6.2 与圆有关的位置关系-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 2 -2) cm,故选:C. 第 13 题解图 14. (1)证明:∵ 四边形 ABDC 是☉O 的内接四边形, ∴ ∠ABD+∠ACD= 180°, ∵ ∠ABE+∠ABD= 180°, ∴ ∠ABE= ∠ACD; (2)解:∵ ∠BDC = 90°,四边形 ABDC 为☉O 的内接四 边形, ∴ ∠BAC= 90°, ∵ AE⊥AD, ∴ ∠EAD= 90°, ∴ ∠EAB+∠BAD= ∠DAC+∠BAD= 90°, ∴ ∠EAB= ∠DAC, 在△ABE 与△ACD 中, ∠EAB= ∠DAC, AB=AC, ∠ABE= ∠ACD, { ∴ △ABE≌△ACD(ASA) . ∴ BE=CD,AE=AD,∴ △ADE 为等腰直角三角形, ∵ BD+CD=BD+BE= 4,∴ ED= 4, ∴ AE= 2 2 . 命题点 2　 与圆有关的位置关系 1. A 2. C　 【解析】如解图,过 C 作 CD⊥AB 于 D,在 Rt△ABC 中, ∠ACB= 90°,∠A= 60°,BC = 4,∴ CD = 1 2 BC = 2,∵ ☉C 与 AB 相离,∴ 半径 r 满足 0<r<2. 第 2 题解图 　 第 3 题解图 3. B　 【解析】如解图,由题意得,OA= 2,OB= 3,当点 P 为 BO 的延长线与☉O 的交点时,点 P 到直线 l 的距离最大,此 时,点 P 到直线 l 的最大距离是 3+2 = 5. 4.证明:如解图,连接 OC. ∵ OA=OC, ∴ ∠OAC= ∠OCA, ∵ AC 平分∠DAB, ∴ ∠DAC= ∠CAB= ∠ACO, ∴ AD∥OC, ∵ AD⊥CD, ∴ OC⊥DC, ∵ OC 是☉O 的半径, ∴ DC 是☉O 的切线. 第 4 题解图 5.证明:如解图,连接 OD,则 OD=OB, ∴ ∠ODB= ∠B, ∵ AB=AC, ∴ ∠B= ∠C, ∴ ∠ODB= ∠C, ∴ OD∥AC, ∵ DE⊥AC, ∴ ∠ODE= ∠CED= 90°, ∵ OD 是☉O 的半径, ∴ DE 是☉O 的切线. 第 5 题解图 6.证明:如解图,设 OC 交 AB 于点 E, 第 6 题解图 ∵ OC 是☉O 的半径,C 为 AB ( 的中点, ∴ OC⊥AB, ∵ CD∥AB, ∴ OC⊥CD, ∵ OC 是☉O 的半径, ∴ CD 是☉O 的切线. 7.证明:解法 1:∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠C= 90°, ∴ ∠ABC+∠CAB= 90°, ∵ 点 A 是 CD ( 的中点, ∴ AC ( =AD ( , ∴ ∠ABC= ∠ABD, ∵ ∠EAF= ∠ABE, ∴ ∠ABC= ∠EAF, ∴ ∠BAC+∠EAF= 90°, ∴ ∠BAF= 90°, ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ AF 是☉O 的切线; 解法 2:如解图,连接 CD 交 AB 于 G. ∵ A 是 CD ( 的中点,AB 是☉O 的直径, ∴ AB⊥CD, ∵ ∠ACD= ∠ABD= ∠FAE, ∴ AF∥CD, ∴ AF⊥AB, ∵ OA 是☉O 的半径, ∴ AF 是☉O 的切线. 第 7 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 72 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 8. D　 【解析】∵ ∠AOD = 80°,∴ ∠B = 1 2 ∠AOD = 40°. ∵ 以 AB 为直径的☉O 与 AC 相切于点 A,∴ ∠BAC = 90°,∴ ∠C = 90°-∠B= 50°. 故选:D. 9. C　 【解析】如解图,连接 OB、DB,则 OB =OD = 2,∵ AD 是 ☉O 的直径,∴ ∠ABD= 90°,AD = 2OD = 4,∵ BC 与☉O 相 切于点 B, ∴ BC⊥OB, ∴ ∠OBC = 90°, ∵ ∠C = 30°, ∴ ∠BOC= 60°,∴ △BOD 是等边三角形,∴ BD = OD = 2,∴ AB= AD2 -BD2 = 42 -22 = 2 3 ,故选:C. 第 9 题解图 10. D　 【解析】如解图,连接 OD,∵ ☉O 与 BC 相切于点 B, 与 AC 相切于点 D,∴ CD =CB,∠ODC = ∠OBC,在△COD 和 △COB 中, CD=CB, ∠ODC= ∠OBC, OD=OB, { ∴ △COD ≌ △COB (SAS),∴ ∠COD = ∠COB,∠DCO = ∠BCO,∴ ∠COB = 1 2 (180°- ∠DOE),∵ OD = OE,∴ ∠DEO = ∠ODE = 1 2 (180°-∠DOE),∴ ∠DEO = ∠COB,∴ DE∥OC,综上 A、 B、C 正确, ∵ ∠A+ ∠DOA = 90°, ∠DCO + ∠DOC = 90°, ∠DOC 不一定等于∠DOA,∴ D 选项错误,故选 D. 第 10 题解图 11. (1)证明:解法 1:如解图,连接 OD, ∵ AB 为☉O 的切线, ∴ OD⊥AB, ∴ ∠ODA= ∠ODB= 90°, ∵ ∠ACB= 90°, ∴ ∠ABC+∠COD= 180°, ∵ ∠AOD+∠COD= 180°, ∴ ∠ABC= ∠AOD, ∵ ∠AOD= 2∠ACD, ∴ ∠ABC= 2∠ACD; 解法 2 提示:如解图,连接 OB 交 CD 于 E,由∠BCA= 90° 得 BC 是☉O 切线,由 BD 是☉O 切线得 BC = BD,得 OB ⊥CD,∠CBO= ∠DBO,由∠ACB= 90°,OB⊥CD 得∠ACD = ∠CBO,得∠ABC= 2∠ACD; 第 11 题解图 (2)解:设☉O 的半径为 r,则 OD=OC= r,OA= 8-r, 在 Rt△ACB 中, ∵ ∠ACB= 90°,AC= 8,BC= 6, ∴ AB= 62 +82 = 10, ∵ ∠OAD= ∠BAC,∠ADO= ∠ACB, ∴ △AOD∽△ABC, ∴ OD BC =AO AB ,即 r 6 = 8 -r 10 , 解得 r= 3, 即☉O 的半径为 3. 12. (1)证明:∵ OD⊥BC, ∴ ∠ODB= 90°, ∵ AE 为☉O 的切线, ∴ AB⊥AE, ∴ ∠OAE= 90°, ∵ ∠BOD= ∠AOE, ∴ ∠B= ∠E; (2)解:连接 AC,如解图, 在 Rt△AOE 中,AE= OE2 -OA2 = 62 -42 = 2 5 , ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠C= 90°, ∵ ∠B= ∠E,∠C= ∠OAE, ∴ △ABC∽△OEA, ∴ AC OA =BC AE = AB OE ,即 AC 4 = BC 2 5 = 8 6 , 解得 AC= 16 3 ,BC= 8 5 3 , ∵ OD⊥BC, ∴ CD=BD= 1 2 BC= 4 5 3 , 在 Rt △ACD 中, AD = AC2 +CD2 = ( 16 3 ) 2 +( 4 5 3 ) 2 = 4 21 3 . 第 12 题解图 13. (1)证明:如解图,连接 AO 并延长交 CD 于 E, ∵ AP 是☉O 的切线, ∴ AE⊥AP, ∵ AP∥CD, ∴ AE⊥CD, ∴ CE=DE, ∴ AC=AD; 第 13 题解图 (2)解:如解图,连接 AB, ∵ BC 是☉O 的直径,∴ ∠BAC= 90°, ∵ OA=OB,∴ ∠OAB= ∠OBA, ∵ ∠BAP+∠OAB= 90°,∠ACB+∠OBA= 90°, ∴ ∠ACB= ∠PAB, ∵ ∠P= ∠P, ∴ △APB∽△CPA, ∴ AP CP =AB CA =PB PA = 1 2 ,∴ AB= 1 2 AC,CP= 2AP= 16, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 82 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 ∴ BC=CP-BP= 12, ∵ AC2 +AB2 =BC2 , ∴ AC2 +( 1 2 AC) 2 = 122 , ∴ AC=AD= 24 5 5 , ∴ AD 的长为 24 5 5 . 