专题2-2 相交线与平行线的七类常考模型-【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练(北师大版)

【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题2-2 相交线与平行线的常考模型 模块一 题型·解读 【题型1】猪蹄模型 4 【题型2】铅笔头模型 6 【题型3】平行线中的翻折模型 8 【题型4】锯齿模型（多个拐点） 10 【题型5】靴子模型 12 【题型6】鹰嘴模型 14 【题型7】蛇型模型 17 【课后巩固与综合运用】 18 模块二 基础知识·梳理 知识点01 猪蹄模型 【解题技巧】两条平行线的一端有两条凹进去的线段并交于一点，可以过这一点作两条平行线的平行线，利用平行线的性质可得角度之间的数量关系． 【基本模型】 A C B D O 已知：AB∥CD，O是平行线间一点，连接OB，OD． 结论：∠BOD＝∠B＋∠D． （已知角关系，平行也成立） 【结论推导】 结论：∠BOD＝∠B＋∠D．A C B D 1 2 E O 证明：过点O作OE∥AB． ∵AB∥CD，∴OE∥CD，∴∠B＝∠1，∠D＝∠2． ∵∠BOD＝∠1＋∠2，∴∠BOD＝∠B＋∠D． 知识点02 锯齿模型 （1）已知AB∥DE 性质： （2）已知a∥b 性质：所有奇数角和等于所有偶数角的和 知识点03 铅笔头模型 基本模型 A B C D O 已知：AB∥CD，O是平行线间一点，连接OB，OD． 结论：∠B＋∠BOD＋∠D＝360°． （已知角关系，平行也成立） A B C D O 通过作延长可知，实线部分为铅笔头模型，虚线部分为猪蹄模型，两个模型相互依存，同学们在使用过程中，可根据题目条件灵活选择合适的模型进行计算． 结论推导 结论：∠B＋∠BOD＋∠D＝360°．A B C D O 1 2 E 证明：过点O作OE∥AB． ∵AB∥CD，∴OE∥CD，∴∠B＋∠1＝180°，∠2＋∠D＝180°， ∴∠B＋∠1＋∠2＋∠D＝360°，∴∠B＋∠BOD＋∠D＝360°． 解题技巧：两条平行线的一端有两条凸出来的线段并交于一点，可以过这一点作两条平行线的平行线，利用平行线的性质可得角度之间的数量关系． 总结与拓展 已知 图示 结论（性质） 证明方法 AB∥DE ∠B＋∠C＋∠E ＝ 360° 遇拐点做平行线（不唯一） AB∥DE ∠B＋∠M＋∠N＋∠E＝ 540° a∥b ∠A1＋∠A2＋．．．＋∠An－1＋∠An＝180°×（n－1） 知识点04 其它模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 AB∥CE ∠D=∠B＋∠E 遇拐点做平行线（方法不唯一） AB∥CE ∠1＋∠2－∠3＝180° AB∥DE ∠1＝∠2＋∠3 AB∥DE ∠1＋∠3－∠2＝180° 模块三 核心题型·训练 【题型1】猪蹄模型 如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系． 思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD， ∴∠D＝∠DEF，∴∠E＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D．∴∠E＝∠B＋∠D． 思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，∴∠D＋∠BFD＝∠BED，∴∠B＋∠D＝∠E． 【例题1】如图，直线，，则 ． 【例题2】如图，，，平分，，则的度数为 　　． 【巩固练习1】如图，已知，和分别平分和，若，则 ．    【巩固练习2】已知：如图，、分别为两平行线、上两点，点位于两平行线之间，试探究：与和之间有何关系？并说明理由． 【巩固练习3】如图，，点，为直线，上两定点，． (1)如图1，当点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，； 如图2，点在左侧时，求的角度； 如图3，点在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则＝ ．（直接写出结果） 【题型2】铅笔头模型 【例题1】如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 【例题2】观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，则按照以上规律， 度． 【巩固练习1】如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____． 【巩固练习2】如图，，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． 【感知】如图①，当点在线段左侧时，若，，求的度数． 分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的性质，这时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点作，根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知，进而求出的度数． 【探究】如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为______ ． 【巩固练习3】问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 【题型3】平行线中的翻折模型 【例题1】（2023七年级下·广东深圳·期中）如图，已知长方形纸片，点E，H在边上，点F，G在边上，分别沿，折叠，使点B和点C都落在点P处，若，则的度数为 ．    【例题2】如图①是长方形纸带，∠CFE＝55°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GE折叠成图③，则图③中∠DEF的度数是 【巩固练习1】如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【巩固练习2】折纸是一项有趣的活动，如图所示，一张长方形纸片，先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后若，则 ．    【巩固练习3】如图a是长方形纸带，∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 °．    【题型4】锯齿模型（多个拐点） 【例题1】如图，，，，则的度数为　 　． 【例题2】如图①，已知，图中，，之间有什么关系？ （1）如图②，已知，图中，，，之间有什么关系？ （2）如图③，已知，请直接写出图中，，，，之间的关系 （3）通过以上3个问题，你发现了什么规律？ 【巩固练习1】如图，，，则、和的关系是　　 A． B． C． D． 【巩固练习2】如图，已知，且，，，则　 　度． 【巩固练习3】如图，直线，则的度数为___________°． 【巩固练习4】已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 【巩固练习5】问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．       经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，． (1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 【题型5】靴子模型 模型结论 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 【例题1】如图，，，则 ． 