安徽省淮南第二中学2024-2025学年高一上学期第二次月考试数学试题

淮南二中 2024级高一上学期数学试卷 一、 择题：本题共有 8 题，每 题 5 ，共 20 ．给出的四个 项中，只有一项 符 题目要求 1.已知 A= x∈Z x2-x-2≤0 ， B= x y= 1-log2x ， A∩B= ( ) A. -1,2  B. 1,2  C. 1,2  D. -1,1,2  2.下 函数中 奇函数，且最 正 期 π的函数 ( ) A. y= cos|2x| B. y= |sin x| C. y= sin π2 +2x  D. y= cos 3π 2 -2x  3.函数 f(x) = x- log 1 2 x+ 1的零点所 的区间为 ( ) A. 0, 14  B. 1 4 , 1 3  C. 1 3 , 1 2  D. 1 2 ,1  4.与函数 y= tan 2x- π4 的图 不相交的一条直线 ( ) A. x= π2 B. x=- π 2 C. x= π 4 D. x=- π 8 5.已知 log5a= 25 ，b= 2 5sin ， 2 5  c = 5， ( ) A. a< b< c B. b< a< c C. c< b< a D. a< c< b 6.函数 f(x) = cos(ωx+ φ)的部 图像如图所示， f(x)的单 减区间为 ( ) A. kπ- 14 ,kπ+ 3 4 ,k∈ Z B. 2kπ- 14 ,2kπ+ 3 4 ,k∈ Z C. k- 14 ,k+ 3 4 ,k∈ Z D. 2k- 14 ,2k+ 3 4 ,k∈ Z 7.设函数 f(x) = cos x+ π3 ， 下 结论错误的 ( ) A. f(x)的一个 期为-2π B. f(x) π2 ,π 单 减 C. f(x+ π)的一个零点为 x= π6 D. y= f(x)的图像关于直线 x= 8π 3 对称 8.方 lg x = sin x+ π3 的实数根的个数为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多 题：本题共 3 题，每 题 6 ，共计 18 .每 题给出的四个 项中，有多项符 题目要求，全部 对的得 6 ，部 对得部 ，有 错的得 0 . 9.下 结论中正 的 ( ) A. 终边经过点 a,a a≠0 的角的 α α= π4 +kπ ,k∈Z  B. 表的 针拨慢 10 钟， 针转过的角的弧 数 π3 C. 若 α 第三 角， α2 第二 角 D. 若M= x x=45°+k ⋅90° ,k∈Z ，N= y y=90°+k ⋅45° ,k∈Z ， M⊆N O x y 1 1 4 5 4 ·第 1页·共2页· 10.已知函数 f x = lgx ，0< a< b，且 f a = f b ， 下 说法正 的 ( ) A. ab= 1 B. ab= 10 C. a+ 2b的最 值为 2 2 D. a+1 2+ b+1 2> 8 11.已知函数 f(x) = sinx+ 1sinx ， ( ) A. f(x)的最 值为 2 B. f(x)的图 关于原点对称 C. f(x)的图 关于直线 x= π对称 D. f(x)的图 关于直线 x= π2 对称 三、填 题：本题共 3 题，每 题 5 ，共 15 . 12.已知 α 第二 的角， α=- 12 , α=costan 13.若P(-4,3) 角 α终边上一点, cos(α-3π)tan(α-2π) sin2(π-α) 3π2 +α cos 的值为 . 14.记函数 f x = cos ωx+φ (ω> 0,0< φ< π)的最 正 期为T，若 f(T) = 32 ，x= π 9 为 f(x)的零点， ω的最 值为 ． 四、解答题：本题共 5 题，共 77 .解答 写出文字说 、证 过 或 算步骤. 15. (13 )已知扇形AOB的 长为 10cm． (1)若这个扇形的 积为 4cm2，求扇形 心角的弧 数； (2)求该扇形的 积取得最大值时， 心角的大 及弧长． 16. (15 )已知关于 x的方 8x2+ 6kx+ 2k+ 1= 0的两个实根 sinθ cosθ. (1)求 k的值； (2)求 sinθ- cosθ的值． 