4.2 三角形及其重要线段-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·陕西数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 四 章 三 角 形 命题点 2　 三角形及其重要线段(必考) 基础 达标练 考向 1　 三角形的分类及边角关系(8 年 4 考) 1. 为估计池塘两岸 A、B 间的距离,如图,小明在池塘一侧选取了一点 O,测得 OA= 16 m,OB= 12 m,那么 AB 的距离不可能是 (　 　 　 ) A. 5 m　 　 　 　 　 B. 15 m　 　 　 　 　 C. 20 m　 　 　 　 　 D. 30 m 第 1 题图 　 　 第 2 题图 　 　 第 3 题图 【拓展设问】如果△OAB 是等腰三角形,那么 AB 的长度可以是　 　 m. (填一个即可) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2. (人教八上 P15 思考改编)如图,在△ABC 中,∠A= 70°,点 D 在 BC 的延长线上. (1)若∠B= 3∠ACB,则∠ACB 的度数为　 27. 5　 °; (2)若∠ACD+∠B= 190°,则∠B= 　 60　 °. 【反思】 命题:“一个三角形的外 角等于它的两个内角的 和 ” 是 真 命 题 吗? 为 什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考向 2　 三角形中的重要线段(必考) 3. (2024 河北)观察图中尺规作图的痕迹,可得线段 BD 一定是△ABC 的 (　 　 　 ) A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 【拓展设问】若△ABC 的面积是 6,BD 的长是 2,则 AC 的长度为　 6　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4. (2022 陕西副题 10 题改编)如图,AD 是△ABC 的中线. 图① 　 图② 第 4 题图 　 　 第 5 题图 (1)如图①,已知 AB = 4,AC = 3,如果△ACD 的周长为 8,那么△ABD 的周长为　 9　 ; (2)如图②,点 E 是 AD 的中点,若 S△CDE = 1,则 S△ABE = 　 1　 . 【反思】 三角形的中线为什么可 以平 分 这 个 三 角 形 的 面积? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5. (2017 年陕西副题 6 题 3 分)如图,在△ABC 中,∠A = 60°,∠B = 45°. 若 边 AC 的垂直平分线 DE 交边 AB 于点 D,交边 AC 于点 E,连接 CD, 则∠DCB= (　 　 　 ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 74 分层作业本·陕西数学 　 第 四 章 三 角 形 6. (2024 广安)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别是 AC,BC 的中点,若∠A = 45°,∠CED= 70°,则∠C 的度数为 (　 　 　 ) A. 45° B. 50° C. 60° D. 65° 第 6 题图 　 　 变式 6-1 题图 　 　 变式 6-2 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 变式 6-1 多解法 ∙∙∙ 　 (2024 西安名校模拟)如图,AD、CE 都是△ABC 的中线,连接 ED,△ABC 的面积是 10 cm2,则△BDE 的面积 是 (　 　 　 ) A. 1. 25 cm2 　 　 B. 2 cm2 　 　 C. 2. 5 cm2 　 　 D. 5 cm2 变式 6-2 (2023 广西)如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E, F 分别是 BC,CD 上的动点,M,N 分别是 EF,AF 的中点,则 MN 的最大值为　 　 　 . 7. (2024 凉山州)如图,△ABC 中,∠BCD = 30°,∠ACB = 80°,CD 是边 AB 上的高,AE 是∠CAB 的平分线,则∠AEB 的度数是　 100°　 . 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 【题眼解读】 M,N 分别是 EF,AF 的中 点→连接 AE,则 MN 是 △FAE 的中位线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 强化 提升练 8. (2021 陕西 4 题 3 分)如图,点 D、E 分别在线段 BC、AC 上,连接 AD、 BE. 