【例题2】如图，，当与满足什么关系时，? 小明认为时，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空： 解：用直尺和圆规，在的右侧找一点M，使（只保留作图痕迹）． ∵， ∴①_____________ ∵ ∴②_________， ∵， ∴③__________， ∴④_____________ ∴． 所以满足的关系为：当时，． 【例题3】如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习1】如图，平分平分，则的度数用含的式子表示为（） A． B． C． D． 【巩固练习2】如图，已知，，，则　 　． 【巩固练习3】已知，    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由 【题型6】鹰嘴模型 【例题1】如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P= 度．    【例题2】已知，点为之外任意一点．    （1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________．    【例题3】已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2)当点P在线段EF外运动时有两种情况． ①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明； ②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）． 【巩固练习1】如图1，已知，请补充完整下面证明的地过程： 证明：过点E作，（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 则有，（          ） ∵ ， ∴，（等量代换） 又∵，（ ） ∴ ，（等量代换） ∴ ，（           ） ∴ ．（平行于同一直线的两直线平行） 【巩固练习2】如图，已知，，，则　　． 【巩固练习3】（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF＝30°，∠E＝20°，求∠ABE的度数； （2）如图，AB//CD，∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数． 【题型7】蛇型模型 【例题1】如图，已知直线，为平面内一点，连接，．则、、之间的等量关系为 ．    【例题2】已知：，，，则度数为（    ） A．60° B．80° C．85° D．75° 【巩固练习1】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则为 ．      【巩固练习2】如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ． 【课后巩固与综合运用】 1． 如图，，的平分线与的平分线交于点，则　　． 2． 已知直线，将等边三角形按如图所示的方式放置，若，则 ．    3． 把一个长方形纸片按照如图所示的长方形折叠后，的对应点，的对应点，若得到，则　　 ． 4． 如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______． 5． 如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为 ． 6． 将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 7． 如图，AB∥CD，，，则 ． 8． 如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式 ． 9． 【基础巩固】（1）如图1，平分，平分，，则_______； 【尝试探究】 （2）如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角． ①若，求的度数； ②试说明：． 【拓展提高】 （3）如图3，若，，平分，请判断与的等量关系，并说明理由．    10． 如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 11． 【感知探究】（1）如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】（2）如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】（3）如图③，已知，，，则 °． 12． 已知，点在上，点在上，点为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点作直线， ∵， ∴_______①_______． ∵， ∴_______②_______． ∵， ∴_______③_______（_______④_______）． ∴． (2)【类比探究】如图2，当点在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点与点重合，平分，且，，那么的度数为________． 13． （1）如图①，如果，求证：． （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________． （3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 14． ①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____． 15． 已知，，点C在上方，连接、．    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______ (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 16． 【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）． 17． 【感知探究】（1）如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】（2）如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】（3）如图③，已知，，，则 °． 18． ①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19． 已知，点为直线、所确定的平面内一点． 如图1，若，则　90　； 如图2，点在的延长线上，连接、，若，平分，，求的度数； 在（2）的条件下，如图3，过点作交的延长线于点，连接，作的平分线交于点，当时，求的度数． 20． 如图： (1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小． (2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明： (3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出） 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题2-2 相交线与平行线的常考模型 模块一 题型·解读 【题型1】猪蹄模型 4 【题型2】铅笔头模型 10 【题型3】平行线中的翻折模型 16 【题型4】锯齿模型（多个拐点） 19 【题型5】靴子模型 27 【题型6】鹰嘴模型 31 【题型7】蛇型模型 39 【课后巩固与综合运用】 42 模块二 基础知识·梳理 知识点01 猪蹄模型 【解题技巧】两条平行线的一端有两条凹进去的线段并交于一点，可以过这一点作两条平行线的平行线，利用平行线的性质可得角度之间的数量关系． 