精品解析：山东省曲阜市普通高中2024-2025学年高一上学期期中教学质量检测数学试题

2024~2025学年度第一学期期中教学质量检测 高一数学试题 2024.11 本试卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号． 3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚． 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2 3. 下列结论正确的有（ ） A. 函数的定义域为 B. 与是相同函数 C. 函数的图象与直线有且只有一个交点 D. 函数的图象与y轴有且只有一个交点 4. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 5. “”是“函数的定义域为R”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数，对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. ““是“”的必要不充分条件 B. 若，则的最大值为 C. 若不等式的解集为，则 D. 命题“，使得”的否定为“，使得” 10. 已知函数在R上单调，且对任意恒成立，则（ ） A. B. 若在R上单调递增，则 C. 是奇函数 D. 是奇函数 11. 我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数的二元函数，则以下说法正确的是（ ） A. B. 对任意的 C. 若对任意实数，则实数a的取值范围是 D. 若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知全集，集合，集合，，则实数k的取值范围是_______． 13. 已知函数不是单调函数，则实数a的取值范围是_______． 14. 对于函数，若，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，若，且，则实数a的取值范围是_______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知函数且经过两点． （1）求函数的解析式； （2）利用单调性的定义证明：在上单调递增； （3）当是定义在上的函数时，解不等式． 17. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， （1）求函数的解析式并写出函数的增区间（增区间只需写出结论）； （2）当时，解关于x的不等式． 18. 设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间． （1）试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； （2）若是定义在上峰点为1的“含峰函数”，且值域为，求a的取值范围． 19. 某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． （1）试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中教学质量检测 高一数学试题 2024.11 本试卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号． 3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚． 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，则， 因此，. 故选：C. 2. 已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数为幂函数，得到方程，求出或1，由单调性排除，得到答案. 【详解】由题意得，解得或1， 当时，，在上单调递增，不合要求， 当时，，在上单调递减，满足要求. 故选：A 3. 下列结论正确的有（ ） A. 函数的定义域为 B. 与是相同函数 C. 函数的图象与直线有且只有一个交点 D. 函数的图象与y轴有且只有一个交点 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的定义域判断A，根据函数相等的概念判断B，根据函数的定义判断CD. 【详解】对于A，由有意义可得， 所以函数的定义域为，A错误； 对于B，函数的定义域为，其解析式可化为， 函数的定义域为， 两函数的法则不相同，所以两函数不是相同函数，B错误； 对于C，由函数的定义可得的值唯一，故函数的图象与直线有且只有一个交点，C正确； 对于D，函数的图象与轴没有交点，故D错误. 故选：C. 4. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】A选项不符合基本不等式的条件，B，C选项通过举反例即可求得，D选项，不等式两式作差，即可比较大小. 【详解】A选项，当异号时，不等式不成立； B选项，由，则，当，不满足题意； C选项，，，故不成立； D选项 ， 因为，则，所以，即. 故选：D 5. “”是“函数的定义域为R”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到在R上恒成立，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出，由集合真包含关系得到答案. 【详解】由题意得在R上恒成立， 若，则，满足要求， 若，则只需，解得， 综上，， 由于为的真子集， 故“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】变形得到，从而得到在上单调递增，分和两种情况，结合二次函数对称轴，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以， 即， 令，则， 故在上单调递增， 当时，满足在上单调递增， 当时，为二次函数， 需满足或， 解得或， 综上，，实数a的最大值为. 故选：C. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故选：D 8. 已知函数，对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】研究出为奇函数，在R上单调递减，且，从而得到，得到，由根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】的定义域为R，且， 故为奇函数， 且当时，在上单调递减， 又，故在R上单调递减， 又， ， 故，即， 所以，解得. 故选：C 二、多选选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. ““是“”的必要不充分条件 B. 若，则的最大值为 C. 若不等式的解集为，则 D. 命题“，使得”的否定为“，使得” 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，解不等式，根据两个不等式解集的包含关系，得到A正确；B选项，化简得到，B正确；C选项，由不等式解集得到，，从而得到；D选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】A选项，，解得或，，解得或， 由于或可以推出或，但或不能推出或， 故““是“”的必要不充分条件，A正确； B选项，，故， 当且仅当时，等号成立，故B正确； C选项，由题意得，，故， 则，C错误； D选项，命题“，使得”的否定为“，使得”，D错误. 故选：AB 10. 已知函数在R上单调，且对任意恒成立，则（ ） A. B. 