专题06 二次函数单元过关（培优版）-2024-2025学年九年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

专题05 二次函数单元过关（培优版） 考试范围：第2章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 3．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．将抛物线的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移1单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 5．二次函数的图象经过平面内的四个象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 7．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 8．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，轴下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A．①②③ B．①④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 9．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ）米． A．11 B．13 C．22 D．26 10．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点为点C，对称轴为直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y随x的增大而增大 D．若，则 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．已知，若抛物线与线段没有交点，则m取值范围为 ． 12．如图，在中，，，．点沿线段从向运动，同时，点从出发沿运动，且，是线段的中点，运动过程中，的最小值为 ．    13．如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ，当时，x的值为 ． 14．为改善环境，某小区拆除了自建房，改建绿地，如图，自建房是占地边长为20m的正方形，改建的绿地是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且，当的长为 m时，绿地的面积最大. 15．已知抛物线 (a，b，c均为常数)的顶点坐标为 其中，与x轴的一个交点位于和之间，则下列结论： ① ； ②； ③若该抛物线经过点，，则 ④若关于x的一元二次方程 无实数根，则． 其中正确的结论是 ．(只填序号) 16．已知抛物线，经过，，，四点，则与的大小关系是 ．（填“”、“”或“”） 17．某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，不超出墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为，则矩形养殖场总面积的最大值为 ． 18．已知二次函数方程的两根分别为，方程的两根分别为，判断的大小关系是 （用“<”连结）． 评卷人 得分 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的对称轴． 20．已知二次函数的图象和x轴有两个交点． (1)求实数的取值范围； (2)在（1）的前提下，取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标． (3)在（2）的条件下，若请直接写出的取值范围． 21．抛物线与x轴的交点为A，B两点． (1)求A，B两点的坐标． (2)抛物线上P点的横坐标为2，求的面积． 22．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，售后经过统计得到此商品单价与第x天(x为正整数)的销售量的相关信息，如下表所示． 销售量n(件) 销售单价m(元) 当时， 当时， (1)请计算第几天该商品的单价为25元？ (2)求网店销售该商品30天里每天所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式． (3)这30天中，第几天获得的利润最大？ 最大利润是多少？ 23．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ 24．已知抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)若点M是抛物线的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标； (2)在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若，且，求a的取值范围． 25．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数单元过关（培优版） 考试范围：第2章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．比较函数值大小的方法：方法一（距离法）：当时，图象上的点到对称轴的距离越小，函数值越小，反之越大；当时，图象上的点到对称轴的距离越小，函数值越大，反之越小．方法二（异侧转同侧）：求出点关于对称轴对称的点的横坐标，然后利用同侧的增减性比较． 【详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴最大， ∵点A到对称轴的距离为，点C到对称轴的距离为，根据点距离对称轴越远，函数值越小， ∴， ∴． 故选D． 2．已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 3．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线图像的性质得到的范围，根据对称轴和轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①符合题意； ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∵与轴的交点在，，之间包含端点， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵顶点坐标 ，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴对于任意实数，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵顶点坐标，且开口向下， ∴直线与抛物线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④不符合题意． 故选：C． 4．将抛物线的图象向右平移2个单位长度后，再向下平移1单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】根据二次函数图象的平移规律，得， 故选：C． 5．二次函数的图象经过平面内的四个象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据题目中的解析式和二次函数的性质可以求得的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：， 二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，顶点为， 二次函数的图象经过平面内的四个象限， 顶点在轴的下方，与轴的交点在负半轴， ， ． 故选：A． 6．下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式，知识点简单，比较容易掌握．整理后根据二次函数的定义和条件判断即可． 【详解】A. 是反比例函数，不符合题意；     B. ，是一次函数，不符合题意； C. ，右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； D. 是二次函数，符合题意 故选：D． 7．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵y的最小值为， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：a的值为4或， 故选：B． 8．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，轴下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④； ⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． A．