清单04 特殊三角形综合题清单（10个题型90题）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（冀教版）

清单04 特殊三角形综合题清单 一、等腰三角形的性质 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小． 若增大，则的变化情况是（　　） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，是一个钢架，，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如，，……若焊接的钢管的长度都与的长度相等，则 （1） ； （2）最多能焊接 根． 3．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，，，分别是上的点，且，，则的度数为 ． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，连接． (1) ； (2) °． 5．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，与相交于点． (1)与的数量关系为___________； (2)若的周长为7，且． ①求的长； ②连接，若的周长为11，求的长； ③若，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 6．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图1，在中，垂直平分交于点D，交于点E；垂直平分交于点F，交于点G．    (1)若，，求的周长； (2)若，求的度数； (3)如图2，改变各角的度数，设的度数为． ①当点G和E重合时，求的值； ②设的度数为，请直接写出和的关系式． 7．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，，为中点，点为射线上（不与点重合）的任意点，连接，并使的延长线交射线于点，设． (1)当时，求的度数是_____； (2)若的三条高线都在该三角形的内部，直接写出的取值范围______． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰直角和等腰直角，是边上的高，延长交于点，，．请直接写出的面积________． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，图2，已知在中，，，，为的平分线，且，是边上一动点（点不与点重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时（如图1所示），求证：； (2)若，，求的长； (3)当点的位置如图2所示时，过点分别作，，且，点在的延长线上，连接，与交于点，写出，与之间的数量关系． 10．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，D是上任意一点，过点D分别向、引垂线，垂足分别为E、F，是边上的高． (1)当D点在什么位置时，？并证明； (2)线段，，的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 11．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点在线段上，点在线段上，且和均是等边三角形，那么（    ）    A． B． C． D． 二、等腰三角形的性质和判定 12．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，的两条高与交于点．关于下面两个结论，判断正确的是（　　） ①平分；②若点在线段上，分别为射线上的点，且，．当与全等时，的长为2或14． A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正磁 13．（2024·河北保定·三模）题目：“如图，已知，点M，N在边上，，P是射线上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，求x的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答得对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 14．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，． A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 15．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是______． (2)如图2，在中，，D为边的中点，求证：． (3)如图3，在中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为______． 16．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知中，，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若轴，垂足为点，点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出：______；_____；点的坐标为_____． (2)如图②，若点在轴上滑动，点在轴上滑动，且轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，请猜想与有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，在中，，为射线上（不与、重合）一动点在的右侧射线的上方作，使得，，连接． (1)证明：； (2)延长交的延长线于点，若， ①利用（1）中的结论求出的度数； ②当是等腰三角形时，______； (3)当在线段上时，若线段，面积为6，则四边形周长的最小值是______． 18．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）在中，，若点为的平分线上一点． (1)当点在的外部时，如图1，过点作于，作交的延长线于，且． ①求证：点在的垂直平分线上： ②_______． (2)当点在线段上时，如图2，若平分，交于点，交于点，过点作，交于点，则： ①_______； ②若，则_______． (3)如图3，过点的直线，若，点和在直线同侧，且点D到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是_______． 19．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）综合与实践 数学活动课上，王老师展示了如下的一个问题： 问题情景：如图1，在中，，，点是边上一动点（点不与点重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接． 问题探究： （1）求证：是直角三角形． （2）试猜想与之间的数量关系并加以说明． 拓展应用： （3）如图2，在中，，，点是外一点，连接，当，且时，请直接写出四边形的面积． 20．（23-24八年级下·河北承德·期中）如图，，为中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点，设． (1)求证：； (2)当时，求的度数； (3)若三边上的高线在该三角形的内部，直接写出的取值范围． 21．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图1和图2，在中，，，，点P从点A出发沿折线匀速移动，速度为1单位/秒，运动到C时停止，点Q在边上随P移动，且始终保持．（设点P的运动时间为t秒） (1)如图1，点在上时，_________，_________；（用含t的代数式表示） (2)如图2，点在边上，时，_________，_________； (3)如图2，点在边上，若，求证：； (4)当时，若为等腰三角形，直接写出的长． 22．（23-24八年级上·河北沧州·期末）（1）如图1，在与中，，求证：； （2）如图2，在与中，，B、D、E 三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； （3）如图 3，与中，，与交于点F，，，的面积为9，求的值． 23．（23-24八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．    (1)当时，______° (2)线段的长度为何值时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出的度数；若不可以，请说明理由． 24．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形； （2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ． （5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 三、等腰三角形个数的确定 25．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 26．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 28．（2024·河北邯郸·三模）如图中的点都在格点上，使（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是 （      ）    A． B． C． D． 29．（19-20八年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，，在坐标轴上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（    ）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 30．（21-22八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 31．（22-23九年级下·河北衡水·阶段练习）题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 32．（18-19八年级·河北保定·期末）如图，已知O为直线BC上一定点，点A在直线外一定点．在直线BC上取点P，使得以O、A、P为顶点的三角形为等腰三角形． (1)当∠AOC=30°时，如果我们通过分类讨论、画图尝试可以找到满足条件的点P共有 个． (2)若在直线BC上有且只有两个满足条件的点P，则∠AOC= ． 33．（21-22八年级上·河北保定·期中）如图，直线：与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，另一直线：过点． （1）写出列各点的坐标　　，　　； （2）求点坐标和的值； （3）若点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，则符合条件的点有 　　个． （4）若点是直线与轴的交点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴正方向移动，设点的运动时间为秒；当为何值时的面积等于4.5，并求出此时点的坐标． （5）若直线：．与，可以围成三角形，直接写出的取值范围 　　． 四、等边三角形的性质 34．（23-24八年级上·河北保定·期末）（1）如图1，，都是等边三角形，线段和之间的数量关系为 ． （2）如图2，，垂足为O，，B为直线上一动点，以为边向右作等边，则线段的最小值为 ． 35．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，中，，，在的顶点，处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由点向点和由点向点爬行，经过后，它们分别爬行到了点，点处，连接，交于点． (1)求证：； (2)小蚂蚁在爬行过程中，的大小会变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 36．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）（1）小艺发现，等边的边上有两点（如图1），她测量发现，又量了，她马上说出的度数．猜想理由！ （2）若等边的边上的两个动点是，注意不与重合，点在点左侧，且，点关于直线的对称点为，连接（如图2），小艺为证明，在上取一点，使得，便轻松解决，请你写出证明过程． 37．（17-18八年级上·浙江湖州·期中）在中，，点D是射线BC上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． (1)如图①，若是等边三角形，且，点D在线段上． ①求证：； ②当四边形的周长取最小时，求的长． (2)若，当点D在线段的延长线上移动时，如图②，和之间有怎样的数量关系？并说明理由． 38．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图1． (1)已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是______． (2)将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中求的度数． 39．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，中，，，在的顶点，处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由向和由向爬行，经过后，它们分别爬行到了，处，连接，，与相交于点． (1)求证：； (2)小蚂蚁在爬行过程中，的大小会变化吗?若变化，请说明理由；若不变，求的度数． (3)如图，当小蚂蚁分别爬行到线段，的延长线上的，处时，若的延长线与交于点，其他条件不变，请直接写出的度数． 五、等边三角形的性质与判定 40．（22-23八年级上·河北承德·期末）如图，直线，相交于点，夹角为．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离为，则度数为（　　） A． B． C． D． 41．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A．垂直平分 B．点不一定在的角平分线上 C． D．若，则垂直平分 42．（24-25八年级上·浙江温州·期中）将两个等边和按如图方式放置在等边三角形内．若求四边形和三角形的周长差，则只需知道（     ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 43．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，中，，是线段上一点（不与点重合），连接，点分别在线段，的延长线上，且．则以下结论：①；②；③；④从运动到的过程中，周长不变．正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 44．（2024·河北邯郸·二模）如图，是的边上的两个点，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的取值范围是______．甲答：；乙答：，则正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙答案合一起才完整 D．甲、乙答案合一起也不对 45．（2024·河北石家庄·一模）对于题目：“在中，，分别以A，B为圆心，以长为半径的两条弧相交于点P，求的度数”．