（温故知新篇）专题01 长方体和正方体的表面积和体积-2024-2025学年苏教版数学六年级上学期寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年苏教版数学六年级上学期寒假学习讲义（温故知新篇） 专题01 长方体和正方体的表面积和体积 （导图+知识点+易错点+培优卷） 知识梳理01：长方体和正方体的认识 1、长方体的长、宽、高、棱、顶点    长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高，三条棱相交的点叫作顶点，两个面相交的线叫作棱。 2、长方体和正方体的特征。 长方体 正方体 相同点 面 6个 6个 棱 12条 12条 顶点 8个 8个 不同点 面的形状 6个面都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形） 6个面都是正方形 面积 相对的面的面积相等 6个面的面积都相等 棱长 一般情况下，棱有3组，每组互相平行的4条棱长度相等 12条棱的长度都相等 3、长方体和正方体的棱长总和计算公式。 长方体的棱长总和＝(长＋宽＋高)×４               正方体的棱长总和＝棱长×12 4、长方体（或正方体）的展开图。 沿着长方体（或正方体）的棱将它剪开，可以把长方体（或正方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是长方体（或正方体）的展开图。在展开图中，相对的面完全相同，相对的面不相邻。 知识梳理02：长方体和正方体的表面积 1、表面积的意义。   长方体(或正方体)６个面的总面积，叫作它的表面积。 2、长方体、正方体表面积的计算公式。 Ｓ长方体 ＝ 2ab＋2ah＋2bh（Ｓ表示表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高）      Ｓ正方体 ＝ 6a2（a表示棱长） 知识梳理03：长方体和正方体的体积 1、体积和容积的区别和联系。 体积 容积 不同点 意义 物体所占空间的大小叫作物体的体积 容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积 测量方法 从物体外部测量长、宽、高 从容器的内部测量长、宽、高 单位名称 一般用立方厘米、立方分米、立方米 容积一般用体积单位表示，但求液体的体积时通常用升和毫升 相同点 计算公式 长方体（或正方体）的体积（或容积）=底面积×高（V=Sh ) 重点提示 1.有的物体既有体积，又有容积。在不忽略容器壁的厚度   的情况下，体积一定大于容积 2.有的物体只有体积没有容积 2、容积单位和体积单位的互换。   1升=1立方分米      1毫升=1立方厘米 3、长方体、正方体体积的计算公式。   Ｖ长方体 ＝ abh（Ｖ表示体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高)   Ｖ正方体 ＝ a3（a表示正方体的棱长）   长方体和正方体体积计算的通用公式:Ｖ＝Ｓｈ（Ｓ表示底面积）。 4、体积单位间的进率。   相邻两个体积单位间的进率是1000。   1立方米=1000立方分米          1立方分米=1000立方厘米   高级单位化成低级单位要乘它们的进率，低级单位化成高级单位要除以它们的进率。 高频易错点01：长方体和正方体的认识 1. 长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2. 判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3. 长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4. 长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 高频易错点02：长方体和正方体的表面积 1. 长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2. 判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3. 长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4. 长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 高频易错点03：长方体和正方体的体积 1、捏橡皮泥时，只是形状发生了改变，但体积不变。 2、有容积的物体一定有体积，有体积的物体不一定有容积。 3、长度单位、面积单位和体积单位之间都不能进行比较。 4、在不忽略容器厚度的情况下，容器的体积和容积不相等。 5、把完全浸入盛有液体的容器中的物体取出时，液面下降前、后体积的变化量就是物体体积。 6、只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，判断和互化时要看清两个单位是不是相邻的。 7、一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。 8、并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。 9、误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。 10、较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。 11、明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。 12、1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。 （难度系数：0.37 较难） 一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•昌黎县期末）一种牛奶的外包装是长方体，量得外包装盒的尺寸如图（单位：厘米）。根据图中数据判断，牛奶的实际含量可能是　　毫升。 A．520 B．540 C．500 D．600 2．（2分）（2024秋•洪泽区期中）将五本书用如图两种方式叠放起来，下面描述正确的是　　 A．甲和乙体积相等，表面积不相等 B．甲和乙体积相等，表面积也相等 C．甲和乙体积不相等，表面积相等 3．（2分）（2024•孟津区）魔方又叫鲁比克方块，是一款风靡全球的益智玩具。小军是魔方爱好者，他有一款三阶魔方，即。可是一次玩耍中，不小心掉了一个小正方体，魔方的表面积会　　 A．变大 B．变小 C．不变 D．答案不唯一 4．（2分）（2024秋•睢宁县期中）一个长方体纸箱，从里面量得长15分米，宽6分米，高10分米。如果要在纸箱里放棱长是3分米的正方体包装盒，最多能放　　个包装盒。 A．10 B．40 C．30 D．33 5．（2分）（2024•连州市）已知图①中每个小正方体的棱长为，现从图①中拿一个小正方体放在左上角（见图②，在这个过程中，关于表面积变化的描述正确的是　　 A．表面积没有变化 B．表面积增加了 C．表面积增加了 D．表面积增加了 二．仔细想，认真填（共8小题，满分18分） 6．（2分）（2024秋•睢宁县期中）把1.6米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加2.8平方分米，原来这根木料的体积是 　　立方分米。 7．（2分）（2024秋•睢宁县期中）如图在棱长为12厘米的正方体上挖去三个棱长为2厘米的小正方体和长12厘米，宽和高都是2厘米的小长方体，如下图所示，这个几何体的表面积是 　　平方厘米。 8．（3分）（2024秋•洪泽区期中）皮皮家有两块长6分米、宽4分米的玻璃和两块长5分米、宽4分米的玻璃，他爸爸想做一个无盖玻璃鱼缸，还要配一块长 　　分米、宽 　　分米的玻璃，做成的鱼缸的容积是 　　升。（玻璃的厚度忽略不计） 9．（2分）（2024秋•隰县期中）王海在一个无盖的长方体玻璃容器内摆了一些棱长是1厘米的小正方体（如图），这个容器的容积是 　　立方厘米。 10．（2分）（2024秋•洪泽区期中）张伯伯要在墙角搭一个正方体形状的鸡笼（两面靠墙）。搭鸡笼用的3根框架共用去钢筋12米（如图）。如果露在外面的面用塑料网包裹，那么至少需要 　　平方米的塑料网。 11．（3分）（2023秋•晋源区期末）一块长方体木块长25厘米，宽12厘米，厚8厘米，所占的空间大小是 　　立方厘米，占地面积最大是 　　平方厘米。如果将它削成一个最大的正方体，削去部分的体积是 　　立方厘米。 12．（2分）（2024秋•江宁区期中）如图是由体积为1立方厘米的小正方体摆成的物体，它的表面积是 　　平方厘米，体积是 　　立方厘米。 13．（2分）（2024•渝中区）一个长方体木块，从上部和下部分别截去3厘米和2厘米长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了80平方厘米，原长方体的体积是 　　立方厘米，正方体的体积是 　　立方厘米。 三．判断正误（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024秋•隰县期中）一个长3厘米，宽与高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积和体积都比原来小。 　　（判断对错） 15．（2分）（2024秋•上思县月考）长方体和正方体的体积，都等于它的底面积乘以高．　 　（判断对错） 16．（2分）（2024春•薛城区期末）一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的体积就扩大到原来的9倍。 　　（判断对错） 17．（2分）（2023•颍东区）《九章算术）书中在求底面是正方形的长方体体积时，这样概述；“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的表面积。 　　（判断对错） 18．（2分）（2019春•长春月考）正方体的棱长是1厘米，它的表面积就是6厘米．　 　．（判断对错） 四．看图列式计算（共1小题，满分6分，每小题6分） 19．