①②③ B．①④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与y轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；当时，，结合可判断④正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图象有3个交点，故⑤正确． 【详解】解：图象经过，， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； ， 抛物线与轴交点在轴下方， ，故②错误； ， ， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即，故④正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：    故⑤正确； 综上：正确的有①③④⑤， 故选：D 9．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ）米． A．11 B．13 C．22 D．26 【答案】D 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为． 【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中： 得到：， 解得， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米， 故选：D． 10．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点为点C，对称轴为直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y随x的增大而增大 D．若，则 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．根据抛物线的位置判断即可；利用对称轴公式，可得，可得结论；应该是时，随的增大而增大；设抛物线的解析式为，可得，，过点作轴于点，设对称轴交轴于点．利用相似三角形的性质，构建方程求出即可． 【详解】解：A．抛物线开口向上， ， 对称轴是直线， ， 抛物线交轴的负半轴， ， ，故本选项不符合题意， B．，， ，故本选项不符合题意， C．观察图象可知，当时，随的增大而减小，本选项不符合题意， D．抛物线经过，， 可以假设抛物线的解析式为， ，， 过点作轴于点，设对称轴交轴于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确，符合题意； 故选：D 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．已知，若抛物线与线段没有交点，则m取值范围为 ． 【答案】或 【知识点】求一次函数解析式、根据交点确定不等式的解集、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一次函数交点问题，由可得抛物线随m值的变化，抛物线顶点在直线上移动，分抛物线对称轴在点A左侧，在点A右侧，两种情况讨论即可． 【详解】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为，图象开口向上， 如图，随m值的变化，抛物线顶点在直线上移动， 当对称轴在点A左侧时，， 把代入得， 解得或 (舍去)， 时，抛物线与线段没有交点， 当对称轴在点A右侧时，， 设线段所在直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 线段所在直线的解析式为， 联立，得：， 抛物线与线段没有交点， ， ， 综上，当或，抛物线与线段没有交点， 故答案为：或． 12．如图，在中，，，．点沿线段从向运动，同时，点从出发沿运动，且，是线段的中点，运动过程中，的最小值为 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，由直角三角形的性质可得，可知当取最小值，则取最小值，设，则，可得，根据二次函数的性质解答即可求解，掌握直角三角形和二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 当取最小值，则取最小值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 13．如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ，当时，x的值为 ． 【答案】 9 4或11 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查从函数图象获取信息，二次函数与运动图形的综合应用，由图象可知，当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分，当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，说明梯形的高为定值，说明高为的长，即当时，点与点重合，当时，点与点重合，说明，进而求出三段函数的解析式，求解即可． 【详解】解：由图象可知：当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分， 当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，则梯形的高为定值， 即：高为， ∴， ∴当时，，则， ∵等腰直角， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积：， 当时，， 解得：（舍去）； 当时，，， ∴， 当时，， ∴（舍去）； 当时，则：， ∴， 当时，， 解得：或（舍掉）； 故答案为：9；4或11． 14．为改善环境，某小区拆除了自建房，改建绿地，如图，自建房是占地边长为20m的正方形，改建的绿地是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且，当的长为 m时，绿地的面积最大. 【答案】5 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】设的长为x，得到，，根据面积公式列出二次函数即可求解. 【详解】设的长为x，则，， ∴， ∵矩形绿地的面积为：， 即矩形绿地的面积为， ∴当时，矩形绿地的面积最大. 故答案为：5. 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数进行求解. 15．已知抛物线 (a，b，c均为常数)的顶点坐标为 其中，与x轴的一个交点位于和之间，则下列结论： ① ； ②； ③若该抛物线经过点，，则 ④若关于x的一元二次方程 无实数根，则． 其中正确的结论是 ．(只填序号) 【答案】①③/③① 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握性质是解题的关键，根据顶点坐标，根的判别式，点到对称轴的距离大小比较计算判断即可． 【详解】∵抛物线 (a，b，c均为常数)的顶点坐标为 其中，与x轴的一个交点位于和之间， ∴，，，， ∴，，， ∴， 故①正确；②错误； ∵，，距离对称轴越远，函数值越小， ∴， 故③正确； ∵关于x的一元二次方程 无实数根， ∴， ∴， 即 ∵， 则． 故④错误； 故答案为：①③． 16．已知抛物线，经过，，，四点，则与的大小关系是 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数的增减性．根据，两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，C，D两点与对称轴的远近，判断与的大小关系． 【详解】解：∵抛物线，经过，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线上到对称轴距离越近，函数值越小， ∵，，且， ∴． 故答案为： 17．某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，不超出墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为，则矩形养殖场总面积的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．设，则，，设矩形养殖场的总面积是，根据题意得：，由二次函数性质求最值即可． 【详解】如图， 设， ∵分成两个面积为的矩形， ∴，， 设矩形养殖场的总面积是， 墙的长度为， ， 根据题意得：， ， 当时，取最大值，最大值为． 故答案为：． 18．已知二次函数方程的两根分别为，方程的两根分别为，判断的大小关系是 （用“<”连结）． 【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查了抛物线与平行x轴的直线交点的问题．解答本题的关键是画出函数的图象，根据图象解答． 在同一平面直角坐标系中画出二次函数 与直线的图象，结合图象即可得到m、n、p、q的大小关系． 