期末考前满分冲刺之中等易错题 -2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

期末考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、圆内接四边形 1．如图，四边形内接于，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形的两个对角互补求得，再根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，点、、是上三点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；在上取一点E，连接，根据圆周角定理可求，再根据圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图，在上取一点E，连接， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 故选：B． 3．如图，圆内接四边形中，，连接，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由题意知，，则，，进而可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 故选A． 4．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据，可得，然后根据三角形的内角和定理求出，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是的内接四边形，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，已知四边形内接于，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补求出，再根据邻补角求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为： 6．如图，上有A，B两点，点C为上一点，点P是外一点，且，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆内接四边形对接互补，等边对等角，三角形内角和定理等知识，解题的关键是利用圆内接四边形对接互补求出的度数． 根据圆周角定理和圆内接四边形对角互补，求出的度数，再利用所给条件找到角与角之间的关系，在中通过三角形内角和关系，得出数量关系，从而求解． 【详解】解：如图，在优弧上找一点D，连接，，， ∴ ∴在圆内接四边形中， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 类型二、正多边形与圆 1．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 本题考查了正多边形与圆，含度角的直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】如图，过作于， 圆的内接正十二边形的圆心角为， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：B． 2．如图，正六边形中，P是边的中点，连接，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形内角和公式，勾股定理，三线合一，连接，过点F作，设正六边形的边长为a，先得出，再求出，结合勾股定理列式计算，，即可作答． 【详解】解：如图，连接，过点F作，设正六边形的边长为a， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在正六边形中，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中， ， ∴ 故选：A． 3．一个半径为的圆内接正六边形的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的内接正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键．过作于，根据圆内接正多边形的特点，求半径为的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积，先利用等边三角形的判定及性质得，再利用勾股定理先求出，进而求得三角形的面积从而即可求解． 【详解】解：如图：过作于， 由题意可知，求半径为的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积，，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴该正六边形的面积为：， 故选：． 4．若一个正多边形的内角和为540度，则这个正多边形的中心角为 度． 【答案】72 【分析】本题主要考查了多边形的内角和和正多边形的中心角，首先设此多边形为n边形，根据题意得：，即可求得，再由除以5，即可求得答案． 【详解】解：设此多边形为n边形， 根据题意得：， 解得：， ∴这个正多边形的中心角为：． 故答案为：72． 5．已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆半径为 ，内接正六边形的面积为 ． 【答案】 4 【分析】本题考查的是圆与正多边形的性质，勾股定理的应用，设的半径为，如图，连接，过作于，再进一步求解内接正三角形的面积，如图，连接，过作于，再进一步求解圆的内接正六边形的面积，再利用同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，再建立方程求解即可． 【详解】解：设的半径为， 如图，连接，过作于， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴内接正三角形的面积． 如图，连接，过作于， ∵六边形是的内接正六边形 ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴圆的内接正六边形的面积． ∵一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为， ∴， ∴（负值舍去）， ∴内接正六边形的面积为． 故答案为：， 6．如图，是正六边形的内切圆，分别切、于点M、N，P是优弧上的一点，则的度数为 ． 【答案】30 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及正多边形内角和的计算，掌握正六边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正六边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由四边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是正六边形的内切圆，分别切于点， ， 是正六边形， ， ， ， 故答案为：30． 类型三、一元二次方程的实数根 1．已知方程，则方程的根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程的两个实数根情况不确定 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，能够熟练运用判别式判断根的情况是解题关键．利用判别式判断二次方程的根的情况即可． 【详解】， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 2．一元二次方程的根的情况为（   ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断即可． 【详解】解：一元二次方程根的判别式为， 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 3．若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得的范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： 4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 即且， 解得且， ∴a的取值范围为且． 故答案为：且． 5．