微专题04 二次函数存在性问题通关专练-2024-2025学年九年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

微专题04 二次函数存在性问题通关专练 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质等知识点，熟练掌握相关函数的性质是解题的关键． 由题意可知，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可． 【详解】解：由题意可知，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的， 函数的图象在二四象限，不满足条件， 故选：． 2．对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：在图形上若存在两点，，使为正三角形，则称图形为点的型线，点为图形的型点，为图形G关于点P的T型三角形．若是抛物线的T型点，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、特殊三角形的三角函数 【分析】是对称轴为轴的抛物线，顶点为，根据新定义可知：与抛物线的两点能组成等边三角形，即直线与抛物线的交点，其交点就是等边三角形的另两点、，根据题意得，，，利用三角函数求出点的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，当抛物线与直线有交点时，才有是抛物线的型点，因此列方程，有解时才有结论得出，即，解不等式即可． 【详解】 解：如图，是抛物线的型点， ， ， ， ，， 通过的直线的解析式为：， ， 当有解时，才有是抛物线的型点， 即， ， 当时，是抛物线的型点， 故选：C． 【点睛】本题是新定义的阅读理解问题，有一定的难度，考查了学生分析问题、解决问题的能力，还考查了二次函数图象上点的坐标特征及等边三角形的性质，等边三角形各角都是，熟练掌握三线合一的性质，注意线段的长与点的坐标的关系；当两函数的图象有交点时，两函数解析式组成方程组，有交点就是方程组有解． 3．已知二次函数的图象上存在两点，，若对于，始终有，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性等知识点，因为，根据离对称轴越近的点的纵坐标越大，始终有，所以，解不等式，可求t的取值范围，进而即可得解，关键是掌握，图象上离对称轴越近的点的纵坐标越大． 【详解】设抛物线的对称轴为直线：， ∵，，始终有， ∴， ①当时， ∴， ∴当时，，始终有， ②当时， ∴， ∴， ∴当时，，始终有， ③当时， ∴， ∴， ∴不成立． ∴，，始终有，则或， ∴或， ∴或且， 故选：A． 4．定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”．下列函数图象上不存在“倍值点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了新概念，函数图象上点的坐标特征，解方程等知识，理解新概念“倍值点”是关键．根据题意，存在“倍值点”的函数图象上点满足，即为；把此点坐标分别代入四个选项中的函数式中，若方程无解则函数图象上不存在“倍值点”，即可求解． 【详解】解：根据题意，存在“倍值点”的函数图象上点满足． 把点代入，得，此方程无解； 把点代入，得，解得或； 把点代入，得，解得或； 把点代入，得，等式恒成立，可为任意值， 故选A． 5．在平面直角坐标系xOy中，点，都在抛物线上，且，．若存在，满足，则m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据抛物线可知的对称轴为直线，开口向下；由，得，根据存在，满足，，知，，即可得解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵存在，满足， ∴点关于对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，m的取值范围是． 故选：B． 6．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得， 则，解得 把代入得，代入得 ∴ 解得； 把代入得，代入得 ∴，解得， 综上，c的取值范围为：． 故选：D． 7．如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式、列二次函数关系式、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数求最值．由等腰直角三角形的性质可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四边形是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值． 【详解】解： 是等腰直角三角形，， ， ，， 和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ，， ， 即， y与x满足一次函数关系， ，最大值为1， S与x满足二次函数关系，且S存在最大值． 故选：A． 8．抛物线，，为常数），顶点为，抛物线过点，，，已知，．下列结论正确的是：①；②；③；④时，存在使为直角三角形．其中正确结论的序号为（   ） A．②③ B．②③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据已知可以确定，，．①．②当时，，即．③．④时，，若为等腰直角三角形，则，求出或不符合题意． 【详解】解：①抛物线过点，， 对称轴， ， ， ， 抛物线过点，，，， ， ， ， ，错误； ②当时， 开口朝下， 过，， 在点的左边， 函数在对称轴的左边，随的增大而增大， ， ， ， ，正确； ③，③正确； ④时，， ， ， ， 若为直角三角形，则为等腰直角三角形， ， 或0， ， 不存在点使为直角三角形． ④错误； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是能够熟练掌握二次函数的图象，根据给出的点判断函数系数，，的取值情况． 9．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点M是抛物线（a，b，c为常数，）对称轴上的一个动点．若抛物线的对称轴上恰存在3个不同的点M，使为直角三角形，则的值为（    ） A．－8或－6 B．－6或0 C．－8或2 D．0或2 【答案】C 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、其他问题(二次函数综合) 【分析】由题意△AOM是直角三角形，当对称轴x≠0或x≠3时，可知一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M，当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以点M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，利用图象法求解即可． 