17. (15 )已知函数 f(x) = sin(ωx+ φ) (ω> 0，0≤ φ≤ π)为R上的偶函数，其图 关于点M 34 π，0 对称， 且 区间 0，π 上 单 函数，求 φ ω的值． 18. (17 )已知函数 f(x) = 12 sin 2x- π 3 ,x∈R， (1)求 f(x)的最 正 期及单 增区间； (2)求 f(x) 区间 - π4 , π 4    上的最大值 最 值； 3 若 f(x) 区间 0,a 上有两个零点，求实数 a的取值 围. 19. (17 )若函数 f x  区间 m,m+1 上有意义,对于给定的 k 0<k<1 ,存 s∈ m,m+1-k ,使得 f s+k = f s , 称 f x 为 m,m+1 上的“k 等值函数”. (1) 断 f1 x = 1x ,f2 x = 1,x∈Q, 0,x∈∁RQ  1,2 上的“ 2 3 等值函数”;(直 写出结论) (2)若二次函数 f x 满足 f m = f m+1 ,证 :f x  m,m+1 上的“ 13 等值函数”; (3)证 :f x = 1-9x  - 12 , 1 2    上的“k 等值函数”, 求 k的最大值. ·第2页·共2页· 淮南二中 2024级高一上学期数学试卷 一、 择题：本题共有 8 题，每 题 5 ，共 20 ．给出的四个 项中，只有一项 符 题目要求 1.已知 A= x∈Z x2-x-2≤0 ， B= x y= 1-log2x ， A∩B= ( ) A. -1,2  B. 1,2  C. 1,2  D. -1,1,2  【答案】：C 2.下 函数中 奇函数，且最 正 期 π的函数 ( D ) A. y= cos|2x| B. y= |sinx| C. y= sin π2 +2x  D. y= cos 3π 2 -2x  3.函数 f(x) = x- log 1 2 x+ 1的零点所 的区间为 ( ) A. 0, 14  B. 1 4 , 1 3  C. 1 3 , 1 2  D. 1 2 ,1  【答案】：C 【 析】：根 题意得函数 0,+∞ 上单 增，然 根 零点存 性定理 析 断即可解出. 【解析】：∵ y= x+ 1 0,+∞ 上单 增，y=-log 1 2 x 0,+∞ 上单 增， ∴函数 f(x) = x- log 1 2 x+ 1 0,+∞ 上单 增， ∵ f 14 = 1 4 - log 12 1 4 + 1=- 3 4 < 0， f 13 = 1 3 - log 12 1 3 + 1= 4 3 - log23= log216 1 3 - log227 1 3 < 0， f 12 = 1 2 - log 12 1 2 + 1= 1 2 > 0， ∴函数 f(x) = x- log 1 2 x+ 1的零点所 的区间为 13 , 1 2 .故 ：C 4.与函数 y= tan 2x+ π4 的图 不相交的一条直线 ( C ) A. x= π2 B. x=- π 2 C. x= π 8 D. x=- π 8 5.已知 log5a= 25 ，b= 2 5sin ， 2 5  c = 5， ( ) A. a< b< c B. b< a< c C. c< b< a D. a< c< b 【答案】：C 6.函数 f(x) = cos(ωx+ φ)的部 图像如图所示， f(x)的单 减区间为 ( D ) A. kπ- 14 ,kπ+ 3 4 ,k∈ Z B. 2kπ- 1 4 ,2kπ+ 3 4 ,k∈ Z C. k- 14 ,k+ 3 4 ,k∈ Z D. 2k- 1 4 ,2k+ 3 4 ,k∈ Z O x y 1 1 4 5 4 【答案】：D ·第 1页·共4页· 【解析】：由五点 图知， 1 4 ω+ϕ= π 2 5 4 ω+ϕ= 3π 2  ，解得ω= π，ϕ= π 4 ，所以 f(x) = cos πx+ π 4 ，令 2kπ< πx+ π 4 < 2kπ+ π,k∈ Z，解得 2k- 14 < x< 2k+ 3 4 ，k∈ Z，故单 减区间为 2k- 1 4 ，2k+ 3 4 ，k∈ Z，故 D 7.设函数 f(x) = cos x+ π3 ， 下 结论错误的 ( B ) A. f(x)的一个 期为-2π B. f(x) π2 ,π 单 减 C. f(x+ π)的一个零点为 x= π6 D. y= f(x)的图像关于直线 x= 8π 3 对称 8.函数 y= f x 的图 关于 标原点成中心对称图形的充要条件 函数 y= f x 为奇函数,有 学发现可 以 其 为:函数 y= f x 的图 关于点P a,b 成中心对称图形的充要条件 函数 y= f x+a - b为 奇函数.已知函数 f x = x3+ 3x2, f -2026 + f -2025 + f -2024 +⋯+ f -1 + f 0 + f 1 +⋯ +f 2023 + f 2024 = ( D ) A. 0 B. 2024 C. 4051 D. 8102 二、多 题：本题共 3 题，每 题 6 ，共计 18 .每 题给出的四个 项中，有多项符 题目要求，全部 对的得 6 ，部 对得部 ，有 错的得 0 . 9.下 结论中正 的 ( ) A. 终边经过点 a,a a≠0 的角的 α α= π4 +kπ ,k∈Z  B. 表的 针拨慢 10 钟， 针转过的角的弧 数 π3 C. 若 α 第三 角， α2 第二 角 D. 若M= x x=45°+k ⋅90° ,k∈Z ，N= y y=90°+k ⋅45° ,k∈Z ， M⊆N 【答案】：ABD 【 析】：求出角的 表示 断A；求出旋转角的弧 数 断B；举 说 断C； 析两个 断D. 【解析】：对于A，当 a> 0时，角终边为 线 y= x(x≥ 0)，该角的 为S1= α1 α1= π4 +2k1π,k1∈Z ， 当 a< 0时，角终边为 线 y= x(x≤ 0)，该角的 为S2= α2 α2= 5π4 +2k2π,k2∈Z ， 所以所求角的 为S1∪S2={α α= π4 +kπ,k∈Z ，A正 ； 对于B， 表的 针拨慢 10 钟， 针转过的角的弧 数 π3 ，B正 ； 对于C，取 α=- 2π3 ，满足 α 第三 角，而 α 2 =- π 3 第四 角，C错误； 对于D，M= x x=(2k+1)45° ,k∈Z ，N= y y=(k+2)45° ,k∈Z ， k 整数，k+ 2 整数，而 2k+ 1 奇数，因此M⊆N，D正 . 故 ：ABD 10.已知函数 f x = lgx ，0< a< b，且 f a = f b ， 下 说法正 的 ( ) A. ab= 1 B. ab= 10 C. a+ 2b的最 值为 2 2 D. a+1 2+ b+1 2> 8 【解析】：由题意知，0< a< 1< b，所以 lga = lgb ，即 lgab= 0，解得 ab= 1， 故A正 ；B错误； a+ 2b≥ 2 a ⋅2b= 2 2，当且仅当 a= 2b时等号成 ，又 0< a< 1< b， 所以 a+ 2b> 2 2，故C错误； ·第2页·共4页· 因为 a+1 2+ b+1 2= a2+ b2+ 2 a+b + 2≥ 2ab+ 4 ab+ 2= 8， 当且仅当 a= b时等号成 ，又 0< a< 1< b，所以 a+1 2+ b+1 2> 8，故D正 . 【答案】：AD. 11.已知函数 f(x) = sinx+ 1sinx ， ( BD ) A. f(x)的最 值为 2 B. f(x)的图 关于原点对称 C. f(x)的图 关于直线 x= π对称 D. f(x)的图 关于直线 x= π2 对称 三、填 题：本题共 3 题，每 题 5 ，共 15 . 12.已知 α 第二 的角， α=- 12 , α=costan - 2 55 【解析】：∵ tanα=- 12 ，∴ cosα=- 2 5 5 13.若P(-4,3) 角 α终边上一点, cos(α-3π)tan(α-2π) sin2(π-α) 3π2 +α cos 的值为 . 【答案】：- 259 14.记函数 f x = cos ωx+φ (ω> 0,0< φ< π)的最 正 期为T，若 f(T) = 32 ，x= π 9 为 f(x)的零点， ω的最 值为 3 ． 【答案】：3 四、解答题：本题共 5 题，共 77 .