【基本模型】 A C B D O 已知：AB∥CD，O是平行线间一点，连接OB，OD． 结论：∠BOD＝∠B＋∠D． （已知角关系，平行也成立） 【结论推导】 结论：∠BOD＝∠B＋∠D．A C B D 1 2 E O 证明：过点O作OE∥AB． ∵AB∥CD，∴OE∥CD，∴∠B＝∠1，∠D＝∠2． ∵∠BOD＝∠1＋∠2，∴∠BOD＝∠B＋∠D． 知识点02 锯齿模型 （1）已知AB∥DE 性质： （2）已知a∥b 性质：所有奇数角和等于所有偶数角的和 知识点03 铅笔头模型 基本模型 A B C D O 已知：AB∥CD，O是平行线间一点，连接OB，OD． 结论：∠B＋∠BOD＋∠D＝360°． （已知角关系，平行也成立） A B C D O 通过作延长可知，实线部分为铅笔头模型，虚线部分为猪蹄模型，两个模型相互依存，同学们在使用过程中，可根据题目条件灵活选择合适的模型进行计算． 结论推导 结论：∠B＋∠BOD＋∠D＝360°．A B C D O 1 2 E 证明：过点O作OE∥AB． ∵AB∥CD，∴OE∥CD，∴∠B＋∠1＝180°，∠2＋∠D＝180°， ∴∠B＋∠1＋∠2＋∠D＝360°，∴∠B＋∠BOD＋∠D＝360°． 解题技巧：两条平行线的一端有两条凸出来的线段并交于一点，可以过这一点作两条平行线的平行线，利用平行线的性质可得角度之间的数量关系． 总结与拓展 已知 图示 结论（性质） 证明方法 AB∥DE ∠B＋∠C＋∠E ＝ 360° 遇拐点做平行线（不唯一） AB∥DE ∠B＋∠M＋∠N＋∠E＝ 540° a∥b ∠A1＋∠A2＋．．．＋∠An－1＋∠An＝180°×（n－1） 知识点04 其它模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 AB∥CE ∠D=∠B＋∠E 遇拐点做平行线（方法不唯一） AB∥CE ∠1＋∠2－∠3＝180° AB∥DE ∠1＝∠2＋∠3 AB∥DE ∠1＋∠3－∠2＝180° 模块三 核心题型·训练 【题型1】猪蹄模型 如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系． 思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD， ∴∠D＝∠DEF，∴∠E＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D．∴∠E＝∠B＋∠D． 思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，∴∠D＋∠BFD＝∠BED，∴∠B＋∠D＝∠E． 【例题1】如图，直线，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用平行线的性质求解相关角度，两直线平行内错角相等，直接过点E作的平行线把进行分割转移，最后利用邻补角的概念，直接求出的度数． 【详解】见试题解答内容 【解答】解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∵，； ∴，， ∴； 故答案为：． 【例题2】如图，，，平分，，则的度数为 　　． 【答案】． 【解答】解：过点作，如图： ，， ， ，（两直线平行，内错角相等）， ， ，平分， ， 即， ， ， ， ， ． 故答案为： 【巩固练习1】如图，已知，和分别平分和，若，则 ．    【答案】 【分析】过作，过作，可得，，，，，即可求解． 【详解】解：如图，过作，过作，    ， ， ，， ，， 设，， ，， 和分别平分和， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， 【巩固练习2】已知：如图，、分别为两平行线、上两点，点位于两平行线之间，试探究：与和之间有何关系？并说明理由． 【解答】解：连接，，分三种情况： 当点在上时，， ， ． 又是平角， ， ； 当点在左侧时，， 证明：过点作， ，， ， ； 当点在右侧时，． 证明：过点作， ，， ， ． 【巩固练习3】如图，，点，为直线，上两定点，． (1)如图1，当点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，； 如图2，点在左侧时，求的角度； 如图3，点在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则＝ ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【解析】（1） 解：如图，过点， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2） 如图，点在左侧时， 由（1）可得，， 平分，平分， ， ， ； 如图，点在右侧时，过点作，则 ， ， ，， 平分，平分， ， ； （3） 依题意由（2）②可知， ，， ， 由（2）①可知，； 同理可得，……，． 【题型2】铅笔头模型 【例题1】如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 【答案】540 【分析】过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答． 【详解】过点E作，过点F作，如图， ∵，，， ∴，， ∴∠B+∠BFN＝180°，∠FEM+∠EFN＝180°，∠D+∠DEM＝180°， ∵∠DEF＝∠DEM+∠FEM，∠BFE＝∠BFN+∠EFN， ∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D＝∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM＝540°， 故答案为：540． 【例题2】观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，则按照以上规律， 度． 【答案】 【分析】分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠3＝180°，∠5+∠6＝180°，∠7+∠8＝180°，∠4+∠2＝180°于是得到∠1+∠2＝10°，∠1+∠P1+∠2＝2×180，∠1+∠P1+∠P2+∠2＝3×180°，∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2＝4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn＝（n+1）×180°． 【详解】解：如图，过作， ∠1+∠3＝180°，∠4+∠2＝180° 同理可得，∠1+∠AP1 P2+∠P1P2B+∠2＝3×180°， 如图，分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G， ∵AB∥CD， ∴AB∥P1E∥P2F∥P3G． 由平行线的性质可得出：∠1+∠3＝180°，∠5+∠6＝180°，∠7+∠8＝180°，∠4+∠2＝180° ∴第1个图中：∠1+∠2＝180°， 第2个图中：∠1+∠P1+∠2＝2×180， 第3个图中：∠1+∠P1+∠P2+∠2＝3×180°， 第4个图中：∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2＝4×180°， ……， ∴第n个图中：∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn＝（n+1）×180°． 