精品解析：陕西省榆林市府谷县部分校2024-2025学年高二上学期第二次月考质量检测数学试题

陕西省榆林市府谷县部分校2024-2025学年高二上学期第二次月考质量检测数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线和直线的位置关系为（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的两个焦点分别为，点是上一点，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 7. 已知点是圆上的动点，若为定值，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 在正三棱锥P-ABC中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则（ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中错误的是（ ） A. 若为双曲线，则或 B. 若为椭圆，则 C. 曲线可能是圆 D. 若为双曲线，则焦距为定值 11. 已知抛物线的焦点为，且三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 若直线BC过点F，O为坐标原点，则 C. 若，则线段BC的中点到轴距离的最小值为 D. 若直线AB，AC是圆的两条切线，则直线BC的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则__________. 13. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______. 14. 已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于M，N两点.若，则椭圆的离心率为______. 四、解答题：本题共小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，. （1）求直线的方程及的面积； （2）求的外接圆的方程. 16. 如图，四棱锥的侧面为正三角形，底面为梯形，，平面平面，已知，. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图，过抛物线的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时， （1）求C的方程; （2）以AB为直径的圆能否经过坐标原点若能，求出直线AB的方程;若不能，请说明理由. 18. 如图1，在平行四边形ABCD中，，将沿BD折起到位置，使得平面平面，如图2. （1）证明：平面BCD； （2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省榆林市府谷县部分校2024-2025学年高二上学期第二次月考质量检测数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线和直线的位置关系为（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】求出两直线斜率，再判断其乘积即可. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以. 故选：B. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程公式，即可得到答案. 【详解】双曲线的渐近线方程是，即. 故选：A. 3. 已知椭圆的两个焦点分别为，点是上一点，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可求得，代入点的坐标，可求得，可求椭圆方程. 【详解】由，得，即， 又是椭圆上一点，所以，解得1， 故椭圆的方程为， 故选：C. 4. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆的圆心和半径，再运用点到直线距离公式和勾股定理即可. 【详解】由题意得圆心到直线的距离为， 故直线被圆截得的弦长为. 故选：B. 5. 在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的定义知：，当三点共线时距离之和最小，进而先求出点纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值，从而得到答案. 【详解】 由题意得抛物线的焦点为，准线方程为. 过点作于点，由定义可得， 所以， 由图可得，当三点共线时，最小，此时. 故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点的坐标为． 故选：A. 6. 如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底，表示出向量，利用空间向量的数量积求向量的模. 【详解】以为基底，则，，，，. 因为，所以， 则 ， 所以. 故选：D 7. 已知点是圆上的动点，若为定值，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由为定值可得，，进而结合圆的几何性质求解即可. 【详解】设，则，即， 所以， 因为为定值，所以，解得， 此时，则， 由圆，即，圆心为，半径为， 显然点在圆内部，且，则的最小值为， 所以的最小值为． 故选：D. 8. 在正三棱锥P-ABC中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据长度关系先证明出两两垂直，然后通过补形法求解出的值，再通过向量法求解出的值，则结果可知. 【详解】在正三棱锥中，，又，， 所以，所以， 同理可得，，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 正方体的体对角线就是外接球的直径，易得， 如图，建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 则点到平面的距离，所以， 故选B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是能通过给定的长度关系确定出位置关系，同时能利用补形法完成计算，另一方面是能利用向量方法求解出点到面的距离. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】按直线l是否过原点分类，再结合直线的截距方程求出方程. 【详解】直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数， 当直线l过原点时，它们在两坐标轴上的截距都为0，互为相反数，方程为，即； 当直线l不过原点时，设其方程为，则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线l的方程为或. 故选：AD 10. 若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中错误的是（ ） A. 若为双曲线，则或 B. 若为椭圆，则 C. 曲线可能是圆 D. 若为双曲线，则焦距为定值 【答案】BD 【解析】 【分析】A，B，C中，由曲线为双曲线或椭圆或圆，可得参数所满足的条件，进而求出的范围，即可判断A，B，C的真假；D中，分焦点在，轴，可得的值，与有关，判断D的真假. 【详解】若为双曲线，则，故或，所以选项A正确； 若为椭圆，则且，故且，所以选项B错误； 若为圆，则，故，所以选项C正确； 若为双曲线，则或，当时，双曲线化为标准形式为，此时，所以不是定值，则焦距也不为定值，同理焦距也不为定值，故选项D错误. 综上，选项BD错误， 故选：BD. 11. 已知抛物线的焦点为，且三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 若直线BC过点F，O为坐标原点，则 C. 若，则线段BC的中点到轴距离的最小值为 D. 