若∠A= 35°,∠B= 25°,∠C= 50°,则∠1 的大小为 (　 　 　 ) A. 60° B. 70° C. 75° D. 85° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9. 多解法 ∙∙∙ 　 (2020 陕西 6 题 3 分)如图,在 3×3 的网格中,每个小正方 形的边长均为 1,点 A,B,C 都在格点上,若 BD 是△ABC 的高,则 BD 的长为 (　 　 　 ) A. 10 13 13 B. 9 13 13 C. 8 13 13 D. 7 13 13 10. (2024 西安名校模拟)如图,∠ABC = ∠ACB,BD,CD,AD 分别平分 △ABC 的内角∠ABC,外角∠ACF,外角∠EAC. 以下结论: 第 10 题图 ①AD∥BC; ②∠ACB= 2∠ADB; ③△ABD 和△ACD 都是等腰三角形. 其中正确的 结论有　 ①②③　 . 【解题密码】 网格中格点三角形面积 计算,常用 “割补法” 和 “等积法” 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 84 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 解得 k= -3, b= 315,{ ∴ y= -3x+315; (2)设利润为 W 元, W= (x- 55) ( - 3x + 315) = - 3x2 + 480x - 17325,且 55 ≤ x ≤90, ∴ 函数的对称轴为直线 x= - b 2a = 80, ∵ 二次函数图象开口向下,且 55≤x≤90, ∴ 当 x= 80 时,Wmax = -3×802 +480×80-17325 = 1875(元), ∴ 当销售单价定为 80 元时,利润最大,此时最大利润是 1875 元. 第四章　 三角形 命题点 1　 线段、角、相交线与平行线 1. B　 2. B　 3. 两点之间,线段最短　 4. 67;113　 5. A　 6. A 拓展 6-1　 同旁内角　 拓展 6-2　 ∠1 7. B　 拓展　 ∠AOC 和∠BOD　 8. (1)平分;(2)4 9. A　 【解析】如解图,∵ AB∥CD,∴ ∠CDB = ∠ABF = 60°,∵ CD⊥DE,∴ ∠CDE = 90°,∴ ∠1 = 180°- 60°- 90° = 30°. 故 选 A. 第 9 题解图 　 第 10 题解图 10. B　 【解析】解法 1:∵ AB∥DC,∴ ∠B+∠C = 180°,∵ BC∥ DE,∴ ∠C= ∠D,∴ ∠B+∠D= 180°,∵ ∠B= 145°,∴ ∠D = 35°,故选 B. 解法 2:如解图,延长 ED 交 AB 于 M 点,由题意得 AB∥ DC,BC∥DE,∴ MD∥BC,四边形 MBCD 是平行四边形, ∠B= 145°,∴ ∠MDC= 145°,∴ ∠CDE= 35°. 11. B 12. C　 【解析】如解图,∵ 重力 G 的方向竖直向下,∴ ∠α+ ∠1 = 90°,∴ ∠2 = ∠1 = 90°-25° = 65°,∵ 摩擦力 F2 的方 向与斜面平行,∴ ∠β+ ∠2 = 180°,∴ ∠β = 180° - ∠2 = 180°-65° = 115°,故选 C. 第 12 题解图 13.解:(1)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等; (2)如果有两个角相等,那么这两个角是对顶角; (3)假命题;如果有两个角相等,举例:这两个角也有可 能是同位角. 14. A　 【解析】解法 1:如解图,∵ ∠1 = 108°,∴ ∠3 = ∠1 = 108°,∵ l∥AB,∴ ∠3+∠A= 180°,∠2 = ∠B,∴ ∠A = 180° -∠3 = 72°,∵ ∠A = 2∠B,∴ ∠B = 36°,∴ ∠2 = 36°. 故 选 A. 解法 2:如解图,BC 交直线 l1 于点 C,由题意可得∠4 = ∠A= 180°-∠1 = 72°,∠5 = ∠2 = ∠B= 1 2 ∠A= 36°. 第 14 题解图 15. B　 【解析】如解图,过 E 作 EF∥CD,∵ AB∥CD,∴ EF∥ AB,∴ ∠1+∠AEF = 180°,∠3 = ∠CEF,∵ ∠1 = 150°,∴ ∠AEF= 30°,∴ ∠CEF = 45° - 30° = 15°,∴ ∠3 = 15°. 故 选 B. 第 15 题解图 16. B　 【解析】将点 A 平移到点 P,即为向上平移 3 个单位长 度,将点 B 向上平移 3 个单位长度后,点 B 不在 PQ 直线 上,∴ AB 与 PQ 不平行,选项 A 错误,连接 BC,将点 B 平 移到点 P,即为向上平移 4 个单位长度,再向右平移 1 个 单位长度,将点 C 按点 B 方式平移后,点 C 在 PQ 直线 上,∴ BC∥PQ,选项 B 正确,连接 BD、AD,并延长与直线 PQ 相交,根据垂直的意义,BD、AD 与 PQ 不垂直,选项 C、D 错误. 