微专题01 二次函数图像与各系数关系通关专练-2024-2025学年九年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

微专题01 二次函数图像与各系数关系通关专练 一、单选题 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，下列结论①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④3a+c＝0，其中，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图是抛物线，其顶点为，且与轴的个交点在点和之间，则下列结论正确的个数是（    ）个 ①若抛物线与轴的另一个交点为，则；②；③若时，随的增大而增大，则． A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　）    A．②④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 4．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①时，y随x的增大而增大；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．二次函数的图像如图所示，则下列关系式中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①abc>0 ；②点（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）是抛物线上的点，则y1＜y2＜y3；③3b+2c＜0；④ t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数），其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的是（  ） A． B．若点，均在二次函数图象上，则 C．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 D．满足的x的取值范围为 8．已知二次函数的x、y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 5 1 1 下列结论中正确的有（　　）个． ①；②抛物线的对称轴是直线；③不等式的解集是；④1是方程的根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知二次函数（，，是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 当时，与其对应的函数值，给出下列四个结论：①；②关于的方程的两个根是和2；③；④（为任意实数．）其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．若抛物线的开口向下，则a的值可能是（     ） A．0 B．2 C． D． 11．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴负半轴交于点，它的对称轴为直线，则下列选项中正确的是（  ） A． B． C． D．当为实数）时， 12．在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 13．如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是且过点则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 14．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过的象限是（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．已知一次函数的图象如下，则函数的图象可能是（    ）    A．  B．  C．  D．   16．已知抛物线（，，是常数，，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论： ①； ②关于的方程有两个不相等的实数根； ③． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．如图，抛物线与轴交于点、，顶点为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点的坐标为，则的面积可以等于2；③，是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则的方程的两根为0，2，其中正确的结论的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 18．已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 19．抛物线大致如图，顶点坐标为．下列结论，①；②；③方程两根的和为，④若方程有个实数根，则这个根的和为，其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．如图，二次函数（）的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 21．已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 22．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论： ； ；若点是图象上任意两点，且，则，方程（为常数）所有整数根的绝对值的和为；其中正确的结论个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 23．已知二次函数，它的图象可能是（　　　） A． B． C． D． 24．二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（      ） A． B． C．当时， D． 25．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（      ） A． B． C． D． 二、填空题 26．在平面直角坐标系中，抛物线开口向下，那么的取值范围是 ． 27．已知抛物线开口向上，顶点坐标为，下列结论：①；②；③若方程有两个根和，且，则；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确结论的是 ． 28．如图是二次函数图象的一部分，则一次函数y＝acx+b的图象不经过第 象限． 29．已知关于x的二次函数，下列结论中一定正确的是 ．（填序号即可） ①若抛物线与x轴有两个不同交点，则方程必有两个不等实数根；②若对任意实数t都有，则b=2a；③若，则方程有一个根α，且m＜α＜n；④若，则方程必有两个实数根． 30．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③b﹣2a=0；其中正确结论是 （填序号）． 31．如图是抛物线C：的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点，之间．则下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根；④若抛物线C与正比例函数交点的横坐标分别为和，且，则，其中正确的结论有 ． 32．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论是 ．（填序号） 33．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是 34．二次函数与轴交于正半轴的点，交轴于点，，则：①，②，③时，，④和是抛物线上两点，，当时；以上说法正确的有 ．（填写序号） 35．抛物线（a，b，c是常数，）经过，，下列四个结论：①；②点，在抛物线上，当时，；③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且，则；④若，对应的y的整数值有3个，则．其中正确的结论是 （填写序号）． 36．已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 37．已知二次函数（其中，，），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与轴的交点至少有一个在轴的右侧．