故答案为：（n+1）×180． 【巩固练习1】如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____． 【答案】 【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论． 【详解】解：连接BD，如图， ∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠CDB=180°， ∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°， ∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°， 即∠1+∠2+∠3+∠4=540°． 故答案为：540°． 【巩固练习2】如图，，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． 【感知】如图①，当点在线段左侧时，若，，求的度数． 分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的性质，这时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点作，根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知，进而求出的度数． 【探究】如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为______ ． 【答案】感知：探究： 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 感知：过点作，根据猪脚模型，即可解答； 探究：过点作，根据铅笔模型，即可解答． 【详解】感知：解：过点作， ， ， ， ， ， 的度数为； 探究：解：过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【巩固练习3】问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 【答案】110；（1），理由见解析；（2）或，理由见解析 【分析】小明的思路是：过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得． （1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：小明的思路：如图2，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：110； （1），理由如下： 如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）当P在延长线时，； 理由：如图6，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图7，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【题型3】平行线中的翻折模型 【例题1】（2023七年级下·广东深圳·期中）如图，已知长方形纸片，点E，H在边上，点F，G在边上，分别沿，折叠，使点B和点C都落在点P处，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根长方形的性质可得，则，再根据折叠的性质可得，然后根据邻补角的定义和可得，最后根据三角形的内角和定理可得． 【详解】解：四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得： ， ∵， ∴， ， ， 【例题2】如图①是长方形纸带，∠CFE＝55°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GE折叠成图③，则图③中∠DEF的度数是 【答案】/15度 【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠AEF＝∠CFE＝55°，根据平角定义，则图②中的∠DEG＝70°，进一步求得图③中∠GEF＝55°，进而求得图③中的∠DEF的度数． 【详解】解：∵AD∥BC，∠CFE＝55°， ∴∠AEF＝∠CFE＝55°，∠DEF＝125°， ∴图②中的∠GEF＝55°，∠DEG＝180°－2×55°＝70°， ∴图③中∠GEF＝55°，∠DEF＝70°－55°＝15°． 故答案为：15° 【巩固练习1】如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【解答】解：四边形是长方形， ， ，， ， 由折叠可知： ，分别是和的角平分线， ，， ， ， ， ． 【巩固练习2】折纸是一项有趣的活动，如图所示，一张长方形纸片，先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后若，则 ．    【答案】 【分析】由平行线的性质得到，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 由题意得：，，， ， ， ， ． 故答案为：． 【巩固练习3】如图a是长方形纸带，∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 °．    【答案】105° 【详解】由图a知，∠EFC＝155°． 图b中，∠EFC＝155°，则∠GFC＝∠EFC－∠EFG＝155°－25°＝130°． 图c中，∠GFC＝130°，则∠CFE＝130°－25°＝105°． 故答案为105°． 【题型4】锯齿模型（多个拐点） 【例题1】如图，，，，则的度数为　 　． 【解答】解：如图所示，延长，，交于点，过作， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【例题2】如图①，已知，图中，，之间有什么关系？ 如图②，已知，图中，，，之间有什么关系？ 如图③，已知，请直接写出图中，，，，之间的关系 通过以上3个问题，你发现了什么规律？ 【答案】（1）∠2＝∠1+∠3；（2）；（3）；（4）当时，∠1+∠3+∠5+…+∠2n－1＝∠2+∠4+…+∠2n． 【详解】解：（1）∠2＝∠1+∠3， 理由是： 过E作EMAB，推出ABEMCD， 过E作， ∵ABCD， ∴ABEMCD， ∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEO， ∴∠NEO＝∠NEM+∠MEO＝∠1+∠3； ∴∠2＝∠1+∠3， （2）； 理由如下：过E作，过F作 ∵，， ∴ ∴ 同理： ∴ 即： 即：已知，图中，，，之间关系：． （3）； 理由如下：过点G，作 由（2）可知： ∵ ∴ ∴、 即： 通过以上3个问题，发现：当时， ∠1+∠3+∠5+…+∠2n－1＝∠2+∠4+…+∠2n． 【巩固练习1】如图，，，则、和的关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：延长交与，延长交于． 在直角中，；中，， ， ， ，即． 故选：． 【巩固练习2】如图，已知，且，，，则　 　度． 【解答】解：作，作， 则，， ，，， ，， ， 又， ， ， ， 故答案为：54． 【巩固练习3】如图，直线，则的度数为___________°． 【答案】360 【分析】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，根据平行线的判定得出EF∥GH∥MN∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可． 【详解】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，如图所示： ∵CD∥AB， ∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD， ∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5， ∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC， ∴． 故答案为：360． 【巩固练习4】已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解； 【详解】过点、、分别作， ∵ ， ， 平分，平分 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【巩固练习5】问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．       经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，． (1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 【答案】(1)∠CPD＝∠α+∠β，理由见解析 (2)∠CPD＝∠β－∠α或∠CPD＝∠α－∠β (3)∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+ 【分析】（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （3）问题拓展：分别过A2，A3…，An－1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn－1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β； （2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β－∠α；理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠CPE－∠DPE＝∠β－∠α； 当P在BO之间时，∠CPD＝∠α－∠β．理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE－∠CPE＝∠α－∠β． （3）问题拓展：分别过A2，A3…，An－1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn－1作直线∥A1M， 由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+． 故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+． 【题型5】靴子模型 模型结论 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 【例题1】如图，，，则 ． 【分析】延长交于F，由平行线的性质得出同位角相等，再由三角形的外角性质即可求出的度数． 【详解】解：延长交于F，∵，，∴， ∴．故答案为：． 【例题2】如图，，当与满足什么关系时，? 小明认为时，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空： 解：用直尺和圆规，在的右侧找一点M，使（只保留作图痕迹）． ∵， ∴①_____________ ∵ ∴②_________， ∵， ∴③__________， ∴④_____________ ∴． 所以满足的关系为：当时，． 【答案】①，②，③，④ 【分析】首先根据作一个角等于已知角进行尺规作图，然后再题目步骤的引导下，将空白处补充完整即可． 【详解】解：如图，通过尺规作图得：， ∵， ∴①， ∵， ∴②， ∵， ∴③， ∴④， ∴． 所以满足的关系为：当时，． 故答案为：①，②，③，④． 【例题3】如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，根据平角的定义和三角形的外角性质可得，推得，即可求解． 【详解】解：如图：    ∵，∴， 又∵，， ∴，整理得：，故选：B． 【巩固练习1】如图，平分平分，则的度数用含的式子表示为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线． 根据角平分线得出过H作过E作证出即可得结论； 【详解】平分平分 过H作过E作 【巩固练习2】如图，已知，，，则　130　． 【解答】解：反向延长交于， ， ， ； 又， ． 故答案为130 【巩固练习3】已知，    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）如图所示，过点E作，则，根据平行线的性质分别求出，则； （2）如图所示，过点F作，过点E作，则，则有，，再根据角平分线的定义得到，再证明，，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴       （2）解：，理由如下：如图所示，过点F作，过点E作， ∵，∴， ∴，， ∵平分平分，∴， ∵， ∴， ∴，∴． 【题型6】鹰嘴模型 【例题1】如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P= 度．    【分析】要求∠P的度数，只需根据平行线的性质，求得其所在的三角形的一个外角，根据三角形的外角的性质进行求解． 【详解】解：根据平行线的性质，得∠A的同位角是70°，再根据三角形的外角的性质，得∠P＝70°−40°＝30°． 故答案为30． 【例题2】已知，点为之外任意一点．    （1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；[拓展变式]． 【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得出结论； （2）理由如下：过点作，则，根据平行线的性质可得，，进而得出结论； （3）过点作，则，根据平行线的性质得出，，进而即可求解． 【详解】解：（1）．理由如下： 过点作，则．    ． ， ． （2）． 理由如下：过点作，则．    ，． ， ． 【拓展变式】过点作，则．    ， 【例题3】已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2)当点P在线段EF外运动时有两种情况． ①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明； ②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）． 【答案】(1)证明见详解 (2)①；证明见详解；②；证明见详解 【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出； （2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出； ②如图6过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出． 【详解】（1）解：如图4所示：过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴； （2）解：①如图5过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴； ②如图6过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴． 【巩固练习1】如图1，已知，请补充完整下面证明的地过程： 证明：过点E作，（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 则有，（          ） ∵ ， ∴，（等量代换） 又∵，（ ） ∴ ，（等量代换） ∴ ，（           ） ∴ ．（平行于同一直线的两直线平行） 【答案】两直线平行，内错角相等；；已知；；；内错角相等，两直线平行； 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干提供的部分过程结合条件写好每一步的推理过程与依据，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：过点E作，（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 则有，（两直线平行，内错角相等） ∵ ， ∴，（等量代换） 又∵，（已知） ∴，（等量代换） ∴，（内错角相等，两直线平行） ∴．（平行于同一直线的两直线平行） 【巩固练习2】如图，已知，，，则　　． 【解答】解：如图． ， ， 又， ． 故答案是：． 【巩固练习3】（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF＝30°，∠E＝20°，求∠ABE的度数； （2）如图，AB//CD，∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数． 【答案】（1）∠ABE＝40°；（2）∠ABE＝30°；（3）∠MGN＝15°． 【详解】解：（1）过E作EMAB， ∵ABCD， ∴CDEMAB， ∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM， ∵CF平分∠DCE， ∴∠DCE＝2∠DCF， ∵∠DCF＝30°， ∴∠DCE＝60°， ∴∠CEM＝60°， 又∵∠CEB＝20°， ∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°， ∴∠ABE＝40°； （2）过E作EMAB，过F作FNAB， ∵∠EBF＝2∠ABF， ∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x， ∵CF平分∠DCE， ∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y， ∵ABCD， ∴EMABCD， ∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x， ∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x， 同理∠CFB＝y﹣x， ∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°， ∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，   ∴x＝10°， ∴∠ABE＝3x＝30°； 过P作PLAB， ∵GM平分∠DGP， ∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y， ∵PQ平分∠BPG， ∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x， ∵PQGN， ∴∠PGN＝∠GPQ＝x， ∵ABCD， ∴PLABCD，   ∴∠GPL＝∠DGP＝2y， ∠BPL＝∠ABP＝30°， ∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG， ∴30°＝2y﹣2x， ∴y﹣x＝15°， ∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x， ∴∠MGN＝15°． 【题型7】蛇型模型 【例题1】如图，已知直线，为平面内一点，连接，．则、、之间的等量关系为 ．    【答案】 【分析】过点作，从而可得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ， ， ， ， ， ， ， 则、、之间的等量关系为， 故答案为：． 【例题2】已知：，，，则度数为（    ） A．60° B．80° C．85° D．75° 【分析】过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后整理即可得解. 【详解】解：过点作， ∵，，（两直线平行，内错角相等）， （已知），（平行于同一直线的两直线平行），， （两直线平行，同旁内角互补） 即，，.故选D. 【巩固练习1】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则为 ．      【答案】 【分析】过点B作，则，根据平行线的性质，先求出，再得出，即可求解． 【详解】解：过点B作，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，故答案为：160．      【巩固练习2】如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 【课后巩固与综合运用】 1． 如图，，的平分线与的平分线交于点，则　　． 【解答】解：， ， 是的平分线， ， 是的平分线， ， 2． 已知直线，将等边三角形按如图所示的方式放置，若，则 ．    【答案】/25度 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，平行线的判定与性质，过点B作，可得出，再由平行线的性质可得结论． 【详解】解：过点B作，    ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 3． 把一个长方形纸片按照如图所示的长方形折叠后，的对应点，的对应点，若得到，则　　 ． 【解答】解：， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 4． 如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______． 【答案】y＝90°－x+z． 【详解】解：作CG//AB，DH//EF， ∵AB//EF， ∴AB//CG//HD//EF， ∴∠x＝∠1，∠CDH＝∠2，∠HDE＝∠z ∵∠BCD＝90° ∴∠1+∠2＝90°， ∠y＝∠CDH+∠HDE＝∠z+∠2， ∵∠2＝90°－∠1＝90°－∠x， ∴∠y＝∠z+90°－∠x． 即y＝90°－x+z． 5． 如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为 ． 【答案】74 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点作，过点作，先由垂线的定义得到，则由两直线平行内错角相等得到，证明得到，再根据两直线平行同旁内角互补得到，则． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 6． 将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图，点在的延长线上， ，， ， 根据折叠的性质得到，， ， 7． 如图，AB∥CD，，，则 ． 【答案】40 【分析】由得到，再利用三角形的外角定理可以求出． 