【详解】解：∵△AOM是直角三角形， ∴当对称轴x≠0或x≠3时，一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，且点M在对称轴上的直角三角形， 当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M， ∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形（如图所示）． 观察图象可知，﹣＝﹣1或4， ∴＝2或﹣8， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，直角三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是判断出对称轴的位置，属于中考填空题中的压轴题． 10．在平面直角坐标系中，将横纵坐标相等的点称为“好点”，下列函数图像中不存在“好点”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知二次函数的函数值求自变量的值、由反比例函数值求自变量 【分析】根据“好点”的概念：当x=y时，对应的方程有解进行判断即可． 【详解】解：A、当x=y=0时，满足y=2x，（0，0）为“好点”，该选项不符合题意； B、不存在横纵坐标相等的“好点”，该选项符合题意； C、当x=y=1或x=y=﹣1时，满足，（1，1）和（﹣1，﹣1）是“好点”，该选项不符合题意； D、当x=y=0或x=y=2时，满足，（0，0）和（2，2）为“好点”，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答的关键是熟悉每个函数的图象与性质． 二、填空题 11．如图，抛物线的图象与轴交于点，点与点关于该抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点．点在线段上（不含端点）的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．    （1）当时，点横坐标为 ． （2）在直线下方的抛物线上存在点，使（点不与点重合）．则点的坐标为 ． 【答案】 2 【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）先求出抛物线的解析式为，的函数解析式为，则可设，，得出，根据，列出方程求解即可； （2）过点B作的平行线，交抛物线于点Q，易得的平行线解析式为，联立该直线与抛物线的解析式，求出其交点坐标即可． 【详解】解：（1）把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 把代入得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 设，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：（舍去）， ∴点P的横坐标为2； 故答案为：2； （2）∵， ∴点Q作过点B且平行于的直线上， 过点B作的平行线，交抛物线于点Q， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， 设的平行线解析式为， ∵的函数解析式为， ∴，即， 把代入得：， 解得：， ∴的平行线解析式为， 联立得：， 解得：，（舍）， ∴点Q的坐标为， 故答案为：．    12．如图，已知抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，若抛物线上存在点，使得的面积为1，则点的坐标是 ． 【答案】， 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数图像及性质，三角形面积等．根据题意先在二次函数中随机画出点，过点作轴，再求出二次函数和轴交点即可得知的长，设点的坐标为，在根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：过点作轴，设点的坐标为， ， ∴， ∵抛物线与轴交于两点， ∴令，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， 解得：， ∴点的坐标为：，， 故答案为：，． 13．抛物线与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，若在该抛物线上存在另一点，使得以点为顶点的四边形是直角梯形，则点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了运用待定系数法确定函数解析式以及二次函数与特殊四边形的综合，根据二次函数的性质求得的坐标，证明是直角三角形，且，再分为一条底边，和为一条底边，两类情况讨论，即可求解． 【详解】解：令，则， 解得或， 令，则， ∴点， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 设直线的解析式为，则，解得， ∴得直线的解析式为， 同理，直线的解析式为． （1）若为一条底边，则过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴点的坐标为； （2）若为一条底边，则过点作交抛物线于点， 同理，求得直线的解析式为， 联立， 解得点的坐标为． 故答案为：或． 14．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，若在抛物线上存在一点（与点不重合），使，则点的坐标为 ． 【答案】或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】先求出二次函数表达式，求出C点坐标，再根据得到的高等于5，故可求解． 此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法求出函数表达式． 【详解】∵二次函数的图象与轴交于两点， ∴代入得， 解得， ∴二次函数为， 令，解得， ∴C点坐标为， ∴，， 设P点的纵坐标为p，故的高为， ∵， ∴， ∴， 令，即， 此时方程无解， 令，即， 解得，， ∴则点的坐标为或． 15．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上存在点Q使得的周长最小，则的周长的最小值为 ．    【答案】/ 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、线段周长问题(二次函数综合)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】如图，连接交抛物线对称轴于，连接，由对称的性质可知，，则的周长为，可知当三点共线时，的周长最小，将代入得，，解得，，则，当，，即，由勾股定理得，，，进而可求周长最小值． 