清单01 勾股定理（11个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

清单01 勾股定理（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【清单02】勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【清单03】勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【清单04】勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【清单05】勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 【考点题型一】用勾股定理解三角形 【典例1】若中一条直角边和斜边的长分别为8和10，则另一条直角边的长是（   ） A．3 B．9 C．6 D．36 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：另一条直角边的长是 ． 故选：C 【变式1-1】如图，，，，，则的长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出，熟练掌握勾股定理的计算是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D 【变式1-1】如图，在中，，以点F为圆心，长为半径作圆弧交于点H，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，根据勾股定理求出，由作图可知，即可得到的长. 【详解】解：在中，， ∴， ∵以点F为圆心，长为半径作圆弧交于点H， ∴， ∴， 故选：C 【变式1-2】如图，在中，，于点D，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了勾股定理，先求出，再利用勾股定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：6． 【考点题型二】已知两点坐标求两点距离 【典例2】在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，则线段的长为（  ） A．3 B．4 C．5 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理，正确利用数形结合分析是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长即可． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了两点间距离公式，根据两点间距离公式进行计算，即可得出答案． 【分析】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为： ． 故选：D． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．2 B．5 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标，勾股定理，解题关键是掌握点到原点的距离求法：一个点横坐标与纵坐标平方和的算术平方根即为此点到原点的距离． 根据勾股定理求出点到坐标原点的距离． 【详解】解：已知，则点到坐标原点的距离为． 故选：C． 【变式2-3】在直角坐标平面内点与点的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离公式：设有两点，，则这两点间的距离为，直接利用两点间的距离公式求解，熟练掌握两点间的距离公式是解此题的关键． 【详解】解：∵、， ∴点和点的距离， 故答案为：． 【考点题型三】勾股树(数)问题 【典例3-1】下列各组数据不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理逆定理，根据“一组正整数，且满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，这样的一组数叫做勾股数”，进行判断即可，理解勾股数的定义及熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：． 【典例3-2】如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的边长分别是4、3、4、16，则正方形D的面积是 ． 【答案】215 【分析】本题主要考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，，正方形的面积是正方形、的面积和，同理可得，正方形的面积是正方形、的面积和，正方形的面积是正方形、的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图所述，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ， 同理可得，正方形的面积是正方形、的面积和， 所以正方形的面积=， 同理可得，正方形的面积是正方形、的面积和， 所以正方形的面积=， 故答案为：215 【变式3-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 【变式3-2】如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为 ．（结果用含的式子表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律． 根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到的值． 【详解】解：如图所示，为等腰直角三角形，    则． ， 即， 同理可得：， ， 故答案为：． 【考点题型四】以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例4】如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了对勾股定理的理解能力，全等三角形的判定与性质，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键． 根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到的面积的面积的面积． 【详解】解：如图， ，， ， 在和中， ， ， ， 根据勾股定理得，得． 的面积的面积的面积． 故选：C． 【变式4-1】如图，已知中，以的三边为直径向外作3个半圆，以为直径的半圆面积分别为9和5，则以为直径的半圆面积为 ． 【答案】4 【分析】题目主要考查勾股定理解三角形及圆的面积，根据题意得出，，然后求解即可． 【详解】解：∵中， ∴， ∵以为直径的半圆面积分别为9和5， ∴， 即， ∴以为直径的半圆面积为：， 故答案为：4． 【变式4-2】图中三角形是直角三角形，所有四边形都是正方形，最大正方形的边长为，则图中所有正方形的面积的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理的几何意义解答即可．熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知：直角三角形两直角边所对应的两个正方形的面积之和等于斜边所对应的正方形的面积， 则图中所有正方形的面积的和为， 故选：A． 【变式4-3】如图，已知的斜边，分别以直角边、为边向外作正方形，正方形的面积分别记为，，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的平方即为的值，熟练掌握勾股定理，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 故答案为：25． 【考点题型五】勾股定理与折叠问题 【典例5】如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理得出，然后求出，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式5-1】如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 【变式5-2】如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题； 先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式5-3】如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得，，得出，因为，所以，连接，设，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，，， 连接，设， 可得方程：， 代入数值可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 【考点题型六】利用勾股定理证明线段平方关系 【典例6】如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明即可； （2）根据（1）可得，得到，，得到是直角三角形，根据勾股定理证明即可． 【详解】（1）．理由如下： ∵与都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴． ∴， ∴． （2）．理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理，关键是根据全等三角形的性质得出． 【变式6-1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【变式6-2】在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】∵S1左侧和S2右侧部分的两个直角三角形是全等三角形，根据勾股定理的几何意义可知 ∴S1+S2=1 ∴S2+S3=2 ∴S3+S4=3 ∴S1+S2+S3+S4=4 故选C 【变式6-3】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，∴． ∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴，∴当△ABC为锐角三角形时． 所以小明的猜想是正确的． （1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时， 与的大小关系． （2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高． （3）证明你猜想的结论是否正确． 【答案】（1）；（2）作图见解析；（3）正确． 【分析】（1）根据题意可猜测：当△ABC为钝角三角形时，与的大小关系为：； （2）根据题意可作辅助线：过点A作AD⊥BC于点D； （3）然后设CD=x，分别在Rt△ADC与Rt△ADB中，表示出AD2，即可证得结论． 