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该方程的一个实数根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是对根的判别式的掌握与灵活运用． （1）将代入原方程可求出m的值； （2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：将代入原方程得： ， 解得：， 的值为； （2）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 是关于的一元二次方程， ， 的取值范围为：且． 6．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值； (2)若方程有两个不相等实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的根，掌握根的判别式是解题的关键． （1）将代入方程求解即可； （2）根据根的判别式大于即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）解：时，原方程为：， ； （2）关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ， ． 类型四、一元二次方程的应用 1．南安市2023年底有20万户用户，计划到2025年底全市用户数累计达到72.8万户．设全市用户数年平均増长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，增长率问题，能够正确的表示变化后的量是解题的关键．根据2025年底全市用户数累计达到72.8万户列方程即可．设全区用户数年平均增长率为x，则2024年底有万用户，2025年底有万用户，则可列方程为 ． 【详解】解：设全区5G用户数年平均增长率为x， 由题意得， ． 故选C． 2．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是： 故选：B． 3．诺如病毒是一种传染性比较强的病毒，会引起病毒性胃肠疾病，具有发病急、传播速度快、涉及范围广等特点，在学校、游戏厅等聚集性场所易引起暴发．假设有一个人感染了该病毒，经过两轮传染后共有人感染该病毒，则每轮传染中平均一个人传染了 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设每轮传染中平均一人传染人，根据题意列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人，则第一轮有人感染，第二轮有人感染， 根据题意可得： 解得：或（不符题意，舍去）， 故答案为：． 4．一个矩形的长比宽多，面积是，设矩形的长为，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设矩形的长为，则矩形的宽为，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设矩形的长为，则矩形的宽为，根据题意： ， 故答案为：． 5．粤港澳大湾区花展期间，在某盆栽销售处发现，某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价元． (1)降价后平均每天卖出 盆；（用含的代数式表示） (2)供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（营销问题），列代数式，因式分解法解一元二次方程等知识点，理解题意，根据题目中蕴含的等量关系正确列出方程并求解是解题的关键． （1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的销量”列式即可； （2）根据“总盈利每盆盈利销售数量”，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得： 降价后平均每天卖出：（盆）， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ， 整理，得：， 解得：，， 又要让购买者得到实惠， ， 答：每盆应降价元． 6．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的宽为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)16米或20米 (2)羊圈的面积不能达到．理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用： （1）羊圈的宽为x米，则羊圈的长为米，根据面积为列一元二次方程，解方程即可； （2）当面积为时：，利用根的判别式判断该方程有没有实数根，即可求解． 【详解】（1）解：设羊圈的宽为x米，当面积为时： ， 整理得， 解得，， 即羊圈的宽为16米或20米时，能围成一个面积为的羊圈． （2）解：羊圈的面积不能达到．理由如下： 设羊圈的宽为x米，当面积为时： ， 整理得， ， 该方程没有实数根， 羊圈的面积不能达到． 类型五、三角函数的应用 1．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（    ） A．24米 B．18米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设过点A的水平线于交于点E，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】解：设过点A的水平线于交于点E，如图， 由题意知：四边形是矩形米，， 在中，， 在中，, ∴ ∴ ∴， 解得（米）， 故选：D． 2．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若树高米，则点，之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．16米 【答案】B 【分析】此题考查了三角函数的应用，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键． 首先根据得到，然后利用得到，利用即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 在中，， ， 在中，， ， ， 米， 故选：B． 3．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．则塔的高度为 ．（取，取） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得，然后设，在中，利用正切的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 设， ∴，， 在中，，即， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则塔的高度为， 故答案为：． 4．如图，为了测量河宽，从处测得对岸的夹角，从处测得对岸C的夹角，点和点位于点的两侧，测得米，则点到的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，首先过点作，设米，把、用含的代数式表示出来，可得方程，解方程求出点到的距离. 【详解】解：如下图所示，过点作， 设米， ， 米， 在中，， ， ， ， ， 解得：， 点到的距离为米． 故答案为： ． 5．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 【答案】点A到地面的距离的长约为27米 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设米． ， ， ， 解得， （米）； 答：点到地面的距离的长约为27米． 6．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度均等于，且与在同一条直线上． (1)如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角，求出此时拉杆把手A点距离地面的高度； (2)如图2，当拉杆伸出两节（）时，此时拉杆把手A点距离地面高度与图1相同．求出此时与地面夹角的度数．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是关键． （1）过点A作，，由可求解； （2）过点A作，由可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作，， 在中， ∵， ∴， 解得 拉杆箱把手A点距离地面； （2）解：如图，过点A作， ，， 在中， ∵， ∴． 