嘉嘉求解的结果是，淇淇说：“嘉嘉的解答正确但不全面，还有另一个不同的值．”则下列判断中，正确的是（    ） A．淇淇说得对，的另一个值是 B．淇淇说的不对，只能等于 C．嘉嘉求的结果不对，应等于． D．两人都不对，应有3个不同的值 46．（23-24八年级上·河北保定·期末）题目：“如图，，C是射线反向延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，已知点P，Q同时出发，表示移动的时间，若是等腰三角形，求t的值．”对于其答案，甲答：“”，乙答：“”，则正确的是（    ）    A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙合在一起才正确 D．甲、乙合在一起也不正确 47．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）完成下列各题 问题初探 如图1，中，，，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图2，中，，，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则____________．（直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线） 方法迁移 如图3，是等边三角形，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，则之间有怎样的数量关系？____________（直接写出答案） 拓展创新 如图4，是等边三角形，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，猜想的度数并说明理由． 48．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，等边中，，点在上，且，动点从点出发沿射线以速度运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点运动的时间为． (1)用含t的代数式表示的长． (2)如图②，当点落在边上时，求证：． (3)当平行于的一边时，直接写出的值． (4)作点D关于点O的对称点E，当______秒时，点E恰好落在射线上． 49．（24-25八年级上·上海·期中）已知在等边中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图①，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________（填“”“”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图②，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并证明结论． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边中，点在直线上，点在的延长线上，且，若的边长为1，，求的长．（请你画出相应图形，并解答） 50．（23-24八年级上·河北保定·开学考试）如图1，中，，点D是线段上一动点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)若， ① ， ②判断线段，之间有怎样的位置关系并说明理由； (2)设，，则x，y之间的数量关系为 ； (3)如图2，当时，若线段，面积为3，直接写出四边形周长的最小值． 51．（22-23八年级上·河北邢台·期末）数学活动课上老师出示了如下条件，让同学们自己提出问题并解决. 如图，在中，，点在边上，且是线段上的一个动点（不与点重合），在射线上截取，连接.    嘉嘉和淇淇经过讨论后，进行了如下探究。 (1)①如图，若点与点重合，即线段的长度为0，猜测此时线段之间的数量关系是. 请你给出的理由； ②若点不与点重合，线段之间也存在一个数量关系. 请你猜测线段之间的数量关系，并证明； (2)若把“是线段上的一个动点”改为“是射线上的一个动点（不与点重合，且”，其他条件都不变，则当点在线段的延长线上时，请你用等式表示线段之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）.    六、斜边上的中线 52．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 53．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在 中，，M是斜边的中点，以为边作正方形．若 ，则（   ）    A． B． C．25 D．20 54．（2024·河北邯郸·三模）如图，在中，，点D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为 （      ） A． B． C． D． 55．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，，，根据图中的尺规作图痕迹，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 56．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，将一直角三角形纸片沿斜边中线l剪开，得到和，下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 57．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，P是的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，长度的变化情况是（　　） A．不断增大 B．不断减小 C．先减小后增大 D．不变 58．（23-24九年级下·河北·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，取的中点，的中点．则在旋转过程中，线段的最小值 ． 59．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，分别为的中点． （1）若，则 度； （2）若，则 度． 60．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、的延长线于点E、F．求证：； 61．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在中，、分别是边、上的高线，取F为中点，连接点D，E，F得到，G是中点． (1)求证：； (2)如果，，求的长度． 七、含30°锐角的直角三角形 62．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图， 为等边三角形， 且，点D是边上一动点， 点E为边上一动点， 若沿着直线翻折后， 点A始终落在边上．若， 则满足条件的a的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 63．（2024·河北邢台·模拟预测）题目：“如图，，，在射线BM上取一点A，设，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 64．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在等边中，，P为上一点（不与点B，C重合），过点P作于点P，交线段于点M，将绕点P顺时针旋转，交线段于点N，连接，有三位同学提出以下结论： 嘉嘉：为直角三角形． 淇淇：当时，． 珍珍：在点P移动的过程中，不存在平行于的情况． 下列说法正确的是（    ） A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确 C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确 65．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，，则长为 cm． 66．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，已知，点是上一点，． （1）在射线上找一点，如果，那么这样的点有 个； （2）当的取值范围是 时，在射线上找的点是唯一的． 67．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，． (1)求证：； (2)求的长． 68．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，．    (1)求的长； (2)点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值． 69．（24-25八年级上·广东广州·期中）在等边中，，点D是边上的一点，点E在边的延长线上、且．连接． (1)如图，若， ①求证：， ②若点M、N分别是线段上的动点，连接，求的最小值． (2)若点D和点E分别是直线和直线上的动点，，将图补充完整，求的长． 八、用勾股定理理解三角形 70．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，则的周长为（   ）. A．14 B．18 C．30 D．24 71．（23-24八年级下·河北邢台·期末）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形的面积S： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（　　） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 72．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图在中，，，，将沿折叠，使点刚好落在边的中点处，则的长为 ． 73．（24-25八年级上·河北唐山·期中）数学课上，老师讲解实数与数轴上的点是一一对应关系，要求学生在数轴上描点． (1)点表示的数是面积为的正方形边长，点表示的数是______；在数轴（如图）上标出点； (2)把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是______，并在数轴（如图）上标出点． (3)比较点处表示的数字与的大小，直接写出结果． 74．（19-20八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 75．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）所作的垂直平分线分别交于点D，E，连接，若，，求的面积． 76．（21-22八年级下·四川达州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 九、勾股定理的实际应用 77．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）若有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，，，，已知距离火车以内会受到噪音的影响．       （1）学校C到铁路AB的距离是 ． （2）火车在AB路段行驶时，学校C受到火车噪音影响的时间是 ． （3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），那么其行驶速度至少应增加到 ． 78．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，风等在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线与水平地面垂直，引线的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米（风筝本身的长宽忽略不计）． (1)求此时风筝离地面的高度； (2)现要使风筝沿竖直方向上升9米至M处，若A，B位置不变，引线的长度应加长多少米？ 79．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东方向上的避风港B处． (1)问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果保留根号） (2)如果轮船的航速是每小时20海里，通过计算说明轮船能否在台风到来前赶到避风港B处． 80．（23-24八年级下·河北张家口·期末）某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A在同一直线上，点A，B在同一直线上，，测得，，． (1)求入口B到大摆锤C的距离； (2)现要在距离大摆锤的E处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E在同一直线上，且使旋转木马E到过山车D的距离最近． ①与的位置关系为______； ②求过山车D到旋转木马E的距离． 81．（20-21八年级上·河北承德·期末）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处． （1）求小明家离小红家的距离； （2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值． 82．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 83．（24-25八年级上·广东深圳·期中）【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？ （取） 素材：如图，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与 点对应的 点处的食物． 若蚂蚁沿图中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 ． 将圆柱沿着将侧面展开得到图，请在图中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是 ； 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 （用“一”或“二”填空）． 素材：如图所示的实践活动器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的． （1） 两种路线路程的长度如表所示（单位：）： 圆柱高度 沿路线一路程 沿路线二路程 比较与的大小 （2） 填空：表格中的值是 ；表格中表示的大小关系是 ； （3） 经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为，圆柱的高为． 在不变的情况下，当圆柱半径为与圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 十、勾股定理逆定理 84．（19-20八年级上·河北石家庄·期末）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 85．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，，则阴影部分的面积（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 86．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在中，，，所对的边分别为a，b，c下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 87．