【详解】解：如图，连接交抛物线对称轴于，连接，    由对称的性质可知，， ∴的周长为， ∴当三点共线时，的周长最小， 将代入得，，解得，， ∴， 当，，即， 由勾股定理得，，， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，轴对称的性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 16．已知：y是x的函数，若函数图象上存在一点，满足，则称该点为函数图象上“准二倍点”，例如：是直线上的“准二倍点”．某二次函数的图象上存在“准二倍点”，则当时，两“准二倍点”间的最大距离是 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质的应用，对新定义的理解及两点间距离公式的应用是解题的关键 将点代入关系式，再根据新定义列出等式，解出m的解，再根据两点间距离公式求出距离即可． 【详解】解：将点代入得，， ∵，即， ∴， ∴或， ∴点或， ∴两点距离为， ∵， ∴当时，距离最大， ∴最大距离为． 故答案为：． 17．已知抛物线与轴交于两点，轴上存在一点使得，则点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，三角形面积公式．令，则，求出两点的坐标得到，设点的坐标为，根据，求出的值即可．熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线与轴交于两点， 令，则， 解得：，， 两点的坐标为，， ， 设点的坐标为，则， 解得：， 点的坐标为或， 故答案为：或． 18．如图，抛物线交x轴于A，B两点，A点在B点右侧，交y轴于点C，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，y轴上是否存在点E，使以为顶点的四边形是菱形，则点E的坐标为 ．    【答案】或或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合问题，分类讨论①当为菱形的对角线时、②当为菱形的边时两种情况即可求解． 【详解】解：令，解得：； 令，则； ∴ ∴ ①当为菱形的对角线时，垂直平分，如图，    ∴ ∴ 设解析式为： 则 ∴ ∴解析式是， 因为 ∴， ∴ 此时菱形是正方形． ∴． 设，则， ， ∴，解得（不合题意舍去）或， 此时， ∴E． ②当为菱形的边时， 或． 解得：，舍去 ∴或 ∴或 ∴E或E 综上所述，符合条件的点E有三个，坐标为： 或或 故答案为：或或 19．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出． 【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， ∴， 解得， 把代入得，代入得， ，解得； 把代入得，代入得， ，解得：， 综上，c的取值范围为：． 故答案为：． 20．如图，点A、在的图象上.已知A、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有 个.    【答案】4 【知识点】公式法解一元二次方程、求一次函数解析式、y=ax²的图象和性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】根据的面积都等于的面积的一半，可知，分类讨论，①如图所示，当点在直线的下方；②如图所示，当点在直线的上方，根据几何图形的面积计算方法即可求解． 【详解】解：∵点在的图像上，的横坐标分别为、， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 在中，令，则， ∴的坐标为， ∴， ∴． 点在函数的图像上，设， ∵的面积等于的面积的一半， ∴， ①如图所示，当点在直线的下方，过点A作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，    ∵，， ∴，，， ∴，，，，，， ∵， ∴，整理得，， ∴，， ∴，， ∴在直线下方有两个点，使得的面积等于的面积的一半； ②如图所示，当点在直线上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，，，      同理，， ∴， 整理得，， ∴，， ∴，， ∴在直线上方有两个点，使得的面积等于的面积的一半； 综上所述，函数的图像上存在点，使的面积等于的面积的一半，这样的点共有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图像上的坐标特征，几何图形的面积的计算方法，运用数形结合思想和分类讨论是解题的关键． 三、解答题 21．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 22．如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，若已知A点的坐标为． (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程； (2)连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，或 (3)或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，对称轴公式求出对称轴即可； （2）先求出B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）设，利用勾股定理得到，，，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式中得， 解得， ∴抛物线解析式为； ∴对称轴为直线； （2）解：在中，令，则， ∴点C的坐标为； 在中，令，则， 解得或， ∴点B的坐标为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 由图象可知：或； （3）解：存在， 设， ∴，，， 当时，则，此时方程无解，不符合题意； 当时，则， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或． 23．