第4讲、质数和合数-2024-2025学年五年级数学寒假自习课（人教版）

2024-2025学年五年级数学寒假自习课（人教版） 第二单元：因数和倍数 第4讲、质数和合数 （重难点讲解+知识总结+同步练习+答案解析） 知识点一：质数和合数 【例1】在自然数1～20中，质数有（ ）个，奇数中的合数有（ ）。 【答案】 8 9、15 【分析】根据题意，先了解质数、合数、奇数、偶数的概念，只有1和它本身两个因数的数，叫做质数（或素数）。除1和它本身外还有别的因数的数，叫做合数。自然数按是否是2的倍数的特征可分为奇数和偶数，也就是说是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。依据概念，以下罗列1～20中质数、合数以及奇数。 1～20的自然数中，根据质数与合数的定义可知，质数有2、3、5、7、11、13、17，19共8个；合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20共11个；奇数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。在罗列的数字中找出题目所求即可。 【详解】在自然数1～20中，质数有2、3、5、7、11、13、17，19，共8个，奇数中的合数有9、15。 【例2】一个长方形的周长是16分米，它的长和宽都是质数，这个长方形的面积是多少平方分米？ 【答案】15平方分米 【分析】根据长方形周长公式：长方形周长＝（长＋宽）×2；长＋宽＝长方形周长÷2，求出长方形的长和宽的和；再根据质数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，把长和宽的和分解成两个质数的和，再根据长方形面积公式：长×宽，求出面积。 【详解】16÷2＝8（分米） 8＝5＋3   5×3＝15（平方分米） 答：这个长方形面积是15平方分米。 知识点二：探究和的奇偶性 【例3】a＋5的和是奇数，a一定是（    ）。 A．偶数 B．质数 C．合数 D．奇数 【答案】A 【分析】根据奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数进行判断即可。 【详解】因为5是奇数，a＋5的和是奇数，所以a一定是偶数。 故答案为：A 【例4】科学课充满各种有趣的实验。老师取出块1g钩码演示弹簧弹力大小的实验。如果弹簧读数是奇数，m一定是（    ）数。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】A 【分析】由题意，每块钩码重1g，老师取出了块，则所有钩码共重g；且此时弹簧秤的读数为奇数，就是说m＋6的计算结果是奇数，因为奇数＋偶数＝奇数，而6是偶数，那么m就一定是奇数。 【详解】依据两个整数和的奇偶性及具体题意可得： m一定是奇数。 故答案为：A。 1、质数和合数 （1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 （2）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 （3）1不是质数，也不是合数。 （4）最小的质数是2，最小的合数是4。 （5）质数×质数＝合数 （6）100以内的质数表（共25个） 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 2、探究和的奇偶性 奇数＋奇数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数 偶数＋偶数＝偶数 【规律】同奇偶加减必得偶数，异奇偶加减必得奇数。 一、选择题 1．一个正方形的边长是质数，它的面积是（    ）。 A．质数 B．合数 C．偶数 【答案】B 【分析】根据正方形的面积＝边长×边长，质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。据此解答。 【详解】正方形的面积＝边长×边长， 正方形的边长是质数，它的面积都至少有三个因数，所以它的面积一定都是合数。 比如正方形的边长是3，则正方形的面积是3×3＝9，9是合数。 故答案为：B 2．按因数的个数分，非零自然数可分为（    ）。 A．质数和合数 B．奇数和偶数 C．质数、合数和1 【答案】C 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫合数；1既不是质数，也不是合数。据此解答。 【详解】通过分析可得：按因数的个数分，非零自然数可分为质数、合数和1。 故答案为：C 3．下面说法中，错误的是（    ）。 A．自然数不是奇数就是偶数 B．最小的合数是4 C．所有的偶数都是合数 【答案】C 【分析】（1）自然数按照是不是2的倍数可以分为两类，奇数、偶数；自然数按照因数个数的多少可以分为三类，1、质数、合数； （2）整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1； （3）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数，1既不是质数也不是合数，据此解答。 【详解】A．由自然数的分类情况可知，自然数不是奇数就是偶数； B．4的因数有1，2，4，4有三个因数，4是最小的合数； C．2是偶数，2的因数只有1和2，2是质数，所以2是唯一的偶质数。 故答案为：C 4．两个质数的积一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．奇数 【答案】B 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。质数：只有1和它本身两个因数。合数：除了1和它本身，还有其他因数。据此作答。 【详解】若这两个质数是2和3，2×3＝6，6既是合数又是偶数。 若这两个质数是5和3，5×3＝15，15既是合数又是奇数。 因此两个质数的积一定是合数。只有选项B符合题意。 故答案为：B 二、填空题 5．在10以内的自然数中，（ ）是偶数但不是合数，（ ）和（ ）是奇数但不是质数，（ ）既不是质数，又不是合数。 【答案】 2 1 9 1 【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。据此解答。 【详解】在10以内的自然数中，偶数有0、2、4、6、8、10，奇数有1、3、5、7、9，质数有2、3、5、7，合数有4、6、8、9、10，所以2是偶数但不是合数，1和9是奇数但不是质数，1既不是质数，又不是合数。 6．（ ）既不是质数也不是合数。 【答案】1 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数； 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】1的因数是1，只有一个因数，所以1既不是质数也不是合数。 7．三个质数的和是14，这三个质数中最小的是（ ），它们的积是（ ）。 【答案】 2 70 【分析】10以内的质数：2、3、5、7，其中2、5、7的和为14，据此解答即可。 【详解】三个质数的和是14，这三个质数是2、5、7，最小的是2，它们的积是。 8．两个质数的和是12，积是35。这两个质数分别是（ ）和（ ）。 【答案】 5 7 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【详解】12＝5＋7、5×7＝35 两个质数的和是12，积是35。这两个质数分别是5和7。 9．0.2的计数单位是（ ），它添上（ ）个这样的计数单位就是最小的质数。 【答案】 0.1 18 【分析】判断一个小数的计数单位要看它的最低位的计数单位是几，这个小数的计数单位就是几；0.2的计数单位是0.1；最小的质数是2，用2减去0.2，再除以它的计数单位0.1，即可解答。 【详解】0.2的计数单位是0.1； （2－0.2）÷0.1 ＝1.8÷0.1 ＝18（个） 0.2的计数单位是0.1，它添上18个这样的计数单位就是最小的质数。 10．用“奇数”或“偶数”填空。 奇数＋偶数＝（ ） 奇数－奇数＝（ ） 奇数×偶数＝（ ） 【答案】 奇数 偶数 偶数 【分析】根据奇偶数的运算性质可知，奇数±偶数＝奇数，奇数±奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，据此填空即可。 【详解】例如： 3是奇数，4是偶数，3＋4＝7，7是奇数，则奇数＋偶数＝奇数； 7是奇数，5是奇数，7－5＝2，2是偶数，则奇数－奇数＝偶数； 3是奇数，4是偶数，3×4＝12，12是偶数，则奇数×偶数＝偶数。 11．一个数可以由三个不同的质数相乘得到，这个数最小是（ ）。 【答案】30 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。确定最小且不同的三个质数，相乘即可。 【详解】最小且不同的三个质数是2、3、5，2×3×5＝30 一个数可以由三个不同的质数相乘得到，这个数最小是30。 12．200多年前，德国数学家哥德巴赫提出一个命题：“凡大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。”如：8＝3＋5，12＝5＋7，则16＝（ ）＋（ ）。 【答案】 3 13 【分析】质数是只有1和它本身两个因数的数，“凡大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。”如：8＝3＋5，12＝5＋7，则16可以写成3和13两个奇质数的和，据此解答即可。 【详解】200多年前，德国数学家哥德巴赫提出一个命题：“凡大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。”如：8＝3＋5，12＝5＋7，则16＝。 三、判断题 13．把36写成质数相乘的形式是36＝3×3×4。（ ） 【答案】× 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【详解】36＝2×2×3×3 所以原题说法错误。 故答案为：× 14．两个合数相乘的积是合数，两个质数相乘的积是质数。（ ） 【答案】× 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】如：合数4和9，4×9＝36，36是合数； 质数2和3，2×3＝6，6是合数； 所以，两个合数相乘的积是合数，两个质数相乘的积也是合数。 原题说法错误。 故答案为：× 15．如果x是任意自然数，那么6x＋3的值一定是偶数。（ ） 【答案】× 【分析】根据奇偶数的特征：奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数。据此解答即可。 【详解】由分析可知： 无论x取何值，6x都是偶数，因为3是奇数，根据偶数＋奇数＝奇数，所以6x＋3一定不是偶数。所以原题干说法错误。 故答案为：× 16．质数中除了2以外都是奇数。（ ） 【答案】√ 【分析】根据奇数、质数的意义：不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；据此填空即可。 【详解】由分析可知： 质数中除了2以外都是奇数。说法正确。 故答案为：√ 17．甲乙都是非零自然数，因为甲＞乙，所以甲的因数一定比乙多。（ ） 【答案】× 【分析】根据“质数的因数只有两个：它本身和1；而合数至少有3个因数”进而判断即可。 【详解】质数不管有多大，都只有1和自身共2个因数，如：101只有1个101两个因数；而合数不管有多小，至少有3个因数，如：4有 1、2和4共三个因数。原题说法错误。 故答案为：× 四、解答题 18．两个质数和是20，积是91，求这两个数，如果一个质数和一个合数的和是15，积是36，那这两个数又是多少？ 【答案】13和7；12和3 【分析】根据质数与合数的意义，质数只有1和它本身两个因数，合数除了1和它本身还有别的因数；13是质数，7是质数，13＋7＝20，13×7＝91；3是质数，12是合数，3＋12＝ 15，12×3＝36，据此解答。 【详解】13是质数，7是合数，，，所以这两个数是13和7。 3是质数，12是合数，，，所以这两个数是12和3。 19．整数，的最小公倍数记为[，]，如“[6，9]＝18”就表示“6和9的最小公倍数是18”；整数，的最大公因数记为（，），如“（4，6）＝2”就表示“4和6的最大公因数是2”。小明说：[，]×（，）＝×（，都是大于0的自然数）。他说得对吗？请说明。 【答案】说得对，见详解。 【分析】可假设a＝c×d，b＝c×e，其中c表示a. b所有公有质因数的积；d表永a独有质因数的积，e表示b独有质因数的积。通过计算进行判断即可。 【详解】假设a＝c×d，b＝c×e，其中c表示a. b所有公有质因数的积；d表永a独有质因数的积，e表示b独有质因数的积。 则（a，b）＝c [a，b]＝c×d×e 故[，]×（，） ＝ c×d×e×c ＝（c×d）×（c×e） ＝× 原题说法正确。 20．一个长方形的长和宽都是以厘米为单位的质数，且周长是64厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 【答案】247平方厘米 【分析】先用周长÷2，求出长宽的和，根据除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，确定长和宽，再根据长方形面积＝长×宽，求出面积比较即可。 【详解】64÷2＝32＝29＋3＝19＋13 29×3＝87（平方厘米） 19×13＝247（平方厘米） 87＜247 答：这个长方形的面积最大是247平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级数学寒假自习课（人教版） 第二单元：因数和倍数 第4讲、质数和合数 （重难点讲解+知识总结+同步练习+答案解析） 知识点一：质数和合数 【例1】在自然数1～20中，质数有（ ）个，奇数中的合数有（ ）。 【例2】一个长方形的周长是16分米，它的长和宽都是质数，这个长方形的面积是多少平方分米？ 知识点二：探究和的奇偶性 【例3】a＋5的和是奇数，a一定是（    ）。 A．偶数 B．质数 C．合数 D．奇数 【例4】科学课充满各种有趣的实验。老师取出块1g钩码演示弹簧弹力大小的实验。如果弹簧读数是奇数，m一定是（    ）数。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 1、质数和合数 （1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 （2）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 （3）1不是质数，也不是合数。 （4）最小的质数是2，最小的合数是4。 （5）质数×质数＝合数 （6）100以内的质数表（共25个） 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 2、探究和的奇偶性 奇数＋奇数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数 偶数＋偶数＝偶数 【规律】同奇偶加减必得偶数，异奇偶加减必得奇数。 一、选择题 1．一个正方形的边长是质数，它的面积是（    ）。 A．质数 B．合数 C．偶数 2．按因数的个数分，非零自然数可分为（    ）。 A．质数和合数 B．奇数和偶数 C．质数、合数和1 3．下面说法中，错误的是（    ）。 A．自然数不是奇数就是偶数 B．最小的合数是4 C．所有的偶数都是合数 4．两个质数的积一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．奇数 二、填空题 5．在10以内的自然数中，（ ）是偶数但不是合数，（ ）和（ ）是奇数但不是质数，（ ）既不是质数，又不是合数。 6．（ ）既不是质数也不是合数。 7．三个质数的和是14，这三个质数中最小的是（ ），它们的积是（ ）。 8．两个质数的和是12，积是35。这两个质数分别是（ ）和（ ）。 9．0.2的计数单位是（ ），它添上（ ）个这样的计数单位就是最小的质数。 10．用“奇数”或“偶数”填空。 奇数＋偶数＝（ ） 奇数－奇数＝（ ） 奇数×偶数＝（ ） 11．一个数可以由三个不同的质数相乘得到，这个数最小是（ ）。 12．200多年前，德国数学家哥德巴赫提出一个命题：“凡大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。”如：8＝3＋5，12＝5＋7，则16＝（ ）＋（ ）。 三、判断题 13．把36写成质数相乘的形式是36＝3×3×4。（ ） 14．两个合数相乘的积是合数，两个质数相乘的积是质数。（ ） 15．如果x是任意自然数，那么6x＋3的值一定是偶数。（ ） 16．质数中除了2以外都是奇数。（ ） 17．甲乙都是非零自然数，因为甲＞乙，所以甲的因数一定比乙多。（ ） 四、解答题 18．两个质数和是20，积是91，求这两个数，如果一个质数和一个合数的和是15，积是36，那这两个数又是多少？ 19．整数，的最小公倍数记为[，]，如“[6，9]＝18”就表示“6和9的最小公倍数是18”；整数，的最大公因数记为（，），如“（4，6）＝2”就表示“4和6的最大公因数是2”。小明说：[，]×（，）＝×（，都是大于0的自然数）。他说得对吗？请说明。 20．一个长方形的长和宽都是以厘米为单位的质数，且周长是64厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$