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，O是等边内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段 嘉嘉：由图知； 琪琪：． 以下说法，正确的是（   ） A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．两人都正确 D．两人都错误 88．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，且A，B，C都在格点（每个小正方形的顶点）上． (1)填空： ______，______． (2)求的度数． 89．（11-12八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在四边形中，，，，且，求的度数． 90．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 试卷第10页，共130页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 特殊三角形综合题清单 一、等腰三角形的性质 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小． 若增大，则的变化情况是（　　） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，根据题意求出增大是解答关键． 先用等腰三角形的性质和外角性质求出，结合已知求出增大，再利用来求解． 【详解】解：， ， ． 增大， 增大． ， 减小． 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，是一个钢架，，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如，，……若焊接的钢管的长度都与的长度相等，则 （1） ； （2）最多能焊接 根． 【答案】 30 5 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； 故答案为：30； （2）由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， 同理可得， 如图， ∴， ∴， ∴最多能焊接5根； 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，，，分别是上的点，且，，则的度数为 ． 【答案】/34度 【分析】此题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的内角和的运用．根据，求得，再证明得到，由，，推出． 【详解】解：，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，连接． (1) ； (2) °． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意画出对应的图形是解题关键． （1）当点在点左边时，当点在线段上时，当点在点右边时，均有，据此即可求解； （2）分类讨论当点在点左边时，当点在线段上时，当点在点右边时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解： 当点在点左边时，如图所示： ∵， ∴，即； 当点在线段上时，如图所示： ∵， ∴，即； 当点在点右边时，如图所示： ∵， ∴，即； ∵， ∴三种情况下，均有， ∴， 故答案为： （2）解：∵， ∴； 当点在点左边时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 当点在点右边时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 故答案为：或 5．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，与相交于点． (1)与的数量关系为___________； (2)若的周长为7，且． ①求的长； ②连接，若的周长为11，求的长； ③若，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；②；③若时，；若时，． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可得； （2）①根据线段垂直平分线的性质可得，，再由的周长为7，即可求解； ②根据线段垂直平分线的性质可得，再由的周长为11，即可求解； ③根据，，可得，再由三角形内角和定理可得，进而分类讨论求解即可求解． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， 故答案为：； （2）解：①，是边，的垂直平分线， ，， ， ， ∵， ∴， ∴； ②连接，，，如图所示： ，是边，的垂直平分线，与相交于点， ， ，， ， ； ③∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 若时，如图， 则． 若时，如图， 则， 综上，若时，；若时，． 6．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图1，在中，垂直平分交于点D，交于点E；垂直平分交于点F，交于点G．    (1)若，，求的周长； (2)若，求的度数； (3)如图2，改变各角的度数，设的度数为． ①当点G和E重合时，求的值； ②设的度数为，请直接写出和的关系式． 【答案】(1)14 (2) (3)①的值为，②当时，，当时， 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质和三角形内角和定理， 根据垂直平分线的性质得，结合的周长为即可； 设，结合三角形内角和定理得，由垂直平分线的性质得，则有，即可求得； ①当点G和E重合时，由垂直平分线的性质得，则，结合三角形内角和定理即可求得的值； ②根据角度关系分：当和当两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分交于点D；垂直平分交于点F， ∴， ∵，， ∴的周长为 ； （2）解：设， 在中，， 则， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴； （3）解：①当点G和E重合时，， ∴， 在中，， ∴， 则的值为； ②(a)当， 如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ， 则； （b）当， 如图， 同理，，， ∵， ∴， ， ， 则， 综上所述，当时，，当时，． 7．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，，为中点，点为射线上（不与点重合）的任意点，连接，并使的延长线交射线于点，设． (1)当时，求的度数是_____； (2)若的三条高线都在该三角形的内部，直接写出的取值范围______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定，三角形内角和定理等知识， （1）根据证明：， 可得，所以，由等边对等角可得结论； （2）证明是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论． 【详解】（1）解：∵P是的中点， ∴， 在和中， ∵ ， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵的三条高线都在该三角形的内部， ∴是锐角三角形， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰直角和等腰直角，是边上的高，延长交于点，，．请直接写出的面积________． 【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定； （1）证明，可得，即可得证； （2）证明，可得，即可得证； （3）延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则，由（1）和（2）的结论可知，证明，再证明，根据面积关系可得，再求解即可． 【详解】（1） 证明：直线，直线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则， 由（1）和（2）的结论可知， ， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，图2，已知在中，，，，为的平分线，且，是边上一动点（点不与点重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时（如图1所示），求证：； (2)若，，求的长； (3)当点的位置如图2所示时，过点分别作，，且，点在的延长线上，连接，与交于点，写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)1或7 (3) 【分析】（1）首先证明，，然后利用“”证明即可； （2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合求解即可； （3）首先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，易得，进而可得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当点在点的左侧时，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如下图， ∵，，为的平分线， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的长为1或7； （3），理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定定理是解题关键． 10．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，D是上任意一点，过点D分别向、引垂线，垂足分别为E、F，是边上的高． (1)当D点在什么位置时，？并证明； (2)线段，，的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)当点D在的中点时，，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据证，根据全等三角形的性质推出即可； （2）连接，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：当点在的中点上时，． 理由如下： 为中点， ， ， ， ，， ， 在和中 ， ， ． （2）解：，理由如下： 连接， ， ， ， ． 11．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点在线段上，点在线段上，且和均是等边三角形，那么（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、平角的定义；由等边三角形的性质和平角的定义以及三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 二、等腰三角形的性质和判定 12．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，的两条高与交于点．关于下面两个结论，判断正确的是（　　） ①平分；②若点在线段上，分别为射线上的点，且，．当与全等时，的长为2或14． A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正磁 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的高和三角形的内角和定理，结合等角的余角相等得到，则，，证明得到，可判断①；分两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的性质可判断②，进而可得结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∵的两条高与交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； 如图， ∵，， ∴，又， ∴当时，， ∴； 如图， ∵，， ∴，又， ∴当时，， ∴， 综上，当与全等时，的长为2或14，故②正确； 故选：C． 13．（2024·河北保定·三模）题目：“如图，已知，点M，N在边上，，P是射线上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有3个，求x的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答得对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质，画出满足题意的图形．根据等腰三角形的性质，画出满足条件的三角形，即可． 【详解】当时，点，，构成等腰三角形的点恰好有3个， 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； ∴，，满足题意； 当时，存在满足条件的点只有一个； ∴； 当，存在满足条件的点只有个； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当时，存在满足条件的有三个点； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当时，存在4个满足条件的点， ∴甲、丙答案合在一起才完整， 故选：B． 14．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论：①；②若，则；③当时，则D为中点；④当为等腰三角形时，． A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 【详解】解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③， 故选：C． 15．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是______． (2)如图2，在中，，D为边的中点，求证：． (3)如图3，在中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为______． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)①，理由见解析；②2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线模型，平方差公式的计算； （1）证明，得到，即可求解； （2）延长到点E，使，则，连接，先证明，得到，，再证明，，即可得到； （3）①延长到点G，使，连接，先证明，得到，，再由平分和，得到，即可得到； ②由，得到，设，则，由①得，得到，最后由，求解方程即可． 【详解】（1）解：在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图1，延长到点E，使，则，连接． ∵D为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）①．理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 16．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知中，，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若轴，垂足为点，点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出：______；_____；点的坐标为_____． (2)如图②，若点在轴上滑动，点在轴上滑动，且轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，请猜想与有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)；； (2)，证明见解析 【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、非负数性质，熟练掌握相关性质和判定定理是解题关键． （1）根据算术平方根和平方的非负数性质可得出，，根据同角的余角相等得出，利用可证明，即可得出，，进而求出，即可得答案； （2）延长和交于点，同（1）的方法可证明，得出，利用三角形内角和定理得出，根据等角对等边得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，即可得结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为 （2）解：，理由如下： 延长和交于点， ， ， ， 轴， ， ， ， 在和中，， ， ， 轴平分， ， ∵， ， ， ， ． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，在中，，为射线上（不与、重合）一动点在的右侧射线的上方作，使得，，连接． (1)证明：； (2)延长交的延长线于点，若， ①利用（1）中的结论求出的度数； ②当是等腰三角形时，______； (3)当在线段上时，若线段，面积为6，则四边形周长的最小值是______． 【答案】(1)见解析 (2)① ② 或 (3) 【分析】（1）由， 可得， 即可证明； （2）①设， 可得， 即得，， 根据， 有 故； ②， 分两种情况： 当时，，当时，； （2）可证， 得， 即得， 知四边形周长最小时， 最小， 而， 可得当最小时， 四边形周长最小时， 此时， 根据， 面积为， 得， 从而可知四边形最小周长为． 【详解】（1）证明：， 。 即， 在和中， ， ∴； （2）①如图： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ， 解得， ； ②由①知，，， 当时，如图： ， ， 当 时，如图： ， ∴当是等腰三角形时，的度数为或； （3）如图： 同（1）可证， ， ， ∴四边形周长最小时，最小， 。 ∴当最小时，四边形周长最小时，此时， 面积为， ， ∴四边形最小周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰三角形性质及应用，四边形周长最小值等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理， 证明. 18．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）在中，，若点为的平分线上一点． (1)当点在的外部时，如图1，过点作于，作交的延长线于，且． ①求证：点在的垂直平分线上： ②_______． (2)当点在线段上时，如图2，若平分，交于点，交于点，过点作，交于点，则： ①_______； ②若，则_______． (3)如图3，过点的直线，若，点和在直线同侧，且点D到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是_______． 【答案】(1)①见解析；②2； (2)①；； (3)2或4或12 【分析】（1）①由是的平分线，，得出，借助，得到，即可证明点D在的垂直平分线上； ②通过证出，从而有，即可得出，即可求出BE的长； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）①证明：连接， ∵是的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； ②由①知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）①∵平分，平分，， ∴，即， ∴， 故答案为：； ②∵，即， ∴， 延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）当点D在内部时，如图： ∵， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的下方时，如图： 设点D到三边的距离为x， 由题意得：， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图，不符合题意，舍去； 故答案为：2或4或12． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． 19．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）综合与实践 数学活动课上，王老师展示了如下的一个问题： 问题情景：如图1，在中，，，点是边上一动点（点不与点重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接． 问题探究： （1）求证：是直角三角形． （2）试猜想与之间的数量关系并加以说明． 拓展应用： （3）如图2，在中，，，点是外一点，连接，当，且时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2），说明见解析；（3）四边形的面积为4.5． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，即可得出，利用证明，得出，由计算即可得出答案； （2）由全等三角形的性质得出，结合等腰直角三角形的性质即可得解； （3）作交的延长线于，证明得出，，再根据计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ， 由旋转的性质可得：，， ，即， ， ， ， 是直角三角形； （2），理由如下： 由（1）可得：， ， 在中，，， ； （3）如图，作交的延长线于， ，在中，，， ， ， ， ，即， ，， ， ， ，， ． 20．（23-24八年级下·河北承德·期中）如图，，为中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点，设． (1)求证：； (2)当时，求的度数； (3)若三边上的高线在该三角形的内部，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题是三角形和圆的综合题，主要考查了三角形全等的判定，利用其性质求角的度数，结合三角形三条高交点位置的知识确定三角形的形状，进而求出角度． （1）根据证明即可； （2）由（1）中的全等得：，所以，由等边对等角可得结论； （3）由三边上的高线在该三角形的内部，可得是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得：， ， ， ， ， ； （3）解：∵三边上的高线在该三角形的内部， ∴是锐角三角形， ∴． 21．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图1和图2，在中，，，，点P从点A出发沿折线匀速移动，速度为1单位/秒，运动到C时停止，点Q在边上随P移动，且始终保持．（设点P的运动时间为t秒） (1)如图1，点在上时，_________，_________；（用含t的代数式表示） (2)如图2，点在边上，时，_________，_________； (3)如图2，点在边上，若，求证：； (4)当时，若为等腰三角形，直接写出的长． 【答案】(1)， (2)， (3)见解析 (4)3或 【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，即有，即可求解； （2）利用三角形外角的性质定理可得，进而根据三角形内角和定理即可求解； （3）当时，点在上运动，当为等腰三角形时，分为三种情况：①当时；②当时；③当时，结合等腰三角形的性质即可作答． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ， 故答案为：，． （2）∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：，． （3）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴； （4）解：依题意，当时，点在上运动， ①当时，， 则是等腰直角三角形，则 ∵ ∴ ∴， 则是等腰直角三角形， 又 ∴； ②当时，如图所示， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； ③当时，则， ∴, 又∵ ∴ 则点、与点重合，不能构成三角形， 故此情形不存在； 综上所述，的长为3或． 【点睛】本题考查了列代数式，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的定义与性质，全等三角形的判定；熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．（23-24八年级上·河北沧州·期末）（1）如图1，在与中，，求证：； （2）如图2，在与中，，B、D、E 三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； （3）如图 3，与中，，与交于点F，，，的面积为9，求的值． 【答案】（1）见解析（2）；8；（3） 【分析】（1）由证即可； （2）①同（1）得，得，即可得出结论；②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论； （3）连接，同（2）得，则，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵ ∴， ∴， ∴； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ∴， ∵点F为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ∴， ∴， 在和F中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 23．（23-24八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．    (1)当时，______° (2)线段的长度为何值时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)25 (2)见解析 (3)可以，或 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识： （1）根据平角的定义计算，得到答案； （2）当时，利用，，得到，根据，证明； （3）分三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）解：∵， ∵， 故答案为：25； （2）解：当时，，理由如下： ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的形状可以是等腰三角形． 当时，， ∴； 当时，， ∴， 此时，点D与点B重合，不合题意； 当时，， ∴． 综上，当的度数为：或时，的形状是等腰三角形． 24．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形； （2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ． （5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边． （1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，即可得出结果； （2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，进而得到即可； （3）同法（2）可得：，利用，求解即可； （4）同法（2）得到，推出的周长等于，即可得出结果； （5）同法（2）得到，推出的周长等于的长即可． 掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）∵平分，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3； （3）同法（2）可得：， ∴； 故答案为：12； （4）同法（2）可得：， ∴的周长； 故答案为：30； （5）同法（2）可得：， ∴的周长； 故答案为：5cm． 三、等腰三角形个数的确定 25．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定， 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰底边；②为等腰其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 一共有8个点. 故选：C． 26．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论：①为等腰直角底边时，符合条件的点有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的点有3个． 故共有3个点， 故选：C． 27．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为底边时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个， ； 如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个， ； 综上所述，使为等腰三角形的点有个， 故选：B． 28．（2024·河北邯郸·三模）如图中的点都在格点上，使（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是 （      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，等腰三角形的定义，勾股定理，根据网格的特点和勾股定理可得都是等腰三角形，而不是等腰三角形，再根据轴对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：根据网格的特点和勾股定理可得都是等腰三角形，即这三个三角形都是轴对称图形， 不是轴对称图形， 故选：B． 29．（19-20八年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，，在坐标轴上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（    ）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】作出图形，以AB为底边与腰长两种情况确定出点P的位置，即可得解. 【详解】    如图：符合条件的点P共有6个. 故选C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质定理，坐标与图形性质，根据坐标特征确定等腰三角形是解题的关键. 30．（21-22八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得． 【详解】解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点． 则符合条件的点共有5个， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题关键． 31．（22-23九年级下·河北衡水·阶段练习）题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，画出满足条件的三角形，即可． 【详解】当时，点，，构成等腰三角形的点恰好有3个， 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； ∴，，满足题意；   当时，存在满足条件的点只有一个； ∴；   当，存在满足条件的点只有个； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形；   当时，存在满足条件的有三个点； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形；   当时，不存在满足条件的点， ∴甲、丙答案合在一起才完整， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质，画出满足题意的图形． 32．（18-19八年级·河北保定·期末）如图，已知O为直线BC上一定点，点A在直线外一定点．在直线BC上取点P，使得以O、A、P为顶点的三角形为等腰三角形． (1)当∠AOC=30°时，如果我们通过分类讨论、画图尝试可以找到满足条件的点P共有 个． (2)若在直线BC上有且只有两个满足条件的点P，则∠AOC= ． 【答案】 （1）4； （2）60°、120°或90°. 【分析】（1）分OA为腰或底分别讨论画出图形即可． （2）若在直线BC上有两个满足条件的点P，则∠AOC=60°或120°或90°． 【详解】解：（1）如图所示， 若OA为腰时，点P4、P1、P2即为所求； 若OA为等腰三角形的底，点P3即为所求； 故答案为4． （2）若在直线BC上有两个满足条件的点P，则∠AOC=60°或120°或90° 故答案为60°、120°或90°． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 33．（21-22八年级上·河北保定·期中）如图，直线：与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，另一直线：过点． （1）写出列各点的坐标　　，　　； （2）求点坐标和的值； （3）若点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，则符合条件的点有 　　个． （4）若点是直线与轴的交点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴正方向移动，设点的运动时间为秒；当为何值时的面积等于4.5，并求出此时点的坐标． （5）若直线：．与，可以围成三角形，直接写出的取值范围 　　． 【答案】（1），；（2）的坐标为，；（3）3；（4）或；（5）且或且． 【分析】（1）分别令，，即可求得，两点的坐标； （2）把的坐标代入直线上的解析式即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得； （3）根据等腰三角形的性质，两腰相等，可以分别以，两点为圆心，长为半径作弧分别与轴交于两点，即为所求； （4）根据直线的解析式得出的坐标，根据题意得出，然后根据即可求得的面积与的函数关系式；通过解方程或，求得的值，即可求得的坐标； （5）若直线：．与，可以围成三角形，那么不能与，平行，即可求得的取值范围． 【详解】解：（1）∵直线：与轴，轴分别交于，两点， ∴当时，， 则， 当时，， ∴，， 故答案为：，； （2）点为直线上一点， ，解得， 点的坐标为， 把点的坐标代入得，， 解得， 即点的坐标为，； （3）如图分别以，两点为圆心，长为半径作弧与轴交于，，3个点． 故答案为：3； （4）直线的解析式为， 点的坐标为， 由直线可知， 当在、之间时， 则，， ， ， ∴， 解得：， ∴； 当在的右边时， 则，， ； ， ∴， 解得：， ∴， 即的坐标为或； （5）已知直线：过点， 情况一：如图当时，， ∴此时与，不能围成三角形， ∴且；与，可以围成三角形； 情况二：如图当时，， ∴此时与，不能围成三角形， ∴且；与，可以围成三角形； 故答案为：且或且． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，一次函数的性质，待定系数法求解析式以及三角形的面积等，分类讨论是解题关键． 四、等边三角形的性质 34．（23-24八年级上·河北保定·期末）（1）如图1，，都是等边三角形，线段和之间的数量关系为 ． （2）如图2，，垂足为O，，B为直线上一动点，以为边向右作等边，则线段的最小值为 ． 【答案】 3 【分析】（1）根据证明即可得出线段和之间的数量关系； （2）以为一边在的左边作等边，作于点D，连接，根据证明即可得出，求出的最小值即可． 【详解】解：（1）∵，都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）以为一边在的左边作等边，作于点D，连接， ∵，都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B与点D重合时，线段取得最小值． ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 35．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，中，，，在的顶点，处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由点向点和由点向点爬行，经过后，它们分别爬行到了点，点处，连接，交于点． (1)求证：； (2)小蚂蚁在爬行过程中，的大小会变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)无变化， 【分析】本题考查了全等三角形的应用，等边三角形的性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的性质和判断是解题的关键． （1）根据小蚂蚁的速度相同求出，再利用“边角边”证明和全等即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的内角和表示出，再根据，即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得：， ，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 无变化． 36．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）（1）小艺发现，等边的边上有两点（如图1），她测量发现，又量了，她马上说出的度数．猜想理由！ （2）若等边的边上的两个动点是，注意不与重合，点在点左侧，且，点关于直线的对称点为，连接（如图2），小艺为证明，在上取一点，使得，便轻松解决，请你写出证明过程． 【答案】（1），（2）证明见解析 【分析】本题考查的知识点是等边三角形的性质和全等三角形得性质和判定， （1）由外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，即可得出结论； （2）如图在上取一点，使得，连接，，先证明，得，进而证明即可得出结论． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， 又∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）在上取一点，使得，连接，， 是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∵点关于直线的对称点为， ∴，，， ∵， ∴ ∵由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴ ∴． 37．（17-18八年级上·浙江湖州·期中）在中，，点D是射线BC上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． (1)如图①，若是等边三角形，且，点D在线段上． ①求证：； ②当四边形的周长取最小时，求的长． (2)若，当点D在线段的延长线上移动时，如图②，和之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)①见解析，②1 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）①由等边三角形的性质得，根据证明得，进而可求出；②由得，根据四边形的周长可知当最短，即时，四边形的周长最小，据此即可求解； （2）根据证明得，然后根据三角形内角和可求出． 【详解】（1）①证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． ②解：∵是等边三角形，且， ∴． ∵，∴． ∴四边形的周长． ∴当最短，即时，四边形的周长最小． ∵是等边三角形，， ∴． （2）解：． 理由：如图，设与交与点F． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴ ． 38．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图1． (1)已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是______． (2)将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中求的度数． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、旋转的性质、等边三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得,然后根据线段的和差即可解答； （2）①由“”可证即可证明结论；②由全等三角形的性质可得，然后再运用三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． （2）解：如图2中， ①，证明如下： ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ②∵， ∴， 设交于点O． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 39．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，中，，，在的顶点，处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由向和由向爬行，经过后，它们分别爬行到了，处，连接，，与相交于点． (1)求证：； (2)小蚂蚁在爬行过程中，的大小会变化吗?若变化，请说明理由；若不变，求的度数． (3)如图，当小蚂蚁分别爬行到线段，的延长线上的，处时，若的延长线与交于点，其他条件不变，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)不变，； (3)． 【分析】()根据小蚂蚁的速度相同求出，再利用“边角边”证明和全等即可； ()根据全等三角形对应角相等可得 ，然后表示出，再根据等边三角形的性质求出，从而得到； （）先证明，得到，再利用三角形外角性质即可求解； 本题考查了全等三角形的应用，等边三角形的性质，掌握全等三角形的性质和判断是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵小蚂蚁同时从出发，速度相同， ∴后两只小蚂蚁爬行的路程， ∵在和中， ， ∴； （2）∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴无变化； （3）由题可得， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 五、等边三角形的性质与判定 40．（22-23八年级上·河北承德·期末）如图，直线，相交于点，夹角为．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离为，则度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，得出，根据已知条件得出是等边三角形，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 依题意，， ∴，即 ∵点P关于直线l，m的对称点分别是点，， ∴， ∵，，之间的距离为2.8， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，得出是等边三角形是解题的关键． 41．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A．垂直平分 B．点不一定在的角平分线上 C． D．若，则垂直平分 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据题意易得，，则垂直平分，即可判断A；通过证明，得出，即可判断B；根据垂直平分，得出，即可判断C；易得为等边三角形，进而得出，即可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴点A在垂直平分线上， 由作图可知，， ∴点D在垂直平分线上， ∴垂直平分，故A正确，不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上，故B不正确，符合题意； C、∵垂直平分， ∴， 故C正确，不符合题意； D、∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分，故D正确，不符合题意； 故选：B． 42．（24-25八年级上·浙江温州·期中）将两个等边和按如图方式放置在等边三角形内．若求四边形和三角形的周长差，则只需知道（     ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】A 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．连接，由等边三角形的性质得，，，推导出，即可证明，得，，则，可证明是等边三角形，则，所以，若求四边形和三角形的周长差，则只需知道线段的长，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，如图， 和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形和三角形的周长差为3AD， 若求四边形和三角形的周长差，则只需知道线段的长， 故选：A． 43．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，中，，是线段上一点（不与点重合），连接，点分别在线段，的延长线上，且．则以下结论：①；②；③；④从运动到的过程中，周长不变．正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，先利用判定出，再对给定的四个结论进行判断是否是不变量即可作出选择，判定出是解题的关键． 【详解】解：延长至，如图所示： 是等边三角形， ， ， ，， 又，， ； ， ，， ， ， ，故①正确； ， ， ， 在和中，有三角形内角和定理可得，则，故②正确； 在和中， ， ，故③正确； ，， ， ，而虽然不变，但是变化的，故④错误； 综合所述，正确的是①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，判定出是解题的关键． 44．（2024·河北邯郸·二模）如图，是的边上的两个点，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的取值范围是______．甲答：；乙答：，则正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙答案合一起才完整 D．甲、乙答案合一起也不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，分两种情况讨论，根据等腰（等边）三角形的性质解答即可． 【详解】①作线段的垂直平分线交于点P，连接，， 如图所示，则，此时是等腰三角形， 过点M作于点H， 当，满足条件的点P恰好只有一个， ∵，， 当时，， ∴当时，满足条件的点P恰好只有一个； ②当是等边三角形时，满足条件的点P恰好只有一个， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的a的取值范围是或． 故选：C． 45．（2024·河北石家庄·一模）对于题目：“在中，，分别以A，B为圆心，以长为半径的两条弧相交于点P，求的度数”．嘉嘉求解的结果是，淇淇说：“嘉嘉的解答正确但不全面，还有另一个不同的值．”则下列判断中，正确的是（    ） A．淇淇说得对，的另一个值是 B．淇淇说的不对，只能等于 C．嘉嘉求的结果不对，应等于． D．两人都不对，应有3个不同的值 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质等，画出图形，注意分情况讨论是解题的关键．根据题意画出图形，分点在上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：中，， ， ∴； 如图，当点在上方时： 由作图可知：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在下方时： 同理：， ； ∴淇淇说得对，的另一个值是， 故选A． 46．（23-24八年级上·河北保定·期末）题目：“如图，，C是射线反向延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，已知点P，Q同时出发，表示移动的时间，若是等腰三角形，求t的值．”对于其答案，甲答：“”，乙答：“”，则正确的是（    ）    A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙合在一起才正确 D．甲、乙合在一起也不正确 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段上时；（2）当点P在的延长线上时．分别列式计算即可求． 【详解】解：分两种情况：当点P在线段上时， 设t时后是等腰三角形， 有， 即， 解得； 当点P在的延长线上时，此时经过时的时间已用， 当是等腰三角形时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即， 解得， 故或，即甲、乙合在一起才正确． 故选：C． 47．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）完成下列各题 问题初探 如图1，中，，，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图2，中，，，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则____________．（直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线） 方法迁移 如图3，是等边三角形，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，则之间有怎样的数量关系？____________（直接写出答案） 拓展创新 如图4，是等边三角形，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，猜想的度数并说明理由． 【答案】问题初探：理由见解析；类比再探：，图形见解析；方法迁移：；拓展创新：，理由见解析 【分析】问题初探：证明，得到； 类比再探：过点M作交于点F，得出，证明，得到，根据，即可得解； 方法迁移：证明，得到，即可得到； 拓展创新：过点M作交于点G，得到是等边三角形，再证明，得到，根据，即可得解． 【详解】解：问题初探： 理由如下： ， ， ， ， ． 类比再探：， 理由如下：过点M作交于点F，则：， 在中，， ， ， ， 同（1）可得：， ， ， 故答案为：； 方法迁移：， 理由如下： 和是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； 拓展创新：， 理由：过点M作交于点G， 则，， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．本题的综合性较强，解题的关键是添加辅助线，构造手拉手全等模型，证明三角形全等． 48．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，等边中，，点在上，且，动点从点出发沿射线以速度运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点运动的时间为． (1)用含t的代数式表示的长． (2)如图②，当点落在边上时，求证：． (3)当平行于的一边时，直接写出的值． (4)作点D关于点O的对称点E，当______秒时，点E恰好落在射线上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值为或 (4)10 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质及动点问题等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1），当时，，当时，； （2）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，可得，而是等边三角形，有，故，即得，由可证； （3）当时，是等边三角形，可得，；当时，可得，重合，，故； （4）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，又关于点的对称点，有，故，再证，，即可得，，可得，，从而． 【详解】（1）解：由已知得，， 当时，， 当时，； ； （2）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：当时，如图： ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 当时，如图： ， ， ，重合， ， ， 综上所述，的值为或； （4）解：如图： 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 关于点的对称点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：10． 49．（24-25八年级上·上海·期中）已知在等边中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图①，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________（填“”“”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图②，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并证明结论． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边中，点在直线上，点在的延长线上，且，若的边长为1，，求的长．（请你画出相应图形，并解答） 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)3 【分析】（1）由等边，点为的中点，可得，，由，可得，则，，进而可得； （2）由题意知，，如图1，过作，交于，证明为等边三角形，，则， 证明，则，进而可得； （3）由题意知，作图如图2，过作，交的延长线于，同理（2），为等边三角形，，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵等边，点为的中点， ∴ ，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，证明如下； 由题意知，， 如图1，过作，交于， ∴， ，， ∴为等边三角形，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，作图如图2， 过作，交的延长线于， 同理（2），为等边三角形，， ∴， ∴， ∴的长为3． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键． 50．（23-24八年级上·河北保定·开学考试）如图1，中，，点D是线段上一动点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)若， ① ， ②判断线段，之间有怎样的位置关系并说明理由； (2)设，，则x，y之间的数量关系为 ； (3)如图2，当时，若线段，面积为3，直接写出四边形周长的最小值． 【答案】(1)①，②，证明见解析 (2) (3)四边形周长的最小值为． 【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可得答案；②证明，可得，可得，从而可得答案； （2）证明，可得，证明，可得，而，结合三角形的内角和定理可得结论； （3）由，证明，，可得为等边三角形，如图，过作于，，面积为3，可得，而四边形周长；当最小时，四边形周长的最小，而的最小值为2；从而可得答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 由（2）可得：， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， 如图，过作于，，面积为3，    ∴， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∴四边形周长； 当最小时，四边形周长的最小，而的最小值为2； ∴四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，垂线段最短的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键． 51．（22-23八年级上·河北邢台·期末）数学活动课上老师出示了如下条件，让同学们自己提出问题并解决. 如图，在中，，点在边上，且是线段上的一个动点（不与点重合），在射线上截取，连接.    嘉嘉和淇淇经过讨论后，进行了如下探究。 (1)①如图，若点与点重合，即线段的长度为0，猜测此时线段之间的数量关系是. 请你给出的理由； ②若点不与点重合，线段之间也存在一个数量关系. 请你猜测线段之间的数量关系，并证明； (2)若把“是线段上的一个动点”改为“是射线上的一个动点（不与点重合，且”，其他条件都不变，则当点在线段的延长线上时，请你用等式表示线段之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）.    【答案】(1)①理由见解析；②，证明见解析 (2)或 【分析】（1）①证明是等边三角形，得出，过点D作于点P，根据三线合一证明，得出，即可证明结论； ②在上截取，连接，证明是等边三角形，得出，根据，得出，由①可得，即可得出； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴是等边三角形， ∴，即， 如图1，过点D作于点P， ∵， ∴， ∴， ∴；    ②； 证明：如图2，在上截取，连接，    ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得， ∴； （2）解：当时，如图3，    由（1）知， ∵， ∴； 当时，如图4，      由（1）知， ∵， ∴； 综上分析可知，线段之间数量关系是：或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三线合一，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，数形结合，注意分类讨论． 六、斜边上的中线 52．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，先得出的度数，根据直角三角形两锐角互余分别求出的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，算出的度数，根据即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，，， ∴， ∵， ∴在中，， 同理，在中，， ∵点是中点， ∴，即， ∴， ∴， 故选：D ． 53．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在 中，，M是斜边的中点，以为边作正方形．若 ，则（   ）    A． B． C．25 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键． 根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，，M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 54．（2024·河北邯郸·三模）如图，在中，，点D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为 （      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可得的长度，再根据是直角三角形的中线即可解答． 【详解】由题意可知，， 又，且点D为边的中点， ． 故选：A． 55．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，，，根据图中的尺规作图痕迹，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了基本作图以及直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据尺规作图的痕迹可得，垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得出结论． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得，垂直平分， ∴，，， 不能得出，故D符合题意． 故选：D． 56．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，将一直角三角形纸片沿斜边中线l剪开，得到和，下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握直角三角形的斜边中线定理．由是直角三角形斜边上的中线可得，进而得到，根据三角形的外角性质可得，即可求解． 【详解】解：是直角三角形斜边上的中线， ， ， ， ， 是的外角， ， 故A、B、D正确，不符合题意， 故选：C． 57．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，P是的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，长度的变化情况是（　　） A．不断增大 B．不断减小 C．先减小后增大 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和两点之间的距离，根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可．能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：，为的中点， ， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 58．（23-24九年级下·河北·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，取的中点，的中点．则在旋转过程中，线段的最小值 ． 【答案】2.5 【分析】本题主要考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形的三边关系，解题的关键是掌握旋转的性质。 连接，根据将绕顶点顺时针旋转得到，可得，， 由为的中点，知，求出，当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时． 【详解】解：连接，如图：   将绕顶点顺时针旋转得到， ，， 为的中点， ， ，为中点， ， 在中，， 当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时，如图：   的最小值为． 故答案为：． 59．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，分别为的中点． （1）若，则 度； （2）若，则 度． 【答案】 【分析】（1）利用角的和差关系可直接求解； （2）连接，，证明等边三角形得到，即是的值． 【详解】（）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，连接，， 由旋转可得：，，，， ∵，分别为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形的旋转，掌握图形的旋转变化性质是解题的关键． 60．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、的延长线于点E、F．求证：； 【答案】见详解 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，中线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 先证明，得，再由已知条件即可求证； 【详解】证明：如图，连接， ，点P是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中： ， ， ， ， ， 即． 61．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在中，、分别是边、上的高线，取F为中点，连接点D，E，F得到，G是中点． (1)求证：； (2)如果，，求的长度． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线， 的性质以及利用勾股定理解三角形，解题的关键是熟练掌握斜边上的中线等于斜边上的一半，以及利用证明三角形全等． （1）由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可判定，可得是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一，可证； （2）由，可求，可判定是等边三角形，根据直角三角形斜边上的中线 【详解】（1）证明：在中，、分别是边、上的高线， ， 是的中点， ，， , 为等腰三角形， G是中点， . （2）, ， ， ， , ， ， 是等边三角形, ， 是的中点，， ， ， ． 七、含30°锐角的直角三角形 62．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图， 为等边三角形， 且，点D是边上一动点， 点E为边上一动点， 若沿着直线翻折后， 点A始终落在边上．若， 则满足条件的a的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理得，，由翻折后，点A始终落在边上，可得，即，，可求，进而可得，然后作答即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， 如图，作于，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵翻折后，点A始终落在边上， ∴，即，，即， 解得，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，分母有理化等知识．熟练掌握折叠的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，分母有理化是解题的关键． 63．（2024·河北邢台·模拟预测）题目：“如图，，，在射线BM上取一点A，设，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系及等腰三角形以及直角三角形的知识，熟练掌握直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．由题意知，当或时，能作出唯一一个，分这两种情况求解即可． 【详解】由题意知，当或时，能作出唯一一个，分这两种情况求解即可． ①当时， ∵，， ∴， 此时时，能作出唯一一个； ②当时， ∵， ∴当时能作出唯一一个； 综上，当或时能作出唯一一个， 故选：C． 64．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在等边中，，P为上一点（不与点B，C重合），过点P作于点P，交线段于点M，将绕点P顺时针旋转，交线段于点N，连接，有三位同学提出以下结论： 嘉嘉：为直角三角形． 淇淇：当时，． 珍珍：在点P移动的过程中，不存在平行于的情况． 下列说法正确的是（    ） A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确 C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质证明，可以判断嘉嘉正确：然后利用含30度角的直角三角形的性质判断淇淇正确：珍珍错误，进而可以解决问题． 【详解】解：由旋转可得： ∵ ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴为直角三角形，故嘉嘉正确； ∵在等边中，， 当时，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故淇淇正确； 当时， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ 由旋转性质可得：， ∴是等边三角形 ∴ ∴，故珍珍错误； 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的判定与性质． 65．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，，则长为 cm． 【答案】12 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握角所对的直角边等于斜边的一半成为解题的关键． 如图：连接,由、可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得，即得、，再说明可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接, ∵，， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：12． 66．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，已知，点是上一点，． （1）在射线上找一点，如果，那么这样的点有 个； （2）当的取值范围是 时，在射线上找的点是唯一的． 【答案】 2 或 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，尺规作图，掌握相关性质是解题的关键． （1）根据所给的数值与临界值比大小即可判断； （2）过点作交于点，此时点是唯一的，以点为圆心，以大于长为半径画弧交于点，此时此时点是唯一的，据此解答即可． 【详解】解：（1）过点作交于点， 在直角中，，， ， ， 如图所示， 这样的点有2个； （2）以点为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，或以点为圆心，以为半径画弧交于点D，此时点是唯一的，如图所示， 要使在射线上找的点是唯一的， 只需或． 故答案为：；或． 67．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和三角形外角的性质，理解并掌握以上知识是解答本题的关键． （1）本题要先得到，再根据全等三角形的性质即可得到． （2）根据（1）中，得到，再根据三角形外角的性质和等边三角形每个内角是，得到，即可求解得到的长． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，． ∴在和中， ， ∴． ∴． （2）∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 68．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，．    (1)求的长； (2)点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质解决最短路径问题是解答的关键． （1）证明是等边三角形即可求解； （2）作点E关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，则当三点共线且时，最小，即此时最小，利用等边三角形的性质得到，进而利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图所示，作点E关于的对称点，连接，    由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当三点共线且时，最小，即此时最小， ∵， ∴三点共线， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 69．（24-25八年级上·广东广州·期中）在等边中，，点D是边上的一点，点E在边的延长线上、且．连接． (1)如图，若， ①求证：， ②若点M、N分别是线段上的动点，连接，求的最小值． (2)若点D和点E分别是直线和直线上的动点，，将图补充完整，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)补全图形见解析， 【分析】（1）①由等边三角形的性质可得，，由等边对等角可得，再由三角形外角的定义及性质得出，即可得解；②由等边三角形的性质可得点、关于对称，则，从而可得，即当、、在同一直线上，且时，的值最小，为，求出即可得解； （2）由等边三角形的性质可得，，则，作于，则，由等腰三角形的性质可得，求出，得出，从而可得，即可得解． 【详解】（1）①证明：∵为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵为等边三角形，， ∴， ∴点、关于对称， ∴， ∴， ∴当、、在同一直线上，且时，的值最小，为，如图所示： ， ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：画出图形如图所示： ， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 八、用勾股定理理解三角形 70．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，则的周长为（   ）. A．14 B．18 C．30 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．首先利用勾股定理得，再根据可得答案． 【详解】解：在中，由勾股定理， 得． ∵分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 71．（23-24八年级下·河北邢台·期末）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形的面积S： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（　　） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的S相等，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，延长交于G， 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则； 方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则 ， 根据面积相等可以得到，即，故C选项错误，符合题意． 故选：C． 72．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图在中，，，，将沿折叠，使点刚好落在边的中点处，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，设所求线段为未知数，利用折叠性质，把能用未知数表示的线段表示出，勾股定理所需的直角三角形一般就会呈现在图上，符合这样的直角三角形一般有如下特征：一直角边为具体数字，另一直角边和斜边分别是含有未知数的代数式．设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，由折叠的性质可知． ∵， ∴． ∵F是边的中点，， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴的长为5． 故答案为：． 73．（24-25八年级上·河北唐山·期中）数学课上，老师讲解实数与数轴上的点是一一对应关系，要求学生在数轴上描点． (1)点表示的数是面积为的正方形边长，点表示的数是______；在数轴（如图）上标出点； (2)把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是______，并在数轴（如图）上标出点． (3)比较点处表示的数字与的大小，直接写出结果． 【答案】(1)，图见解析； (2)，图见解析； (3)． 【分析】本题考查了用数轴上的点表示实数． 根据面积的公式可知：面积为的正方形的边长为，在数轴上构造直角边长为的等腰直角三角形，以原点为圆心等腰直角三角形的斜边为半径画圆，圆与数轴的交点表示的数即为， 把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是； 在数轴上构造直角边长分别为和的直角三角形，以原点为圆心，直角三角形的斜边为半径画弧，交数轴负半轴于一点，这一点表示的数为，这一点在点的左侧，根据两点的位置关系比较两数的大小． 【详解】（1）解：面积为的正方形的边长为， 点表示的数是， 如下图所示，在数轴上作直角边长为的等腰直角三角形， 以原点为圆心等腰直角三角形的斜边为半径画圆， 圆与数轴的交点表示的数即为， 故答案为：； （2）解：把一枚直径是的硬币边缘上的一点与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动一周，此时点处表示的数字是， 在数轴上表示点如下图所示， 故答案为：； （3）解：如下图所示，在数轴上构造直角边长分别为和的直角三角形， 以原点为圆心，直角三角形的斜边为半径画弧，交数轴负半轴于一点，这一点表示的数为， 这一点在点的左侧， ． 74．（19-20八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 【答案】72 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用；根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，得到四个小正方形的面积之和等于最大正方形的面积，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理和正方形的性质可知， ， ， ， ， 正方形A、B、C、D、E、F的面积之； 故答案为：72． 