如图，抛物线（、为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线向右平移一个单位得到抛物线； (1)求抛物线w的函数表达式； (2)连接，探究抛物线的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，，，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数动点特殊三角形问题，属于二次函数综合题，解答本题的关键是先求出解析式，设点分类讨论等腰三角形的腰． （1）将点，代入即可得到答案； （2）由（1）知：拖物线的对称轴为：，，所以抛物线的对称轴为：， 令，根据两点间距离公式得到三角形三边的平方的代数式，再分类讨论腰相等列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将点，代入得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：存在 由（1）知：抛物线的对称轴为：，， 抛物线的对称轴为：， 令， ，，， ①当时，， 解得：，， ，； ②当时，， 解得：，， ，； ③当时，， 解得：， 综上，满足要求的点的坐标为，，，，． 24．如图（1），抛物线与x轴交于，两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知的面积为6． (1)求m的值及函数解析式； (2)在内是否存在一点M，使得点M到点A、点B和点C的距离相等.若存在请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图（2），已知抛物线上一点，连接，在线段上方抛物线上是否存在点P，使得，若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，函数解析式为： (2)存在，点的坐标 (3)存在， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、图形问题(实际问题与二次函数)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键． （1）求出，根据题意求出，再根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据点M到点A、点B和点C的距离相等求出的垂直平分线解析式为：，即可得到答案； （3）以为直角边，D为直角顶点向上作，等腰直角，过点D作直线轴交于点F，过点Q作，证明，求出直线的解析式为，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：点， ， ， ， ， 将点A、B坐标代入抛物线， 得：， 解之得：， ， 综上所述：，函数解析式为：； （2）解：如图①，，， ， 线段的垂直平分线过原点， 线段的垂直平分线解析式为：， 由，， 线段的垂直平分线为， 将代入， 解得：， 点的坐标； （3）解：如图，以为直角边，D为直角顶点向上作，等腰直角，过点D作直线轴交于点F，过点Q作， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ，， ， 设直线，将，代入，得 ，解得， 直线的解析式为， 又，点P在抛物线上， 联立， 解得或（与点A重合，舍去）， ． 25．如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键． （1）先求点A坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可； （2）先根据二次函数的性质求得，点的坐标为，进而可得；当时，则，可得，设点的坐标为，然后解方程求得t值即可；求直线的函数表达式，然后平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，可得，再利用待定系数法求得直线的函数表达式，然后联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，，点在点左侧， ∴点的坐标为， 将，代入． ，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下：由得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为，则， ∴ 当时，则，过点作于点，如图． 则是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得：，（舍）， 当时，， 点的坐标为； 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． 将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，， 则，可设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． ∴，解得：或． ∴点的坐标为或． 综上可得，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 26．如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使， 若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为， 【知识点】公式法解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法代值解方程即可得到答案； （2）利用二次函数图象与性质求出各个点的坐标，数形结合，表示出三角形面积，由列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：存在， 理由如下： 如图所示： 由（1）知，则顶点，， 点， 直线：，且轴， ， ，设， ，即， 或， 对于，，则， 点的坐标为，； 对于，，则方程无解； 综上所述，满足题意的点的坐标为，． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定二次函数解析式、二次函数图象与性质、平行于坐标轴的直线性质、平面直角坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 27．在平面直角坐标系中，抛物线=与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (4)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，点M的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用平行四边形的判定与性质求解、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明是等腰直角三角形，则，即可求解； （3）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解； （4）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，抛物线的表达式为：， 令，解得：或， 故点； ①过作于点，过点作轴交于点，如图： ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设，，则， ， ， 当时，的最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大； 面积的最大值； （3）设点，点，， 与关于对称轴对称， 连接与对称轴的交于点， 设解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， 点； （4）存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， 则， 解得：， 点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 28．