（1）空间向量及其线性运算-2024-2025学年高二数学寒假作业（人教A版（2019））

（1）空间向量及其线性运算 1.在四棱柱中，，，则( ) A. B. C. D. 2.已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为( ) A. B. C. D. 3.在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为Q点，点M满足，则( ) A. B. C. D. 4.关于空间向量，，，下列运算错误的是( ) A. B. C. D. 5.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点，点N为BC中点，则等于( ) A. B. C. D. 6.如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则( ) A. B. C. D. 7.（多选）如图，四棱柱中，M为的中点，Q为上靠近点的五等分点，则( ) A. B. C. D. 8.（多选）已知四面体ABCD中，M，N分别是棱CD，BC的中点，则( ) A. B. C. D. 9.（多选）下列命题为真命题的是( ) A.若空间向量，，满足，则 B.若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C.若空间向量，，则 D.对于任意空间向量，，必有 10.在四棱锥中，底面是平行四边形，点E满足，点F满足，若P，A，C，F四点共面，则_______. 11.有下列命题: ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若，，为不共线的非零向量，，，则； ④若向量，，是三个不共面的向量，且满足等式，则. 其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上). 12.如图，在棱长为2的正方体中，F是的中点，则______________. 13.如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 14.如图所示，已知是平行六面体. (1)化简，并在图中标出其结果； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值. 15.如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点. (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及直线与所成角的余弦值. 答案以及解析 11.答案：D 解析： ，故A、B错误； ，故C错误、D正确.故选：D. 2.答案：C 解析：四面体ABCD是正四面体， ，且、、三向量两两夹角， 点E，F分别是BC，AD的中点，，， 则， 故选:C. 3.答案：B 解析：由题知，在正四面体中，因为平面，所以Q是的中心，连接，则， 所以 故选：B 4.答案：D 解析：由数量积运算的交换律可得，选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量， 与不一定相等，选项D错误.故选：D. 5.答案：A 解析：因为点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点，所以，所以， 因为点N为BC中点，所以，所以. 故选:A 6.答案：B 解析：如图， ，故选：B 7.答案：BD 解析：， 即，故A错误、B正确； ， 即，故C错误，D正确.故选：BD. 8.答案：BD 解析：如图所示， A.，所以该选项错误； B.，所以该选项正确； C.，所以该选项错误； D.，所以该选项正确.故选：BD. 9.答案：BD 解析：若为零向量，有，但不一定成立，A错: 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B对； 若为零向量，，，但不一定成立，C错: 由，， 而，所以，D对.故选:BD 10.答案：或 解析：因为，所以， 则 ， 因为P，A，C，F四点共面， 所以，解得 故答案为:. 11.答案：②③④ 解析：①中，若，根据共线向量的定义，可得或A，B，C，D四点共线， 所以①不正确； ②中，若，且和由公共点点，所以A，B，C三点共线，所以②正确； ③中，由，可得，所以，所以③正确； ④中，由，可得，所以，所以④正确. 故答案为:②③④. 12.答案：6 解析：棱长为2的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， 故选： 13.答案：（1） （2）0 解析：（1）因为点E为的中点， 所以. （2）因为， 所以 14.答案：(1)答案见解析 (2)，，. 解析：(1)取的中点G，过G作DC的平行线GH，使，连接AH， 则； 其结果如图所示. (2). ，，. 15.答案：(1)答案见解析 (2)； 解析：(1)由题意知 . (2)因为四边形是正方形，，， 所以， ，， 所以 ， 即线段的长为. 因为， 所以 ， 又 ， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$