（6分）（2021秋•淮安期中）求下面几何形体的表面积。（单位： 五．解决实际问题（共11小题，满分56分） 20．（5分）（2024秋•隰县期中）曲妍用硬纸板（如图）折成一个长方体纸盒，折成的长方体纸盒的容积是多少立方厘米？至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度忽略不计） 21．（5分）（2023秋•南京期末）一个长方体的玻璃缸，长，宽，高，水深。（如图）如果投入一块棱长的正方体铁块，缸里的水是否会溢出？请说明理由。 22．（5分）（2024•广汉市）“六一”儿童节这天，雒雒、城城和笑笑三人来到三星堆文创馆，三名同学观察并测量了同一个长方体泥塑后，描述了以下信息： 雒雒：如果高增加3分米，它恰好是一个正方体。 城城：长方体的前后左右四个面的面积之和是72平方分米。 笑笑：它的底面周长是24分米。 请你根据他们描述的信息，求出这个长方体泥塑的体积。 23．（5分）（2024秋•铜山区期中）张师傅和李师傅准备要把一块长、宽的铁皮锻造成一个无盖铁皮箱。 张师傅：我把铁皮的4个角各切掉一个边长5厘米的正方形后就可以做成无盖铁皮箱。（图 李师傅：我是这样切割材料的，一点铁皮都不浪费，也可以做成无盖铁皮箱。（图 用哪种方法做成的无盖铁皮箱容积大？请计算说明理由。 24．（5分）（2024秋•南海区校级月考）在一个教学实验活动中，先往一个长方体容器中注水，使水深为4厘米，然后将一块不规则冰块完全浸没水中，水的高度上升到7厘米（冰块能完全浸没）。已知冰融化成水，体积减小原来的，当冰块完全融化时，容器内的水深是多少厘米？ 25．（6分）（2024秋•万柏林区月考）看得见草绿，闻得到花香，小游园体现大民生。某市中心城区的一座小游园正在紧锣密鼓地建设中。按照规划图纸，工人叔叔需要在园内挖一个长方体景观水池，长5.2米、宽2.8米、深2.4米。 （1）这个水池的占地面积是多少平方米？ （2）如果在四壁和底面贴上长4分米、宽2分米的瓷砖，至少需要多少块这样的瓷砖？ 26．（5分）（2024秋•睢宁县期中）一个长方体按图中三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了36平方厘米、24平方厘米、12平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？若长、宽、高都是整厘米数，体积是多少立方厘米？ 27．（5分）（2024•余杭区）一个学习小组的四名同学观察并测量了一个长方体，得到了五条信息： 信息1：如果高再增加3厘米，它恰好是一个正方体。 信息2：长方体的侧面积是280平方厘米。 信息3：长方体的表面积是480平方厘米。 信息4：长方体的棱长总和是108厘米。 信息5：长方体的底面周长是40厘米。 这五条信息都是正确的，请从中选择需要的信息，求出这个长方体的体积。 28．（5分）（2024•铁西区）一个长方体无盖的玻璃鱼缸（如图）。从鱼缸里面量得长，宽，高。把水草和小鱼放入鱼缸后现在的水面高度是，如果再放入体积的石块，水会溢出来吗？请说明理由。 29．（5分）（2024秋•瑞安市月考）如图是一个长方体的展开图，请根据图中提供的数据计算出它的表面积及体积。 30．（5分）（2024春•城厢区期末）有空的长方体容器甲和装有24厘米深的长方体容器乙．将容器乙中水倒一部分到容器甲，使两个容器里的水的高度相同，这时水深是多少厘米？（容器壁厚度忽略不计） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏教版数学六年级上学期寒假学习讲义（温故知新篇） 专题01 长方体和正方体的表面积和体积 （导图+知识点+易错点+培优卷） 知识梳理01：长方体和正方体的认识 1、长方体的长、宽、高、棱、顶点    长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高，三条棱相交的点叫作顶点，两个面相交的线叫作棱。 2、长方体和正方体的特征。 长方体 正方体 相同点 面 6个 6个 棱 12条 12条 顶点 8个 8个 不同点 面的形状 6个面都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形） 6个面都是正方形 面积 相对的面的面积相等 6个面的面积都相等 棱长 一般情况下，棱有3组，每组互相平行的4条棱长度相等 12条棱的长度都相等 3、长方体和正方体的棱长总和计算公式。 长方体的棱长总和＝(长＋宽＋高)×４               正方体的棱长总和＝棱长×12 4、长方体（或正方体）的展开图。 沿着长方体（或正方体）的棱将它剪开，可以把长方体（或正方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是长方体（或正方体）的展开图。在展开图中，相对的面完全相同，相对的面不相邻。 知识梳理02：长方体和正方体的表面积 1、表面积的意义。   长方体(或正方体)６个面的总面积，叫作它的表面积。 2、长方体、正方体表面积的计算公式。 