如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积 (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，点Q坐标为： 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）先确定顶点坐标，然后根据三角形面积即可求解； （3）根据抛物线的对称性可得当点Q与点A、C共线时，的周长最小，求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）由（1）得， ∴顶点坐标， ∵， ∴的面积为：； （3）解：连接与直线交于点Q，    ∵点A与点B关于对称， ∴， ∴的周长为， ∴当点Q与点B，C共线时，的周长最小，为， ∵ 设直线的解析式为：，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点Q坐标为： ． 29．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段的长． ②连接、，求的面积最大时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在，点M的坐标为或或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，菱形的性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）利用待定系数法，将点和点代入抛物线解析式，求出、的值，即可求解； （2）①先确定直线解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线于点D，可用含m的式子表示出P和D的坐标，即可求解； ②用含m的代数式表示出的面积，得到S关于m的二次函数，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴，进而得到点的坐标，过点作轴于点， 得到，，根据菱形的性质，分两种情况讨论：①当为菱形的对角线时，；②当为菱形的边时，，即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：如图： ①在抛物线中，令，则，即， 设直线的解析式为，将将点、代入得： ，解得：， 直线的解析式为：， 设，则， 故用含m的代数式表示线段的长为； ②， 点是直线下方的抛物线上一动点， ， 当时，S有最大值，此时， ， 故的面积最大时点P的坐标为； （3）解：存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， 过点作轴于点，则，， ， ， 以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形， ①当为菱形的对角线时，此时点与点重合，， ； ②当为菱形的边时，此时， ，， 故使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为或或． 30．已知抛物线的图像与x轴交于点和点C，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点P的坐标； (3)在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，Q点的坐标为 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，（1）根据抛物线的图象经过点和点，得到方程组，解方程组即可得到结论； （2）解方程求得，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时最小．求得直线解析式为；于是得到P点坐标为； （3）设是第二象限的抛物线上一点，过点Q作轴交直线于点E，于是得到E的坐标为，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：对称轴为， 令， 解得，， ∴， 如图所示， ∵点C与点A关于直线对称， ∴连接与对称轴的交点即为所求之P点， ∵的长是个定值， 则此时的点P，使的周长最小， 由于A、C两点关于对称轴对称， 则此时 最小． 设直线的解析式为， 由、可得： ， 解得， ∴直线解析式为； 当时，， ∴P点坐标为； （3）解：结论：存在． 设是第二象限的抛物线上一点， 过点Q作轴交直线于点E，则E的坐标为， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值． ∴当时，， ∴． 所以，在第二象限的抛物线上，存在一点Q，使得的面积最大；Q点的坐标为． 31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为， (2), (3)，，或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）设，将，代入两个函数解析式即可求出答案； （2）设，，根据，则，即可解答； （3）设，分当时； ，三种情况依次进行讨论即可． 【详解】（1）解：设，将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线经过点，两点，将，代入， ， 解得， ； （2）设，，，则， 当时 ∵ ， 整理得， ，（舍去） ； 当时 ∵ ， 整理得， ∴（舍去）或； ∴ 当时 ∴不存在 综上所述：, （3）设，则 ，，， ①当时，即， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ②时，即， ， ， ， 而， ， ， ③时，即， ， ， （舍去）或 ， 或， 或， 综上所述：，，或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 32．