【详解】解：（1）当△ABC为钝角三角形时，与的大小关系为：； （2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D； （3）证明：如图3，设CD=x．在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，， ∴． ∵a＞0，x＞0， ∴2ax＞0， ∴， ∴当△ABC为钝角三角形时，． 考点：三角形综合题；勾股定理． 【考点题型七】以弦图为背景的计算题 【典例7】【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1），  （2）见解析  （3）见解析  （4） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【详解】(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）证明: ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 又, , ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 【变式7-1】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．25 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理以及完全平方公式及其变形．正确根据图形的关系求得和的值是关键． 根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，设大正方形边长为， ， ， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ， ， ， 故选：A． 【变式7-2】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了运用勾股定理解决问题，根据已知得出用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键．根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ，故， ， 所以， 故选：B 【变式7-3】如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积 【答案】21 【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出，从而得到，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：21 【考点题型八】勾股定理与无理数 【典例8】如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和用数轴上的点表示无理数，熟练掌握知识点是解题的关键，先利用勾股定理求出的长度，再根据在数轴的正负半轴求解即可． 【详解】在中，，， ∴， ∵以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点， ∴这个点表示的实数是， 故选：B． 【变式8-1】如图，在数轴上以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得：， 以点为圆心，为半径画弧交数轴于点， 所表示的数为， 的值为， 故答案为：． 【变式8-2】如图，数轴上的点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，先根据勾股定理求出圆弧半径，再用减去半径即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得， 圆弧半径为， 则点表示的实数为． 故答案为：． 【变式8-3】如图，矩形的边在数轴上，其中点A，B分别表示数，2，，以点B为圆心，长为半径作弧交数轴于点P，则点P表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求出，，再利用数轴上两点间距离即可求出点P． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点P表示的数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴的关系，在数轴上表示无理数，其中利用距离求点是解题的关键． 【考点题型九】勾股定理的逆定理运用 【典例9】小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积． 【答案】这块地的面积是． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．连接，根据勾股定理先求出，再利用周长求出，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形即可解答． 【详解】解：连接， ，， 在中，根据勾股定理，得 ， 四边形的周长为， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形， ， 答：这块地的面积是． 【变式9-1】为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地的面积． 【答案】空地的面积 【分析】连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答．本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在中，， 在中，， 而， 即， 为直角三角形， ， ， 答：空地的面积． 【变式9-2】网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，完成下列问题： (1)______；______；______； (2)求的面积 (3)求边上的高 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理与网格，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理与网格的联系，列式作答即可； （2）根据网格的特征，利用割补法列式作答； （3）运用等面积法，进行列式作答即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解：的面积， （3）解：的面积边上的高， 即边上的高． 【变式9-3】如图，某公园有一块四边形空地，公园管理处计划在四边形区域内种植草坪，处修一条小路．已知米，米，米，，求四边形的面积． 【答案】平方米 【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得四边形的面积． 【详解】解：在中，，米，米， 则：（米）， 在中，米，米，米， 则：，， ， 是直角三角形，且， 故（平方米）， 四边形的面积是平方米． 【考点题型十】勾股定理的实际应用 【典例10】一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米 (2)梯子的底端在水平方向滑动了8米 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【详解】（1）解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； （2）梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 【变式10-1】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为21.6米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米)， 答：风筝的高度为21.6米； （2）解：由题意得，米， 米， （米)， （米)， 他应该往回收线8米． 【变式10-2】如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 【变式10-3】如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根 处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，最后由这棵树原来的总高度为，进行计算即可，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 这棵树原来的总高度为：． 【变式10-4】如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∵， ∴台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得， 在中，， ∴， ∴， ∴A市受到台风影响的时间持续． 【变式10-5】交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）． 【答案】此车超速，理由见解析. 【分析】本题主要考查勾股定理与实际问题；根据，米，，可知的长，，在中，可求出的长，从而确定的长度，根据速度等于路程除以时间可以算出汽车的速度，再与此路段限速每小时千米比较，由此即可求解． 【详解】此车超速． 理由：，， 是等腰直角三角形． 米． 在中，， ． 米． 由勾股定理得米， 米． 汽车的速度（米/秒）千米/小时千米/小时． 答：此车超速． 【考点题型十一】平面展开图-最短路径问题 【典例11】直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止．求彩条的最短长度． 【答案】 【分析】本题考查的勾股定理得实际应用，如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是和，再根据勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短彩条长， 由题意得，， 由勾股定理得， 同理可得， ∴， 答：所用彩条最短长度是． 【变式11-1】一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处，它发现在其正上方的点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干的底面周长为，两点间的距离为，求螳螂绕行的最短路程． 【答案】螳螂绕行的最短路程为 【分析】本题考查了平面展开图的最短路径问题，画出圆柱的平面展开图，利用勾股定理求解，先根据题意画出圆柱体沿高展开的图形，再利用勾股定理求解最短路程即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，得最短路程即为． 根据勾股定理，得cm ∴螳螂绕行的最短路程为． 