【详解】解：二次函数的图象如下： 根据图可知． 故答案为：． 评卷人 得分 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数图象的对称轴． 【答案】（1）；（2）直线 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用对称轴公式求解即可． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)， ∴－2＝1－2m＋5m， 解得；     ∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5． （2）二次函数图象的对称轴为直线； 故二次函数的对称轴为：直线； 【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式． 20．已知二次函数的图象和x轴有两个交点． (1)求实数的取值范围； (2)在（1）的前提下，取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标． (3)在（2）的条件下，若请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的图象和性质： （1）根据题意，得到，进行求解即可； （2）求出的值，将一般式转化为顶点式，即可得出结果； （2）根据增减性，求出函数值的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象和x轴有两个交点， ∴， 解得：； （2）∵， ∴的最大整数解为：2， ∴， ∴顶点坐标为：； （3）∵， ∴对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，值最小为：， 当时，值最大为：， ∴． 21．抛物线与x轴的交点为A，B两点． (1)求A，B两点的坐标． (2)抛物线上P点的横坐标为2，求的面积． 【答案】(1)或 (2)6 【知识点】面积问题(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，正确的求出抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键． （1）令，求出自变量的值，进而求出A，B两点的坐标即可； （2）先求出P点的纵坐标，再利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，解得：， ∴或； （2）由题意，得：， 当时，， ∴， ∴的面积为． 22．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，售后经过统计得到此商品单价与第x天(x为正整数)的销售量的相关信息，如下表所示． 销售量n(件) 销售单价m(元) 当时， 当时， (1)请计算第几天该商品的单价为25元？ (2)求网店销售该商品30天里每天所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式． (3)这30天中，第几天获得的利润最大？ 最大利润是多少？ 【答案】(1)第10天或第28天时该商品单价为25元/件 (2) (3)第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查二次函数；反比例函数的实际应用． （1）分两种情形分别代入解方程即可． （2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可． （3）分两种情形根据函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：分两种情况： ①当时，将代入，解得； ②当时，， 解得， 经检验是方程的解． ∴． 答：第10天或第28天时该商品单价为25元/件； （2）解：分两种情况： ①当时， ， ②当时，， 综上所述： ； （3）解：①当时， 由， ∵， ∴当时，有最大值（元）； ②当时， 由，可知随的增大而减小． ∴当时，有最大值（元）． ∵， ∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元． 23．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ 【答案】(1) (2)当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6750元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据每降价1元，每星期可多卖30件找出销量与售价之间的关系即可得； （2）设每星期的销售利润为元，根据利润（售价成本价）销量建立与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以与之间的函数关系式是． （2）解：设每星期的销售利润为元， 由题意得： ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为6750， 答：当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6750元． 24．已知抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)若点M是抛物线的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标； (2)在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)面积最大值为， (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）设抛物线的顶点式为，将N点代入即可求a的值，从而确定函数的解析式； （2）设，先求出直线的解析式，过P点作轴交于点G，则，，从而得到，当时，的面积有最大值，此时，求出直线与x轴的交点为，再求，即可求四边形面积的最大值； （3）先求出抛物线的解析式，分别求出当时以及当时，a的取值，即可． 【详解】（1）解：∵点M是抛物线的顶点， ∴可设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴ 解得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或1， ∴， 当时，， ∴； （2）解：设， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 过P点作轴交于点G， ∴， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，此时， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∴四边形面积的最大值为； （3）解：将和两点代入， ∴，解得， ∴， 当时，，解得：， 当时，，解得， ∴或．    【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用铅锤法求三角形面积的方法是解题的关键． 25．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3)存在，或或或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； （2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可； （3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：∵，都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； （3）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当为正方形的边时， ①∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴点N的纵坐标为， 即， ∵以，，，为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ③如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形，过点P作于点K， 易得， ∴， 设，则， 和①同理可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，则， ∴， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ⑥如图：构造， 同理可得：， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或或或或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 学科网（北京）股份有限公司 $$