14. (1)证明:如解图,连接 OF,则 OF=OB, ∵ EF 与☉O 相切于点 F, ∴ EF⊥OF, ∴ ∠OFE= 90°, ∴ ∠EFC+∠OFB= 180°-∠OFE= 90°, ∵ CD⊥AB, ∴ ∠CDB= 90°, ∴ ∠C+∠B= 90°, ∵ ∠OFB= ∠B, ∴ ∠EFC= ∠C, ∴ EF=EC; (2)解:如解图,连接 AF, ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠AFB= ∠CDB= 90°, ∵ ∠B= ∠B, ∴ △AFB∽△CDB, ∴ BF BD = AB CB , ∵ D 是 OA 的中点,AB= 4, ∴ OA=OB= 1 2 AB= 2,OD=AD= 1 2 OA= 1, ∴ BD=OB+OD= 2+1 = 3, ∵ CD=AB= 4, ∴ CB= BD2 +CD2 = 32 +42 = 5, ∴ BF= AB·BD CB = 4 ×3 5 = 12 5 , ∴ BF 的长是 12 5 . 第 14 题解图 15. (1)证明:如解图,连接 AC 交 OD 于 H, ∵ AB 是☉O 的直径,∴ AC⊥BC, ∵ OD 平分∠AOC,∴ ∠AOD= ∠COD, ∴ AD ( =CD ( ,∴ OD⊥AC,∴ OD∥BC; (2)解:∵ OE∥BC,∴ △OEF∽△BCF, ∴ OE BC =OF BF = 5 6 ,∴ 设 OE= 5x,BC= 6x, ∵ AO=OB,OH∥BC, ∴ OH 为△ABC 的中位线,∴ OH= 1 2 BC= 3x, ∵ PB 是☉O 的切线,∴ ∠OBP= 90°, ∴ ∠PBO= ∠AHO, ∵ ∠BOP= ∠AOH,∴ △AOH∽△POB,∴ PO AO =OB OH , ∴ 5x+1 5x = 5x 3x ,∴ x= 3 10 或 x= 0(不合题意舍去), ∴ OE= 3 2 ,∴ ☉O 半径的长为 3 2 . 第 15 题解图 命题点 3　 圆的弧长、面积有关的计算 1. 20π　 2. C　 【解析】如解图,连接 OA、OC,∵ AB⊥CD,∠BAD= 30°, ∴ ∠ADC= 90°-∠BAD = 60°,由圆周角定理得:∠AOC = 2 ∠ADC= 120°,∴ AC ( 的长为: 120π×6 180 = 4π,故选:C. 第 2 题解图 　 　 　 第 3 题解图 3. 25π　 【解析】如解图,连接 OA、OB,∵ ∠C = 30°,∴ ∠AOB = 60°,∵ OA = OB,∴ △OAB 为等边三角形,∵ AB = 15,∴ OA=OB= 15,∴ ACB ( 的长为 300π×15 180 = 25π. 4. 4π 5. 5　 【解析】由题意可知:圆锥的底面周长为 2π×10 2 = 10π (cm),则圆锥底面圆的半径为 10π 2π = 5(cm) . 6. D 7. C　 【解析】如解图,连接 OD、OB、OC,OD 交 BC 于点 H. ∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠BAC = 60°,∴ ∠BOC = 120°, ∠BDC= 120°,∵ D 是 BC ( 中点,∴ OD⊥BC,BH = CH = 1 2 BC= 2 3 , ∠BOD = 60°, ∴ OB = BH sin60° = 4, ∵ OB = OD, ∠BOD= 60°,∴ △BOD 为等边三角形,∴ BD =OB = 4,∴ S = 120π ×42 360 = 16π 3 ,故选:C. 第 7 题解图 　 　 第 8 题解图 8. D　 【解析】如解图,连接 AC. ∵ 两弧有且仅有一个公共 点,AD = 4, ∴ AC = 2AD = 8, ∴ 在 Rt △ADC 中, CD = AC2 -AD2 = 82 -42 = 4 3 ,∴ S矩形 ABCD =AD·CD = 16 3 , ∵ 两个扇形均为 1 4 圆,而且它们的半径相等,∴ 两个扇形 为 1 2 圆, 面积之和为 S两个扇形 = 1 2 πAD2 = 8π, ∴ S阴影 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 92 分层作业本·陕西数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 六 章 圆 命题点 2　 与圆有关的位置关系(必考) 考向 1　 点、直线与圆的位置关系(2023. 26(2)、 2021. 13、2017. 25(3)) 1. 在△ABC 中,∠B = 55°,∠C = 65°,分别以 B、C 为圆心,BC 长为半径画圆 B、圆 C,关于 A 点位 置,下列叙述正确的是 (　 　 　 ) A. 在圆 B 外部,在圆 C 内部 B. 在圆 B 外部,在圆 C 外部 C. 在圆 B 内部,在圆 C 内部 D. 在圆 B 内部,在圆 C 外部 2. (2024 高新一中一模)在△ABC 中,∠C = 90°,∠A = 60°,BC= 4,若☉C 与 AB 相离,则半径 r 满足 (　 　 　 ) A. r>2　 　 　 　 　 　 B. r<2 C. 0<r<2 D. 0<r<2 3 3. (2023 宿迁)在同一平面内,已知☉O 的半径为 2,圆心 O 到直线 l 的距离为 3,点 P 为圆上的 一个动点,则点 P 到直线 l 的最大距离是 (　 　 　 ) A. 2　 　 　 B. 5　 　 　 C. 6　 　 　 D. 8 考向 2　 切线的判定(2023. 26(2)、2021. 13 涉及) 4. 如图,点 C 在以 AB 为直径的☉O 上,AC 平分 ∠BAD,且 AD⊥CD 于点 D. 求证:DC 是☉O 的 切线. 第 4 题图 证明:如解图,连接 OC. ∵OA=OC, ∴∠DAC=∠CAB=∠ACO, ∴AD∥OC, ∵AD⊥CD, ∴OC⊥DC, ∵OC 是☉O 的半径, ∴DC 是☉O 的切线. 5. (2023 东营节选)如图,在△ABC 中,AB = AC,以 AB 为直径的☉O 交 BC 于点 D,DE⊥AC,垂足 为 E. 求证:DE 是☉O 的切线. 第 5 题图 证明:如解图,连接 OD,则 OD=OB, ∴∠ODB=∠B, ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴∠ODB=∠C, ∴OD∥AC, ∵DE⊥AC, ∴∠ODE=∠CED=90°, ∵OD 是☉O 的半径, ∴DE 是☉O 的切线. 6. (2024 甘孜州节选)如图,AB 为☉O 的弦,C 为 AB ( 的中点,过点 C 作 CD∥AB,交 OB 的延长线于点 D.连接 OA,OC,求证:CD 是☉O 的切线. 第 6 题图 证明:如解图,设 OC 交 AB 于点 E, ∵OC 是☉O 的半径,C 为 AB ( 的中点, ∴OC⊥AB, ∵CD∥AB, ∴OC⊥CD, ∵OC 是☉O 的半径, ∴CD 是☉O 的切线. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 57 分层作业本·陕西数学 　 第 六 章 圆 7.多解法 ∙∙∙ 　 (2024 交大附中六模节选)如图,已知 AB 是☉O 的直径,点 A 是 CD ( 的中点,弦 BD,CA 的延长线交于点 E,点 F 在线段 DE 上,且 ∠FAE= ∠ABE. 求证:AF 是☉O 的切线. 第 7 题图 证明:∵AB 是☉O 的直径, ∴∠C=90°, ∴∠ABC+∠CAB=90°, ∵点 A 是 CD ( 的中点, ∴AC ( =AD ( , ∴∠ABC=∠ABD, ∵∠EAF=∠ABE, ∴∠ABC=∠EAF, ∴∠BAC+∠EAF=90°, ∴∠BAF=90°, ∵AB 是☉O 的直径, ∴AF 是☉O 的切线. 考向 3　 切线的性质及相关计算(必考) 8. (2024 山西)如图,已知△ABC,以 AB 为直径的 ☉O 交 BC 于点 D,与 AC 相切于点 A,连接 OD. 若∠AOD= 80°,则∠C 的度数为 (　 　 　 ) A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. (2024 高新一中二模)如图,BC 是☉O 的切线,点 B 是切点,连接 CO 交☉O 于点 D,延长 CO 交 ☉O 于点 A,连接 AB,若∠C = 30°,OD = 2,则 AB 的长为 (　 　 　 ) A. 2 2 　 　 B. 3 2 　 　 C. 2 3 　 　 D. 3 3 10. (北师九下 P94 议一议改编)如图,☉O 与△ABC 的 BC 边相切于点 B,与 AC 边相切于点 D,与 AB 边交于点 E,EB 是☉O 的直径,则下列结 第 10 题图 论错误的是 (　 　 　 ) A. DE∥OC B. CD=CB C. ∠DCO= ∠BCO D. ∠DCO= ∠A 11. (2024 通辽)如图,△ABC 中. ∠ACB = 90°,点 O 为 AC 边上一点,以点 O 为圆心,OC 为半径作 圆与 AB 相切于点 D,连接 CD. (1)多解法 ∙∙∙ 　 求证:∠ABC= 2∠ACD; (2)若 AC= 8,BC= 6,求☉O 的半径. 第 11 题图 (1)证明:解法 1:如解图,连接 OD, ∵AB 为☉O 的切线, ∴OD⊥AB, ∴∠ODA=∠ODB=90°, ∵∠ACB=90°,∴∠ABC+∠COD=180°, ∵∠AOD+∠COD=180°,∴∠ABC=∠AOD, ∵∠AOD=2∠ACD,∴∠ABC=2∠ACD; 解法 2:提示:如解图,连接 OB 交 CD 于 E,由 ∠BCA=90°得 BC 是☉O 切线,由 BD 是☉O 切线 得 BC = BD, 得 OB ⊥ CD, ∠CBO = ∠DBO, 由 ∠ACB = 90°, OB ⊥ CD 得 ∠ACD = ∠CBO, 得 ∠ABC=2∠ACD; (2)解:设☉O 的半径为 r,则 OD=OC= r,OA=8-r, 在 Rt△ACB 中, ∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6, ∴AB= 62+82 =10, ∵∠OAD=∠BAC,∠ADO=∠ACB, ∴△AOD∽△ABC,∴OD BC =AO AB ,即 r 6 = 8-r 10 , 解得 r=3, 即☉O 的半径为 3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 67 分层作业本·陕西数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 六 章 圆 12. (2024 西安名校模拟)如图,已知 AB 是☉O 的直 径,C 是☉O 上一点,OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD,过点 A 作☉O 的切线与 DO 的延长线相 交于点 E. (1)求证:∠B= ∠E; (2)若☉O 的半径为 4,OE= 6,求 AD 的长. 第 12 题图 (1)证明:∵OD⊥BC, ∴∠ODB=90°, ∵AE 为☉O 的切线, ∴AB⊥AE, ∴∠OAE=90°, ∵∠BOD=∠AOE, ∴∠B=∠E; (2)解:连接 AC,如解图, 在 Rt△AOE 中,AE= 　 OE2-OA2 = 　 62-42 =2 5 , ∵AB 是☉O 的直径, ∴∠C=90°, ∵∠B=∠E,∠C=∠OAE, ∴△ABC∽△OEA, ∴AC OA =BC AE =AB OE ,即AC 4 = BC 2 5 = 8 6 , 解得 AC=16 3 ,BC=8 5 3 , ∵OD⊥BC, ∴CD=BD= 1 2 BC=4 5 3 , 在 Rt△ACD 中, AD= 　 AC2+CD2 = 　 (16 3 ) 2+(4 5 3 ) 2 =4 21 3 . 