以上说法正确的是 ．（填序号即可） 38．抛物线（a，c是常数且，）经过点． 下列四个结论： ①该抛物线一定经过点； ②； ③若点，在该抛物线上，，则的取值范围为： ④若是方程的两个根，其中，则． 其中正确的是 ．（填写序号） 39．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 （只填写序号）． 40．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是 （填序号）． ①a<0，b<0，c>0；②-=1；③a＋b＋c<0；④－>1；⑤a-b＋c<0 41．已 知二次函数 y =ax2－bx＋2(a ≠0) 图象的顶点在第二象限，且过点（1，0），则a的取值范围是 ；若a＋b 的值为非零整数，则 b 的值为 ． 42．抛物线与x轴的一个交点为（－1，0），与y轴交于点（0，n2），对称轴x＝1，则下列结论：①当x＞1时，y随x的增大而增大；②当y＞0时，－1＜x＜3；③；④3a＋c＞0；其中结论正确的序号是 ． 43．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图像如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①；②；③；④若，则时的函数值小于时的函数值．其中正确结论的序号是 ． 44．已知函数的图像过点和，且，则的取值范围是 ． 45．如图，已知二次函数（）图象过点，顶点为，下列结论：①；②时，函数最大值是；③；④；⑤．其中正确的结论是 ． 46．已知二次函数（a为常数，），点是该函数图象上一点．下列结论：①当时，抛物线顶点坐标是；②抛物线与一定有两个不同的交点；③点与点在该函数的图象上，若，则；④当时，，则a的取值范围是或，其中正确的结论是 （填写序号）． 47．如图，抛物线的对称轴是，且过点，有下列结论： ①； ②当或时，； ③； ④； ⑤； 其中所有正确的结论是 ．（填写正确结论的序号） 48．二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上，过（-1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴．①abc＜0. ②2a+b＞0. ③a+c=1④a＞1.正确的是 ． 49．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），下列结论： ①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣；③当m≠1时，a+b＞m（am+b）；④4ac﹣b2＞8a其中正确的结论是 ． 50．如图，二次函数的图象过点A（3,0），对称轴为直线，给出以下结论： ①；②；③；④若M（-3，）、N（6，）为函数图象上的两点，则，其中正确的是 ．（只要填序号） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 二次函数图像与各系数关系通关专练 一、单选题 1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，下列结论①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④3a+c＝0，其中，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】由图像可知a＜0，对称轴x=-=1，即2a+b =0，c＞0，即可判定①③；当y=0时，抛物线与x轴有2个交点，故△＝b2﹣4ac＞0，即可判定②；当x=-1时，可得3a+c＝0，即可判定④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴ac＜0，即①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确． ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a ∴2a+b =0，即③错误； ∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），而抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∵x＝﹣1时，a-b+c=0，即a-（-2a）+c=0， ∴3a+c=0，所以④正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像的性质，掌握二次函数解析式的系数与图象的关系成为解答本题的关键． 2．如图是抛物线，其顶点为，且与轴的个交点在点和之间，则下列结论正确的个数是（    ）个 ①若抛物线与轴的另一个交点为，则；②；③若时，随的增大而增大，则． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】①根据抛物线的对称性得：AD=BD，列不等式结论； ②将顶点坐标（1，n）代入抛物线的解析式中，列两式可得结论； ③根据抛物线的对称轴由此作判断； 【详解】解：①如图， 设抛物线与x轴的交点为A和B（A在B的右侧）， 则3-1＜AD＜4-1，2＜AD＜3， 由对称性得：AD=BD， ∴2＜BD＜3， ∵B（k，0）， ∴BD=1-k， ∴2＜1-k＜3， ∴-2＜k＜-1，所以选项①正确； ②∵抛物线的顶点坐标为（1，n）， ∴ ，b=-2a， a+b+c=n， a-2a+c=n， ∴-a+c=n， c-a=n， 所以选项②正确； ③∵抛物线的对称轴是直线x=1， ∴若x＜1时，y随x的增大而增大， 则m≥-1；所以选项③正确； 故选D 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点： ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口； ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右； ③常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）． 3．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　）    A．②④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，掌握抛物线与轴的交点个数确定△的符号，并利用对称性是解题的关键．根据图象判断二次函数与各项系数符号的关系． 【详解】解：图象与轴的负半轴相交， ， 故①不正确； 当时，， 即， ， ， ， 解得， 故②不正确； 对称轴为直线，， ，即， 故③正确； 图象与轴有两个交点， ，即， ， 故④正确； 二次函数与直线有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根， 故⑤正确； 综上，正确的有：③④⑤， 故选：B． 4．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①时，y随x的增大而增大；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴，且， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴①错误； 由图像可知，，则，故②正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴ ∴即 ∴ ∴ ∴③错误； 当时， ∴， 当时， ∴， ∴ ∴④正确， 所以正确的结论有2个， 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定． 5．二次函数的图像如图所示，则下列关系式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】由抛物线的开口方向可以判断a与0的关系，再通过对称轴的位置，即可判断b与0的关系，由抛物线与x、y轴的交点情况，可以判断与0的关系以及c与0的关系． 【详解】A．由图像可知，开口向上，∴，故本选项正确，不符合题意； B．由图像可知，函数对称轴，而，∴，故本选项错误，符合题意； C．由图像可知，二次函数交y轴于正半轴，∴，故本选项正确，不符合题意； D．由图像可知，二次函数与x轴有两个交点，∴，故本选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①abc>0 ；②点（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）是抛物线上的点，则y1＜y2＜y3；③3b+2c＜0；④ t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数），其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】①根据对称轴和抛物线与y轴的交点，即可判定； ②根据抛物线的对称性找出点在抛物线上，再结合抛物线的性质，即可判定； ③由x=−3时，y<0，即可得出3a+c<0，结合b=2a，即可判定； ④由方程at2+bt+a=0中，，结合a<0，即可得出抛物线y=at2+bt+a中，y⩽0，由此即可判定． 【详解】解：由图象可得，a<0，c>0，， b<0， ∴abc>0， ∴①正确； ∵抛物线的对称轴为x=−1，点在抛物线上， ∴点关于对称轴x=−1的对称点是， ∵，且抛物线对称轴左边图象上y值随x的增大而增大， ∴， ∴②错误； ∵当x=−3时，y=9a−3b+c<0，且，b=2a， ∴9a−3×2a+c=3a+c<0， ∴6a+2c=3b+2c<0， ∴③正确； ∵b=2a， ∴方程at2+bt+a=0中，， ∴抛物线y=at2+bt+a与x轴只有一个交点， ∵图中抛物线开口向下， ∴a<0， ∴y=at2+bt+a⩽0， 即at2+bt⩽−a=a−b， ∴④正确； 故正确的有3个， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是逐一分析结论是否正确，熟练掌握二次函数的图象是关键． 7．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的是（  ） A． B．若点，均在二次函数图象上，则 C．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 D．满足的x的取值范围为 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．由对称轴为直线可得，再将代入可判断A，找出关于直线对称的点为，再根据二次函数的性质可判断B，根据图象可得：时，x的值不相等，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可判断C，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，可判断D． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∵当时，， ∴，故A错误， ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵关于直线对称的点为， 又∵， ∴，故B错误， 根据图象可得：时，x的值不相等，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分， ∵关于直线对称的点为， ∴x的取值范围为，故D正确； 故选：D 8．已知二次函数的x、y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 5 1 1 下列结论中正确的有（　　）个． ①；②抛物线的对称轴是直线；③不等式的解集是；④1是方程的根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先判断出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的开口方向，与坐标轴的交点，以及二次函数的增减性对各选项分析判断后求解． 【详解】解：由表格可知：当x越来越大，y先减小后增大，即二次函数图象开口向上，故①正确； 由表格可知：当，，，，即抛物线的对称轴为，故②正确； 不等式，即， 根据表格数据可知当时不等式， ∴不等式的解集是，故③正确； 当时，，即， ∴1是方程的根，故④正确； 正确的选项有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了增减性，对称性，以及二次函数与x轴的交点坐标的求解，熟记性质是解题的关键． 9．已知二次函数（，，是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 当时，与其对应的函数值，给出下列四个结论：①；②关于的方程的两个根是和2；③；④（为任意实数．）其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】利用抛物线的图象与性质逐一判断即可． 【详解】解：由表格可知，该抛物线图象经过点， ∴该抛物线的对称轴为，； ∵当时，与其对应的函数值， ∴抛物线开口向上， ∴， ∴，故①正确； 由图象经过的点和抛物线对称性可知，，故②正确； 由当时，与其对应的函数值， 得到 ∴， 当时，， ∴，故③错误； 由对称轴为，图象开口向上可得： ， ∴，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，解题十五关键是掌握抛物线的对称轴公式以及利用抛物线的对称性进行解决问题，并能正确利用点的坐标判断代数式的取值情况． 10．若抛物线的开口向下，则a的值可能是（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，当时，抛物线开口向下，由此可解． 【详解】解：若抛物线的开口向下，则， 解得， 故a的值可能是． 故选：D． 11．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴负半轴交于点，它的对称轴为直线，则下列选项中正确的是（  ） A． B． C． D．当为实数）时， 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由图象开口向上，可知a<0， 与y轴的交点在x轴的下方，可知c<0， 又对称轴方程为，所以>0，所以b＞0， ∴abc＞0，故A错误； ∵ ∴， ∴，故B错误； 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴，故C错误； 当时， ； ∵为实数， ∴，， ∴， 即，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键． 12．在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，则，故本选项错误； B．由抛物线不过原点，故本选项错误； C．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，则，故本选项正确； D．由抛物线可知，，，由直线可知，，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质的知识点，熟练掌握抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质是解题的关键． 13．如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是且过点则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据抛物线的对称轴，可判断A，根据抛物线的对称性，可知抛物线过点，即可判断B，根据抛物线的开口方向，对称轴位置，与y轴的交点位置，可判断C，根据抛物线与x轴交点的个数，即可判断D． 【详解】∵抛物线的对称轴为：直线x=-1， ∴，即：b=2a， ∴，故A不符合题意， ∵抛物线对称轴是直线，且过点， ∴抛物线过点， ∴，故B不符合题意， ∵抛物线开口向下，对称轴是直线，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴a＜0，b＜0，c＞0， ∴，故C不符合题意， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即：，故D符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与解析式系数的关系，熟练掌握二次函数系数的几何意义，是解题的关键． 14．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过的象限是（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据图像可以知道，进而得出的正负，求出一次函数经过的象限，进而得出答案. 【详解】解：根据图像可得： ， ， 故经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D. 【点睛】本题考查的二次函数图像与的关系，进而得出系数的正负值，再根据一次函数性质求出答案即可. 15．已知一次函数的图象如下，则函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出，再判断二次函数的图象特征，进而求解． 【详解】解：由一次函数的图象可得：， ∴函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴排除A、C选项； 函数的图象的对称轴， ∴函数的图象的对称轴与x轴的交点在x轴的负半轴， ∴只有B选项符合题意， 故选：B． 16．已知抛物线（，，是常数，，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论： ①； ②关于的方程有两个不相等的实数根； ③． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】由题意得到抛物线的开口向下，结合抛物线的对称轴以及与x轴的交点进行判断①②，然后把已知点代入抛物线的解析式得到，再结合对称轴直线以及即可求解． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c是常数，，）经过点，其对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，顶点在x轴的上方，且， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的方程有两个不等的实数根，故②正确； ∵抛物线（a，b，c是常数，，）经过点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得，故③正确， ∴①②③都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 17．如图，抛物线与轴交于点、，顶点为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点的坐标为，则的面积可以等于2；③，是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则的方程的两根为0，2，其中正确的结论的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力．①根据该抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴相交于正半轴，得出， 即可判断①；②由图可知，，推出，根据对称轴为直线，推出，则，即可判断；③根据，抛物线对称轴为直线， 得出点M离对称轴更近，结合该抛物线开口向下，即可判断③；④根据抛物线的对称轴为直线，得出抛物线还经过点，则方程的两根为0，2．即可判断④． 【详解】解：①∵该抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴相交于正半轴， ∴， ∴；故①正确，符合题意； ②由图可知，， ∵， ∴， 令抛物线与x轴两交点的横坐标为，且， ∴， ∵对称轴为直线， ， ∴点A到对称轴距离， ∴， ∴，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴ ∵抛物线对称轴为直线， ∴点M离对称轴更近， ∵该抛物线开口向下， ∴，故③错误，不符合题意； ④∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴抛物线还经过点， ∴方程的两根为0，2． ∴方程的两根不为0，2． 故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①，共1个， 故选：A． 18．已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据已知一次函数图像得到a，b的符号以及，据此判断二次函数图像即可． 【详解】解：根据的图像可知：，， 且图像经过， ∴，，即， ∴二次函数图像中，开口向下， 对称轴为直线， ∴可判断二次函数图像经过， ∴符合要求的图像为C， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图像的综合判断，解题的关键是根据图像获得各部分系数的符号． 19．抛物线大致如图，顶点坐标为．下列结论，①；②；③方程两根的和为，④若方程有个实数根，则这个根的和为，其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据对称轴可得b=4a，由顶点坐标公式可得顶点坐标为，代入解析式即可求解①②；根据图象平移和韦达定理即可确定③④． 【详解】由开口向上，得． 由对称轴，得 由顶点坐标为，得． ． ①．①错． ②．②正确． ③．③正确． ④由， 若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，设方程ax2+bx+c=1的两根分别为x1，x2，则=-2，可得x1+x2=-4，设方程ax2+bx+c=-1的两根分别为x3，x4，则=-2，可得x3+x4=-4， 所以这四个根的和为-8，故结论④正确． ∴②③④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20．如图，二次函数（）的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】求x轴与抛物线的截线长、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据B点的坐标与二次函数的对称轴即可求出A点坐标，即能求出AB的值，可判断①；由二次函数的图象与x轴有两个交点，即可确定，可判断②；由图象开口向上，可确定．由二次函数对称轴为，即可知，从而得到b的符号，即求出的符号，可判断③；根据图象可知，再由，即可判断出的符号．可判断④； 【详解】∵A、B两点是二次函数与x轴的交点，且二次函数对称轴为 ∴A、B两点关于直线对称． ∵B(1，0)， ∴A(-3，0)， ∴． 故①正确； ∵二次函数的图象与x轴有两个交点A点和B点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即． 故②正确； 根据图象开口向上可知， ∵二次函数对称轴为，即， ∴． ∴． 故③错误； 根据图象可知对于该二次函数，当时有最小值，且最小值小于0， 即， ∵，且， ∴，即． 故④正确； 综上，正确的结论有①②④，共3个． 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 21．已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】可先根据一次函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【详解】A、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＞0，c＜0，由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，得a＜0，c＞0，故A错误； B、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＞0，c＞0，由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，得a＞0，c＜0，故B错误； C、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＜0，c＞0，由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，得a＜0，c＞0，故C正确； D、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＜0，c＞0，由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，得a＞0，c＞0，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 22．