75．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）所作的垂直平分线分别交于点D，E，连接，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图－线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）利用勾股地理求出，求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：在中，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的面积． 76．（21-22八年级下·四川达州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 【答案】(1) (2)①；②直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理． （1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）①过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 九、勾股定理的实际应用 77．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）若有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，，，，已知距离火车以内会受到噪音的影响．       （1）学校C到铁路AB的距离是 ． （2）火车在AB路段行驶时，学校C受到火车噪音影响的时间是 ． （3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），那么其行驶速度至少应增加到 ． 【答案】 240 12 60 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再通过直角三角形面积的两种表示方法求解即可； （2）利用勾股定理求出长度，继而得出长，再利用时间等于路程除以速度求解即可； （3）用长加上火车长，除以10分钟即可求解． 【详解】（1）过点C作，垂足为D，如图，   ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， 解得， 故答案为：240； （2）如图，    当时，正好影响学校， ∴， ∴， ∵有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B， ∴， 故答案为：12； （3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（）， ∴， ∴其行驶速度至少应增加到． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，有理数混合运算的应用，准确理解题意是解题的关键． 78．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，风等在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线与水平地面垂直，引线的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米（风筝本身的长宽忽略不计）． (1)求此时风筝离地面的高度； (2)现要使风筝沿竖直方向上升9米至M处，若A，B位置不变，引线的长度应加长多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）在中利用勾股定理求解即可； （2）在中利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴， ∴此时风筝离地面的高度的长为米； （2）解：在中，由勾股定理， ∴， ∴引线的长度应加长米． 79．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东方向上的避风港B处． (1)问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果保留根号） (2)如果轮船的航速是每小时20海里，通过计算说明轮船能否在台风到来前赶到避风港B处． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】此题主要考查了30度直角三角形的性质，勾股定理的应用． （1）作，先根据30度直角三角形求出，根据等腰直角三角形的性质求出； （2）求出海里，再根据路程速度时间与7比较即可得到结论． 【详解】（1）解：过点P作于C， 在中，， ∴（海里）， 在中，， ∴（海里）， ∴（海里）， 答：B处距离灯塔P有海里； （2）解：∵海里，，（海里）， ∴（海里）， ∴海里， ∵轮船的航速是每小时20海里， ∴， ∴轮船能在台风到来前赶到避风港B处． 80．（23-24八年级下·河北张家口·期末）某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A在同一直线上，点A，B在同一直线上，，测得，，． (1)求入口B到大摆锤C的距离； (2)现要在距离大摆锤的E处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E在同一直线上，且使旋转木马E到过山车D的距离最近． ①与的位置关系为______； ②求过山车D到旋转木马E的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短： （1）在中，根据，即可求解； （2）①根据垂线段最短，即可求解；②在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 即入口B到大摆锤C的距离为； （2）解：①由“垂线段最短”得：当时，最短， 即旋转木马E到过山车D的距离最近时，； 故答案为： ②在中，， ∴， 即过山车D到旋转木马E的距离为． 81．（20-21八年级上·河北承德·期末）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处． （1）求小明家离小红家的距离； （2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值． 【答案】（1）米；（2）见解析，米 【分析】（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，连接AB， 由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°， 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000， ∵AB＞0 ∴AB=1300米； （2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P． 驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B， 由题意知AD=200米，A'C⊥MN， ∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米， 在Rt△A'BC中， ∵∠ACB=90°， ∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000， ∵A'B＞0， ∴A'B=1500米， 即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 82．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1），  （2）见解析  （3）见解析  （4） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【详解】(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）证明: ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 又, , ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 83．（24-25八年级上·广东深圳·期中）【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？ （取） 素材：如图，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与 点对应的 点处的食物． 若蚂蚁沿图中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 ． 将圆柱沿着将侧面展开得到图，请在图中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是 ； 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 （用“一”或“二”填空）． 素材：如图所示的实践活动器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的． （1） 两种路线路程的长度如表所示（单位：）： 圆柱高度 沿路线一路程 沿路线二路程 比较与的大小 （2） 填空：表格中的值是 ；表格中表示的大小关系是 ； （3） 经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为，圆柱的高为． 在不变的情况下，当圆柱半径为与圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】素材：，二；（），；（）当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （）利用圆柱形木块的高为，底面半径为，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （）构造方程即可得到结论． 【详解】解：（）图中画出蚂蚁爬行的最短路径为： 展开后，半圆长为， 根据勾股定理，此时最短路程为 ∵， 由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线二； 故答案为：，二； （）， ∵． ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，； （）根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 十、勾股定理逆定理 84．（19-20八年级上·河北石家庄·期末）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的判定及勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；因此此题可根据三角形内角和及勾股定理逆定理可进行求解． 【详解】解：A、由且可得，所以是直角三角形，故不符合题意； B、由可设，可得，所以是直角三角形，故不符合题意； C、由且可得，所以不是直角三角形，故符合题意； D、由可得，符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，故不符合题意； 故选C． 85．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，，则阴影部分的面积（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积． 【详解】解： ，， ，， ，， ， 为直角三角形，， ， 阴影部分的面积为． 故选：D． 86．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在中，，，所对的边分别为a，b，c下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，掌握勾股定理的逆定理，及直角三角形的定义等知识的综合是解得关键．根据勾股定理的逆定理，有一个角是直角的三角形是直角三角形的定义即可求解． 【详解】解：A、， 设， ∴， ∴三角形是直角三角形，不符合题意； B、， ∵， ∴， ∴三角形为直角三角形，不符合题意； C、，，， ∵， ∴三角形是直角三角形，不符合题意； D、，，， ∵， ∴三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 87．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，O是等边内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段 嘉嘉：由图知； 琪琪：． 以下说法，正确的是（   ） A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形，勾股定理的逆定理，旋转的性质，熟练掌握性质，并根据题意选择适当的知识求解是解题的关键．利用旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的逆定理逐一计算判断即可． 【详解】解：由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴，，故嘉嘉说法正确； 在等边中，，， 则， ∴， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，则， ∴，故琪琪说法正确； 综上，两人的说法都正确， 故选：C． 88．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，且A，B，C都在格点（每个小正方形的顶点）上． (1)填空： ______，______． (2)求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理． （1）根据勾股定理，即可解答； （2）连接，则，根据勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：如图，连接，则， 由（1），知， 所以． 因为， 所以， 所以是等腰直角三角形， 所以． 89．（11-12八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在四边形中，，，，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，先根据等腰直角三角形的性质得到，再由勾股定理得到，进而可得，则由勾股定理的逆定理得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 90．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1) (2)8.45千米 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理的逆定理推导为直角三角形，即可获得答案； （2）设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知千米，千米，千米， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，； （2）由（1）可知，，即， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴千米， 即原来的路线的长为8.45千米． 试卷第10页，共130页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$