故选:B. 拓展　 下,1 命题点 2　 三角形及其重要线段 1. D　 【拓展设问】12(答案不唯一) 2. (1)27. 5;(2)60 3. B　 【拓展设问】6 4. (1) 9 　 【解析】 ∵ AD 是 △ABC 的中线, ∴ BD = CD, ∵ △ACD 的周长为 8,∴ AC+CD+AD = 8,∵ AC = 3,∴ BD+AD = 5,∵ AB= 4,∴ AB+BD+AD= 9,即△ABD 的周长为 9. (2)1　 【解析】∵ BD =CD,∴ S△CDE = S△BDE(等底等高),又 ∵ E 是 AD 的中点,同理可得 S△ABE = S△BDE,∴ S△CDE = S△ABE = 1. 5. A　 【解析】∵ ∠A = 60°,∠B = 45°,∴ ∠ACB = 75°,∵ DE 垂直平分 AC,∴ AD=CD,∴ ∠ACD = ∠A = 60°,∴ ∠BCD = ∠ACB-∠ACD= 75°-60° = 15°,故选 A. 6. D　 【解析】 ∵ 点 D,E 分别是 AC,BC 的中点, ∴ DE 是 △ABC 的中位线,∴ DE∥AB,∴ ∠B = ∠CED = 70°,∴ ∠C = 180°-∠A-∠B= 180°-45°-70° = 65°,故选 D. 变式 6-1　 C　 【解析】解法 1:∵ AD 是△ABC 的中线,△ABC 的面积是 10 cm2 ,∴ △ABD 的面积= △ABC 的面积× 1 2 = 5 (cm2 ),∵ E 是 AB 的中点,∴ △BDE 的面积 = △ABD 的面 积× 1 2 = 2. 5(cm2 ),故选 C. 解法 2:∵ AD、CE 是△ABC 的中线,∴ 点 E 是 AB 的中点, 点 D 是 BC 的中点,DE 为△ABC 的中位线,∴ DE AC = BE AB = BD BC = 1 2 ,∴ △BDE∽△BCA,∴ △BDE 的面积为 = 1 4 ×10 = 2. 5( cm2 ) . 变式 6 - 2　 2 　 【解析】如解图,连接 AE,∵ M,N 分别是 EF,AF 的中点,∴ MN 是△AEF 的中位线,∴ MN = 1 2 AE, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 ∵ 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,∠B = 90°,∴ AE = AB2 +BE2 = 4+BE2 ,∴ 当 BE 最大时,AE 最大,此时 MN 最大,∵ 点 E 是 BC 上的动点,∴ 当点 E 和点 C 重合 时,BE 最大,即 BC 的长度,此时 AE= 4+22 = 2 2 ,∴ MN = 1 2 AE= 2 ,∴ MN 的最大值为 2 . 变式 6-2 题解图 7. 100°　 【解析】∵ CD 是边 AB 上的高,∴ ∠CDB = ∠CDA = 90°,∵ ∠BCD = 30°, ∠ACB = 80°, ∴ ∠ACD = ∠ACB - ∠BCD= 50°,∠CBD = 90° -∠BCD = 60°,∴ ∠CAB = 90° - ∠ACD= 40°, ∵ AE 是 ∠CAB 的平分线, ∴ ∠EAB = 1 2 ∠CAB= 20°,∴ ∠AEB= 180°-∠EAB-∠EBA= 100°. 8. B　 【解析】∠1 = 180°-( ∠B+∠ADB),∠ADB = ∠A+∠C, ∴ ∠1 = 180°-(∠B+∠A+∠C) = 180°-(25°+35°+50°) = 180°-110° = 70°,故选 B. 9. D　 【解析】解法 1:如解图 ①,由勾股定理可知, AC = 22 +32 = 13 ,S△ABC = S正方形MNCP -S△AMB -S△BNC -S△PAC = 3× 3- 1 2 ×1×2- 1 2 ×1×3- 1 2 ×2×3 = 7 2 ,则 S△ABC = 1 2 AC·BD = 7 2 ,∴ BD= 7 13 13 . 图① 　 　 　 图② 第 9 题解图 解法 2:如解图②,连接 BP 交 AC 于点 M,由 BN = AP = 2, ∠BNP= ∠APC = 90°,PN = CP = 3,得△BNP≌△APC,∴ ∠BPN= ∠ACP,∵ ∠CAP+∠ACP = 90°,∴ ∠BPN+∠CAP = 90°,∴ ∠AMP= 90°,∴ BP⊥AC,∴ 点 M 与点 D 重合,易 得△PAM∽△PBN,∴ PM PN = AP BP ,∵ BP = 22 +32 = 13 ,∴ PM 3 = 2 13 ,∴ PM= 6 13 13 ,∴ BM=BD= 7 13 13 . 10. ①②③　 【解析】∵ AD 平分∠EAC,∴ ∠EAC = 2∠EAD, ∵ ∠EAC = ∠ABC + ∠ACB, ∠ABC = ∠ACB, ∴ ∠EAD = ∠ABC,∴ AD∥BC, 故 ① 正确; ∵ AD∥BC, ∴ ∠ADB = ∠DBC,∵ BD 平分 ∠ABC, ∠ABC = ∠ACB, ∴ ∠ABC = ∠ACB = 2 ∠DBC, ∴ ∠ACB = 2 ∠ADB, 故 ② 正 确; 在 △ADC 中, ∠ADC + ∠CAD + ∠ACD = 180°, ∵ CD 平分 △ABC 的外角∠ACF,∴ ∠ACD = ∠DCF,∵ AD∥BC,∴ ∠ADC= ∠DCF,∴ ∠ADC = ∠ACD,∴ AD = AC,∴ △ACD 是等腰三角形,∵ ∠ABC = ∠ACB,AD∥BC, ∴ ∠ADB = ∠DBC,∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD = ∠DBC,∴ ∠ABD = ∠ADB,∴ AB=AD,∴ △ABD 是等腰三角形. 故③正确,故 正确的结论有①②③. 命题点 3　 等腰(边)三角形的性质与判定 1. C　 变式 1-1　 50°或 20°或 80°　 变式 1-2　 6　 2. B 3. 100°　 【解析】∵ AC = AE,BC = BD,∴ 设∠AEC = ∠ACE = x°,∠BDC = ∠BCD = y°,∴ ∠A = 180° - 2x°, ∠B = 180° - 2y°,∵ ∠ACB+∠A+∠B = 180°,∠BDC+∠AEC+∠DCE = 180°,∴ ∠ACB+( 180° - 2x°) + ( 180° - 2y°) = 180°,180° - (x°+y°) = ∠DCE,∴ ∠ACB+ 360° - 2( x° + y°) = 180°,∴ ∠ACB+2∠DCE= 180°,∵ ∠DCE= 40°,∴ ∠ACB= 100°. 4. (1)6 3 ;(2)4 3 　 【解析】(1)∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABC= 60°,AB=BC=AC= 12 m,BD= 6 m,∴ CD = 6 3 m; (2)∵ ∠BED= 60°, ∴ DE = 2 3 m,CE = CD - DE = 4 3 (m) . 变式 4-1　 C 变式 4-2　 C　 【解析】如解图,过点 A 作 AD⊥BC 于 D,∵ 等 边△ABC,∴ ∠BAC = 60°,∵ AD⊥BC,∴ ∠BAD = ∠DAC = 1 2 ∠BAC = 30°, ∴ ∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = 30° + 15° = 45°,∴ ∠AED= ∠DAE = 45°,∴ AD = DE,∴ AE = 2 AD,∵ AE= 3 2 ,∴ AD = 3,在 Rt△ADB 中,∠BAD = 30°,∴ BD = 1 2 AB,∴ AB2 = BD2 +AD2 = ( 1 2 AB) 2 + 32 ,∴ AB = 2 3 ,故 选:C. 变式 4-2 题解图 5. 4　 【解析】∵ D,E 分别是△ABC 边 AB,AC 的中点,∴ BC = 2DE= 2×2 = 4,DE∥BC,∴ ∠AED= ∠C,∵ ∠AED = ∠BEC, ∴ ∠BEC= ∠C,∴ BE=BC= 4. 6. C 7. A　 【解析】在 Rt△ABC 中,AC = 3,BC = 4,∠C = 90°,由勾 股定理得: AB = AC2 +BC2 = 5, ∵ BF 平分 ∠ABC, ∴ ∠ABF= ∠FBD,∵ D,E 分别为 BC,AC 的中点,∴ DE∥AB, DE= 1 2 AB = 5 2 ,BD = 1 2 BC = 2, ∴ ∠ABF = ∠BFD, ∴ ∠BFD= ∠FBD,∴ DF = BD = 2,∴ EF = DE -DF = 1 2 ,故 选:A. 8. B　 【解析】 如解图, 延长 CD 交 AB 于 F, ∵ AD 平分 ∠BAC,∴ ∠CAD= ∠FAD,∵ AD⊥CD,∴ ∠ADC = ∠ADF = 90°,在△ADF 和△ADC 中, ∠DAF= ∠DAC AD=AD ∠ADF= ∠ADC { ,∴ △ADF≌ △ADC(ASA),∴ AF=AC= 5 cm,CD =FD,∴ BF = AB-AF = 9- 5 = 4 ( cm),∵ CD = FD,点 E 为 BC 的中点,∴ DE 是 △BCF 的中位线,∴ DE= 1 2 BF= 2 (cm),故选:B. 第 8 题解图 　 　 第 9 题解图 9. B　 【解析】 如解图,过点 M 作 MD⊥ AC 于 D. ∵ 等边 △ABC 的边长为 10,∴ AC = 10,∵ ∠ADM = 90°,∠A = 60°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41