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论： ； ；若点是图象上任意两点，且，则，方程（为常数）所有整数根的绝对值的和为；其中正确的结论个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象得，，，即得，即可判断；根据对称轴及图象过点，得，，即可判断；由点是图象上任意两点，且，得点离对称轴近，点离对称轴远，再结合，即可判断；求出抛物线与轴的另一个交点，由可得方程的所有整数根为，即可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，，，， ∴， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵点是图象上任意两点，且， ∴点离对称轴近，点离对称轴远， ∵， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线为轴的另一个交点为， ∵， ∴方程的所有整数根为， ∴所有整数根的绝对值的和为，故错误； ∴正确的结论有，共个， 故选：． 23．已知二次函数，它的图象可能是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】分m＞0，m＜0两种情形，判断对称轴与x=的位置关系即可. 【详解】∵， ∴抛物线一定经过原点， ∴选项A排除； ∵ ， ∴对称轴为直线x=， ∵-==， 当m＞0时，抛物线开口向上，＜0， ∴对称轴在直线x=的左边， B选项的图像符合；C选项的图像不符合； 当m＜0时，抛物线开口向下，＞0， ∴对称轴在直线x=的右边， D选项的图像不符合； 故选B. 【点睛】本题考查了二次函数的图像，熟练掌握抛物线经过原点的条件，抛物线对称轴的位置与定直线的关系的判定是解题的关键. 24．二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（      ） A． B． C．当时， D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据图象得出抛物线开口向下，且对称轴直线在y轴左侧，与x轴有两个交点，分别判断各选项即可． 【详解】由图得，抛物线开口向下，且对称轴直线在y轴左侧，与x轴有两个交点， ，故B选项正确； ，故A选项正确； 时，，且对称轴为直线， 时，， 当时，，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，能够运用数形结合的思想，熟练掌握知识点是解题的关键． 25．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】分别由各个选项的函数图像分析的范围，一次函数与二次函数结果一致即可． 【详解】解：、由抛物线可知，图象经过一、二、三象限，，，由抛物线可知，开口向上，对称轴在轴的右侧，，，一致，故此选项正确； B、由抛物线可知，图象经过一、二、四象限，，，由抛物线可知，开口向上，对称轴在轴的右侧，，，不一致，故此选项错误； C、由抛物线可知，图象经过二、三、四象限，，，由抛物线可知，开口向上，对称轴在轴的右侧，，，不一致，故此选项错误； D、由抛物线可知，图象经过一、三、四象限，，，由抛物线可知，开口向下，对称轴在轴的左侧，，，不一致，故此选项错误； 故选：． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数图像性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中． 二、填空题 26．在平面直角坐标系中，抛物线开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据抛物线开口向下可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质． 27．已知抛物线开口向上，顶点坐标为，下列结论：①；②；③若方程有两个根和，且，则；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确结论的是 ． 【答案】②③④ 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据二次函数的图象与性质可判断①②；由抛物线与x轴的交点坐标以及方程有两个根和，且可判断③；讨论方程，结合抛物线的对称性质可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴，对称轴为直线，， ∴，， ∴，故①错误； ∵， ∴②正确； ∵抛物线与x轴的交点坐标为和，且开口向上， ∴若方程有两个根和，且，则，故③正确； 若方程有四个根，设方程的两个根为，， 则，即， 设方程的两个根为，，则，即， ∴这四个根的和为，故④正确， 综上，正确结论的是②③④， 故结论为：②③④．      【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键． 28．如图是二次函数图象的一部分，则一次函数y＝acx+b的图象不经过第 象限． 【答案】一 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】据一次函数的性质，即可得到一次函数y＝acx+b的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【详解】解：由图象得，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴， ∴a＞0，c＜0， ∴b＜0， ∴ac＜0， ∴一次函数y＝acx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故答案为：一． 【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是根据抛物线图象确定a、b、c的正负情况． 29．已知关于x的二次函数，下列结论中一定正确的是 ．（填序号即可） ①若抛物线与x轴有两个不同交点，则方程必有两个不等实数根；②若对任意实数t都有，则b=2a；③若，则方程有一个根α，且m＜α＜n；④若，则方程必有两个实数根． 【答案】①②③④ 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据二次函数与方程的关系即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线与x轴的交点的特征即可判断③；根据题意，抛物线开口向上，则x=m时，y＜0；当开口向下时，x=m时，y＞0即可判断④． 【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个不同交点， ∴方程有两个不同的实数根， ∴， ∴有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵对任意实t都有， ∴， ∴当x=-1时，函数有最大值， ∴函数的对称轴为直线x=-1， ∴， ∴b=2a，故②正确； ③∵， ∴抛物线与x轴的一个交点的横坐标在m、n之间， ∵方程有一个根α， ∴函数图象与x轴的一个交点为（α，0）， ∴m＜α＜n，故③正确； ④∵， ∴， ∴当a＞0时，；当a＜0时，， ∴方程必有两个实数根，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了二次函数图象和系数的关系，抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 30．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③b﹣2a=0；其中正确结论是 （填序号）． 【答案】①③ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】由图可知，二次函数开口向下，a＜0，与x轴两个交点△＞0，对称轴x＝﹣1，据此求解即可． 【详解】解：①由图可知， 与x轴两个交点， △=b2﹣4ac＞0， 即4ac﹣b2＜0， ∴①正确； ②函数对称轴x=﹣1，与x轴的一个交点在0至1之间，则另一个交点在-2至-3之间， ∴当x=﹣2或x=0时，y＞0， 即y=4a-2b+c＞0， 即4a+c＞2b， ∴②错误； ③对称轴x=-1， 即b=2a，即b-2a=0， ∴③正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系问题是解答本题的关键． 31．如图是抛物线C：的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点，之间．则下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根；④若抛物线C与正比例函数交点的横坐标分别为和，且，则，其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】由抛物线开口向下，对称轴直线，抛物线交y的正半轴，可判断①，由抛物线的对称轴为直线，与抛物线的一个交点在3，4之间，可得另一个交点在，之间，可判断②，由抛物线的开口向下，顶点坐标为，可得函数最大值为，可得直线与抛物线没有交点，可判断③，抛物线C与正比例函数交点的横坐标分别为和，且，可得两个交点在对称轴的左侧，如图，结合图象可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴直线， ∴， ∵抛物线交y的正半轴， ∴， ∴，所以①结论符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，与抛物线的一个交点在3，4之间， ∴另一个交点在，之间， ∴当时，， ∴，故②符合题意； ∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为， ∴直线与抛物线没有交点， ∴方程没有实数根， ∴一元二次方程没有实数根；故③不符合题意； ∵抛物线C与正比例函数交点的横坐标分别为和，且， ∴两个交点在对称轴的左侧，如图， 此时函数与对称轴的交点坐标为：， ∵顶点， 由图象可得：；故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是抛物线的图象与性质，抛物线与直线的交点坐标，二次函数与一元二次方程的关系，熟记抛物线的图象与性质是解本题的关键． 32．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论是 ．（填序号） 【答案】②⑤/⑤② 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】首先根据图象得到a、b、c的符号，再根据对称轴可以得到a与b之间的关系，利用特殊值法代入求解，当时函数的值，再利用函数的增减性进行求解． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧，a与b异号， ∴， ∵与y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故①选项错误； ∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②选项正确； 当时，由图象可得， 故③选项错误； ∵对称轴， ∴, 当时，， ∴，故④选项错误； 当时，抛物线取得最大值， 当时，有，即， 故⑤选项正确； 故答案为：②⑤． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于． 33．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是 【答案】3 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】①由开口向上得到，由对称轴在轴左侧得到，由函数图象与轴的交点在轴的正半轴上得到，进而得到的正负情况； ②由函数图象与轴的交点个数得到的正负； ③由对称轴为得到，然后由当时，得到的正负； ④由对称轴为和时，，得到时，，再由，得到当时，； ⑤由方程的根得到函数与轴的交点横坐标分别为，，进而由方程的两根为，即为函数与直线的交点横坐标，得到与、与之间的关系． 【详解】解：①开口向上，对称轴在轴左侧，函数图象与轴的交点在轴的正半轴上， ，，， ，故①错误，不符合题意； ②函数图象与轴有2个交点， ， ，故②正确，符合题意； ③对称轴为， ， ， 当时，， ， ，故③错误，不符合题意； ④对称轴为，且当时，， 时，，当时，随的增大为减小， ，得到当时，，故④正确，符合题意； ⑤，是方程的两根， 与轴的两个交点的横坐标为，， 方程的两根为，， 函数与直线的交点横坐标位，， 函数图象开口向上， ，，故⑤正确，符合题意， 正确的个数有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与轴的交点坐标与方程的解之间的关系，解题的关键是熟知函数的图象与系数的关系． 34．二次函数与轴交于正半轴的点，交轴于点，，则：①，②，③时，，④和是抛物线上两点，，当时；以上说法正确的有 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】利用抛物线开口方向确定a的取值，再根据对称轴的位置可对①进行判断；根据对称轴的位置可对②进行判断；把代入函数关系式计算出结果可对③进行判断；把M，N点横坐标代入解析式作差比较即可对④进行判断． 【详解】解：如图， ①∵二次函数与x轴交于点， ∴对称轴在y轴右侧，即： 又， ∴，故①正确； ②∵二次函数与x轴交于点， ∴对称轴为：，故②不正确； ③时，，故③正确； ④∵是抛物线上的两点， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴当时， ∴，故④正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查抛物线与x轴交点，系数与图象的关系等知识，解题的关键是综合应用这些知识解决问题，学会利用图象信息解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 35．抛物线（a，b，c是常数，）经过，，下列四个结论：①；②点，在抛物线上，当时，；③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且，则；④若，对应的y的整数值有3个，则．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③/③① 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】将A、B两点坐标代入解析式可判断结论①；抛物线开口向下，由抛物线的对称性，绝对值的意义，可判断结论②；C，D为抛物线与x轴的交点，利用一元二次方程根与系数的关系，计算，可以判断结论③；抛物线开口向下，时函数值递减，由点，得到时，y的取值范围便可判断结论④，从而可得答案． 【详解】解：将，两点坐标代入抛物线得：， 解得，故结论①正确； ∴， ∴抛物线为：， ∴抛物线对称轴为，函数开口向下， ∵，即离对称轴更远， ∴，故结论②错误； 设，， 由根与系数的关系得：，， ∴， 解得：，故结论③正确； 由题意知：时，， ∵，对应的y的整数值有3个，函数开口向下， ∴y对应的整数值为：5，4，3， ∴时，对应的y值：， ∴， 解得：，故结论④错误； 故答案为：①③； 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，绝对值的意义，一元二次方程根与系数的关系；掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 36．已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 【答案】一 【知识点】判断点所在的象限、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，由抛物线开口方向得到，由抛物线的对称轴位置得到，由抛物线与y轴的交点位置得，所以，然后根据第一象限点的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴在y轴左侧， ∴ ∴， ∴， ∵图象与y轴的交点在正半轴上， ∴， ∴， ∴点在第一象限． 故答案为：一 37．已知二次函数（其中，，），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与轴的交点至少有一个在轴的右侧．以上说法正确的是 ．（填序号即可） 【答案】① 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据二次函数的图象及性质与各项系数的关系逐一判断即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴图象的开口一定向上，故①正确； ∵， ∴抛物线的对称轴x=， ∴该抛物线的对称轴在轴左侧， ∴该抛物线的顶点在第二或第三象限，故②错误； ∵，， ∴的符号无法判断 ∴二次函数的图象与x轴也可能无交点，故③错误； 正确的是① 故答案为：①． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键． 38．抛物线（a，c是常数且，）经过点． 下列四个结论： ①该抛物线一定经过点； ②； ③若点，在该抛物线上，，则的取值范围为： ④若是方程的两个根，其中，则． 其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键． 根据题意确定抛物线的对称轴，再根据图象与系数的关系逐个判断即可． 【详解】解：①抛物线经过点， ， ， 当时，， 该抛物线一定经过， 故此项正确； ②由①得：， ， ， ， ， ， ， 故此项正确； ③抛物线的对称轴为直线， ， 当时， ， 解得，或， 故此项错误． ④抛物线，对称轴为直线， 抛物线经过点，， ∵是方程的两个根，其中，， 所以两个根就是抛物线与直线交点的横坐标， ， ∴， 故此项正确， 故答案为：①②④． 39．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 （只填写序号）． 【答案】①②③④⑤ 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断①；根据函数的增减性可判断②；由抛物线开口方向及对称轴可得x＝﹣1时y最大，从而判断③；由对称轴可得b＝2a，由x＝﹣1时y＜0可判断④；根据函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴， ∴a＜0，c＞0， 又∵对称轴是直线x＝﹣1， ∴， ∴ ∴abc＞0，故①正确； ∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向下， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小， ∵k是实数， ∴k2+2＞k2+1＞﹣1， ∴a（k2+2）2+b（k2+2）+c＜a（k2+1）2+b（k2+1）+c， 即a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1），故②正确； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c） ∴y最大＝a﹣b+c＝﹣a+c， ∴am2+bm+c≤﹣a+c， 即m（a+b）≤﹣a， 故③正确； 由图象知，x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∵b＝2a， ∴3a+c＜0， ∴c＜﹣3a，故④正确； 根据图象可知，函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点， ∴ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根， 故⑤正确， 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质． 40．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是 （填序号）． ①a<0，b<0，c>0；②-=1；③a＋b＋c<0；④－>1；⑤a-b＋c<0 【答案】④⑤/⑤④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线x=-＞1， ∴b＞-2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的下方， ∴c＜0，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=-＞1， ∴②错误，④正确； ∵x=1时，y=0，即a+b+c=0， ∴③错误． ∵x=-1时，y<0，即a-b+c<0， ∴⑤正确． 故答案为：④⑤． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象、二次函数与x轴的交点等知识．关键在于结合图象利用二次函数的性质解题． 41．已 知二次函数 y =ax2－bx＋2(a ≠0) 图象的顶点在第二象限，且过点（1，0），则a的取值范围是 ；若a＋b 的值为非零整数，则 b 的值为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据题意可得a<0，再由可以得到b>0，把（1，0）函数得a−b+2=0，导出b和a的关系，从而解出a的范围，再根据a＋b 的值为非零整数的限制条件，从而得到a,b的值． 【详解】依题意知a<0, ，a−b+2=0， 故b>0，且b=a+2，a=b−2，a+b=a+a+2=2a+2， ∴a+2>0， ∴−2<a<0， ∴−2<2a+2<2， ∵a+b的值为非零实数， ∴a+b的值为−1，1， ∴2a+2=−1或2a+2=1， 或 ， ∵b=a+2， 或 故答案为−2<a<0，b=或b= 42．抛物线与x轴的一个交点为（－1，0），与y轴交于点（0，n2），对称轴x＝1，则下列结论：①当x＞1时，y随x的增大而增大；②当y＞0时，－1＜x＜3；③；④3a＋c＞0；其中结论正确的序号是 ． 【答案】②③/③② 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据对称轴x＝1，抛物线与x轴的一个交点为（－1，0），抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），抛物线与y轴交于点（0，n2），n2≥0，得出抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；根据抛物线增减性可判断①；根据y＞0时，函数图像在x轴上方，取值范围是－1＜x＜3可判断②；根据抛物线对称轴得出 ，可判断③；当x=3时，函数值y=9a+3b+c=0，利用③得出3a+c=0可判断④即可． 【详解】解：∵对称轴x＝1，抛物线与x轴的一个交点为（－1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， ∵抛物线与y轴交于点（0，n2），n2≥0， ∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小； ∴①当x＞1时，y随x的增大而增大；不正确； 当y＞0时，函数图像在x轴上方，取值范围是－1＜x＜3； ∴②当y＞0时，－1＜x＜3正确； 抛物线对称轴为 ∴即 ∴③正确； 当x=3时，函数值y=9a+3b+c=0， ∴3a+3(2a+b)+c=0， ∴3a+c=0， ∴④3a＋c＞0不正确； ∴其中结论正确的序号是②，③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查抛物线性质，掌握抛物线性质，抛物线与两轴交点坐标作用是解题关键． 43．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图像如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①；②；③；④若，则时的函数值小于时的函数值．其中正确结论的序号是 ． 【答案】③④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断； ②根据抛物线的对称轴方程即可判断； ③根据抛物线经过点，且对称轴为直线可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断； ④根据，得出和的大小及其与的关系，利用二次函数的性质即可判断． 【详解】解：①观察图像可知：，，， ， 所以①错误； ②对称轴为直线， 即，解得，即， 所以②错误； ③抛物线经过点，且对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，，即， 所以③正确； ， ， 由时，随的增大而减小知时的函数值小于时的函数值，故④正确； 故答案为：③④． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质及点的坐标特征． 44．已知函数的图像过点和，且，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、二次函数图象与各项系数符号、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数解析式，确定抛物线开口向下，对称轴为直线，得到点的对称点坐标，再根据抛物线的性质，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点关于抛物线对称轴对称的点为， ， 时，符合题意， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系是解题关键． 45．如图，已知二次函数（）图象过点，顶点为，下列结论：①；②时，函数最大值是；③；④；⑤．其中正确的结论是 ． 【答案】②③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①；由函数图象的最高点的位置可判断②；根据抛物线的对称性判断图象过，从而可判断③；由抛物线的对称轴可判断④；由图象过点可得，由对称轴可知 ，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，则，， 由抛物线的对称轴在y轴的右侧可得， 故，所以①不符合题意； 由图象知时，函数最大值是，故②符合题意； ∵图象过点，顶点为，则对称轴为直线， ∴图象过点， ∴当时，，故③符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故④符合题意； 由图象过点可得，由对称轴可知 ，即， ∴，故⑤不符合题意， 故正确的有②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数间的关系，能正确地根据图象的开口方向、对称轴、与y轴交点等来确定a、b、c的符号以及利用抛物线的对称性来确定抛物线与x轴交点等是解题的关键． 46．已知二次函数（a为常数，），点是该函数图象上一点．下列结论：①当时，抛物线顶点坐标是；②抛物线与一定有两个不同的交点；③点与点在该函数的图象上，若，则；④当时，，则a的取值范围是或，其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】 本题考查了二次函数的顶点式、二次函数与一次函数交点问题、二次函数的增减性，将代入二次函数解析式，并化为顶点式即可判断①，联立与求解，即可判断②，将点与点代入二次函数解析式，再利用作差法，即可判断③，根据二次函数解析式，得到对称轴和抛物线与交点，再分以下两种情况讨论，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，根据二次函数增减性，结合当时，进行分析，即可解题． 【详解】解：当时，二次函数解析式为， 化为顶点式有， 抛物线顶点坐标是，即①正确； 联立与，有， 整理得，,即， 解得，， 若，则，即， ，， ，即， 抛物线与一定有两个不同的交点，即②正确； 点与点在该函数的图象上， ， ， ， ， ， ， ， ，即③正确； 二次函数的解析式为（a为常数，）， 二次函数的对称轴为， 当时，，即抛物线与交点为， 点是该函数图象上一点，且当时，， 当时，抛物线开口向上， 有时，，即，解得， 当时，抛物线开口向下， 抛物线与交点为， 当时，随的增大而减小，恒成立， a的取值范围是或，即④正确． 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 47．如图，抛物线的对称轴是，且过点，有下列结论： ①； ②当或时，； ③； ④； ⑤； 其中所有正确的结论是 ．（填写正确结论的序号） 【答案】①②④ 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置判定各系数的符号，然后再运用抛物线与x轴的交点或一些特殊点进行求解． 【详解】解：抛物线开口向下，与y轴交点在x轴上方， ，， 对称轴 ， ， 故①正确； 抛物线的对称轴是，且过点， 抛物线与x轴的另一个交点为， 或时，， 故②正确； 点代入二次函数解析式，得即， ， 故③错误； 时，函数值为最大值， ， ， 故④正确； 当时，函数值等于0， ， ， 故⑤错误； 综上所述，正确的答案有：①②④； 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数图像的性质、灵活运用数形结合的思想是解答此题的关键． 48．二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上，过（-1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴．①abc＜0. ②2a+b＞0. ③a+c=1④a＞1.正确的是 ． 【答案】②③④ 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【详解】由题意画出草图（如图），由图象可得a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0，①错误；由图象可知对称轴：，可得b+2a＞0，②正确；由二次函数y=ax2+bx+c的图象过（-1，2）和（1，0），可得a-b+c=2，a+b+c=0，两个式子相加可得2a+2c=2，即可得a+c=1，③正确；由c＜0，a+c=1可得a＞1，④正确，故答案为②③④. 49．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），下列结论： ①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣；③当m≠1时，a+b＞m（am+b）；④4ac﹣b2＞8a其中正确的结论是 ． 【答案】①②③ 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），从而可知当当﹣1＜x＜3时，y＞0；②设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），则y＝ax2﹣2ax﹣3a，令x＝0得：y＝﹣3a．由抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），可知2＜﹣3a＜3；③由二次函数的最大值是y＝a+b+c，从而可知a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），④由＞2，a＜0，从而求得4ac﹣b2＜8a． 【详解】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），当﹣1＜x＜3时，y＞0，故①正确； ②设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），则y＝ax2﹣2ax﹣3a， 令x＝0得：y＝﹣3a． ∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点）， ∴2＜﹣3a＜3． 解得：﹣1＜a＜﹣，故②正确； ③∵当x＝1时，函数有最大值，即a+b+c＞am2+bm+c（m≠1）， ∴a+b＞m（am+b），故③正确； ④∵＞2，a＜0， ∴4ac﹣b2＜8a，故④错误， 故答案为①②③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键． 50．如图，二次函数的图象过点A（3,0），对称轴为直线，给出以下结论： ①；②；③；④若M（-3，）、N（6，）为函数图象上的两点，则，其中正确的是 ．（只要填序号） 【答案】①②③ 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】①根据函数图像的开口、对称轴以及与y轴的交点可得出a、b、c的正负，即可判断正误； ②根据函数对称轴可得出a、b之间的等量关系，将转化为，再由函数与x轴的交点关于对称轴对称，可得出另一个交点是（-1,0），即可得出的结果，即可判断正误； ③根据a、b之间的等量关系，将不等式中的b代换成a，化简不等式即可判断正误； ④根据开口向下的函数有最大值，距离顶点越近的函数值越大，先判断M、N距离顶点的距离即可判断两个点y值得大小. 【详解】解：①∵函数开口向下，∴, ∵对称轴,,∴； ∵函数与y轴交点在y轴上半轴，∴， ∴；所以①正确； ②∵函数对称轴为， ∴，∴， ∵A（3,0）是函数与x轴交点，对称轴为， ∴函数与x轴另一交点为（-1,0）； ∵当时，， ∴，②正确； ③∵函数对称轴为， ∴， ∴将带入可化为：， ∵，不等式左右两边同除a需要不等号变方向，可得： ， 即，此不等式一定成立，所以③正确； ④M（-3，）、N（6，）为函数图象上的两点， ∵点M距离顶点4个单位长度，N点距离顶点5个单位长度，函数开口向下，距离顶点越近，函数值越大， ∴，所以④错误. 故答案为①②③. 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，可通过开口判断a的正负，再根据对称轴可判断a、b的关系，即“左同右异”，根据函数与y轴交点的正负可判断c的正负；根据对称轴的具体值可得出a、b之间的等量关系；在比较函数值大小的时候，开口向下的二次函数上的点距离顶点越近，函数值越大即可判断函数值大小. 学科网（北京）股份有限公司 $$