解答 写出文字说 、证 过 或 算步骤. 15. (13 )已知扇形AOB的 长为 10cm． (1)若这个扇形的 积为 4cm2，求扇形 心角的弧 数； (2)求该扇形的 积取得最大值时， 心角的大 及弧长． 16. (15 )已知关于 x的方 8x2+ 6kx+ 2k+ 1= 0的两个实根 sinθ cosθ. (1)求 k的值； (2)求 sinθ- cosθ的值． 【解析】：(1)由方 8x2+ 6kx+ 2k+ 1= 0的两个实根 sinθ cosθ，得 sinθ+ cosθ=- 3k4 ，sinθcosθ= 2k+1 8 .由 sin 2θ+ cos2θ= 1及 (sinθ+ cosθ)2= 9k 2 16 ， 得 1+ 2sinθcosθ= 9k 2 16 ，所以 1+ 2× 2k+1 8 = 9k2 16 ，即 9k 2- 8k- 20= 0， 得 k= 2或 k=- 109 .当 k= 2时，Δ< 0，故舍去；当 k=- 10 9 时，满足条件．所以 k=- 10 9 . (2)由 (1)得 sinθ+ cosθ= 56 ，sinθcosθ=- 11 72 . (sinθ- cosθ)2= sin2θ+ cos2θ- 2sinθcosθ= 1+ 2× 1172 = 47 36 ， 所以 sinθ- cosθ=± 476 . 17. (15 )已知函数 f(x) = sin(ωx+ φ) (ω> 0，0≤ φ≤ π)为R上的偶函数，其图 关于点M 34 π，0 对称， 且 区间 0，π 上 单 函数，求 φ ω的值． 18. (17 )已知函数 f(x) = 12 sin 2x- π 3 ,x∈R， (1)求 f(x)的最 正 期及单 增区间； ·第3页·共4页· (2)求 f(x) 区间 - π4 , π 4    上的最大值 最 值； 3 若 f(x) 区间 0,a 上有两个零点，求实数 a的取值 围. 19. (17 )若函数 f x  区间 m,m+1 上有意义,对于给定的 k 0<k<1 ,存 s∈ m,m+1-k , 得 f s+k = f s , 称 f x 为 m,m+1 上的“k 等值函数”. (1) 断 f1 x = 1x ,f2 x = 1,x∈Q, 0,x∈∁RQ  1,2 上的“ 2 3 等值函数”;(直 写出结论) (2)若二次函数 f x 满足 f m = f m+1 ,证 :f x  m,m+1 上的“ 13 等值函数”; (3)证 :f x = 1-9x  - 12 , 1 2    上的“k 等值函数”, 求 k的最大值. 【解析】：(1)f1 x 不 1,2 上的“ 23 等值函数”，f2 x  1,2 上的“ 2 3 等值函数”. (2)证 :因为 f x  二次函数, f m = f m+1 , 所以 f x 的对称轴为 x= m+m+12 = 2m+1 2 , 若存 s∈ m,m+ 23    , 得 f s+ 1 3 = f s , s+ 13 +s 2 = 2m+1 2 , 得 s=m+ 13 ∈ m,m+ 2 3    , 所以 f x  m,m+1 上的“ 13 等值函数”. (3)证 :因为 f - 12 = 2 3 , 当 x> 0时, f x = 9x- 1,令 9x- 1= 23 ,得 9 x= 53 ,x= log9 5 3 = log95- 1 2 , 所以 f - 12 = f - 1 2 +log95 , 所以 f x  “k 等值函数”, k的一个值为 log95， 下 证 k的最大值为 log95, 假设存 log95< k< 1, 得 f x  - 12 , 1 2    上的“k 等值函数”, 存 s∈ - 12 , 1 2 -k    , 得 f s+k = f s , 因为 1 2 - k< 0,f x  - 1 2 , 1 2 -k    上单 减,所以 f s = 1- 9 s≤ f - 12 = 2 3 , 因为 log95< k< 1, s+ k> 0,所以 f s+k = 9s+k- 1≤ 23 ,即 9 s+k≤ 53 , 又 s≥- 12 ,k> log95,所以 s+ k> log95- 1 2 ,9 s+k> 9log95- 1 2 = 53 ,矛盾, 所以 k的最大值为 log95. ·第4页·共4页·