若直线AB，AC是圆的两条切线，则直线BC的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将点代入抛物线，得到方程后再求解即可；对于B，联立方程组后，运用平面向量的坐标运算求解即可；对于C，运用焦半径公式结合基本不等式求解即可；对于D，运用几何法，设切线，求解方程即可. 【详解】对于A：因为在抛物线上，所以，解得，所以，故A正确； 对于B：显然直线BC的斜率不为0，设直线BC的方程为，由得，所以，所以，所以，故B正确； 对于C：因为，当且仅当B，C，F三点共线时，等号成立，所以，所以，即线段BC的中点到轴距离的最小值为，故C错误； 对于D：直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即，又直线AB与圆相切，所以，整理得，即，同理可得，所以直线BC的方程为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得，设，从而得解. 【详解】因为，所以，则存在实数，使， 即，解得，所以 故答案为： 13. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆、曲线的对称性，只需分析与圆只有一个交点即可，分相切与相交两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】圆的圆心为坐标原点，关于轴对称， 因为为偶函数，函数图象关于轴对称，所以曲线的图象也关于轴对称， 所以只需研究与圆只有一个交点即可， 当与圆相切时，则， 当与圆相交时（只有一个交点），则， 综上可得的取值范围为. 故答案为： 14. 已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于M，N两点.若，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线和椭圆的性质得出为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次式得到离心率即可. 【详解】设是椭圆的右焦点，连接，由对称性可知， 则为平行四边形，则，即， 因为，则， 在中，由余弦定理可得，即， 解得，所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，. （1）求直线的方程及的面积； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1）；9 （2） 【解析】 【分析】（1）由两点式即可求出直线的方程，求出及点到直线的距离，即可求的面积； （2）设的外接圆的方程，将，，代入即可求. 【小问1详解】 直线的方程为，即， 因为， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 【小问2详解】 设的外接圆的方程为， 由题意，解得， 所以的外接圆的方程为：. 16. 如图，四棱锥的侧面为正三角形，底面为梯形，，平面平面，已知，. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取上的点，使，可得，则由线线平行可证线面平行； （2）取中点，连，根据题意可证，平面，所以以为坐标原点，分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，利用线面角的空间向量法求解. 【小问1详解】 取上的点，使， 则， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 取中点，连，因为，所以， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，， 以为坐标原点，分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 设为平面的法向量， 则，可取， ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 如图，过抛物线的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时， （1）求C的方程; （2）以AB为直径的圆能否经过坐标原点若能，求出直线AB的方程;若不能，请说明理由. 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）出A，B坐标，由求出p，即可得抛物线方程； （2）直线AB的斜率显然存在，设其方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理和数量积的坐标运算求得OA与OB不垂直，即可判断以AB为直径的圆不可能经过坐标原点. 【小问1详解】 点的坐标是， 当直线AB与y轴垂直时，点A，B的坐标分别是，， ，解得， 所以C的方程是 【小问2详解】 以AB为直径的圆不可能经过坐标原点O，理由如下： 如图， 直线AB的斜率显然存在，设其方程为， 代入，消去y并整理得， 设，，则 因为， 所以OA与OB不垂直. 因此，以AB为直径的圆不可能经过坐标原点. 18. 如图1，在平行四边形ABCD中，，将沿BD折起到位置，使得平面平面，如图2. （1）证明：平面BCD； （2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 在中，因为， 由余弦定理，得， 所以，所以， 所以． 如下图1所示：在中，作于点， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又平面BCD，所以平面BCD. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，再用线面垂直证明线线垂直，从而证明线面垂直即可； （2）利用空间直角坐标系，结合空间向量的运算，即可求面面角的余弦值，从而问题求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：如下图2所示： 存在点，当是的中点时，二面角的大小为. 证明如下：由（1）知平面BDC，所以且， 所以，又因为是的中点，所以，同理可得：， 取BD的中点为O，DC的中点为，连接MO，EM，OE， 因为，所以是二面角的平面角， 又因为，所以．此时． 方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如下图3所示的空间直角坐标系，则. 假设点存在，设， 则， 设平面MBD的一个法向量为， 则，取，可得， 又平面CBD的一个法向量为， 假设在线段上存在点，使得二面角的大小为， 则，解得， 所以点存在，且点是线段的中点，即. 19. 若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中定义可得出双曲线的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，将该直线方程与双曲线方程联立，由题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于直线方程中参数的值或参数之间的关系，求出直线所过定点的坐标，即可求出点到直线的距离. 【小问1详解】 解：由题意可设的标准方程为，则，， 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 解：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设点、， 联立，得， 所以且， 即且， 由韦达定理可得，， ． 因为，且，， 所以 ． 所以或． 当时，直线恒过点，不合题意， 当时，直线恒过点，合乎题意； 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 则、 因为，所以，解得或（舍去）． 所以直线恒过点， 所以当直线时，点到直线的距离最大，距离的最大值为． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $