微专题02 二次函数最值问题通关专练-2024-2025学年九年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

微专题02 二次函数最值问题通关专练 一、单选题 1．若实数x、y满足2x2﹣6x+y＝0，则x2+y+2x的最大值是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 2．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（　　） A．2 B．4 C．2或 D．4成 3．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时，函数的最大值是8 C．当时，直线与该图象恰有三个公共点 D．关于x的方程的所有实数根的和为3 4．抛物线y＝（x﹣3）2+2的最小值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 5．已知二次函数y=x2+(2k+1)x+k2－1的最小值是0，则k的值是(    ) A． B．－ C． D．－ 6．已知二次函数的图象如图所示，则下列说法错误（   ） A．图象关于直线对称 B．函数有最大值 C．和5是方程的两个根 D．当时，随的增大而增大 7．对于二次函数，下列说法正确的是(    ) A．图像的开口向下 B．当x=l时，y有最大值-4 C．当x<l时，y随x的增大而减小 D．图像的对称轴是直线x=-l 8．已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．二次函数，当时，y的最小值是1，则m的值是 ． 10．如图，约定：三角形下方的数等于上方两数之和．则的最小值为 ． 11．已知函数（）的最大值与最小值的和为 ． 12．已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是 . 13．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ． 14．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，与其对应的函数值y的最大值为6，则a的值为 ． 15．抛物线y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为 ． 16．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间的函数关系式是h=12t﹣6t2，则小球运动到的最大高度为 米； 三、解答题 17．二次函数的对称轴为直线 (1)求函数顶点坐标（用含a的代数式表示）. (2)已知点都在函数图象上，若且比较与的大小. (3)当时，函数的最大值为18，求a的值. 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点与点关于对称轴对称，连接与对称轴交于点，求的面积； (3)如图，点是抛物线上位于第一象限内的一点，轴，垂足为，与相交于点， ①当时，求点的坐标． ②求的最大值． 19．已知关于x的二次函数 （1）若二次函数的图象与x轴有交点．求a的取值范围； （2）若和是抛物线上两点，且，求实数m的取值范围： （3）当时，求y的最小值（用含a、s的代数式表示）． 20．已知抛物线经过点，． (1)求b，c的值． (2)已知k为正数，当时，y的最大值和最小值分别为m，n，且，求k的值． 21．已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点K，顶点为D． （Ⅰ）求点A，B，K，D的坐标； （Ⅱ）若向下平移抛物线C，使顶点D落在x轴上，抛物线C上的点P平移后的对应点为，若，求点P的坐标； （Ⅲ）点在抛物线C上，则在抛物线C上是否存在一点Q，使的面积是面积的一半，若存在，求满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 22．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值． 23．已知函数，且的取值范围是． (1)若的最大值为6，求的取值范围； (2)若的最大值为5，求的值； (3)求的最小值． 24．在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为Q．且规定：当时，点Q的坐标为；当时，点Q的坐标为． (1)点的“关联点”坐标为______； (2)若点的“关联点”在函数的图象上，求m的值； (3)若点的“关联点”N在函数的图象上，当时，求线段MN的最大值． 25．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．点D是直线AC上方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线AC相交于点E．    （1）求直线AC的解析式； （2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标． 26．求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值 ． 27．二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； (2)若，求证：． 28．已知抛物线的图像过点，顶点横坐标为，如图    (1)求、的值； (2)求的最大值； (3)直接写出当时，的取值范围． 29．如图，抛物线与x轴交于点，两点．点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作轴于点E，交直线BC于点D．设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大面积及点P的坐标； 30．已知抛物线y=﹣x2﹣3x+t经过A（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P（m，n）在该抛物线上，求m+n的最大值． 31．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A(0，﹣4)，点B(4，0)． (1)求此二次函数的解析式． (2)若点P是直线AB下方抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求出点P的坐标和△PAB的最大面积． (3)当t≤x≤t+3时，此二次函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，直接写出t的值． 32．当（，为实数，且）时，函数的最小值为，最大值为，试求出所有符合条件的，值． 33．已知二次函数. (1)若二次函数的对称轴是直线，求m的值. (2)当时，二次函数的最大值是7，求函数表达式. 34．已知二次函数． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标． （2）判断该二次函数图象与x轴交点的个数，并说明理由． （3）当时，该函数有最小值，求a的值． 