类型六、相似三角形的性质与判定 1．如图，在中，，且分别交于点D，E，若，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用相似三角形的性质解答问题． 根据题意可以得到，然后根据题目中的条件即可推出选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：， ， ， ，故A说法正确，不符合题意； ，故D说法错误，符合题意； ，故B说法正确，不符合题意； ， ∴，故C说法正确，不符合题意； 故选：D． 2．如图，已知菱形的面积是24，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，则的面积为（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确的作出辅助线，技巧性较强． 延长交延长线于点，则，证明，即可得出，根据菱形的面积，求出的面积，然后可得出的面积． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， ∵点F是边的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点是中点， ∴， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴的面积为6， ∴的面积为， 故选：A． 3．如图，如果，，，那么的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查相似三角形性质，三角形内角和定理．根据题意利用可得，再利用内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．已知两个相似三角形的周长比为，它们的面积之差为，则较小的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，列出方程解答即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设较小的三角形的面积为，则较大的三角形的面积为， ∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个相似三角形的面积比为， 即， 即， 解得， ∴较小的三角形的面积为， 故答案为：． 5．如图，在中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三线合一定理，先由三线合一定理得到，再由垂直的定义推出，再由，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 6．如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：； 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，首先证明四边形为平行四边形，从而得到，于是得到，又因为，从而可证明． 【详解】证明：∵，是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 类型七、网格中的三角函数 1．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理．取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理可证得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图，取格点D，连接，    根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点D，连接，根据题意可得，，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】如图：延长到点D，连接 由题意得∶， ， ∴ 故选：B． 3．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处， ． 【答案】/ 【分析】解法一：如图，取格点，连接，首先根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，且，然后根据正弦的概念求解即可； 解法二：如图：先分别作的垂直平分线确定的外接圆，由圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而得到，然后根据勾股定理结合网格可得、，最后根据正弦的定义求得即可． 【详解】解：解法一：如图，取格点，连接 ∵，， ∴，， ∴是直角三角形，且 ∴． 故答案为：； 解法二：如图：先分别作的垂直平分线确定的外接圆， 由圆周角定理可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理以及逆定理，等腰三角形的性质，坐标与图形，正弦的定义等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键． 4．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为 ．    【答案】 【分析】根据等积法求出边的高，结合勾股定理及正弦定义直接求解即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查三角函数，勾股定理，解题的关键是根据等积法求出边的高． 5．【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形． (1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为___________． (2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点和和相交于点，结合下面的分析，直接写出的值为___________． (3)如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，则的值为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，交延长线于点，由图可知点在格点上，由勾股定理可得，然后在中计算即可； （2）先证明四边形为平行四边形，可得，由平行线的性质可得，即有，由勾股定理可分别计算的三边，根据勾股定理逆定理可得，再由，求解可得答案． （3）取格点，连接，先证明四边形为平行四边形，可得，由平行线的性质可得，由勾股定理可分别计算的三边，根据勾股定理逆定理可得，即为等腰直角三角形，即有，由，即可得答案． 【详解】（1）解：如下图，过点作，交延长线于点， 由图可知点在格点上，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如下图，取格点，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由勾股定理可得，，， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了格点三角形、平行线的性质、平行四边形的判定和性质，勾股定理逆定理，勾股定理、等腰三角形，锐角三角函数等知识，解题关键是运用转化思想和数形结合的思想分析问题． 6．如图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点和点P均在格点上．请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图①中画一条以P为端点的射线，使其平分线段，点C在线段上； (2)在图②中画一条以P为端点的射线，使其分线段为1：3两部分，点D在线段上； (3)在图③中画一条以P为端点的射线，使，点E在线段上． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； (3)图见解析； 【分析】本题考查网格中作图，矩形，相似三角形，平行四边形，解直角三角形等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）取格点，连接交线段于点，点即为所求； （2）取格点，连接，交线段于点，点即为所求； （3）取格点，连接交于点，点即为所求． 【详解】（1）如图所示，取格点，连接交线段于点，点即为所求 四边形为矩形，为矩形的对角线， 点平分线段． （2）如图所示，取格点，连接，交线段于点，点即为所求； ， ， 又， ， 点分线段为两部分． （3）如图所示，取格点，连接交于点，点即为所求， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点即为所求点． 类型八、切线的证明 1．已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理、垂径定理、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，由等边对等角得到，利用圆周角定理得到，利用三角形内角和定理，求得，即可证明直线是的切线； （2）根据垂径定理得到，根据含度角的直角三角形的性质，得到，根据勾股定理计算，由，得出答案即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接， ∵是的直径，，垂足为，的半径为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，点为的下面半圆的中点，连接交于，若． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，由，可得，根据，推出，根据垂径定理可得，推出，即可证明； （2）由，可得，设半径为，则，在中，根据勾股定理求出，进而求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 点为的下面半圆的中点，， ，即， ， ，即， 是的切线； （2）解：， ， 设半径为，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ， ， ． 3．如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接，由角平分线，等边对等角可得，，可证，进而可得，进而结论得证； （2）如图2，作于点I， 则，则四边形是矩形，，，，由勾股定理得，，即，计算求解，进而可求直径． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图2，作于点I， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴求的直径为． 【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线，等边对等角，平行线的判定，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握切线的判定，角平分线，等边对等角，平行线的判定，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键． 4．如图，在中，，以的边为直径作，交于点．过点作，垂足为点． (1)试证明是的切线； (2)若的半径为5，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等． （1）由直径所对的圆周角是直角可得，再由等腰三角形的性质可得D为中点，根据三角形中位线定理可得，由平行线的性质得，再根据切线的判定定理即可得证； （2）由（1）知，，利用勾股定理求得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接、，    ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴D为中点， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知，点D为中点， ∴，     ∵的半径为5， ∴， ∴，     ∴． 5．如图，的弦是的中点，连接并延长交于点D，交于于点F，过点D作，与的延长线交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由垂径定理得，即，再由得，即可得出结论； （2）由且得四边形是平行四边形，得，再由圆周角定理得，即可得； （3）由已知可得，再由勾股定理得，设圆的半径为r，则，由勾股定理得，有，解方程进而可得，再证得，再由即可得解． 【详解】（1）证明：是的中点， ∴由垂径定理得：，即， 又∵， ， 为半径， 是的切线； （2）证明：∵且， ∴四边形是平行四边形， ， 和是同弧所对的圆周角， ， ； （3）解：如图，连接，由（2）知四边形是平行四边形， ， 又是的中点 ， 在中，由勾股定理得， ， 设圆的半径为r，则， 在中，由勾股定理得，有， 解得：，则， ， ， ∴在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，平行四边形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质． 6．如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)8． 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：设， 在中，，， ， 由勾股定理，得：， 解得：， ， ． 类型九、二次函数的应用 1．某商场要经营一种新上市的文具，进价为元/件．试营销阶段发现：当销售单价为元时，每天的销售量是件；销售单价元时，每天的销售量为件．其中每天的销售量是售价的一次函数． (1)求这种文具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？ (3)若商店想要每天获利，售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)元 (3)或元 【分析】本题考查一次函数和二次函数，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键， （1）设一次函数关系式为，根据题意分别将，代入即可得到函数关系式； （2）设销售利润为，根据题意得，将代入得到，再将函数式变成顶点式，可得到当时，有最大值， 进而得到答案； （3）由题可得，即，解方程即可得到文具的定价． 【详解】（1）解：设一次函数关系式为， 由题意可得，， 解得：，， ∴所求函数关系式为． （2）解：设销售利润为，根据题意得， ， ∴当时，有最大值， ∴销售单价为元时，该文具每天的销售利润最大． （3）解：根据题意可得：， ∴， 解得：或． ∴商店想要每天获利，售价应定为或元． 2．如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地面竖直高度为．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． (1)求外边缘抛物线的函数表达式； (2)求内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的取值范围是 【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及数形结合的思想是解题的关键． （1）根据题意可得是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式； （2）根据对称轴为直线可得点的对称点为，则是由向左平移得到的，即可求出点B的坐标； （3）如图：当时，可得点的纵坐标为；令则结合可得；由当时，则随的增大而减小，然后分、、三种情况确定x的取值范围，进而确定的最大值和最小值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得是外边缘抛物线的顶点， 设． 又 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数表达式为． （2）解：的对称轴为直线， 点的对称点为， 是由向左平移得到的， ． 令，即，解得或（舍去）， 点的坐标为， 点的坐标为． （3）解：， 点的纵坐标为， 令，即，解得：． ， ． 当时，随的增大而减小， 当时，要使，则． 当时，随的增大而增大，且时，， 当时，要使，则． ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为． 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． 3．如图，巴黎奥运会中某跳水运动员进行10米跳台跳水，水面边缘点，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处点． (1)求运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式； (2)若运动员在距水面高度5米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误，若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点E的水平距离为5米，该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数应用，读懂题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为，将代入解析式求出y后即可判断． 【详解】（1）解：由题意知：为抛物线的顶点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入解析式得， ， 抛物线的解析式为； （2）解：由题意，当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为， 将代入，得， ， 该运动员此次跳水失误了． 4．素材一：如图（1），施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）． 素材二：施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为1米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高4米的特种车辆？请通过计算说明； (3)为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 【答案】(1)解析式 (2)能，说明见解析 (3)20米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题知，当时，，而，即可得出结论； （3）设，则，根据矩形的性质得出，，设，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点， ∴点，顶点， 设抛物线的解析式为． 把点，点代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 能同时并行两辆宽米、高4米的特种车辆． （3）解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则   ∴ ∵， ∴当时，l有最大值为． 答：三根木杆的长度和的最大值是米． 5．如图，张大伯准备利用一面墙和一些竹篱笆围成一个矩形养殖场，且中间用竹篱笆隔开．已知竹篱笆的总长为，墙长为，设养殖场的一边长为，面积为． (1)求S与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当的长是多少米时，围成的养殖场面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1) (2)时，围成的养殖场面积最大，最大面积为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． （1）根据题意，花圃的宽为，则花圃的长为，结合矩形面积公式即可获得与的函数关系式；根据题意，墙的最大可用长度为，即可求得值的取值范围； （2）由函数解析式，可知该函数图像开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，然后结合值的取值范围，即可获得答案． 【详解】（1）解：由题意知养殖场的长为， 则． ∵， ∴， ∴S与的函数关系式为． （2）解：由题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，S随的增大而减小． 又∵， ∴当时，S的值最大， 即时，围成的养殖场面积最大，最大面积为． 6．如图，在等腰直角中，，，是的中线．动点从点出发以的速度沿折线向终点运动．过点作于点，以为边向右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为． (1)当点在线段上运动时，的形状是________，_______．（用含的代数式表示）． (2)当点落在边上时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)等腰直角三角形， (2) (3) 【分析】（1）根据直角三角的性质可得，，从而得到，再由，可得是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得； （2）根据题意可得，再证得是等腰直角三角形形，可得．从而得到，即可求解； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴，, ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，（负值已舍去） 故答案为∶ 等腰直角三角形，， （2）解：如图2，当点落在边上时，， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， 即当点落在边上时，． （3）解：∵∵，， ∴，， ∴， ∵动点从点出发以的速度沿折线向终点运动． ∴动点到达时间为，到底到达时间为 ①当时，如图，点P在上，正方形在内部， 正方形与重叠部分图形的面积是正方形， 由（1）得：， ， ②当时，如图3-2，点P在上，正方形的顶点N在外，重叠部分是多边形， 同理（2）可得是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴正方形与重叠部分图形（即多边形）的面积：， ③当时，如图3-3，点P在上，正方形的顶点N在外，同理可得、、是等腰直角三角形， 正方形与重叠部分图形（即等腰直角）的面积 ∴，即点与点B重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，关于的函数解析式为． 【点睛】本题考查了函数解析式、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想． 类型十、无刻度尺作图 1．如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出；（点与点是对应点） (2)设小正方形的边长为，在（1）的条件下，求点转过的路径的长度和扇形的面积；（结果保留） (3)在图2中，仅用无刻度直尺在线段上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)点转过的路径的长度为；扇形的面积为 (3)见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，平行线分线段成比例，弧长公式和扇形面积． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求得的长，再利用弧长公式和扇形面积公式求解即可； （3）取格点D，连接交于点P，即可得出答案． 【详解】（1）解：为所求作的三角形； ； （2）解：， 点转过的路径的长度； 点转过的扇形的面积； （3）解：点P即为所求作的点． ∵，，， ∴． 2．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点、均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中．画出的中线： (2)图②中，在的边上找一点，连接，使； (3)图③中．在的边上找一点，连接，使的面积为1． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题考查了网格作图，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点E、F，连接，交于点D，利用矩形的性质得到点D是的中点，连接即可； （2）取格点D、E，连接交于点F，连接，，得根据相似三角形的性质，即可得； （3）取格点D、E、F，H，连接，交于点O，取格点M，连接，交于点G，连接，根据，得，根据与等高，得． 【详解】（1）如图所示：即为所求， （2）如图所示：即为所求， （3）如图所示：即为所求， 3．图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画的高． (2)在图②中画的中位线EF，使点E、F分别在边、上． (3)在图③中画，使，与的相似比为，且于点M． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识． （1）取点右边3格的点，连接与交点即为，此时线段为的高； （2）找出、的中点即可； （3）在直线上找一点G，使得，再过作的平行线，再作于点M，与平行线交点即为． 【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）解：如图②中，线段即为所求； （3）解：如图③中，即为所求． 4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为中线作，使； (2)在图②中，以为中线作，使； (3)在图③中，以为中线作，使为钝角且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查应用与设计作图，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形； （2）根据直角三角形的判定三角形中线的定义画出图形； （3）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形； 【详解】（1）解：使，即让是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，过点作的垂线，使为中点即可； （2）解：在点正下方与点对齐的地方找到点，过点画直线使为中点即可得到点； （3）解：过点画斜线使为中点找到，连接起来即可使； 5．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，其顶点称为格点．点A、都在格点上，只用无刻度的直尺，分别在网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．    (1)在图①中，以为斜边画直角（点在格点上），使得 ； (2)在图②中，以为一直角边画等腰直角（点在格点上）．使得； (3)在图③中，以为一直角边画（点在格点上），在上取点，使得 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）找到的格点顶点，即可求解； （2）根据勾股定理与网格的特点找到格点，使得； （3）根据网格的特点取格点，连接交于点，使得，则，点即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；   ； （2）解：如图所示，点即为所求；   ； （3）解：如图所示，取格点，连接交于点，使得，则，点即为所求；   ． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格，等腰直角三角形的判定，正切函数的定义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数的定义，勾股定理与网格，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 6．如图，正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1的正六边形内部作一点，连接，使得． (2)在图2的正六边形内部作一点，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正六边形的性质、锐角三角函数等知识，掌握正六边形的性质是解答的关键． （1）连接、，设交点为M，根据正六边形的性质可得，可得点M即为所求； （2）连接，，设交点为N，可得，，，则，由可得结论． 【详解】（1）解：如图1，点M为所求作； （2）解：如图2，点N即为所求作： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、圆内接四边形 1．如图，四边形内接于，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点、、是上三点，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，圆内接四边形中，，连接，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为 ． 5．如图，已知四边形内接于，，则的度数是 ． 6．如图，上有A，B两点，点C为上一点，点P是外一点，且，，则的度数为 ． 类型二、正多边形与圆 1．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（   ） A． B．3 C． D． 2．如图，正六边形中，P是边的中点，连接，则为（   ） A． B． C． D． 3．一个半径为的圆内接正六边形的面积等于（   ） A． B． C． D． 4．若一个正多边形的内角和为540度，则这个正多边形的中心角为 度． 5．已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆半径为 ，内接正六边形的面积为 ． 6．如图，是正六边形的内切圆，分别切、于点M、N，P是优弧上的一点，则的度数为 ． 类型三、一元二次方程的实数根 1．已知方程，则方程的根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程的两个实数根情况不确定 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程有两个相等的实数根 2．一元二次方程的根的情况为（   ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 5．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该方程的一个实数根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 6．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求的值； (2)若方程有两个不相等实数根，求实数的取值范围． 类型四、一元二次方程的应用 1．南安市2023年底有20万户用户，计划到2025年底全市用户数累计达到72.8万户．设全市用户数年平均増长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 3．诺如病毒是一种传染性比较强的病毒，会引起病毒性胃肠疾病，具有发病急、传播速度快、涉及范围广等特点，在学校、游戏厅等聚集性场所易引起暴发．假设有一个人感染了该病毒，经过两轮传染后共有人感染该病毒，则每轮传染中平均一个人传染了 人． 4．一个矩形的长比宽多，面积是，设矩形的长为，则根据题意可列方程为 ． 5．粤港澳大湾区花展期间，在某盆栽销售处发现，某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价元． (1)降价后平均每天卖出 盆；（用含的代数式表示） (2)供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 6．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的宽为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 类型五、三角函数的应用 1．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（    ） A．24米 B．18米 C．米 D．米 2．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若树高米，则点，之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．16米 3．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．则塔的高度为 ．（取，取） 4．如图，为了测量河宽，从处测得对岸的夹角，从处测得对岸C的夹角，点和点位于点的两侧，测得米，则点到的距离为 米． 5．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 6．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度均等于，且与在同一条直线上． (1)如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角，求出此时拉杆把手A点距离地面的高度； (2)如图2，当拉杆伸出两节（）时，此时拉杆把手A点距离地面高度与图1相同．求出此时与地面夹角的度数．（参考数据：，） 类型六、相似三角形的性质与判定 1．如图，在中，，且分别交于点D，E，若，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知菱形的面积是24，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，则的面积为（   ） A． B． C．3 D．9 3．如图，如果，，，那么的度数是 ． 4．已知两个相似三角形的周长比为，它们的面积之差为，则较小的三角形的面积为 ． 5．如图，在中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：． 6．如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：； 类型七、网格中的三角函数 1．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处， ． 4．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为 ．    5．【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形． (1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为___________． (2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点和和相交于点，结合下面的分析，直接写出的值为___________． (3)如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，则的值为___________． 6．如图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点和点P均在格点上．请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图①中画一条以P为端点的射线，使其平分线段，点C在线段上； (2)在图②中画一条以P为端点的射线，使其分线段为1：3两部分，点D在线段上； (3)在图③中画一条以P为端点的射线，使，点E在线段上． 类型八、切线的证明 1．已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 2．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，点为的下面半圆的中点，连接交于，若． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 3．如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的直径． 4．如图，在中，，以的边为直径作，交于点．过点作，垂足为点． (1)试证明是的切线； (2)若的半径为5，，求的面积． 5．如图，的弦是的中点，连接并延长交于点D，交于于点F，过点D作，与的延长线交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 6．如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的长． 类型九、二次函数的应用 1．某商场要经营一种新上市的文具，进价为元/件．试营销阶段发现：当销售单价为元时，每天的销售量是件；销售单价元时，每天的销售量为件．其中每天的销售量是售价的一次函数． (1)求这种文具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？ (3)若商店想要每天获利，售价应定为多少元？ 2．如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地面竖直高度为．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． (1)求外边缘抛物线的函数表达式； (2)求内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 3．如图，巴黎奥运会中某跳水运动员进行10米跳台跳水，水面边缘点，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处点． (1)求运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式； (2)若运动员在距水面高度5米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误，若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点E的水平距离为5米，该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由． 4．素材一：如图（1），施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）． 素材二：施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为1米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高4米的特种车辆？请通过计算说明； (3)为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 5．如图，张大伯准备利用一面墙和一些竹篱笆围成一个矩形养殖场，且中间用竹篱笆隔开．已知竹篱笆的总长为，墙长为，设养殖场的一边长为，面积为． (1)求S与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当的长是多少米时，围成的养殖场面积最大？并求出最大面积． 6．如图，在等腰直角中，，，是的中线．动点从点出发以的速度沿折线向终点运动．过点作于点，以为边向右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为． (1)当点在线段上运动时，的形状是________，_______．（用含的代数式表示）． (2)当点落在边上时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 类型十、无刻度尺作图 1．如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出；（点与点是对应点） (2)设小正方形的边长为，在（1）的条件下，求点转过的路径的长度和扇形的面积；（结果保留） (3)在图2中，仅用无刻度直尺在线段上找一点，使． 2．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点、均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中．画出的中线： (2)图②中，在的边上找一点，连接，使； (3)图③中．在的边上找一点，连接，使的面积为1． 3．图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画的高． (2)在图②中画的中位线EF，使点E、F分别在边、上． (3)在图③中画，使，与的相似比为，且于点M． 4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为中线作，使； (2)在图②中，以为中线作，使； (3)在图③中，以为中线作，使为钝角且． 5．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，其顶点称为格点．点A、都在格点上，只用无刻度的直尺，分别在网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．    (1)在图①中，以为斜边画直角（点在格点上），使得 ； (2)在图②中，以为一直角边画等腰直角（点在格点上）．使得； (3)在图③中，以为一直角边画（点在格点上），在上取点，使得 ． 6．如图，正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1的正六边形内部作一点，连接，使得． (2)在图2的正六边形内部作一点，连接，使得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$