13. (2024 铁一中八模)如图,△ACD 为☉O 的内接 三角形,过点 A 作☉O 的切线 AP,AP∥CD 交 CO 的延长线于点 P,CP 交☉O 于点 B. (1)求证:AC=AD; (2)若 AP= 8,BP= 4,求 AD 的长. 第 13 题图 (1)证明:如解图,连接 AO 并延长交 CD 于 E, ∵AP 是☉O 的切线,∴AE⊥AP, ∵AP∥CD,∴AE⊥CD, ∴CE=DE,∴AC=AD; (2)解:如解图,连接 AB, ∵BC 是☉O 的直径,∴∠BAC=90°, ∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA; ∵∠BAP+∠OAB=90°,∠ACB+∠OBA=90°, ∴∠ACB=∠PAB, ∵∠P=∠P,∴△APB∽△CPA, ∴AP CP =AB CA =PB PA = 1 2 ,∴AB= 1 2 AC,CP=2AP=16, ∴BC=CP-BP=12. ∵AC2+AB2 =BC2, ∴AC2+( 1 2 AC) 2 =122,∴AC=AD=24 5 5 , ∴AD 的长为24 5 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 77 分层作业本·陕西数学 　 第 六 章 圆 14. 如图,AB 是☉O 的直径,点 D 在直径 AB 上(D 与 A,B 不重合),CD⊥AB 且 CD = AB,连接 CB,与☉O 交于点 F,在 CD 上取一点 E,使 EF 与☉O 相切. (1)求证:EF=EC; (2)若 D 是 OA 的中点,AB= 4,求 BF 的长. 第 14 题图 (1)证明:如解图,连接 OF,则 OF=OB, ∵EF 与☉O 相切于点 F, ∴EF⊥OF, ∴∠OFE=90°, ∴∠EFC+∠OFB=180°-∠OFE=90°, ∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°, ∴∠C+∠B=90°, ∵∠OFB=∠B,∴∠EFC=∠C, ∴EF=EC; (2)解:如解图,连接 AF, ∵AB 是☉O 的直径, ∴∠AFB=∠CDB=90°, ∵∠B=∠B, ∴△AFB∽△CDB,∴BF BD =AB CB , ∵D 是 OA 的中点,AB = 4,∴ OA =OB = 1 2 AB = 2, OD=AD= 1 2 OA=1, ∴BD=OB+OD=2+1=3, ∵CD=AB=4,∴CB= BD2+CD2 = 32+42 =5, ∴BF=AB·BD CB =4×3 5 = 12 5 ,∴BF 的长是12 5 . 15. (2024 北京)如图,AB 是☉O 的直径,点 C,D 在 ☉O 上,OD 平分∠AOC. (1)求证:OD∥BC; (2)延长 DO 交☉O 于点 E,连接 CE 交 OB 于 点 F,过点 B 作☉O 的切线交 DE 的延长 线于点 P. 若OF BF = 5 6 ,PE = 1,求☉O 半径 的长. 第 15 题图 (1)证明:如解图,连接 AC 交 OD 于 H, ∵AB 是☉O 的直径,∴AC⊥BC, ∵OD 平分∠AOC,∴∠AOD=∠COD, ∴AD ( =CD ( ,∴OD⊥AC,∴OD∥BC; (2)解:∵OE∥BC,∴△OEF∽△BCF, ∴OE BC =OF BF = 5 6 ,∴设 OE=5x,BC=6x, ∵AO=OB,OH∥BC, ∴OH 为△ABC 的中位线,∴OH= 1 2 BC=3x, ∵PB 是☉O 的切线,∴∠OBP=90°, ∴∠PBO=∠AHO, ∵∠BOP=∠AOH,∴△AOH∽△POB, ∴ PO AO =OB OH , ∴5x +1 5x =5x 3x ,∴ x= 3 10 或 x=0(不合题意,舍去), ∴OE= 3 2 ,∴☉O 半径的长为 3 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 87