35．已知二次函数 ． (1)该二次函数图象的对称轴是x = ； (2)若该二次函数的图象开口向下， 当时， y 的最大值是 2，求当时， y 的最小值为 ； (3)若对于该抛物线上的两点 ，当 ，时，均满足 ，请结合图象，求 t的取值范围． 36．对任意实数，记，已知实数，函数． (1)求使得等式成立的的取值范围； (2)求函数的最小值． (3)求函数当时的最大值． 37．某品牌服装加盟店销售某款式服装，每件进价为40元，市场调研表明：当售价为60元/件时，每月能售250件，而当售价每涨价1元时，每月就少售10件，设每件服装的售价为x（x为正整数）元，每月的利润为w元． (1)求每件服装的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？ (2)由于物流渠道优化，运输费用降低，该款式服装进价每件降低了m元（），另因品牌销售需要，加盟店总店规定，零售价不得低于70元/件．若该款式服装某月获得的最大利润为5100元，求m的值． 38．求二次函数y＝x2－5x＋6与坐标轴的交点坐标及函数的最小值． 39．如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=﹣x2+3.5运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米． (1)球在空中运行的最大高度为多少米？ (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？ 40．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于点，且经过点． (1)用含的代数式表示． (2)当时，抛物线的最低点的纵坐标为时，求抛物线的函数表达式． (3)抛物线在A、B间的部分（包括A、B两点）记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其他部分保持不变，得到新的图象当图象上存在两个点到直线的距离为时，求的值． (4)若在该抛物线上存在纵坐标为的点P，将点A、B、P构成的三角形的面积记为当时，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题02 二次函数最值问题通关专练 一、单选题 1．若实数x、y满足2x2﹣6x+y＝0，则x2+y+2x的最大值是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】根据题意可用x表示出y，再代入中，化为顶点式即得出答案． 【详解】由，得 ， ∴， ∴当x＝4时，的最大值是16． 故选：C． 【点睛】本题考查求二次函数的最值．根据题意将得出的二次函数化为顶点式是解题关键． 2．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（　　） A．2 B．4 C．2或 D．4成 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】由可得其对称轴为：，当时，，即有，解方程即可求解． 【详解】由可得其对称轴为：， 根据， 可知：当时，， 即有：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数的应用等知识，明确题意，得出当时，，是解答本题的关键． 3．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时，函数的最大值是8 C．当时，直线与该图象恰有三个公共点 D．关于x的方程的所有实数根的和为3 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、一次函数、二次函数图象综合判断、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，由，是函数图象和x轴的交点，利用待定系数法求得的值可判断A错误；根据图象可判断B错误；由图象可判断C正确；由题意可得或，利用根与系数的关系可判断D错误．利用数形结合的思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，是函数图象和x轴的交点， ∴， 解得：， ∴， 故A错误； 由图象可得，函数没有最大值，故B错误； 如图，当时，直线， 当时，，当时，，则， 即直线，与x轴交于点，与y轴交于点，如图， 此时直线与该图象恰有三个公共点， 故C正确； 关于x的方程，即或， 当时，， 当时，， ∴关于x的方程的所有实数根的和为，故D错误， 故选：C． 4．抛物线y＝（x﹣3）2+2的最小值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据顶点式解析式，可得出顶点坐标，进而得出最值． 【详解】解：  ∵抛物线 y＝（x﹣3）2+2 ∴顶点坐标是（3，2） ∴最小值是2 故答案是2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，记住顶点式的顶点坐标求法是解题关键． 5．已知二次函数y=x2+(2k+1)x+k2－1的最小值是0，则k的值是(    ) A． B．－ C． D．－ 【答案】D 【分析】根据二次函数的最小值为0可得(2k+1)2-4(k2-1)=0，求出k的值即可. 【详解】∵二次函数y=x2+(2k+1)x+k2－1的最小值是0， ∴(2k+1)2-4(k2-1)=0， 解得k=. 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数的性质及最值，当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即图像的最低点，最小值为y=，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式是解题关键. 6．已知二次函数的图象如图所示，则下列说法错误（   ） A．图象关于直线对称 B．函数有最大值 C．和5是方程的两个根 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象逐一进行判断即可． 【详解】解：观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向下，故A选项正确，不符合题意； ∴该函数有最大值，故B选项正确，不符合题意； 观察图象得：二次函数图象与x轴交于点， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，方程的两个根为，故C选项正确，不符合题意； 观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而减小，故C选项错误，符合题意； 故选：D 7．对于二次函数，下列说法正确的是(    ) A．图像的开口向下 B．当x=l时，y有最大值-4 C．当x<l时，y随x的增大而减小 D．图像的对称轴是直线x=-l 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】画出题目所给二次函数的图象即可选出正确答案 ． 【详解】解：可以画出题中二次函数的图象如下： 从图中可以看出，A、B、D选项都是错误的，C选项是正确的， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式画出正确的图象是解题关键． 8．已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值、二次函数图象与各项系数符号 【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x1=-3，x2=1，则可对③进行判断． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴，所以①正确； ∵时，y有最小值， ∴（t为任意实数），即，所以②正确； ∵图象经过点时，代入解析式可得， 方程可化为，消a可得方程的两根为，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数与直线的另一个交点为， ，代入可得， 所以③正确． 综上所述，正确的个数是3． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）． 二、填空题 9．二次函数，当时，y的最小值是1，则m的值是 ． 【答案】1或/-2或1 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴为直线，分、及三种情况考虑，当时，代入得到的关于的方程无实数解；当时，代入可求出；当时，代入可求出．综上即可得出结论． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线． 当，即时，时取最小值， ， 方程无实数根； 当，即时，时取最小值， ； 当，即时，时取最小值， ， 解得：，（舍去）． 综上所述：的值为1或． 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，熟悉相关性质，并利用分类讨论思想进行讨论是解题的关键． 10．如图，约定：三角形下方的数等于上方两数之和．则的最小值为 ． 【答案】-1 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据题意用x的式子表示y，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】依题意可得y=a+b= 故的最小值为-1 故答案为：-1． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意表示y的函数表达式． 11．已知函数（）的最大值与最小值的和为 ． 【答案】10 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据二次函数的性质可得当时取得最小值，当时取得最大值14，即可求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为，开口向上， ∴当时，当时取得最小值， 当时取得最大值14， ∴最大值与最小值的和为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查二次函数的区间最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是 . 【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】将二次函数配方成顶点式，分m<−1、m>2和−1⩽m⩽2三种情况，根据y的最小值为−2，结合二次函数的性质求解可得． 【详解】解：， 故该抛物线的对称轴为直线x=m，且开口向上， ①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2， 解得：； ②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2， 解得(舍)； ③若−1⩽m⩽2，当x=m时，， 解得：或(舍)， ∴m的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键． 13．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】由已知等式表示出y2，代入s中利用二次函数最值即可确定出s范围． 【详解】解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0， ∴x≤3， 代入得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8， 当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是根据题意进行代入消元，然后利用二次函数的性质进行求解即可． 14．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，与其对应的函数值y的最大值为6，则a的值为 ． 【答案】1 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为6，可得x=1时，y=6，即可求出a． 【详解】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2（其中x是自变量）， ∴对称轴是直线x1． ∵当x≥2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0． ∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为6， ∴x=1时，y=a+2a+3a2=6， ∴3a2+3a﹣6=0， ∴a=1或a=﹣2（不合题意舍去）， ∴a=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质并作出正确的判断． 15．抛物线y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为 ． 【答案】1 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【详解】∵抛物线y=a（x-4）2-4（a≠0）的对称轴为直线x=4， 而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方， ∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方， ∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方， ∴抛物线过点（2，0）， 把（2，0）代入y=a（x-4）2-4（a≠0）得4a-4=0，解得a=1． 故答案为1． 【点睛】求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 16．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间的函数关系式是h=12t﹣6t2，则小球运动到的最大高度为 米； 【答案】6 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】现将函数解析式配方得，即可得到答案. 【详解】， ∴当t=1时，h有最大值6. 故答案为：6. 【点睛】此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开口方向确定最值. 三、解答题 17．二次函数的对称轴为直线 (1)求函数顶点坐标（用含a的代数式表示）. (2)已知点都在函数图象上，若且比较与的大小. (3)当时，函数的最大值为18，求a的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据对称轴得出,进而化为顶点式，即可求解． （2）依题意，关于直线的对称轴点为，根据，则离对称较近，即可求解． （3）分或分类讨论，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， （2）解：当时，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴关于直线的对称轴点为， ∵且， ∴， 即离对称较近， ∴； （3）①当时，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，函数的最大值为18， ∴时，， 解得：， ②当时，最大值为， 解得：， ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点与点关于对称轴对称，连接与对称轴交于点，求的面积； (3)如图，点是抛物线上位于第一象限内的一点，轴，垂足为，与相交于点， ①当时，求点的坐标． ②求的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为：； (2)； (3)①；②的最大值为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】利用待定系数法解答，即可求解； 先求出解析式，由点在对称轴上，代入即可求出长度，最后利用公式即可求出面积； ① 设点，点，利用即可求解； ②利用二次函数最值问题即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为：． （2）解：对称轴为：， ∴点的坐标是， ∵点与点关于对称轴对称， ∴点与点的连线与直线垂直，交于点， ∴，    设解析式为， ∴，解得：， ∴的解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴； （3）①∵，， ∴直线为， 设点，点， ∵， ∴， 解得：， ， ， ∴点的坐标是：． ②设点，， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的综合，二次函数与几何的综合，利用待定系数法正确求出二次函数函数解析式并利用数形结合的思想是解题关键． 19．已知关于x的二次函数 （1）若二次函数的图象与x轴有交点．求a的取值范围； （2）若和是抛物线上两点，且，求实数m的取值范围： （3）当时，求y的最小值（用含a、s的代数式表示）． 【答案】（1）a≥；（2）m＜-1或m＞5；（3）2≤s≤4时，；s≤2时， 【知识点】其他问题(二次函数综合)、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）令△≥0，且a＞0，即可求解； （2）抛物线的对称轴为直线x=，当n=b时，根据函数的对称性，则m=-1，即可求解； （3）根据函数对称轴和开口方向得到函数增减性，再分2＜s≤4和s≤2两种情况求解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图像与x轴有交点， 则（-4a）2-4a（a+1）≥0，且a＞0， 解得：a≥； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线x=，开口向上， ∵点Q（5，b）关于对称轴x=2的对称点为（-1，b）， 点P（m，n）在其图像上，且n＞b， 故实数m的取值范围为：m＜-1或m＞5； （3）由（2）可知图像开口向上，对称轴为直线x=2， ∴当x≥2时，y随x的增大而增大， 当x＜2时，y随x的增大而减小， ∴2≤s≤4，则当x=s时，y取得最小值， 则y的最小值为， 若s≤2，则当x=2时，y取最小值， 则y的最小值为=． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．已知抛物线经过点，． (1)求b，c的值． (2)已知k为正数，当时，y的最大值和最小值分别为m，n，且，求k的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）用待定系数法，将点坐标代入抛物线解析式得到一个一元二次方程，解方程即可求得． （2）求出抛物线的顶点坐标，进而可求出最大值，则可求得m、n的值，再利用函数增减性可得最小值对应的x值，即可求解． 【详解】（1）把和代入中， 得，，解得 ∴，； （2）由（1）得，对称轴为直线， ∵， ∴当时，， ∴顶点坐标为， ∵k为正数，，， ∴， ∴当时， 解得，， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，二次函数的最值问题；解题的关键是熟练掌握待定系数法和二次函数的性质与最值． 21．已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点K，顶点为D． （Ⅰ）求点A，B，K，D的坐标； （Ⅱ）若向下平移抛物线C，使顶点D落在x轴上，抛物线C上的点P平移后的对应点为，若，求点P的坐标； （Ⅲ）点在抛物线C上，则在抛物线C上是否存在一点Q，使的面积是面积的一半，若存在，求满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（I）点，点，点，点；（II）点P的坐标为或；（III）存在，点Q的坐标为或或或 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的最值、二次函数图象的平移 【分析】（I）根据x轴坐标的特征y=0，解方程可求，根据y轴点坐标特征，x=0时可求，把抛物线配方为顶点式即可 （II）设，由顶点，可得抛物线向下平移了个单位，则，由，轴，可得点P与点关于x轴对称，列方程，解方程即可； （Ⅲ）存在，求E坐标待定系数法直线的解析式为．设与y轴交点为F，求出则点．又点，过点O作于H，可证是等腰直角三角形，OH为△KBF的中位线，使的面积是面积的一半，则点Q在过原点O平行的直线，交抛物线C于点．由，解方程组，作点O关于点F的对称点，过点作直线，交抛物线C于点．利用平移可求直线的解析式为，由，解方程组求解即可 【详解】（I）取，即，因式分解得 解得，，， 则点，点； 取，， 则点； 又 则点 （II）设， ∵向下平移顶点落在x轴上，又点， ∴抛物线向下平移了个单位，则， ∵，轴， ∴点P与点关于x轴对称， ∴， 整理得， 解得，， ∴点P的坐标为或． （Ⅲ）存在 在抛物线C上， 则． ∴， 又点， 直线的解析式为代入B、E坐标得： ， 解得， 直线的解析式为． 设与y轴交点为F， 则点．又点， ∴． 过点O作于H， 连接． ∵， ∴，是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴， ∴， 使的面积是面积的一半，则点Q在过原点O平行的直线， 由， 消去y得， ∴，y=， 解得或， ∴，， 作点O关于点F的对称点，过点作直线，交抛物线C于点． ∵， 把直线的解析式为向下平移4个单位的直线， ∴直线的解析式为， 由， 消去y得， ∴，y， 解得或， ∴， ． 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点和抛物线顶点坐标，抛物线平移，轴对称，三角形面积，掌握抛物线与坐标轴交点和抛物线顶点坐标，抛物线平移，轴对称，三角形面积是解题关键． 22．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据题意将点的坐标代入解析式即可求得该抛物线的解析式； （2）根据抛物线的对称性，两点关于对称轴对称，连接交于点，则的周长的最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点， ， 解得， ． （2）连接，交于点，连接，,如图， 两点关于对称轴对称， 的周长为 的周长最小值为 由，令，解得， 即 在中 即的周长最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 23．已知函数，且的取值范围是． (1)若的最大值为6，求的取值范围； (2)若的最大值为5，求的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)或； (3)当时，的最小值为；当时，的最小值为． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）利用配方法得到函数的顶点式，得到若的最大值为6，则可取1，据此计算即可求解； （2）若的最大值为5，则必取0或2，根据函数的单调性，进一步计算即可求解； （3）分别求得，，计算得到，分和两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：， 若的最大值为6，则可取1， ∴， 解得； （2）解：若的最大值为5，即， 解得或， 则必取0或2， ∴或， 解得或； （3）解：∵，∴函数图象开口向下， 当时，， 当时，， ∴ ， 当时，， ∴的最小值为； 当时，， ∴的最小值为； 综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为． 24．在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为Q．且规定：当时，点Q的坐标为；当时，点Q的坐标为． (1)点的“关联点”坐标为______； (2)若点的“关联点”在函数的图象上，求m的值； (3)若点的“关联点”N在函数的图象上，当时，求线段MN的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）由定义直接求解即可； （2）分两种情况讨论：m＋1≥2时，A点的“关联点”为(m + 1，m-1)，再由2m+2+3 = m-1，可得m =-6不符合题意；当m+1<2时，A点的“关联点”为(m+1，1-m)，再由2m+2+3=1-m，得到m =-； （3）当时，点N的坐标为，，则，所以当时，线段MN的最大值是，当时，点N的坐标为，线段MN没有最大值. 【详解】（1）解：∵点(2，3)， ∴点(2，3)的“关联点”坐标为(2，1)， 故答案为：（2，1）； （2）解：当m＋1≥2时，A点的“关联点”为(m + 1，m-1)， ∵点(m+1，m-1)在函数y =2x＋3的图象上， ∴2m+2+3 = m-1， ∴m =-6， 此时m+1<2，不符合题意； 当m+1<2时，A点的“关联点”为(m+1，1-m)， ∵点(m+1，1-m)在函数y = 2x＋3的图象上， ∴2m+2+3=1-m， ∴m =-， 综上所述：m的值为-； （3）解：当时，点N的坐标为， ∵点N在函数的图象上， ∴， 即，， ∴， ∵， ∴当时，线段MN的最大值是， 当时，点N的坐标为， ∴， ∵点N在函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴线段MN没有最大值， 综上所述，线段MN的最大值是． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解“关联点”的定义，并能灵活运用定义是解题的关键. 25．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．点D是直线AC上方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线AC相交于点E．    （1）求直线AC的解析式； （2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为；（2）当的长度最大时，点的坐标为． 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、求抛物线与x轴的交点坐标、利用二次函数对称性求最短路径、求一次函数解析式 【分析】（1）根据题意，先求出点A和点C的坐标，然后利用待定系数法，即可求出答案； （2）根据题意，利用m表示DE的长度，然后根据二次函数的性质，即可求出点D的坐标. 【详解】解（1）当时，． ，． 点的坐标是． 当时，． 点的坐标是． 设直线的解析式为, ，解得：． 直线的解析式为：． （2）如图：    设点的横坐标为． 则点的坐标为，点的坐标为． 所以． ∵， ∴当时，线段长度最大． 将代入， 得． ∴当的长度最大时，点的坐标为． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键，解答时，注意待定系数法的灵活运用． 26．求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值 ． 【答案】时，函数的最小值为；时，函数取得最大值为． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）利用配方法把化为，再根据二次函数的性质解答即可；（2）因为a=-2＜0，根据当x=时， 求解即可. 【详解】∵， ∴当时，函数的最小值为． ， ∵，，， ∴当时，函数取得最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，求二次函数的最值有两种方法：①把函数的解析式化为顶点式，利用二次函数的性质解答；②直接利用顶点坐标公式（，）解答. 27．二次函数的图象与x轴交于点，且． (1)当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①依题意，，解方程组即可求解； ②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出  ，得出，代入得，进而 ，即可得证． 【详解】（1）解：①依题意，， 解得，； ②， 对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 依题意，， 方程无解； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； （2）∵，，   ∴，   ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，     ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴． 28．已知抛物线的图像过点，顶点横坐标为，如图    (1)求、的值； (2)求的最大值； (3)直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2)y的最大值是9； (3)当时，． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、根据交点确定不等式的解集 【分析】（1）根据二次函数图像上点的坐标特征，将点代入二次函数的解析式，再由对称轴方程得到；联立，解方程组即可； （2）利用（1）的结果求出抛物线的解析式，并将其转化为顶点式，然后根据二次函数的性质来求二次函数的最值； （3）根据图示，直接写出当时，x的取值范围． 【详解】（1）解：∵图像过点，且顶点横坐标为， ∴， 解得：； （2）解：根据（1）知，抛物线的解析式是： ， ∴y的最大值是9； （3）解：令，则， 解得，， ∴当时，． 【点睛】本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图像及二次函数的最值．本题侧重于二次函数的解析式的求法和几何图形结合的综合能力的培养，解题时要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 29．如图，抛物线与x轴交于点，两点．点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作轴于点E，交直线BC于点D．设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大面积及点P的坐标； 【答案】（1）；（2）时， ，此时 【知识点】面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）待定系数法直接将函数图象上已知坐标点代入函数表达式解方程即可； （2）先求出直线BC的解析式，根据题意用含m的表达式分别表示出P，D的坐标，再用含m的表达式表示出的面积，根据二次函数求最值知识求解即可． 【详解】解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）当时，， ∴， 设直线BC的解析式为， ∵直线BC经过点B、点C， ∴将点B、C坐标代入直线BC解析式得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为． ∵点P的横坐标为，， ∴点D的横坐标也为， 将P，D分别代入抛物线和直线BC解析式， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ， ∴此时． 【点睛】此题考查一次函数求解析式和二次函数求解析式及二次函数图像，求最值等，此题还涉及到结合图像列出三角形面积公式，有一定难度． 30．已知抛物线y=﹣x2﹣3x+t经过A（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P（m，n）在该抛物线上，求m+n的最大值． 【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+3；（2）4． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将点P的坐标代入解析式，得到n=﹣m2﹣3m+3，两边同时加上m，再配方为顶点式形式，根据函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）将A（0，3）代入解析式，得t=3， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣3x+3； （2）∵点P（m，n）在抛物线y=﹣x2﹣3x+3上， ∴n=﹣m2﹣3m+3， ∴m+n=﹣m2﹣2m+3=﹣（m+1）2+4， ∴当m=﹣1时，m+n有最大值是4． 【点睛】此题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上的点，顶点式解析式的性质，此题是一道较为基础的二次函数的题型． 31．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A(0，﹣4)，点B(4，0)． (1)求此二次函数的解析式． (2)若点P是直线AB下方抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求出点P的坐标和△PAB的最大面积． (3)当t≤x≤t+3时，此二次函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，直接写出t的值． 【答案】(1)y＝x2﹣3x﹣4 (2)P(2，﹣6)，△PAB的面积最大值为8 (3)或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）用待定系数法，将点A(0，-4)，点B(4，0)代入解析式，即可求解； （2）过点P作PQ∥y轴交AB于点Q，求出直线AB的解析式为y=x-4，设P(t，t2-3t-4)，则Q(t，t-4)，则，t=2时，△PAB的面积最大值为8，此时P(2，-6)； （3）分四种情况讨论：①当t时，当x＝t时，y＝t2﹣3t﹣4=n，当x＝t+3时，=m，由m﹣n＝6t＝3，解得t<,应舍去；②当 ，即≤t时，当x=时，y=n，若，即：0<t时，m﹣n＝t2+3t﹣4 3，解得t，或t，应舍去；若，即：≤t≤0时，m﹣n＝t2-3t﹣4 3，解得：t应舍去，或t；③当t+3，即t时，m﹣n＝t2﹣3t﹣4﹣（t2+3t﹣4）＝﹣6t＝3，解得t> ，应舍去，即可求解。 