【变式11-2】问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接； (2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________； (3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． 【答案】(1)图形见解析 (2)两点之间线段最短. (3)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短． （1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可； （2）根据题（1）结合两点之间线段最短即可求解； （3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （3）根据题意可得：展开图中的，． 在中，由勾股定理可得：， 即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 【变式11-3】如图，圆柱形容器的高为0.7m，底而周长为4.8m，在容器内壁离容器底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁离容器上沿0.1m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是多少？ 【答案】2.5m 【分析】画出容器侧面展开图（见详解），作点A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B， 则A′B为最短距离． 由题意知，A′D＝2.4m，A′E＝AE=0.1m， ∴BD＝0.7-0.1+0.1=0.7m， ∴A′B＝ ＝ ＝2.5（m）． 答：壁虎捕捉蚊子的最短路程是2.5m． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将圆柱的侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 勾股定理（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【清单02】勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 【清单03】勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【清单04】勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 【清单05】勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 【考点题型一】用勾股定理解三角形 【典例1】若中一条直角边和斜边的长分别为8和10，则另一条直角边的长是（   ） A．3 B．9 C．6 D．36 【变式1-1】如图，，，，，则的长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】如图，在中，，以点F为圆心，长为半径作圆弧交于点H，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【变式1-2】如图，在中，，于点D，，则 ． 【考点题型二】已知两点坐标求两点距离 【典例2】在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，则线段的长为（  ） A．3 B．4 C．5 D．以上答案都不对 【变式2-1】在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．2 B．4 C． D． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．2 B．5 C．10 D． 【变式2-3】在直角坐标平面内点与点的距离等于 ． 【考点题型三】勾股树(数)问题 【典例3-1】下列各组数据不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【典例3-2】如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的边长分别是4、3、4、16，则正方形D的面积是 ． 【变式3-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【变式3-2】如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为 ．（结果用含的式子表示）    【考点题型四】以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例4】如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式4-1】如图，已知中，以的三边为直径向外作3个半圆，以为直径的半圆面积分别为9和5，则以为直径的半圆面积为 ． 【变式4-2】图中三角形是直角三角形，所有四边形都是正方形，最大正方形的边长为，则图中所有正方形的面积的和是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，已知的斜边，分别以直角边、为边向外作正方形，正方形的面积分别记为，，则的值为 ． 【考点题型五】勾股定理与折叠问题 【典例5】如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 【变式5-1】如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 【变式5-3】如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ． 【考点题型六】利用勾股定理证明线段平方关系 【典例6】如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 【变式6-1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【变式6-2】在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式6-3】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，∴． ∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴，∴当△ABC为锐角三角形时． 所以小明的猜想是正确的． （1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时， 与的大小关系． （2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高． （3）证明你猜想的结论是否正确． 【考点题型七】以弦图为背景的计算题 【典例7】【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【变式7-1】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．25 B．20 C．16 D．12 【变式7-2】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（   ） A． B．4 C．5 D． 【变式7-3】如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积 【考点题型八】勾股定理与无理数 【典例8】如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 2 【变式8-1】如图，在数轴上以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数为 ． 【变式8-2】如图，数轴上的点表示的实数是 ． 【变式8-3】如图，矩形的边在数轴上，其中点A，B分别表示数，2，，以点B为圆心，长为半径作弧交数轴于点P，则点P表示的数为 ． 【考点题型九】勾股定理的逆定理运用 【典例9】小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积． 【变式9-1】为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地的面积． 【变式9-2】网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，完成下列问题： (1)______；______；______； (2)求的面积 (3)求边上的高 【变式9-3】如图，某公园有一块四边形空地，公园管理处计划在四边形区域内种植草坪，处修一条小路．已知米，米，米，，求四边形的面积． 【考点题型十】勾股定理的实际应用 【典例10】一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【变式10-1】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【变式10-2】如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【变式10-3】如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根 处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度． 【变式10-4】如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【变式10-5】交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）． 【考点题型十一】平面展开图-最短路径问题 【典例11】直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止．求彩条的最短长度． 【变式11-1】一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处，它发现在其正上方的点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干的底面周长为，两点间的距离为，求螳螂绕行的最短路程． 【变式11-2】问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接； (2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________； (3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． 【变式11-3】如图，圆柱形容器的高为0.7m，底而周长为4.8m，在容器内壁离容器底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁离容器上沿0.1m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$