【详解】∵，∠C＝70°， ∴， 又∵∠FEB＝∠A＋，而∠A＝30°， ∴＝∠FEB－∠A＝70°－30°＝40°， 故答案为：40． 8． 如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式 ． 【答案】∠2+∠3﹣∠1＝180° 【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可． 【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD， ∴∠2+∠BOE＝180°，∠3+∠COF＝180°， ∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF＝360°， ∵∠BOE+∠COF+∠1＝180°， ∴∠BOE+∠COF＝180°﹣∠1， ∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）＝360°， 即∠2+∠3﹣∠1＝180°． 故答案为：∠2+∠3﹣∠1＝180°． 9． 【基础巩固】（1）如图1，平分，平分，，则_______； 【尝试探究】 （2）如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角． ①若，求的度数； ②试说明：． 【拓展提高】 （3）如图3，若，，平分，请判断与的等量关系，并说明理由．    【答案】（1）；（2）①②见解析；（3），理由见解析． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，，，再根据平行线的性质，求解即可； （2）①根据垂直可得，从而得到的度数，利用平行线的性质得到的度数，即可求解；②利用角平分线的定义和平行线的性质，求解即可； （3）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：； （2）①∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分， ∴； ②∵ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴，即 ∴； （3），理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴，即 ∴． 10． 如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两直线平行； (2)①，理由见解析；② (3) 【分析】（1）过点P作直线，根据平行线的性质即可得到答案； （2）①分别过点P，Q作，，由平行线的性质和角平分线的定义得，进而即可求解；②结合平角的定义和即可得到答案； （3）过点P、H作，可得，进而即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点作直线， （已作）， （两直线平行，内错角相等） 又，（已知）， ，（平行于同一直线的两直线平行）， ， ； （2）解：①. 理由：如图1，分别过点P，Q作，. 的平分线与的平分线交于点， ，. . 同（1）可证得， ②，， . 又，    （3）过点P、H作， ∵， ∴， ∴， ∴，即 故答案为：    11． 【感知探究】（1）如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】（2）如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】（3）如图③，已知，，，则 °． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 12． 已知，点在上，点在上，点为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点作直线， ∵， ∴_______①_______． ∵， ∴_______②_______． ∵， ∴_______③_______（_______④_______）． ∴． (2)【类比探究】如图2，当点在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点与点重合，平分，且，，那么的度数为________． 【答案】(1)；；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（）过点作直线，根据平行线的性质与判定即可求解； （）过点作直线，同理可得，，则； （）利用平行线的性质求出的值，再利用平行线的性质进行计算即可； 本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质. 【详解】（1）过点作直线， ∵， ∴ (平行于同一条直线的两条直线平行)， ， ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴； 故答案为：；；；两直线平行，内错角相等； （2）如图所示，过点作直线， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图所示， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 13． （1）如图①，如果，求证：． （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________． （3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过P作，利用平行线的判定与性质证明即可； （2）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质即可求解； （3）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：过P作，如图，      ∴， ∵（已知）， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：；    （3）过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 即， ∴， 故答案为：．    14． ①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____． 【答案】②③④ 【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论； ②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论； ③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC； ④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC． 【详解】解：①如图1，过点E作EFAB， ∵ABCD， ∴ABEFCD， ∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°， ∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误； ②如图2，过点E作EFAB， ∵ABCD， ∴ABEFCD， ∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF， ∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确； ③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G， ∵ABEF， ∴ABEFCD， ∴∠DCF=∠EFC， 由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC， 又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF ∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC， ∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC， ∴，故③正确； ④如图4，过点P作PFAB， ∵ABCD， ∴ABPFCD， ∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF， ∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确； 故答案为：②③④． 15． 已知，，点C在上方，连接、．    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______ (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）过点C作，可得，再由平行线的性质得，则可求得；（2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得；（3）延长交于点Q，过点G作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解． 【详解】（1）解：过点C作，如图1，∴，       ∵，∴∴， ∵，∴； （2）解：，理由：过点C作，如图，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，即； （3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3，∴， ∵，∴，∵，∴，， ∴，∴， ∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴，由（2）可得：， ∴，即． 16． 【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解； （3）过点作．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【详解】解：（1）如图1，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴． ，而， ∴， ， （2）， 理由：如图2，过点作， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ， ； （3）如图3，过点作． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得，， ∵， ， ． 17． 【感知探究】（1）如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】（2）如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】（3）如图③，已知，，，则 °． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 18． ①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； 如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； 如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： 如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠AEC＝360°， 故①错误； 如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； 如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； 如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为2 19． 已知，点为直线、所确定的平面内一点． 如图1，若，则　90　； 如图2，点在的延长线上，连接、，若，平分，，求的度数； 在（2）的条件下，如图3，过点作交的延长线于点，连接，作的平分线交于点，当时，求的度数． 【答案】（1）90； （2）； （3）． 【解答】（1）90，证明：延长，交与，如图 ， ， ， ， ， 故答案为：90； （2）解：延长，交与，如图 ， ， ， ， ， ，， ， ， 即； 如图3，，， ， ，， ， ， ， ， ． 20． 如图： (1)如图1， ， 若， 计算并直接写出的大小． (2)如图2， 在图1的基础上， 将直线变成折线， 证明： (3)如图3， 在图2的基础上， 继续将且线变成折现．请你写出一条关于 、的数量关系（无需证明直接写出） 【答案】(1)65° (2)见解析 (3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4 【分析】（l）过P作PE∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论； （2）过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论； （3）分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论． （1） 解：过P作PE∥l1 ∵l1∥l2 ∴PE∥l2∥l1 ∴∠A=∠1，∠B=∠2 ∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65° 即∠A+∠B=65°； （2） 证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4 ∵l1∥l2 ∴l1∥l2∥l3∥l4 ∵l1∥l3（已知） ∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等） ∵l3∥l4（已知） ∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等） ∵l2∥l4（已知） ∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180° 又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q ∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°． （3） 解：如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1， ∵， ∴ ∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5， ∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM， ∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5， ∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4． 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $$