】命题的逆命题 【典例2】命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是 ． 【变式2-1】把命题“等边对等角”的逆命题写成“如果……，那么……”的形式为： ． 【变式2-2】“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是 ，它是 命题（填“真”或“假”） 【变式2-3】命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【考点题型3】平行线的判定 【典例3】学习情境·推理论证如图所示，下列推理中正确的有（   ） ①，； ②，； ③，； ④，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】如图，有以下四个条件：①；②；③；④．其中能判定的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【变式3-2】如图，点在线段的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，要证，只需满足 ，根据是 ． 【考点题型4】平行线的性质 【典例4】如图，，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点逆时针旋转的度数可以为 ． 【变式4-1】如图，，则的度数为 °． 【变式4-2】如图，，将的直角三角板与的内角顶点分别放在直线、上，若，则 ．    【变式4-3】图1是一盏可调节台灯，图2为示意图．固定底座于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且CD的延长线恰好是的角平分线，则 ． 【考点题型5】 平行线的判定与性质综合 【典例5】如图，已知，． (1)试说明； (2)若平分，于点，，求的度数． 【变式5-1】如图，已知，为上一点，为外一点，连接，，且交于点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式5-2】如图，和相交于点是上一点，是上一点，且． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【变式5-3】如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，．，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 【考点题型6】与平行线有关的三角形内角和问题 【典例6】如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（    ）时，两三角板的边    A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【考点题型7】 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例7】如图，在中，分别是的平分线，分别是的平分线． (1)当，时， ， ， (2)若，求，的度数； (3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 【变式7-1】如图，和是的角平分线，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在中，平分交于点O，若，求的度数．    【变式7-3】如图，在中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数（用含，的式子表示）． 【考点题型8】 三角形折叠中的角度问题 【典例8】如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时， (1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角； (2)设的度数为，的度数为，那么，的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示） (3)与之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律（写过程）． 【变式8-1】如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为（） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的C处，此时，则原三角形的的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 【考点题型9】三角形内角和定理的应用 【典例9】[探究]如图，求证：； [应用] （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图，，，求的度数． 【变式9-1】如图，在中，是边上一点，交于点E，F为延长线上一点，连接交于点G．已知，． (1)求证；； (2)若，，求的度数． 【变式9-2】如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为60，，求的长； (2)若，，求的度数． 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【分析】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．直接根据数学常识分别判断即可． 【详解】解：A．三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角，故原命题为假命题； B．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题为假命题； C．实数与数轴上的点是一一对应的，故原命题为假命题； D．平面内点与点关于x轴对称，故原命题为真命题． 故选：D． 【变式1-1】下列命题是真命题的是（    ） A．是25的算术平方根 B． C．是一个无理数 D．与互为相反数 【答案】C 【分析】本题主要考查了真假命题，根据平方根，立方根，无理数的定义逐项判断即可． 【详解】因为5是25的算术平方根，不是真命题，所以A不符合题意； 因为，不是真命题，所以B不符合题意； 因为是一个无理数，是真命题，所以C符合题意； 因为相等，不是真命题，所以D不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】下列命题中，真命题的是（   ） A．若，则． B．对应角相等的三角形全等 C．若，则． D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用有理数的乘法，全等三角形的判定，等式的性质，两点之间线段最短逐项判断后即可确定正确的选项． 【详解】A. 若，则故该选命题是假命题，不符合题意．   B. 对应角相等的三角形不一定全等，故该选命题是假命题，不符合题意． C. 若，则，故该选命题是假命题，不符合题意．     D. 两点之间，线段最短，是真命题，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】有下列说法： ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等. 其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据平面内两直线的位置关系、垂直的定义、平行公理、补角的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行两种，垂直只是相交的特殊情形，故说法错误； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故说法正确； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法正确； 同角或等角的补角相等，故说法正确； 综上所述，正确的说法有，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，平面内两直线的位置关系，垂直的定义，平行公理，补角的性质等知识点，熟练掌握真假命题的判断方法是解题的关键：要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明），要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 【考点题型2】命题的逆命题 【典例2】命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是 ． 