若在R上单调递增，则 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，令得，或1，根据函数单调性排除，A正确；C选项，令，变形得到，不满足，C错误；B选项，由单调性得到，由条件得，故B正确；D选项，变形得到，故为奇函数，D正确； 【详解】A选项，中，令得， ，解得，解得或1， 令得，即， 若，满足上式， 若得，但函数在R上单调，故，不合要求， 综上，，A正确； C选项，中，令得，当时，， 由于只有时，才有，当为其他数时，不满足， 故不是奇函数，C错误； B选项，在R上单调递增，， 故， 因为，所以， 所以，故B正确； D选项，因为，所以， 当时，，， 所以， 故为奇函数，D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解 11. 我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数的二元函数，则以下说法正确的是（ ） A. B. 对任意的 C. 若对任意实数，则实数a的取值范围是 D. 若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，代入计算；B选项，由基本不等式求出最小值，B正确；C选项，转化为恒成立，由根的判别式得到不等式，求出；D选项，转化为在上有解，又函数单调性得到，所以，解得，D错误. 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，对任意的，有， 当且仅当，即时，等号成立，B正确； C选项，恒成立， 故，需满足，解得， 则实数a的取值范围是，C正确； D选项，由题意得在上有解， 在上有解，故在上有解， 其中在上单调递增，故，所以，解得， 实数a的取值范围是，D错误. 故选：BC. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知全集，集合，集合，，则实数k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集结果得到，解不等式，结合补集概念得到，从而得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以， 其中或，故， 又，故，解得， 故实数k的取值范围是 故答案为： 13. 已知函数不是单调函数，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出时，的对称轴为，分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】当时，单调递减， 时，的对称轴为， 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，故不单调，满足要求； 当，即时，需满足，解得， 故， 综上，数a的取值范围是 故答案为： 14. 对于函数，若，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，若，且，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，对方程变形，根据，得到要么没有实根，要么实根是方程的根，分两种情况讨论，得到. 【详解】因为，所以有实根，当时，，符合要求， 时，有实根，故，解得且， 所以， 又，即， 由题意得函数的不动点一定为函数的稳定点，故， 所以的左边有因式， 从而变形得到， 因为，所以要么没有实根，要么实根是方程的根， 若没有实根，时，，故方程无根，符合题意， 时，，解得， 故当没有实根时，， 若的实根是方程的根， 两边同乘以得， 将其代入得，， 故，解得， 再将代入中，得，解得， 综上， 故答案为： 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式得到，根据交集运算求出答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ，等价于， 解得，故， 当时，， 故； 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，， 当，，解得， 当，需满足或，解得或， 故实数m的取值范围为. 16. 已知函数且经过两点． （1）求函数的解析式； （2）利用单调性的定义证明：在上单调递增； （3）当是定义在上的函数时，解不等式． 【答案】（1） （2） 任取， 则 ， 因为，所以， 故， 故，所以在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）代入，得到方程组，求出，得到解析式； （2）定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （3）判断出函数的奇偶性，结合单调性和定义域得到不等式组，求出不等式解集. 【小问1详解】 将代入解析式得， 解得，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 又定义域为，故为奇函数， 由（2）知，在上单调递增， 故， 故，解得， 故不等式解集为. 17. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， （1）求函数的解析式并写出函数的增区间（增区间只需写出结论）； （2）当时，解关于x的不等式． 【答案】（1）的解析式为, 函数的增区间为. （2）当，解集为；当时不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）因为函数为奇函数，，首先求出a的值，再利用奇函数的性质，可求出当时，函数的表达式，再通过二次函数的性质即可得到增区间； （2）对于解不等式，先求出时的表达式代入不等式，然后根据二次函数的性质求解不等式. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，所以，即，所以当时，， 又因为， 所以当时，，所以， 所以函数的解析式为. 由图像可得函数的增区间为. 【小问2详解】 当时，代入，整理得，即， ①当时，即，不等式，此时； ②当时，即，不等式的解为，又因为，所以； ③当时，即不等式的解为，又因为，所以， 综上所述：当，解集为；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 18. 设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间． （1）试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； （2）若是定义在上峰点为1的“含峰函数”，且值域为，求a的取值范围． 【答案】（1）故为上的“含峰函数”，峰点为，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数单调性得到为上的“含峰函数”， 峰点为； （2）由题意得，所以，由最大值得到，故，，分和两种情况，结合函数最小值为0得到方程，求出. 【小问1详解】 故为上的“含峰函数”，理由如下： ，开口向下， 故在上严格递增，在上严格递减， 故为上的“含峰函数”， 峰点为； 【小问2详解】 由题意得在上严格递增，在上严格递减， 故，所以 故， 又值域为，故， 故，， 若，此时在处取得最小值0， 故， 所以，由于，故， 即， 若，此时在处取得最小值0， 即，解得， 综上：. 19. 某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． （1）试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出，分和两种情况，得到解析式； （2）当时，，每天利润为0元，当时，换元得到，，分和两情况，结合基本不等式和函数单调性，得到最大值，进而得到结论. 【小问1详解】 ， 因为， 故当时，， 当时，， 所以； 【小问2详解】 m为小于24的正整数， 当时，，每天利润为0元， 当时，， 令，则， 则， 当，即时，， 当且仅当，即，时，等号成立， 当，即时，在上单调递减， 故当，即时，取得最大值， 综上，当时，日产量为万件，可获得最大利润， 当时，日产量为万件，可获得最大利润. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $