期末考前满分冲刺之优质压轴题 -2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

期末考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、圆中最值 1．如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最小值是（　　） A． B．6 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积，勾股定理；过作于，连接，则由三角形面积公式得，，可求圆上点到直线的最短距离，由此求得答案． 【详解】解：过作于，连接， 直线与轴、轴分别交于、两点， 令，则；令，则； 点为，点为， ； ，， 则由三角形面积公式得，， ， ， 圆上点到直线的最小距离是 ， 面积的最小值是 故选：A． 2．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】连接，取的中点K，连接，利用勾股定理求出，根据即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的外接圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键． 3．如图，在中，，，的半径为1，点在边上运动，过点的直线与相切于点，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质，作于，由勾股定理可得，由等面积法得出，再结合当点与点重合时，最大，当与上的高，即点重合时，最小，分别利用勾股定理计算即可得解，找准最大值与最小值的点是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 如图，当点与点重合时，最大， ， 由勾股定理可得：， 如图，当与上的高，即点重合时，最小， ， 由勾股定理可得：， ∴的最大值与最小值的差为， 故选：C． 4．如图，是半的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识．取的中点，连接、，在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接、，    ∵， ∴， ∴在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， ∵是直径， ∴， 在中，∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴当、E、B共线时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 5．已知以为直径的圆O，C为弧的中点，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆外一点到圆上一点的最小距离的典型线段最值问题，圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，找出动点的运动轨迹是解题的关键．以为斜边作等腰，则，连接，可求，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的，当B、D、Q三点共线时，最小，，由，，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为斜边作等腰，则，连接，，． ∴， ∵的直径为，C为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的， ∴当B、D、Q三点共线时，最小，， ∵， ∴， ∴； ∴的最小值为． 故答案为：． 6．如图，中，，，点D是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点E．若长为，则线段长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，取的中点T，连接，，．解直角三角形求出，，根据，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点T，连接，，． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 类型二、几何与图象结合 1．如图①，在矩形中，动点从点出发，沿的路线运动，当点到达点时停止运动．若，交边于点，设点运动的路程为，，已知关于的函数图象如图②所示，当时，的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．先由图②得到，，分当点E在边上时和当点E在边上时，两种情况，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：由题意和图②得，，，， 当点E在边上时，，则； 当点E在边上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 综上，当时，的值为或5， 故选：C． 2．如图①，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点从点出发，以的速度沿匀速运动，其中一点到终点时，另一点随之停止运动，图②是的面积（单位：）随时间（单位：）变化的函数图象，当的面积为时，运动时间为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】由题意和图可知，当时，点在上运动，而点继续在上运动，可求得，，由勾股定理得，然后分当时和当时两种情况求解即可． 【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动， 四边形是平行四边形，点、点的速度都是， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 当时，如图作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 令， 解得：； 当时，如图，作，交的延长线于点， ∵， ∴， 解得，， ∴， 令， ， 解得：，不合题意，舍去， 综上所述：． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、一次函数的性质．数形结合并分类讨论求出与之间的函数关系式是解题的关键． 3．如图1，正方形中，动点从点出发，沿折线运动到点停止，过点作交于点，设点的运动路程为，，与对应关系的图象如图2，那么在运动过程中，下列结论不一定正确的是（    ） A． B．图2中 C．图2中 D．当点运动到中点时， 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象下，从图中获取信息是解题的关键． 根据点的运动位置，判断出的运动路程及运动时间的关系，结合函数图象逐个判断即可． 【详解】当点运动在上时，四边形为矩形， ∴， 当点运动在上时，的长呈先变短再变长的变化，故不一定等于，故A不一定正确，符合题意； 当点运动到点处时，， ，故B正确，不符合题意； 当点运动到点处时，点运动路程为8，、、三点重合， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 当点运动到中点时，如图， ，此时， ∴， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：A． 4．如图，在中，，，，点为线段上的动点，以每秒个单位长度的速度从点向点移动，到达点时停止．过点作于点，作于点，连结，线段的长度与点的运动时间(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数的图象，函数的最小值，连接，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边形为矩形，利用矩形的对角线相等得到，再利用垂线段最短的性质得到当时，取得最小值，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可求解，熟练掌握动点问题的函数的图象的特征是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵， ，， ∴，， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为线段上的动点，由于垂线段最短， ∴当时，取得最小值，即取最小值， 过点作于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴当时，取最小值为， ∴函数图象最低点的坐标为， 故答案为：． 5．如图1，在中，，动点从点A出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图2所示，当恰好平分时的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形与函数图象间的关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，正确理解两种图形间的关联信息是解题的关键．根据函数图象可得，作的平分线，可得，进而得到，由相似求出的长即可． 【详解】如图，当恰好平分时，连接， 由图2可得， ，， ， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， ． 故答案为：． 6．如图1，在菱形中，E为的中点，点F沿从点A向点C运动，连接，，设，，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是 ．    【答案】 【分析】利用函数图象可得：当点F与点A重合时；求出，当点F与点C重合时；求出，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，连接，得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由函数图象得：当点F与点A重合时；如图，    此时，， ∵ E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点F与点C重合时；如图，过点E作，垂足为G，设与交于点H，    此时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，，即， 解得：， ∴， ∴， 如图，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，连接，    ∵，E为的中点， ∴， ∴ ∴y的最小值是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． 类型三、二次函数的系数关系 1．如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．⑤若点在二次函数图象上，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与轴交点． 根据二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可． 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与y轴正半轴交于一点，对称轴在y轴的左侧， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵是关于二次函数对称轴对称， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴，故②正确； ∵图象与x轴交于点， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴，即， ∴，故④不正确； 观察图象得：当时， 函数取得最大值， 故， ， ∴， 故⑤错误； 故选：C 2．函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，，故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，，故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ，故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 3．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④的解集为．其中结论正确的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各项系数符号等知识点，熟练掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是解决此题的关键．根据抛物线的开口方向判断①，把代入，即可判定②，结合对称轴，即可判定③，根据抛物线对称轴为直线，开口向下，得出函数的增减性综合进行判断④即可作答． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，①符合题意； ∵抛物线过， ∴当时，，②符合题意； ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，③符合题意； 依题意，把代入，得出， ∵抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，但时，y随x的增大而减小，且关于对称轴直线所对称的， 则的解集为或． 故④不符合题意； 综上所述，正确的结论有：①②③， 故选：C． 4．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④． 【详解】解：将代入，可得，故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：6，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ，故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则，故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则，故④正确； 综上可知，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 5．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤为常数，且，其中正确结论有 （填序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】由开口向下知，由对称轴知，得，由抛物线与轴交点知，，故，①对；当时，得，故②错；由对称性知，当时，，故③对；由可得，代入，可得，故④错；当时，有最大值为，结合，即可判断⑤．本题考查二次函数的图象性质，二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答． 【详解】解：由图象可得，这个函数图象的开口向下，对称轴在轴的正半轴，函数图象与轴的正半轴相交， ∴，，， 即，， ，故①正确， 当时，，则，故②错误， 对称轴为直线， 时和时的函数值相等，当时，，故③正确， ，则， 时，， ，故， ，故④错误， 结合图象性质，得当时，此函数取得最大值， 此时， 当时，， ，故⑤正确， 故答案为：①③⑤． 6．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的序号有 ． 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据点和点坐标即可得到对称轴，得到抛物线的对称轴为直线；再根据开口方向以及对称轴得到，，即可判断①错误；由函数图像可知，当时，抛物线的函数图像在轴上方，即可判断③；根据开口方向以及对称轴，即可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ， 抛物线与x轴交于点和点， 抛物线对称轴为直线，故②正确； ， 故，故①错误； 由函数图像可知，当时，抛物线的函数图像在轴上方， 故当时，，故③正确； 抛物线对称轴为直线且开口向下， 故当时，y随x的增大而减小，故④错误； 故答案为：②③． 类型四、圆与三角函数结合 1．如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定，分别确定A点的运动轨迹为阿氏圆O，C点的运动轨迹为阿氏圆，，由此可知，当最最小时，的值最大，进行求解即可. 【详解】解：固定，则， ∴A点的运动轨迹为阿氏圆O， 设，则，，则， ∵，， ∴C点的运动轨迹为阿氏圆， ∴， ∴， ∴当最小时，的值最大， ， ∴， 故选：D． 2．如图，在中，，O是边上一点，以点O为圆心，为半径作圆O，恰好与相切于点D，连接．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数，根据题意作辅助线是解决问题的关键．连接，证明，得出，则，由得出结论． 【详解】解：连接 ∵恰好与相切于点D ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B． 3．如图，、分别与圆相切于、两点，、为的两条弦，且，若，则的值是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于，连接并延长交于，则可得，则由垂径定理得；设，根据正切的定义用表示出，根据勾股定理求出，分别证明，根据题意计算，得到答案． 【详解】解：作于，连接并延长交于，如图， ∵是圆的切线， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴； ∵， 即， ∴四边形是矩形， ∴； 设， ， ， 由勾股定理得，， 由切线长定理得，，则， ， 由勾股定理得，，   ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是垂径定理，切线的性质及切线长定理，勾股定理，三角函数，矩形的判定与性质，掌握相关的性质定理是解题的关键． 4．如图，圆O经过平行四边形的三个顶点A、B、D，且圆心O在平行四边形的外部，，D为弧的中点，若圆O的半径为5，则平行四边形的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接交于点E，连接，利用垂径定理可得，根据，设，，则，利用勾股定理求解进行计算即可． 【详解】解：连接交于点E，连接，如图所示， ∵点D为弧的中点 ∴ ∴点E为的中点，则 ∵ 设，则 ∵圆O的半径为5 ∴ 在中，由勾股定理得，即 解得（舍）或 ∴， ∴ 则平行四边形的面积为 故答案为：16． 5．如图，为的直径，C为圆上一点，且， ，D在上一点，过点D作的垂线交于点E，连接交于点F，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了正切的定义、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由圆周角定理可得，再根据正切可得，然后运用勾股定理可得；最后分和两种情况解答即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ①当时，过点F作于点H， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则． ∵， ∴，解得：， ∴； ②当时，连接，过点F作于点G，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵为直径， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为3或． 故答案为：3或． 6．如图，为半圆O的直径，与半圆O相切于点B，与圆O交于点F，E为的中点，若，，则 ． 【答案】12 【分析】根据圆周角定理得到、，根据切线的性质得到，证明，得到，设，根据正切的定义得到，根据勾股定理得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵为半圆O的直径， ∴， ∴， ∵与半圆O相切于点B， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，根据△CEM∽△BEC列出比例式是解题的关键． 类型五、圆与相似结合 1．如图，在直角三角形中，，．分别是、上两点，以为直径作圆与相切于点，且，，若，，则的长度为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线，推导出是的直径是解题的关键． 连接，由可得为的直径，即，即可证明，得到，求出，利用勾股定理即可得到的长度． 【详解】解:连接， ， ， 为的直径， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选A ． 2．如图，是的切线，切点为C，连接，，分别与圆相交于点D，E，连接，，，若，，则的半径为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质及其判定，掌握切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质及其判定是解本题的关键． 取上一点为，连接，，，利用圆周角定理得到，再根据切线的性质得出，进而证得，即可解出． 【详解】解：取上一点为，连接，，， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 故选：A． 3．如图，，且它们之间的距离为6，点A，B分别在直线a，b上，点C在线段上，点D在以为直径的圆上，且，，，则的长为（    ）    A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】延长交直线于点，连接，．利用平行线分线段成比例定理求出，再利用勾股定理求出，证明，设，用勾股定理求解方程，求出，进而可求得． 【详解】解：如图，延长交直线于点，连接，．    ∵是直径， ∴，即， 又∵，且它们之间的距离为6， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则 ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，在中，， ，则有， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 4．如图，已知圆的弦垂直于直径，点在上，且，若，的长为    【答案】/ 【分析】考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理；根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，根据相似三角形的对应边成比例先求出的长，已知的长，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：弦垂直于直径， ． ． 又， ． ． 又， ． 故答案为：． 5．如图，在中，，以为直径的圆交于点D，连接，点P是上一点，过点C作，延长交于E，交于F，若，，则 ．    【答案】6 【分析】首先，再证明，可得，进而可得，再利用等量代换可得结论． 【详解】证明：连接，如图所示．    ∵为直径， ∴， ， 垂直平分，． ， ， 即． ， 又， ． ∴，即． ， ． ∵，， ∴， 故答案为：6 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质、平行线的性质，圆周角定理的应用，证明是解题的关键． 6．以菱形对角线上的点O为圆心，为半径作圆，与相交于点E，点A，C恰好都在圆O上，若，圆的半径，则菱形的边长为 ．    【答案】 【分析】连接交于点F，过点O作于点G，连接，先求出，再由菱形的性质可得，，，可证得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点F，过点O作于点G，连接，    根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 类型六、动圆相切求t 1．在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒：    (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心的同时与直线相切（如图2），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在t值，使得点D落在上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形有三个公共点，则t的取值范围为　　．（直接写出结果，不需说理） 【答案】(1)当t为1秒或3秒时，的面积等于； (2) (3)①存在t值，使得点D落在上，此时t值为；② 【分析】（1）由题意可知，从而得到．再根据，即可列出关于t的方程，解出t的值即可； （2）连接，依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可； （3）①先用含t的式子表示出的长，然后依据列出关于t的方程，从而可求得t的值；②当时，与四边形有两个公共点，由①可知当时，与四边形有两个公共点，从而可确定出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵当运动时间为t秒时，， ∴． ∵， ∴， 整理，得：， 解得：，， ∴当t为1秒或3秒时，的面积等于； （2）解：连接，如图，    ∵以P为圆心的同时与直线相切， ∴，． 在中，， ∴． ∵， ∴，． 在中，， ∴， 解得：； （3）解：①如图，    ∵， ∴． ∵点D落在上， ∴． ∵在中，， 在中，， ∴， ∴， 整理，得：， 解得：，（舍）， ∴存在t值，使得点D落在上，此时t值为； ②分类讨论：当时，如图，   与四边形有两个公共点； 当经过点D时，与四边形有两个公共点，如图，    由①可知此时， ∴当时，与四边形有三个公共点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质等知识，依据题意列出关于t的方程是解题的关键． 2．在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题： (1)如图1，当t为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，以Q为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形有三个公共点，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)1秒或5秒 (2)①t=0或，理由见解析；② 【分析】（1）根据题意得，，由此根据三角形面积公式建立方程求解即可； （2）①分两种情况如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时与相切；当正好与四边形的边相切时，如图2所示，利用切线的性质进行求解即可；②求出两个临界点，当时，如图1所示：与四边形有两个公共点；如图3所示：当圆Q经过点D时，与四边形有两个公共点，求出对应的时间t，在这两个时间之间则有3个交点. 【详解】（1）解：∵当运动时间为t秒时，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵的面积等于， ∴． ∴． 解得：，． 答：当t为1秒或5秒时，的面积等于． （2）解①由题意可知圆Q与不相切． 如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合． ∵， ∴． ∴． ∴为圆Q的切线． 当正好与四边形的边相切时，如图2所示． 由题意可知：． 在中，由勾股定理可知：，即． 解得：，（舍去）； 综上所述可知当或时，与四边形的一边相切． ②当时，如图1所示：与四边形有两个公共点； 如图3所示：当圆Q经过点D时，与四边形有两个公共点． 由题意可知：． 由勾股定理可知：，． ∵， ∴，即． 整理得：． 解得：，（舍去）。 ∴当时，与四边形有三个． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质，切线的性质，三角形的面积公式、勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键． 3．如图，在边长为6的等边三角形中，动点从点出发，沿边向终点运动，同时，动点从点出发，沿边向终点运动，两者速度均为每秒1个单位长度，运动时间为；以为直径在右侧作半圆． (1)当在处时，半圆落在三角形内部的弧长为________； (2)当半圆与除点外，另有交点时，若，求的度数； (3)直接写出：当为何值时，半圆正好与等边三角形的一边相切． 【答案】(1) (2) (3)当或或或时，半圆正好与等边三角形的一边相切 【分析】（1）如图所示，连接，先证明是等边三角形，得到，同理可得，则，再利用弧长公式求解即可； （2）先利用等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质得到； （3）分如图3-1所示，当半圆O与相切时，如图3-2所示，当半圆O与相切时，如图3-3所示，当半圆O与相切时，三种情况利用切线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵当在处时，即为的直径， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴的长度， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵∵是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：如图3-1所示，当半圆O与相切时， ∴，即， ∴， ∴， ∵动点从点出发，沿边向终点运动，两者速度均为每秒1个单位长度，运动时间为， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图3-2所示，当半圆O与相切时， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图3-3所示，当半圆O与相切时，设切点为F，取中点D，过点D作于E，过点A作于M，以直线为x轴，以直线为y轴建立平面直角坐标系， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴ ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 过点P作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， 设， ∴，则， ∴， ∴点O在直线上运动， ∵D是的中点， ∴， ∴点D在直线上， ∴点O在直线上， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵与相切于点F， ∴， ∴（平行线间间距相等）， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或； 综上所述，当或或或时，半圆正好与等边三角形的一边相切． 【点睛】本题主要考查了求弧长，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，一次函数与几何综合，切线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 4．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向，向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为t秒． (1)连结PD、PQ、DQ，设△PQD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式； (2)当点P在BC上运动时，是否存在这样的t，使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由； (3)以点P为圆心，作⊙P，使得⊙P与对角线BD相切．问：当点P沿B→C→D运动时，是否存在这样的t，使得⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点？若存在，请直接写出符合条件的t的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在， 【分析】（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解； （2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以PD为腰的等腰三角形即可说明． （3）分点P在BC上运动时经过BC的中点或经过CD的中点，点P在CD上运动时经过BC的中点或经过CD的中点几种情况求解，即可求出t的值． 【详解】（1）①当0≤t≤2时，即点P在BC上时， ＝16－×4×t－×2 t×（4－t）－×（4－2 t）×4 ＝t 2－2 t＋8． ②当2＜t≤4时，即点P在CD上时，DP＝8－2 t． S＝×（8－2 t）×4＝16－4 t． ∴； （2）①若PD＝QD， ∵CD=AD，∠PCD=∠DAQ=90°， ∴Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL）． ∴CP＝AQ． 即t＝4－2 t，解得t＝． ②若PD＝PQ，则，即， 解得t＝－4±4，其中t＝－4－4＜0不合题意，舍去， ∴t＝－4＋4．　 ∴t＝或t＝－4＋4时，△PQD是以PD为一腰的等腰三角形． （3）当P在BC上运动时， 若⊙P经过BC的中点E，设⊙P切BD于M． 则BP=2t，则PE=PM= 2-2t， 在Rt△BPM中，由于∠PBM=45°， 所以BP=PM， ∴2t=(2-2t)， ∴t=2-；   若⊙P经过CD的中点E，设圆的半径为r，则CP=4-2t， ． 因为BP=PM，即． ∴． 解得t=4-，t=4+（舍去） ∴t=4-， 故当点P在BC上运动时，若t=2-或4-，则⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点． 当P在CD上运动时， 若⊙P经过BC的中点E，设⊙P切BD于M． 则CP=2t-4，． 在Rt△PMD中，由于∠PDM=45°， 所以DP=PM，即． ∴． 解得t=±，负值舍去， ∴t=， 若⊙P经过CD的中点E，设圆的半径为r，则DP=2-r， ∵∠PDM=45°， ∴DP=PM， ∴2-r=r， ∴r=2（-1）， 故t=2+， 故当点P在CD上运动时，若t=或2+，则⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点． 综上可知，t的值为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，一元二次方程的应用，切线的性质等知识点．要注意不同的情况要进行分类讨论，不要丢掉任任何一种情况． 5．数学课上老师提出问题：“在矩形中，，，是的中点，是边上一点，以为圆心，为半径作，当等于多少时，与矩形的边相切？”． 小明的思路是：解题应分类讨论，显然不可能与边及所在直线相切，只需讨论与边及相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题： (1)如图1，当与相切于点时，求的长； (2)如图2，当与相切时， ①求的长； ②若点从点出发沿射线移动，连接，是的中点，则在点的移动过程中，直接写出点在内的路径长为______． 【答案】(1)BP=2 (2)①4.8；②9.6 【分析】（1）连接PT，由⊙P与AD相切于点T，可得四边形ABPT是矩形，即得PT=AB=4=PE，在Rt△BPE中，用勾股定理即得BP=2； （2）①由⊙P与CD相切，有PC=PE，设BP=x，则PC=PE=10-x，在Rt△BPE中，由勾股定理得x2+22=（10-x）2，即可解得BP=4.8；②点M在⊙P内的路径为EM，过P作PN⊥EM于N，由EM是△ABQ的中位线，可得四边形BPNE是矩形，即知EN=BP=4.8，故EM=2EN=9.6． 【详解】（1）连接PT，如图： ∵⊙P与AD相切于点T， ∴∠ATP=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=90°， ∴四边形ABPT是矩形， ∴PT=AB=4=PE， ∵E是AB的中点， ∴BE=AB=2， 在Rt△BPE中，； （2）①∵⊙P与CD相切， ∴PC=PE， 设BP=x，则PC=PE=10-x， 在Rt△BPE中，BP2+BE2=PE2， ∴x2+22=（10-x）2， 解得x=4.8， ∴BP=4.8； ②点Q从点B出发沿射线BC移动，M是AQ的中点，点M在⊙P内的路径为EM，过P作PN⊥EM于N，如图： 由题可知，EM是△ABQ的中位线， ∴EM∥BQ， ∴∠BEM=90°=∠B， ∵PN⊥EM， ∴∠PNE=90°，EM=2EN， ∴四边形BPNE是矩形， ∴EN=BP=4.8， ∴EM=2EN=9.6． 故答案为：9.6． 【点睛】本题考查矩形与圆的综合应用，涉及直线和圆相切、勾股定理、动点轨迹等，解题的关键是理解M的轨迹是△ABQ的中位线． 6．如图，在四边形ABCD中，ABDC，∠B＝90°，∠BAD＝60°，BC＝4cm，对角线AC平分∠BAD．点P是BA边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为1cm/s；点Q是AC上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为1cm/s．设点P，Q同时出发，移动时间为ts（0≤t≤6）．连接PQ，以PQ为直径作⊙O． （1）求DC的长． （2）当t为何值时，⊙O与AC相切？ （3）当t为何值时，线段AC被⊙O截得的线段长恰好等于⊙O的半径？ （4）当t为　 　时，圆心O到直线DC的距离最短，最短距离为　 　．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）；（3）t＝6﹣2或t＝16﹣24；（4）6s， 【分析】（1）过点作于点，根据矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解； （2）当与相切时，，求出、，用含的式子表示出，即可求解； （3）分两种情况画出图形，根据直角三角形的性质用含的式子表示出，即可求解； （4）过圆心作于点，则的长为到的距离，延长交于点，过点作于点，根据矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，得出用表示的式子，根据的取值范围以及一次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）过点作于点，如图1， ，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ，解得（负值舍去）， 平分，， ， ； （2）当与相切时，，如图2， 由题意得：， 在中，，， ，， ， ， ， 解得：， 时，与相切； （3）第一种情况：如图3，当时满足条件， 在中，， 又， ， 即，解得； 第二种情况：如图4，当时满足条件， 在中，， 又， ， 即，解得； 综上，或； （4）如图5，过圆心作于点，则的长为到的距离，延长交于点，过点作于点， 则四边形是矩形，， ， 点是的中点，，， 线段是的中位线， ， ， ，， 当时，有最小值，最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题以动点问题为背景，主要考查了圆的综合题，解决问题时需要运用矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理、切线的判定以及直角三角形的性质等，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意分类思想的运用． 类型七、二次函数与三角形结合 1．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使的面积是，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点为轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的定义等． （1）将点和点的坐标分别代入解析式，即可求解； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积列出方程，解方程求出的值，即可求出点的坐标； （3）先根据勾股定理求出的长，再分为点是等腰的顶点和点是等腰的顶点，两种情况进行分析即可求解． 【详解】（1）解：把点、代入解析式， 得， 解得：， 故抛物线的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 则， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点的坐标为，． （3）解：连接，如图： 在中，， 当点是等腰的顶点时，此时点在点的上方， 则， 故此时点的坐标为； 当点是等腰的顶点，点在点的下方时， 此时， 故此时点的坐标为； 当点是等腰的顶点，点在点的上方时， 此时， 故此时点的坐标为； 故点的坐标为或或． 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点，重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且，在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）将，代入中，可得，解方程组即可求出与的值，进而可求出二次函数的表达式； （2）令，则，于是求得抛物线与轴的交点坐标，设直线的函数表达式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而可求出直线的函数表达式为，设点，则点，于是可得，由二次函数的图象与系数的关系可知有最大值，由的图象与性质可知此时，则，于是可求出点Q的坐标； （3）设直线的表达式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而可求出直线的函数表达式为，设与轴交于点，令，则，解方程即可求出与轴的交点坐标，过点作轴交轴于点，由两直线平行内错角相等可得，结合已知条件可得，因而可知直线和关于直线对称，于是可求出点的对称点，设直线的表达式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而可求出直线的函数表达式为，联立直线的表达式和抛物线的表达式，得，解方程即可求出点，设点，由，，的坐标可得，，，然后分情况讨论：当时，当或时，分别建立关于的方程，解方程即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入中，得： ， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：令，则， ， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为：， 设点，则点， ， ，故有最大值， 此时，则， ； （3）解：存在，点或或或或， 理由如下： 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的表达式为：， 设与轴交于点， 令，则， 解得：， ， 如图，过点作轴交轴于点，则， ，， ， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的表达式为：， 联立直线的表达式和抛物线的表达式，得：， 解得：或， ， 设点，由，，的坐标可得： ， ， ， 当时，则， 解得：， 即：点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即：点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，求抛物线与轴的交点坐标，求一次函数解析式，已知两点坐标求两点距离，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，两直线平行内错角相等，轴对称的性质，因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 3．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)存在，m的值为3或2 【分析】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质等知识： （1）令，求出x的值，得点A，B的坐标，令，得y的值，可得点C坐标，再设直线的解析式为，把代入并求出k的值即可； （2）分和两种情况利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在m使得为等腰直角三角形，理由如下： ∵点P的横坐标为m，且， ∴点P的坐标为， ∴，， ∴， ， ； ∵，， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴，即， 解得或（舍）或（舍）； 当时，， ∴， ∴，即， 解得或（舍）； 综上所述：m的值为3或2． 4．如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求n的值； (3)如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或或或或或或或或 【分析】（1）将点代入，可得，可得抛物线的解析式，令解方程可得点的坐标，即可得的值； （2）连接，由点的横坐标为得，根据面积和可得四边形的面积，利用二次函数的性质可得其最大值； （3）分三种情况：作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质以及点的坐标列方程求得的值，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入 得，， 解得， ∴抛物线的解析式：， 令， 则， 解得或1， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1，连接， ∵轴交抛物线于点， ∴点的纵坐标为， ， 解得或4， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴的值为； （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为2， 分三种情况： ①当为直角顶点时，， 如图2，过作轴，过作于，过作于， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点的横坐标为2， ∴， 解得或或， ∴点的坐标为或(或或； ②当为直角顶点时，， 如图3-1，过作轴，过作于，过作于， 同理， ∵，点的横坐标为2， ∴，解得或， ∴点的坐标为或，； 如图3-2， 同理， ∴， ∵，点Q的横坐标为2， ∴， ∴，解得或， ∴点P的坐标为或； ③当为直角顶点时，，如图4，过作于，过作于， 同理， ∵，点的横坐标为2， ， ∴，解得或5或或4（舍去）， ∴点的坐标为或或； 综上所述，点的坐标是或或或或或或或或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用二次函数的性质，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题． 5．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求四边形的面积S； (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)P的坐标为或或或 【分析】题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，勾股定理解三角形，面积问题等，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）根据题意得出，然后利用待定系数法确定函数解析式，化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据两个函数得出，结合图象得出求解即可； （3）设点，根据题意得出，然后分三种情况：当P为直角顶点时，当B为直角顶点时，当C为直角顶点时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，当时，， ∴， 将， 代入得 ，解得， ∴二次函数的解析式， ∵， ∴顶点坐标为； （2）根据题意得：联立两个函数， 解得：或， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：； （3）设点， ∵， ∴， 当P为直角顶点时，， ∴， 解得：或， ∴或； 当B为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 当C为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 综上可得：P的坐标为或或或 ． 6．如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为：； (2)； (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况点为直角顶点；点为直角顶点；点为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：点，， ，， ， ，                                       把和代入二次函数中得： ， 解得：，                                   二次函数的解析式为：； （2）解：如图1， 直线经过点和， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为：，                    二次函数， 设点，则， ，       当时，的最大值为， 点的坐标为， ； （3）解：存在， ， 对称轴为直线，       设，分三种情况： 点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：， ；                  点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：， ；                            点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：或， 或， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、勾股定理、解二元一次方程、解一元二次方程等知识，熟练掌握待定系数法和分类讨论的思想是解答本题的关键． 类型八、二次函数与四边形结合 1．如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知P是抛物线上一点，在直线上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2)当时，△BMN的面积最大，最大面积是 (3)存在，Q的坐标为或或或 【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）过点M作轴于点E，设面积为S，由，，可得，，即得，由二次函数性质可得当秒时，的面积最大，最大面积是； （3）由得直线解析式为，设，分三种情况：①当是对角线，有，解得；②当为对角线，有，解得；③当为对角线，有，解得或． 【详解】（1）解：将点代入中， 得， 解这个方程组得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：过点M作轴于点E，如图：    设面积为S， 根据题意得：，． ∵， ∴， 在中，令得， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积是； （3）解：存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设直线解析式为， 把代入，得： ， 解得，， ∴直线解析式为， 设， 又， ①当是对角线，则的中点重合， ∴， 解得（与C重合，舍去）或， ∴； ②当为对角线，则的中点重合， ∴， 解得（舍去）或， ∴； ③当为对角线，则的中点重合， ∴， 解得或， ∴或， 综上所述，Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为．    (1)求点C的坐标； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，则，求得，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分①当为平行四边形的边，②当为平行四边形的边，③当为对角线三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵点在抛物线的图象上， ∴， ∴ ∴点C的坐标为． （2）过作于点，过点作轴交于点，    ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为 将代入得， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为． ∴此时． ∴点P到直线距离的最大值为． （3）存在， ∵ ∴抛物线的对称轴为直线 设点N的坐标为，点M的坐标为 分三种情况：①当为平行四边形的边，如图， ∵ ∴，即， 解得，， ∴， ∴点M的坐标为， ②当为平行四边形的边长时，如图，    ∵ ∴，即， 解得，， ∴， ∴点M的坐标为， ③当为对角线时，如图，    ∵ ∴线段的中点H的坐标为，即 ∴， 解得，， ∴， ∴点M的坐标为， 综上所述，点M的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 3．如图所示，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为 ；顶点的坐标为 ； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线（）分别交直线和抛物线于点，点为平面内任意一点，当点构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值是，点的坐标为 (3)或或或 【分析】（）令可得点的坐标，将抛物线的解析式配方后可得点的坐标； （）如图，连接，设点的坐标为，根据计算后配方即可解答； （）先根据待定系数法可求得直线的解析式为，设，则，分三种情况：①如图，当时，；②当为对角线时，点与的中点在轴上；③如图，当时，分别列方程可解答即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴； ∵， ∴顶点的坐标为； 故答案为：；； （2）解：如图，连接， 设点的坐标为， 令时，则， 解得，， ∴， ∴， 由（）知：， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值是， 此时点的坐标为； （3）解：设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴，， 分三种情况： ①如图，当时，， ∴或， 解得（不合，舍去），，， ∴点的坐标为或； ②当为对角线时， ∵，四边形是菱形， ∴的中点在轴上， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴； ③如图，当时，则， ∴， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，菱形的性质等知识，本题综合性较强，掌握二次函数的图象和性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 4．如图，抛物线与轴交于点两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作轴于点F，交直线于点E．设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)写出线段的长（用含有m的代数式表示）； (3)若，求m的值； (4)在y轴正半轴上是否存在点G，使C、E、P、G为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)2或 (4)存在点，此时相应的点的坐标为 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）根据二次函数和一次函数的解析式分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式求解即可得； （3）先利用两点之间的距离公式求出，再根据建立方程，解方程即可得； （4）分两种情况：①当为对角线时，②当为菱形的边时，根据菱形的邻边相等建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：对于直线， 当时，，即， ∵点是第一象限内抛物线上一动点，点的横坐标为， ∴， ∵轴于点，交直线于点， ∴， ∴， 所以线段的长为． （3）解：∵点是第一象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，轴于点，交直线于点， ∴， ∴，， ∵， ∴， 当时，解得或（不符合题意，舍去）， 当时，或（不符合题意，舍去）， 综上，的值为2或． （4）解：存在，求解过程如下： 设点的坐标为， ①当为对角线时，， 则，即，解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，即，解得，符合题设， 所以此时点的坐标为； ②当为菱形的边时，， 则，即， 整理得：， 解得或或（均不符合题意，舍去）， 综上，存在点，此时相应的点的坐标为． 5．已知二次函数的图象过原点，顶点坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图1，在x轴下方作x轴的平行线l，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形为正方形时，求A点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，作直线，动点P从点A出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线于点F，当以A、E、F、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)4或6或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论； （3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E、F的坐标，由且以A、E、F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出，分，，三种情况找出，的长，由可得出关于t的-元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 顶点坐标为 ， 将原点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：设直线l的表达式为：， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点D的坐标为，点C的坐标为． ∵矩形为正方形， ， 解得：（舍去），． ， 即点； （3）解：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形． 由（2）可知：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为． 设直线的解析式为， 代入，， 得， 解得， 直线的解析式为． 当时， ，， ∴点E的坐标为，点F的坐标为． ∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且， ，分三种情况考虑： ①当时， ，， ， 解得：（舍去），； ②当时， ，， ， 解得：（舍去），； ③当时， ，， ， 解得：（舍去），． 综上所述：当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是∶(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式∶(2)利用正方形的性质，找出关于m的方程∶(3) 分，，三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程． 6．若二次函数的图像经过点，其对称轴为直线，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B． (1)点C的坐标为＿＿＿． (2)求二次函数的解析式． (3)点M在线段AB上，过点M作轴于点N． ①若，求点M的坐标． ②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在对称轴上时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为； 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，轴对称性质，正方形性质；                                                                                                   （1）根据轴对称性质即可求得点的坐标； （2）运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （3）①先求得，再运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，由，可得，建立方程求解即可得出答案； ②由正方形性质可得，，进而得出，由点在对称轴上，可得，解方程即可求得答案． 【详解】（1）解：点与点关于直线对称， ， 故答案为：； （2）解：把、代入，得： ， 解得：， 该二次函数的解析式为； （3）解：①抛物线与轴交于点， ， 设直线的解析式为，把、代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 设，则，如图， ，， ， ， 即， 解得：， ； ②以为对角线作正方形（点在右侧），如图，连接， 则，， ， 点在对称轴上， ， 解得：， ，． 类型九、二次函数与等角、倍角结合 1．如图，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），抛物线上有点，在第三象限的抛物线上存在点M，且，求点M的坐标； (3)如图（2），在第一象限的抛物线上有一点E，过点E作的平行线交抛物线于另一点F，直线，交于点P，若点P的纵坐标为t，的面积记为S，试探究S与t之间数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据解析式分别令，时，即可得出． （2）根据解析式代入得出，过点作，交的延长线于点，则，过点作轴的平行线分别交直线于两点，则可证得，得出，由，可求得直线，联立抛物线解析式得出的坐标，即可求解． （3）设直线的解析式为，当时，，设直线的解析式为，当时，，得到，设直线的解析式为，当时，，得到，从而得到方程，得到关系，当时，求出点，过点作轴的平行线交于点，可求，从而得到． 【详解】（1）解：由， 当时，， 当时，，解得：， ． （2）解：当时，， ， ， ， ， ， 过D点作，交的延长线于点N，则，过点N，C作y轴的平行线分别交直线于G，H两点， ， ， ， ， 设直线的解析式为，代入， 得， 解得：， ∴直线， 当时， 解得：或（舍去）， ． （3）解：∵， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 当时，整理得：， ∴， 设直线的解析式为， 当时，整理得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 当时，整理得：， ∴， ， ， ， 当时，解得：， ， 过点作轴的平行线交于点， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，待定系数法求函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2．已知抛物线交x轴于点，，与y轴交于点． (1)如图1，求抛物线的解析式． (2)如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，，点F 在线段上方抛物线上一点，设点F的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (3)如图3，在（2）的条件下，当点F在第一象限，过点F作的平行线，交线段于点E，连接和，若时，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图，过F作轴于H，过D作轴于K，，得出，设，则，得出方程，解方程即可得，，，然后再利用三角形面积公式计算即可得解； （3）过E作轴于N，过F作轴于M，延长交x轴于点G，证出，然后再证出，得出，，设，则，用含a的代数式表示出，再代入抛物线解析式即可得解． 【详解】（1）解：将，，代入得： 解得 ∴； （2）解：如图，过F作轴于H，过D作轴于K，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ 解得，（舍）， ∴，，， 又∵， ∴，，， ∴ ； （3）解：过E作轴于N，过F作轴于M，延长交x轴于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍）， ∴． 【点晴】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，解一元二次方程，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B（再点A在B的右侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1所示，在直线上方的抛物线上有一动点P，且轴交于点Q，交于点G，当的周长取得最大值时，求点P的坐标及周长的最大值． (3)将原抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点N，在新抛物线的对称轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)，周长的最大值为 (3)或 【分析】（1）先求出，，再由可得点B的坐标，将点B的坐标代入可得出b的值，即可得抛物线的解析式； （2）由，得直线解析式为，证明是等腰直角三角形，知，设，，则，根据二次函数性质可得答案； （3）先由抛物线y的解析式得到新抛物线的解析式，再得出新抛物线的对称轴和点N的坐标，再由已知得，进而得，画出满足条件的点M，分两种情况，分别求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴，， ∵， ∴， 将，代入得，， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴周长， ∴当取最大值时，的周长取最大值， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∴， 当时，有最大值，为2，此时，， ∴当时，的周长有最大值，为； （3）解：∵， ∴将抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，，即， ∴， 令，解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，分以下两种情况： 当时，， ∴， ∴； 当时，和y轴交于点F，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ∴． 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，全等三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 4．已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点和点，与轴交于点，点P为第二象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标； 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数综合、三角形外角的性质． 根据抛物线的顶点坐标为，可得关于、的方程组，解方程组得到、的值，即可求出抛物线的解析式； 根据，可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，从而可得：，可知点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，解方程组求出点的坐标． 【详解】（1） 解：抛物线的顶点坐标为， ， 解得：， 抛物线解析式为； （2） 解：如下图所示，设直线交轴于点， ，， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点、的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 得：， 解得：，， ，， 点在轴左侧， 应舍去， 当时，可得：点的坐标是． 5．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图像经过两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图像上，过点作于点．    (1)求二次函数的表达式； (2)求的最大值； (3)①当时，直接写出点的坐标； ②当为等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2)的最大值为 (3)①当时，点的坐标为；②是等腰直角三角形，点的坐标为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，过点作轴，交直线于点，设，在中，，在中，，再根据二次函数的最值即可求解； （3）①如图所示，作点关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线与点，则点为所求点，设直线的解析式为，可求出直线的解析式为，联立直线与抛物线为方程组求解即可；②为等腰直角三角形，当，为等腰直角三角形，根据全等三角形的判定和性质，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴令时，；令时，； ∴，， ∵二次函数的图像经过两点，且与轴的负半轴交于点， ∴，解得，， ∴二次函数的表达式为． （2）解：如图所示，过点作轴，交直线于点， ∵，， ∴， ∵点在抛物线的图像上， ∴设， ∵轴，点在直线的图像上，且点的纵坐标为， ∴，解得，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 在中，， ∴，则， ∵，即， ∴在中，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为， ∴， ∴当时，的最大值为． （3）解：①如图所示，作点关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线与点， ∴，， ∴，则点为所求点， ∵， ∴，设直线的解析式为，且， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设所在直线的解析为， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线与抛物线交于点， ∴联立方程组得，解得，或， ∵动点在直线下方的二次函数图像上，即点的横坐标的范围为：， ∴不符合题意，舍去， ∴当时，点的坐标为； ②当，为等腰直角三角形，如图所示， 过点作轴于点，过点作轴，交延长线于点， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵点在直线的图像上，设， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∵动点在直线下方的二次函数图像上，即点的横坐标的范围为：， ∴， 将代入抛物线得，，解得，（舍去）或， ∴； ∴是等腰直角三角形，点的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，二次函数图像的性质，几何图形的性质，全等三角形的判定和性质，等角的三角函数的计算方法的综合运用是解得关键． 6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．抛物线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点E为第一象限内抛物线上一点，连接交y轴于点D．设点E的横坐标为t，线段的长度为d．求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，过点B作，点P在抛物线上，连接并延长交于点F，过点B作于点H，交直线于点G．若，求点P坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出直线的解析式为，即可求解； （3）证明，，，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将两点坐标代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设，直线的函数表达式为：， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴， ∴； （3）解：当，则，则， ∴ 延长交延长线于点，过点作于点，交延长线于点， 在函数中，令，则， ∴点， ∴轴， 当时，直线的解析式为：， 令，则， ∴点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立得：， 解得： ， ∴， ∴点． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 类型十、二次函数的新定义 1．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为2，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、 都是“基准偶和点”． (1)下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是 ；（填序号）     ①；②；③； (2)已知抛物线 （m、n均为常数） 与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式； (3)抛物线 （a、b均为常数，） 的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令 是否存在一个常数t，使得当时，w有最小值恰好等于，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，点的坐标和二次函数的最值，新定义“基准偶和点”的理解和运用，能够理根据题干当中的定义灵活运用二次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）运用“基准偶和点”的概念作答即可； （2）由题意得，得出，再由抛物线 （m、n均为常数） 与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，列立方程组求解即可； （3）抛物线 （a、b均为常数，） 的图象上有且只有一个“基准偶和点”，可得进而可得，再运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：①由得： 直线只有一个“基准偶和点”： ②由无解 ③由无解 由得 故答案为： （2）解：由题意得 即 即 （3）由题意得即 有且只有一个“基准偶和点” 即 ， ①当时，即时，w在时取得最小值 即 解得或(舍去) ②当时，w时取得最小值， 即 ③当时，w在时取得最小值即 解得或(舍去) 综上所述：或 2．定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． (1)有下列函数：①；②；③．其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号）． (2)已知抛物线（m，n均为常数） 与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数解析式． (3)若抛物线（a，b是常数，）上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）根据定义可得“纵三倍点”为，代入得出①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解； （3）联立 ，依题意得出得出 ，当时， 的最小值为1，根据题意，即可求解． 本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上． 【详解】（1）解：①联立，解得：， ∴一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ②联立， 解得：，， 故②不合题意； ③联立，解得：， ∴二次函数的图象上只有一个“纵三倍点”，故③正确； 综上分析可知，正确的是①③． 故答案为：①③． （2）解： 解得： 依题意经过，则① 联立 ∴ ∵抛物线（均为常数）与直线只有一个交点， ∴② 联立①②得 解得： ∴抛物线解析式为； （3）解：联立 即 依题意，， ∴ ∴ ∴当时，的最小值为1， ∵当时，的最小值恰好等于， ∴． 3．新定义：如果实数m，n满足时，则称为“基础点”，称为“创新点”．例如，是“基础点”，是“创新点”． (1)求正比例函数图象上“创新点”的坐标； (2)若点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”，点B，C是反比例函数函数图象上的“创新点”，点M是反比例函数图象上的动点．求当面积与的面积相等时点M的坐标； (3)已知点是抛物线上的“创新点”，若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）设正比例函数图象上“创新点”的坐标为，得到，据此计算即可求解； （2）设点A的坐标为，根据题意得，由题意，解得，得到反比例函数的解析式为，点A的坐标为，设点是反比例函数图象上的“创新点”，求得点B，C的坐标分别为，，由面积与的面积相等，得到，分两种情况讨论即可求解； （3）利用根与系数的关系求得，根据题意求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设正比例函数图象上“创新点”的坐标为， 根据题意得， 解得，则， ∴正比例函数图象上“创新点”的坐标为； （2）解：设点A的坐标为， 根据题意得，整理得， ∵点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∴点A的坐标为， 设点是反比例函数图象上的“创新点”， 根据题意得， 消去并整理得， 解得，， ∴，， ∴点B，C的坐标分别为，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵面积与的面积相等， ∴， 可设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， 在中，令，则， 将直线向下平移4个单位的直线， 直线与双曲线的交点为， 此时也满足面积与的面积相等， 联立得， 解得或， 将或分别代入， 得或， ∴或， 综上，点M的坐标为或或； （3）解：∵点是抛物线上的“创新点”， 则即， 则即， ∴是方程的两个根， ∴， ∴，， ∴ ， ∵，且， ∴，，， 由，得； 由，得； ∴， 设函数， ∴当时， 函数的值随自变量的增大而减少， 当，； 当，； ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 4．我们称关于的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”． (1)一次函数和反比例函数的“共同体”函数是 ，它的“共赢点”为 ； (2)已知二次函数与轴的交点为、，有、两个“共赢点”，且，求的值； (3)若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，其中实数，．令，求的取值范围． 【答案】(1)；， (2)± (3) 【分析】（1）根据“共同体”函数和“共赢点”的定义即可求解； （2）对于二次函数，令，则，得到交点，的横坐标满足，，根据两点间距离公式有．二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，由得，则两个“共赢点”，的横坐标满足，，纵坐标满足，，根据两点间距离公式有，由，即可求出的值； （3）由得，再根据一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，是方程即的两根，进而得，由，，得．进而得，可求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，一次函数和反比例函数中，，，， ∴一次函数和反比例函数的“共同体”函数是， 解方程组得，， 经检验，，都是方程组的解， ∴一次函数和反比例函数的交点为，， 即一次函数和反比例函数的“共赢点”是，； 故答案为：，，； （2）解：∵二次函数与轴交点为，， ∴令，则， ∴，， ∴， ∵二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数， ∴由得， ∴， ∴，两个“共赢点”的横坐标满足：，，纵坐标满足，， ∴， ∵， ∴， ∵二次函数与轴有两个交点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ∴， ∵一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为， ∴是方程即的两根， ∴，， ∴ ， 又∵，， ∴． ∴， 即． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间距离公式，完全平方公式的应用．熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)直线上的“友好点”坐标为________； (2)若“友好二次函数”的图象与直线的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (3)若二次函数是“友好二次函数”，点，，抛物线的对称轴与交于点； ①当时，点在线段上，设点的横坐标为，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 【答案】(1) (2)这个“友好二次函数”的表达式为或 (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是理解题意，掌握“友好二次函数”和“友好点”的定义． （1）根据友好点”的定义求解即可； （2）根据题意可得该二次函数的顶点坐标为，由是“友好二次函数”，可得，再求出的图象与直线的交点坐标，再根据“友好点”的定义可得，联立，求出、即可求解； （3）根据“友好二次函数”的定义求出该二次函数的解析式为．①当时，，，得到，设，则，得到，，进而得到，分当时，当时，两种情况即可求解；②先求出该二次函数的顶点坐标为，在直线上运动，当时，与抛物线只有一个交点，当运动到点上方且在点下方时，与抛物线只有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ， 直线上的“友好点”坐标为， 故答案为：； （2）是“友好二次函数”，其顶点坐标为， ，整理得：， 又的图象与直线的交点是“友好点”， 其交点为， 则，整理得：， 联立， 解得：或， 这个“友好二次函数”的表达式为或； （3）二次函数是“友好二次函数”，其顶点坐标为， ， 解得：， 该二次函数的解析式为； ①当时，，， ， 设，则， ，， ， 当时，， 当时，， 综上，； ②二次函数的解析式为， 顶点坐标为， 如图2，在直线上运动，当时，与抛物线只有一个交点，当运动到点上方且在点下方时，与抛物线只有一个交点， 当时，，当时，， ，， 当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，或． 6．我们约定：对于抛物线，称抛物线是抛物线的“幸福抛物线”．根据该约定，解答下列问题： (1)若抛物线的“幸福抛物线”是，则______；______；______； (2)已知抛物线上的两点，，若时，，且的顶点在其“幸福抛物线”的图象上，试探究抛物线的图象是否经过某定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在同一平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点M，其“幸福抛物线”与y轴交于点N（M在N的上方），两抛物线始终有一个交点P，在一条与某坐标轴平行的定直线上运动．若是以为底边的等腰三角形，且时，试求抛物线的“幸福抛物线”截x轴得到的线段长度l的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)且 【分析】（1）根据“幸福抛物线”的定义求解即可； （2）根据题意确定出的对称轴为直线，得出，求出的顶点坐标代入求解即可； （3）联立，得出与的交点在直线上运动，根据，，，得出，表示出，结合，得出，再结合，化简求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线的“幸福抛物线”是，可得：，，， 解得：，，． （2）解：∵，在抛物线上，，， ∴的对称轴为直线，即，， ，其顶点为；代入得， ，令，得 所过定点为； （3）解：联立， 得， 发现是方程的一个根， 故与的交点在直线上运动， ，，， ，得， 对于， ， ， ，即，， 又， ，且， 且， 即， （且）， 且． 【点睛】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，等腰三角形的定义，求根公式等知识点，解题的关键是理解题意，掌握以上知识点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、圆中最值 1．如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最小值是（　　） A． B．6 C．8 D． 2．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 3．如图，在中，，，的半径为1，点在边上运动，过点的直线与相切于点，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是半的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，的最小值为 ．    5．已知以为直径的圆O，C为弧的中点，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，的最小值为 ． 6．如图，中，，，点D是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点E．若长为，则线段长的最小值为 ． 类型二、几何与图象结合 1．如图①，在矩形中，动点从点出发，沿的路线运动，当点到达点时停止运动．若，交边于点，设点运动的路程为，，已知关于的函数图象如图②所示，当时，的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 2．如图①，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点从点出发，以的速度沿匀速运动，其中一点到终点时，另一点随之停止运动，图②是的面积（单位：）随时间（单位：）变化的函数图象，当的面积为时，运动时间为（    ） A． B．或 C． D．或 3．如图1，正方形中，动点从点出发，沿折线运动到点停止，过点作交于点，设点的运动路程为，，与对应关系的图象如图2，那么在运动过程中，下列结论不一定正确的是（    ） A． B．图2中 C．图2中 D．当点运动到中点时， 4．如图，在中，，，，点为线段上的动点，以每秒个单位长度的速度从点向点移动，到达点时停止．过点作于点，作于点，连结，线段的长度与点的运动时间(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点的坐标为 ． 5．如图1，在中，，动点从点A出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图2所示，当恰好平分时的值为 ． 6．如图1，在菱形中，E为的中点，点F沿从点A向点C运动，连接，，设，，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是 ．    类型三、二次函数的系数关系 1．如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．⑤若点在二次函数图象上，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 3．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④的解集为．其中结论正确的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为 ． 5．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤为常数，且，其中正确结论有 （填序号）． 6．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的序号有 ． 类型四、圆与三角函数结合 1．如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，O是边上一点，以点O为圆心，为半径作圆O，恰好与相切于点D，连接．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，、分别与圆相切于、两点，、为的两条弦，且，若，则的值是（     ）    A． B． C． D． 4．如图，圆O经过平行四边形的三个顶点A、B、D，且圆心O在平行四边形的外部，，D为弧的中点，若圆O的半径为5，则平行四边形的面积为 ． 5．如图，为的直径，C为圆上一点，且， ，D在上一点，过点D作的垂线交于点E，连接交于点F，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 6．如图，为半圆O的直径，与半圆O相切于点B，与圆O交于点F，E为的中点，若，，则 ． 类型五、圆与相似结合 1．如图，在直角三角形中，，．分别是、上两点，以为直径作圆与相切于点，且，，若，，则的长度为（　　） A． B． C．5 D． 2．如图，是的切线，切点为C，连接，，分别与圆相交于点D，E，连接，，，若，，则的半径为（    ） A．6 B． C． D． 3．如图，，且它们之间的距离为6，点A，B分别在直线a，b上，点C在线段上，点D在以为直径的圆上，且，，，则的长为（    ）    A． B．8 C． D．10 4．如图，已知圆的弦垂直于直径，点在上，且，若，的长为    5．如图，在中，，以为直径的圆交于点D，连接，点P是上一点，过点C作，延长交于E，交于F，若，，则 ．    6．以菱形对角线上的点O为圆心，为半径作圆，与相交于点E，点A，C恰好都在圆O上，若，圆的半径，则菱形的边长为 ．    类型六、动圆相切求t 1．在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒：    (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心的同时与直线相切（如图2），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在t值，使得点D落在上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形有三个公共点，则t的取值范围为　　．（直接写出结果，不需说理） 2．在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题： (1)如图1，当t为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，以Q为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形有三个公共点，请直接写出t的取值范围． 3．如图，在边长为6的等边三角形中，动点从点出发，沿边向终点运动，同时，动点从点出发，沿边向终点运动，两者速度均为每秒1个单位长度，运动时间为；以为直径在右侧作半圆． (1)当在处时，半圆落在三角形内部的弧长为________； (2)当半圆与除点外，另有交点时，若，求的度数； (3)直接写出：当为何值时，半圆正好与等边三角形的一边相切． 4．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向，向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为t秒． (1)连结PD、PQ、DQ，设△PQD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式； (2)当点P在BC上运动时，是否存在这样的t，使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由； (3)以点P为圆心，作⊙P，使得⊙P与对角线BD相切．问：当点P沿B→C→D运动时，是否存在这样的t，使得⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点？若存在，请直接写出符合条件的t的值． 5．数学课上老师提出问题：“在矩形中，，，是的中点，是边上一点，以为圆心，为半径作，当等于多少时，与矩形的边相切？”． 小明的思路是：解题应分类讨论，显然不可能与边及所在直线相切，只需讨论与边及相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题： (1)如图1，当与相切于点时，求的长； (2)如图2，当与相切时， ①求的长； ②若点从点出发沿射线移动，连接，是的中点，则在点的移动过程中，直接写出点在内的路径长为______． 6．如图，在四边形ABCD中，ABDC，∠B＝90°，∠BAD＝60°，BC＝4cm，对角线AC平分∠BAD．点P是BA边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为1cm/s；点Q是AC上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为1cm/s．设点P，Q同时出发，移动时间为ts（0≤t≤6）．连接PQ，以PQ为直径作⊙O． （1）求DC的长． （2）当t为何值时，⊙O与AC相切？ （3）当t为何值时，线段AC被⊙O截得的线段长恰好等于⊙O的半径？ （4）当t为　 　时，圆心O到直线DC的距离最短，最短距离为　 　．（直接写出结果） 类型七、二次函数与三角形结合 1．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使的面积是，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点为轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标． 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点，重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且，在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 4．如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求n的值； (3)如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求四边形的面积S； (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型八、二次函数与四边形结合 1．如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知P是抛物线上一点，在直线上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为．    (1)求点C的坐标； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图所示，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为 ；顶点的坐标为 ； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线（）分别交直线和抛物线于点，点为平面内任意一点，当点构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 4．如图，抛物线与轴交于点两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作轴于点F，交直线于点E．设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)写出线段的长（用含有m的代数式表示）； (3)若，求m的值； (4)在y轴正半轴上是否存在点G，使C、E、P、G为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知二次函数的图象过原点，顶点坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图1，在x轴下方作x轴的平行线l，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形为正方形时，求A点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，作直线，动点P从点A出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线于点F，当以A、E、F、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 6．若二次函数的图像经过点，其对称轴为直线，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B． (1)点C的坐标为＿＿＿． (2)求二次函数的解析式． (3)点M在线段AB上，过点M作轴于点N． ①若，求点M的坐标． ②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在对称轴上时，直接写出点M的坐标． 类型九、二次函数与等角、倍角结合 1．如图，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图（1），抛物线上有点，在第三象限的抛物线上存在点M，且，求点M的坐标； (3)如图（2），在第一象限的抛物线上有一点E，过点E作的平行线交抛物线于另一点F，直线，交于点P，若点P的纵坐标为t，的面积记为S，试探究S与t之间数量关系． 2．已知抛物线交x轴于点，，与y轴交于点． (1)如图1，求抛物线的解析式． (2)如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，，点F 在线段上方抛物线上一点，设点F的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (3)如图3，在（2）的条件下，当点F在第一象限，过点F作的平行线，交线段于点E，连接和，若时，求点F的坐标． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B（再点A在B的右侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1所示，在直线上方的抛物线上有一动点P，且轴交于点Q，交于点G，当的周长取得最大值时，求点P的坐标及周长的最大值． (3)将原抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点N，在新抛物线的对称轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标． 4．已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点和点，与轴交于点，点P为第二象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标； 5．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图像经过两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图像上，过点作于点．    (1)求二次函数的表达式； (2)求的最大值； (3)①当时，直接写出点的坐标； ②当为等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．抛物线与x轴交于点，与y轴正半轴交于点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点E为第一象限内抛物线上一点，连接交y轴于点D．设点E的横坐标为t，线段的长度为d．求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，过点B作，点P在抛物线上，连接并延长交于点F，过点B作于点H，交直线于点G．若，求点P坐标． 类型十、二次函数的新定义 1．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为2，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、 都是“基准偶和点”． (1)下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是 ；（填序号）     ①；②；③； (2)已知抛物线 （m、n均为常数） 与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式； (3)抛物线 （a、b均为常数，） 的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令 是否存在一个常数t，使得当时，w有最小值恰好等于，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 2．定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． (1)有下列函数：①；②；③．其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号）． (2)已知抛物线（m，n均为常数） 与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数解析式． (3)若抛物线（a，b是常数，）上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3．新定义：如果实数m，n满足时，则称为“基础点”，称为“创新点”．例如，是“基础点”，是“创新点”． (1)求正比例函数图象上“创新点”的坐标； (2)若点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”，点B，C是反比例函数函数图象上的“创新点”，点M是反比例函数图象上的动点．求当面积与的面积相等时点M的坐标； (3)已知点是抛物线上的“创新点”，若，且，求的取值范围． 4．我们称关于的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”． (1)一次函数和反比例函数的“共同体”函数是 ，它的“共赢点”为 ； (2)已知二次函数与轴的交点为、，有、两个“共赢点”，且，求的值； (3)若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，其中实数，．令，求的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)直线上的“友好点”坐标为________； (2)若“友好二次函数”的图象与直线的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (3)若二次函数是“友好二次函数”，点，，抛物线的对称轴与交于点； ①当时，点在线段上，设点的横坐标为，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 6．我们约定：对于抛物线，称抛物线是抛物线的“幸福抛物线”．根据该约定，解答下列问题： (1)若抛物线的“幸福抛物线”是，则______；______；______； (2)已知抛物线上的两点，，若时，，且的顶点在其“幸福抛物线”的图象上，试探究抛物线的图象是否经过某定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在同一平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点M，其“幸福抛物线”与y轴交于点N（M在N的上方），两抛物线始终有一个交点P，在一条与某坐标轴平行的定直线上运动．若是以为底边的等腰三角形，且时，试求抛物线的“幸福抛物线”截x轴得到的线段长度l的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$