【详解】（1）解：将点A（0，﹣4），点B（4，0）代入y＝x2+bx+c， ∴ ， ∴ ， ∴y＝x2﹣3x﹣4； （2）解：过点P作PQ∥y轴交AB于点Q， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴ ， 解得， ∴y＝x﹣4， 设P（t，t2﹣3t﹣4），则Q（t，t﹣4）， ∴PQ＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t， ∴ ， ∵0＜t＜4， ∴t＝2时，△PAB的面积最大值为8， 此时P（2，﹣6）； （3）解：∵y＝x2﹣3x﹣4＝ ， ∴抛物线的对称轴为直线x， ①当t时， 当x＝t时，y＝t2﹣3t﹣4=n， 当x＝t+3时，=m， ∴m﹣n＝6t＝3， 解得t<,应舍去； ②当 ，即≤t时， 当x=时，y=n， 若，即：0<t时， x=t+3时，=m， ∴m﹣n＝t2+3t﹣4 3， 解得t，或t，应舍去； 若，即：≤t≤0时， x=t时，y＝t2﹣3t﹣4=m， ∴m﹣n＝t2-3t﹣4 3， 解得：t应舍去，或t； ③当t+3，即t时， 当x＝t时，y＝t2﹣3t﹣4=m， 当x＝t+3时，=n， ∴m﹣n＝t2﹣3t﹣4﹣（t2+3t﹣4）＝﹣6t＝3， 解得t> ，应舍去； 综上所述：t的值为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是求解的关键． 32．当（，为实数，且）时，函数的最小值为，最大值为，试求出所有符合条件的，值． 【答案】，或， 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径、y=ax²+bx+c的最值 【分析】先求出函数的对称轴为，然后分为四种情况讨论①，②，③，④即可． 【详解】函数图象的开口向上，对称轴是直线，当时的函数值． ①当时，由题意可得 解得（舍去） ②当时，由题意可得 解得 ③当时，由题意可得 解得 ④当时，由题意可得 解得（舍去） ，或， 故答案为，或，． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，讨论二次函数最值问题时一定要注意对称轴，根据对称轴分段讨论． 33．已知二次函数. (1)若二次函数的对称轴是直线，求m的值. (2)当时，二次函数的最大值是7，求函数表达式. 【答案】(1)5 (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴为，由对称轴是直线，即可得到m的值； （2）由得到，根据，得到，得出当时，取最大值，最大值为m，可得m的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴对称轴是， ∵对称轴是直线， ∴， 解得， 即m的值是5． （2）由（1）知，，其图象开口向上，对称轴为直线， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴当时，取最大值，最大值为m， ∵二次函数的最大值是7， ∴m＝7, 此时函数表达式是． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，求出函数的解析式是解题的关键． 34．已知二次函数． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标． （2）判断该二次函数图象与x轴交点的个数，并说明理由． （3）当时，该函数有最小值，求a的值． 【答案】（1）；（2）当时，有1个交点；当且时，有2个交点；见解析；（3）或 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）由配方法可求顶点坐标； （2）由根的判别式即可求解； （3）分a＞0或a＜0两种情况讨论，由二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）当时， ； ∴顶点坐标为：； （2）根据题意， ， 当时，有1个交点； 当且时，有2个交点； （3）对称轴： ①当 对称轴： ⅰ）即时 ∴（舍） ⅱ），即时 ∴（舍） ②当 对称轴： ∵离对称轴更远 ∴ ∴ 综上所述，∴或 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数与x轴的交点等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 35．已知二次函数 ． (1)该二次函数图象的对称轴是x = ； (2)若该二次函数的图象开口向下， 当时， y 的最大值是 2，求当时， y 的最小值为 ； (3)若对于该抛物线上的两点 ，当 ，时，均满足 ，请结合图象，求 t的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）利用对称轴公式计算即可； （2）根据当时， y 的最大值是 2，求出a的值，得出二次函数的解析式，把代入即可； （3）当，时，均满足，推出抛物线开口向下，点P在点Q左边且在点Q关于对称轴对称点的右边，满足条件，可得，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴二次函数图象的对称轴是 故答案为：2． （2）解：∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，y取到在上的最大值为2． ∴． 解得， ∴二次函数为， 当时，， ∴当时，y的最小值是， 故答案为：； （3）解：∵当，时，均满足， ∴抛物线开口向下，点P在点Q左边且在点Q关于对称轴对称点的右边时，满足条件， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 36．对任意实数，记，已知实数，函数． (1)求使得等式成立的的取值范围； (2)求函数的最小值． (3)求函数当时的最大值． 【答案】(1) (2)当，最小值为，当，最小值为 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握分类讨论是解题的关键． （1）根据新定义得到，解不等式即可求出解集； （2）分为和两种情况分别计算最小值即可解题； （3）分为和、三种情况分别计算最大值即可解题； 【详解】（1）解：由题可知， 解得； （2）解：当时，， ∵， ∴当时，有最小值，即； 当时；， 当时，， ∴当，最小值为， 当，最小值为； （3）解：当， 当时，，当时，有最大值，即， 当时，， ∴当时，有最大值，即， ∴最大值为； 当， 当时，，当时，有最大值，即， 当时，，随x的增大而增大， ∴当时，有最大值，即， ∴最大值为； 当， 当时，当时，有最大值，即， 综上所述，函数当时的最大值为． 37．某品牌服装加盟店销售某款式服装，每件进价为40元，市场调研表明：当售价为60元/件时，每月能售250件，而当售价每涨价1元时，每月就少售10件，设每件服装的售价为x（x为正整数）元，每月的利润为w元． (1)求每件服装的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？ (2)由于物流渠道优化，运输费用降低，该款式服装进价每件降低了m元（），另因品牌销售需要，加盟店总店规定，零售价不得低于70元/件．若该款式服装某月获得的最大利润为5100元，求m的值． 【答案】(1)当售价定为62元或者63元每件时，每个月的获利最大，最大利润为元 (2)4 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据题意有：每一件的利润为：元，销售量为：件，即有，根据二次函数的性质即可求解； （2）进价降低m元，同理即可得，根据，有，即抛物线的对称轴在直线左侧，根据二次函数的开口向下，可得当时，函数值w随着x的增大而减小，则有在的范围内，当且仅当时，函数有最大值，据此即可求解． 【详解】（1）根据题意有：每一件的利润为：元，销售量为：件， 则有：， 整理得：， ∵，x为正整数， ∴当或者时，函数w有最大值，且最大值为：， 即当售价定为62元或者63元每件时，每个月的获利最大，最大利润为元； （2）进价降低m元，则此时每一件的利润为：元，销售量不变，仍为：件， ∴， 整理，得：， ∵， ∴， 即抛物线的对称轴在直线左侧， ∵， ∴二次函数的开口向下， ∴当时，函数值w随着x的增大而减小， ∵根据题意有，抛物线的对称轴在直线左侧， ∴在的范围内，函数值w随着x的增大而减小， ∴当时，函数有最大值， 即当时，销售量为：件，此时利润达到最大为5100元， ∴根据题意有：， 解得， 即此时m的值为4． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质，以及在第二问中得到在的范围内，当且仅当时，函数有最大值，是解答本题的关键． 38．求二次函数y＝x2－5x＋6与坐标轴的交点坐标及函数的最小值． 【答案】与x轴交点坐标为(2，0)，(3，0)，与y轴交点坐标为(0，6)，最小值为 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】根据二次函数与x轴相交时y=0，与y轴相交时x=0，即可求出与坐标轴的交点坐标；把二次函数的一般式化成顶点式，然后根据二次函数图像的性质即可求出最小值． 【详解】解：对于二次函数， 当x=0时，y=6， 当y=0时，方程的解，即为二次函数与x轴的交点， 解得：， 所以与x轴的交点坐标为：(2，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，6)； ∵，抛物线开口向上，有最小值， ∴最小值为：． 【点睛】本题考查二次函数最值及二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 39．如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=﹣x2+3.5运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米． (1)球在空中运行的最大高度为多少米？ (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？ 【答案】(1) 3.5米；(2) 4米 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、实际问题与二次函数 【分析】(1)最大高度应是抛物线顶点的纵坐标的值； (2)根据所建坐标系，水平距离是蓝框中心到Y轴的距离+球出手点到y轴的距离，即两点横坐标的绝对值的和． 【详解】解：(1)因为抛物线y=﹣x2+3.5的顶点坐标为（0，3.5） 所以球在空中运行的最大高度为3.5米； (2)当y=3.05时，3.05=﹣x2+3.5， 解得：x=±1.5 又因为x＞0 所以x=1.5 当y=2.25时， x=±2.5 又因为x＜0 所以x=﹣2.5， 由|1.5|+|﹣2.5|=1.5+2.5=4米， 故运动员距离篮框中心水平距离为4米． 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，根据所建坐标系确定水平距离是解此题关键． 40．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于点，且经过点． (1)用含的代数式表示． (2)当时，抛物线的最低点的纵坐标为时，求抛物线的函数表达式． (3)抛物线在A、B间的部分（包括A、B两点）记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其他部分保持不变，得到新的图象当图象上存在两个点到直线的距离为时，求的值． (4)若在该抛物线上存在纵坐标为的点P，将点A、B、P构成的三角形的面积记为当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【知识点】其他问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）将点B的坐标代入抛物线整理即可得出结论； （2）由（1）可得出抛物线的对称轴，再根据题意进行分类讨论即可； （3）分两种情况进行讨论，当a＞0时，整个部分翻折，若存在，则顶点的纵坐标≥8且顶点横坐标在0到3之间；若a＜0，部分翻折，若存在，则顶点的纵坐标≥4即可； （4）设点P的横坐标为t，过点P作PQy轴交直线AB于点Q，由三角形的面积公式可得出t的取值范围，再代入抛物线的解析式，可得出a的取值范围． 【详解】（1）解：将B（3，-1）代入抛物线， ∴9a+3b+2=-1， 整理得b=-3a-1； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为：直线x=． 根据题意需要分以下几种情况： ①当≤-1且a＞0时，不成立； ②当≤-1且a＜0时，-≤a＜0， 则最低点为（3，-2），显然不合题意； ③当≥3且a＞0时，即0＜a≤， 最低点为（3，-2），显然不符合题意； ④当≥3且a＜0时，不成立； ⑤当-1≤≤3且a＞0时，即a≥，将（，-2）代入抛物线得a=； ⑥当-1≤≤3且a＜0时，即a≤-，将（-1，-2）（3，-2）代入抛物线得a=-或a=（舍去）； 综上，抛物线的表达式为：或； （3）解：根据题意可知需要分两种情况进行讨论， ①当a＞0时，整个部分翻折，若存在两个点到直线y=6的距离为2，则图象顶点的纵坐标≥8且顶点横坐标在0到3之间； ∴， 解得； ②若a＜0，部分翻折，若存在两个点到直线y=6的距离为2，则图象G的顶点的纵坐标≥4， ∴， 解得； 综上，当图象上存在两个点到直线y=6的距离为2时，a的取值范围为：或； （4）解：∵A（0，2），B（3，-1）， ∴直线AB的解析式为：y=-x+2， 如图，直线y=1与抛物线交于点P，设点P的横坐标为t，过点P作PQy轴交直线AB于点Q， ∴P（t，1），Q（t，-t+2）， ∴PQ=|t-1|， ∴S=×3•|t-1|， ∵6≤S≤9， ∴6≤×3•|t-1|≤9， ∴5≤t≤7或-7≤t≤-5； ①当5≤t≤7时，如图， 当t=5时，将P（5，1）代入抛物线得， 25a-5（3a+1）+2=1， 解得a=； 当t=7时，将P（7，1）代入抛物线得， 49a-7（3a+1）+2=1，解得a=； ∴≤a≤； ②当-7≤t≤-5时，如图， 当t=-5时，将P（-5，1）代入抛物线得， 25a+5（3a+1）+2=1，解得a=-； 当t=-7时，将P（-7，1）代入抛物线得， 49a+7（3a+1）+2=1，解得a=-； ∴-≤a≤-； 综上，符合题意的a的取值范围为：≤a≤或-≤a≤-． 【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一元二次方程、三边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会利用一次函数确定两直线的交点坐标，属于中考压轴题． 学科网（北京）股份有限公司 $$