已知抛物线与轴交于、两点，点在点左边，点的坐标为，且抛物线的对称轴是直线， (1)求此抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形的面积等于3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（1）（2）条件下，若P点是抛物线上的一点，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)存在点，使锐角三角形的面积等于3； (3)8 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线对称轴解析式列式求出，再把点的坐标代入求出，即可得解； （2）根据抛物线解析式求出点的坐标，再求出的长度，然后利用三角形的面积公式求出点到的距离，然后根据是锐角三角形判断点在轴下方，从而确定点的纵坐标，再代入抛物线解析式计算求出横坐标，从而得解； （3）根据点的坐标可得，然后求出，从而写出直线的解析式，与抛物线解析式联立求出点的坐标，再利用勾股定理求出、的长度，然后根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半计算即可得解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， 解得， 点在抛物线上， ， 解得． 所以此抛物线的表达式为； （2）解：存在． 理由如下：令，则， 解得，， 点在点左边， 点的坐标为， ， 设点到的距离为，则， 解得， 是锐角三角形， 点应该在轴的下方， 点的纵坐标为， 代入抛物线解析式得，， 即， 解得，， 又点在对称轴右边的图象上， 点的横坐标为2， 点的坐标为， 此时，过点作轴于点，则，， ，， ，是锐角， 是锐角三角形， 故存在点，使锐角三角形的面积等于3； （3） 解：由（2）得， ， ， 点在直线上， 联立， 解得（舍去），， 点的坐标为， 根据勾股定理，， ， 所以的面积． 【点睛】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的对称轴，点在抛物线上，三角形的面积，直角三角形的面积以及直线与抛物线的交点的求解，难度不是很大，先求出抛物线的解析式是解题的关键，数据的巧妙设计也是本题的一大特点． 33．如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标； (3)若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积有最大值32，此时 (3)存在，M点坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的几何综合，二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设，则，所以四边形面积，可得当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）先求出，设，分别求出，再由勾股定理分类讨论求出M点坐标即可． 【详解】（1）解：将点、代入， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为， 把代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点Q， 设，则， ， ， ， ∴四边形面积， ∵点P在直线上方， ， ∴当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： 当时，， ， 设， ， ①当为斜边时，， 解得， （舍）； ②当为斜边时，， 解得， ； ③当为斜边时，， 解得或， 或（舍）； 综上所述：M点坐标为或． 34．如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，面积最大值为 (3)存在，或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． （1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，③以、为对角线，，三种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； ③以、为对角线，， ， ， ； 综上所述：或或或． 35．已知：抛物线的图象与轴交于点，点与点的纵坐标相同，一次函数的图象与二次函数交于，两点，且点坐标为． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)若抛物线对称轴上存在一点，直线将分成面积比为的两部分，求点坐标． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）将点坐标代入后即可得到二次函数解析式，并由此得到点和点坐标后代入后可得一次函数解析式； （2）根据二次函数的对称轴找到点的横坐标，由题意得存在两种情况：与交点分别为线段三等分点中靠近点或靠近点的点，分情况求出点的纵坐标即可． 【详解】（1）解：点在抛物线 上， ， 二次函数的解析式为， 点的坐标为，则点的坐标为， 设直线的解析式为， 由 解得 ， 直线的解析式为， 即二次函数的解析式为，一次函数的解析式是． （2）解：由题得，二次函数对称轴为， 直线将分成面积比为的两部分，，，点的横坐标为， 当与直线相交，交点为线段的三等分点（靠近点）时，点的坐标为，即点， 当与直线相交，交点为线段的三等分点（靠近点）时，点的坐标为， 设直线为，将、代入， 则得， 故直线为， 当时，，即此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、二次函数的性质、二次函数图象点的坐标特征，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题04 二次函数存在性问题通关专练 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（    ） A． B． C． D． 2．对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：在图形上若存在两点，，使为正三角形，则称图形为点的型线，点为图形的型点，为图形G关于点P的T型三角形．若是抛物线的T型点，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象上存在两点，，若对于，始终有，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 4．定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”．下列函数图象上不存在“倍值点”的是（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系xOy中，点，都在抛物线上，且，．若存在，满足，则m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 6．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 8．抛物线，，为常数），顶点为，抛物线过点，，，已知，．下列结论正确的是：①；②；③；④时，存在使为直角三角形．其中正确结论的序号为（   ） A．②③ B．②③④ C．①③ D．②④ 9．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点M是抛物线（a，b，c为常数，）对称轴上的一个动点．若抛物线的对称轴上恰存在3个不同的点M，使为直角三角形，则的值为（    ） A．－8或－6 B．－6或0 C．－8或2 D．0或2 10．在平面直角坐标系中，将横纵坐标相等的点称为“好点”，下列函数图像中不存在“好点”的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，抛物线的图象与轴交于点，点与点关于该抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点．点在线段上（不含端点）的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．    （1）当时，点横坐标为 ． （2）在直线下方的抛物线上存在点，使（点不与点重合）．则点的坐标为 ． 12．如图，已知抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，若抛物线上存在点，使得的面积为1，则点的坐标是 ． 13．抛物线与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，若在该抛物线上存在另一点，使得以点为顶点的四边形是直角梯形，则点的坐标为 ． 14．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，若在抛物线上存在一点（与点不重合），使，则点的坐标为 ． 15．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上存在点Q使得的周长最小，则的周长的最小值为 ．    16．已知：y是x的函数，若函数图象上存在一点，满足，则称该点为函数图象上“准二倍点”，例如：是直线上的“准二倍点”．某二次函数的图象上存在“准二倍点”，则当时，两“准二倍点”间的最大距离是 ． 17．已知抛物线与轴交于两点，轴上存在一点使得，则点的坐标为 ． 18．如图，抛物线交x轴于A，B两点，A点在B点右侧，交y轴于点C，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，y轴上是否存在点E，使以为顶点的四边形是菱形，则点E的坐标为 ．    19．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则的取值范围是 ． 20．如图，点A、在的图象上.已知A、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有 个.    三、解答题 21．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，若已知A点的坐标为． (1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程； (2)连接，求线段所在直线的解析式，并直接写出当抛物线在直线下方时x的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标，请说明理由． 23．如图，抛物线（、为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线向右平移一个单位得到抛物线； (1)求抛物线w的函数表达式； (2)连接，探究抛物线的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图（1），抛物线与x轴交于，两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知的面积为6． (1)求m的值及函数解析式； (2)在内是否存在一点M，使得点M到点A、点B和点C的距离相等.若存在请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图（2），已知抛物线上一点，连接，在线段上方抛物线上是否存在点P，使得，若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 25．如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使， 若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 27．在平面直角坐标系中，抛物线=与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (4)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 28．如图所示，抛物线交x轴于点，交y轴于点    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积 (3)点Q是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点Q，使的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段的长． ②连接、，求的面积最大时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 30．已知抛物线的图像与x轴交于点和点C，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点P的坐标； (3)在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．已知抛物线与轴交于、两点，点在点左边，点的坐标为，且抛物线的对称轴是直线， (1)求此抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形的面积等于3．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（1）（2）条件下，若P点是抛物线上的一点，且，求的面积． 33．如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标； (3)若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 35．已知：抛物线的图象与轴交于点，点与点的纵坐标相同，一次函数的图象与二次函数交于，两点，且点坐标为． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)若抛物线对称轴上存在一点，直线将分成面积比为的两部分，求点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$