【答案】面积相等的两个图形是全等形 【分析】本题考查命题概念，弄清楚命题的条件和结论是写出逆命题的关键． 根据逆命题的定义，即可解答． 【详解】解：命题“两个全等图形的面积相等”的逆命题是：面积相等的两个图形是全等形， 故答案为：面积相等的两个图形是全等形． 【变式2-1】把命题“等边对等角”的逆命题写成“如果……，那么……”的形式为： ． 【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等 【分析】本题考查逆命题及命题的扩充改写．先要明确命题中的已知条件和结论，然后将已知和结论的描述语言进行适当扩充． 【详解】解：命题“等边对等角”的逆命题改写为“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等； 故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等． 【变式2-2】“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是 ，它是 命题（填“真”或“假”） 【答案】 如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 真 【分析】本题主要考查命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据直角三角形的判定判断即可． 【详解】解：“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，是真命题， 故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形；真． 【变式2-3】命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行，故其逆命题是两直线平行，同旁内角互补，因为逆命题符合两直线平行的性质故是真命题． 【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补． 它是真命题， 故答案为：真． 【考点题型3】平行线的判定 【典例3】学习情境·推理论证如图所示，下列推理中正确的有（   ） ①，； ②，； ③，； ④，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定可进行求解． 【详解】解：①∵， ∴，故错误； ②∵， ∴，故错误； ③∵， ∴，故错误； ④∵， ，故正确． 故选：A． 【变式3-1】如图，有以下四个条件：①；②；③；④．其中能判定的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，弄清截线与被截线．根据平行线的判定定理求解，即可求得答案． 【详解】解：①∵， ∴（同旁内角互补两直线平行）； ②∵， ∴（内错角相等两直线平行）； ③∵， ∴（内错角相等两直线平行）； ④∵， ∴（同位角相等两直线平行）； ∴能得到的条件是①③④． 故选：D． 【变式3-2】如图，点在线段的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由可以根据内错角相等，两直线平行得到，故A不符合题意； 由可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故B符合题意； 由可以根据同位角相等，两直线平行得到，故C不符合题意； 由可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故D不符合题意； 故选：B． 【变式3-3】如图，要证，只需满足 ，根据是 ． 【答案】 内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理结合图形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等两直线平行） 故答案为：；内错角相等两直线平行（答案不唯一）． 【考点题型4】平行线的性质 【典例4】如图，，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点逆时针旋转的度数可以为 ． 【答案】/13度 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，则，则，即可． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】如图，，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】如图，，将的直角三角板与的内角顶点分别放在直线、上，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，根据，则，再根据，等量代换，即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】图1是一盏可调节台灯，图2为示意图．固定底座于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且CD的延长线恰好是的角平分线，则 ． 【答案】80°/80度 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，过点A作，过点B作交于点H，根据平行线的判定和性质，求出的度数，利用角平分线的性质，即可得解. 【详解】解： 过点A作，过点B作交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵的延长线恰好是的角平分线， ∴； 故答案为：. 【考点题型5】 平行线的判定与性质综合 【典例5】如图，已知，． (1)试说明； (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定与性质； （1）先证明，结合，可得，可得，从而可得结论； （2）先证明，，结合，可得，证明，从而可得结论； 【详解】（1）解： ， ， 又， ， ， ． （2）解：平分， ，． 由（1）知， ， ． ， ． ，， ， ， ． 【变式5-1】如图，已知，为上一点，为外一点，连接，，且交于点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)65° 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定． （1）由可得，得出，再由得出，最后由平行线的判定证明即可； （2）由可得，再由可得出，从而求出，，再由，可得，最后由平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ． （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ． ． 【变式5-2】如图，和相交于点是上一点，是上一点，且． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可得证； （2）过点作，根据平行线的性质与判定可得，，根据即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， ， ，， ， ． 【变式5-3】如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，．，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义， （1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出； （2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出的大小． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 【考点题型6】与平行线有关的三角形内角和问题 【典例6】如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（    ）时，两三角板的边    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．过点作，再根据在和中，，，可得，，进而求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：过点作， ， ， ，， 在和中，，， ，， ，， ， ， 故选：B． 【变式6-1】如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 【变式6-2】如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 【详解】解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 【考点题型7】 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例7】如图，在中，分别是的平分线，分别是的平分线． (1)当，时， ， ， (2)若，求，的度数； (3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)没有变化，理由见解析 【分析】（）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可； （）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可； （）利用（）的结论计算即可说明； 本题考查了角平分线的有关计算，三角形的内角和定理及外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵分别是的平分线，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∵分别是的平分线， ∴， ∴ ， ∴，； （3）解：没有变化，理由如下： 由（）知，，， ∴， ∴没有变化． 【变式7-1】如图，和是的角平分线，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，由三角形角平分线的定义可得，，即得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【变式7-2】如图，在中，平分交于点O，若，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后由垂直的定义可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为． 【变式7-3】如图，在中，是边上的高，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用三角形内角和定理可得，再根据三角形角平分线的定义可得，由根据三角形的高可得，即得，最后根据角的和差关系即可求解； （）同理（）解答即可求解； 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 即． 【考点题型8】 三角形折叠中的角度问题 【典例8】如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时， (1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角； (2)设的度数为，的度数为，那么，的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示） (3)与之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律（写过程）． 【答案】(1)，与、与、与是对应角 (2)， (3)，证明见解析 【分析】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． （1）根据翻折方法可得，进而可得出对应角； （2）根据翻折方法可得，再根据平角定义可得，； （3）首先由，，可得，，再根据三角形内角和定理可得，再利用等量代换可得． 【详解】（1）解：∵把纸片沿折叠， ∴，其中与、与、与是对应角； （2）∵， ∴ ∴，； （3）． 理由：∵， ∴，， ∴． 【变式8-1】如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠可知，，，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知，,, ∵，， ∴， ， ∴, 故选：B． 【变式8-2】如图，在中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的C处，此时，则原三角形的的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质及三角形内角和定理，由折叠可知，，因此，在中，利用三角形内角和定理可得，在中，根据三角形内角和定理可得，因此可求出，进而即可求出的度数． 【详解】解：由折叠可知， ，，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 即， ， ， 故选：C． 【变式8-3】如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 【答案】/79度 【分析】本题考查三角形折叠问题，根据折叠前后对应角相等，可设，，再根据三角形内角和为180度列方程组，解方程组即可． 【详解】解：由折叠知，， 设，， 则， ，， ， 解得， 原三角形的的度数为． 故答案为：． 【考点题型9】三角形内角和定理的应用 【典例9】[探究]如图，求证：； [应用] （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图，，，求的度数． 【答案】[探究]证明见解析；[应用]（）；（）． 【分析】[探究]连接，利用三角形的外角性质得出 ， ，即可求解； [应用] （）利用[探究]的结论即可求解； （）连接，由[探究]可知 ， ，即可求解； 本题考查了三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：[探究]证明：连接，并延长，如图所示， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ，得， 即； [应用]解：（）∵，， ∴， ∴， 由[探究]可知， （）连接，如图所示， 由[探究]可知， ， ，得， ∴． 【变式9-1】如图，在中，是边上一点，交于点E，F为延长线上一点，连接交于点G．已知，． (1)求证；； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可证，可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，再利用三角形的外角，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ． 【变式9-2】如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为60，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形面积、角平分线的定义，熟练掌握基础知识是解答本题的关键． （1）利用面积法求解即可． （2）求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：是的中线，， ， 是的高，的面积为60， ， ． （2）解：在中，为它的一个外角，且，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ． ． 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