Ｓ长方体 ＝ 2ab＋2ah＋2bh（Ｓ表示表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高）      Ｓ正方体 ＝ 6a2（a表示棱长） 知识梳理03：长方体和正方体的体积 1、体积和容积的区别和联系。 体积 容积 不同点 意义 物体所占空间的大小叫作物体的体积 容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积 测量方法 从物体外部测量长、宽、高 从容器的内部测量长、宽、高 单位名称 一般用立方厘米、立方分米、立方米 容积一般用体积单位表示，但求液体的体积时通常用升和毫升 相同点 计算公式 长方体（或正方体）的体积（或容积）=底面积×高（V=Sh ) 重点提示 1.有的物体既有体积，又有容积。在不忽略容器壁的厚度   的情况下，体积一定大于容积 2.有的物体只有体积没有容积 2、容积单位和体积单位的互换。   1升=1立方分米      1毫升=1立方厘米 3、长方体、正方体体积的计算公式。   Ｖ长方体 ＝ abh（Ｖ表示体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高)   Ｖ正方体 ＝ a3（a表示正方体的棱长）   长方体和正方体体积计算的通用公式:Ｖ＝Ｓｈ（Ｓ表示底面积）。 4、体积单位间的进率。   相邻两个体积单位间的进率是1000。   1立方米=1000立方分米          1立方分米=1000立方厘米   高级单位化成低级单位要乘它们的进率，低级单位化成高级单位要除以它们的进率。 高频易错点01：长方体和正方体的认识 1. 长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2. 判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3. 长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4. 长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 高频易错点02：长方体和正方体的表面积 1. 长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2. 判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3. 长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4. 长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 高频易错点03：长方体和正方体的体积 1、捏橡皮泥时，只是形状发生了改变，但体积不变。 2、有容积的物体一定有体积，有体积的物体不一定有容积。 3、长度单位、面积单位和体积单位之间都不能进行比较。 4、在不忽略容器厚度的情况下，容器的体积和容积不相等。 5、把完全浸入盛有液体的容器中的物体取出时，液面下降前、后体积的变化量就是物体体积。 6、只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，判断和互化时要看清两个单位是不是相邻的。 7、一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。 8、并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。 9、误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。 10、较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。 11、明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。 12、1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。 （难度系数：0.37 较难） 一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•昌黎县期末）一种牛奶的外包装是长方体，量得外包装盒的尺寸如图（单位：厘米）。根据图中数据判断，牛奶的实际含量可能是　　毫升。 A．520 B．540 C．500 D．600 【思路点拨】根据体积、容积的意义，牛奶包装盒的体积一定大于它的容积，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出这个牛奶盒的体积，然后与下面的选项进行比较即可。 【规范解答】解： （立方厘米） 520立方厘米毫升 因为牛奶的实际含量小于包装盒的体积，所以牛奶的实际含量可能是500毫升。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握体积、容积的意义及应用，长方体的体积（容积）公式及应用，关键是明确：同一个长方体容器，体积比容积大。 2．（2分）（2024秋•洪泽区期中）将五本书用如图两种方式叠放起来，下面描述正确的是　　 A．甲和乙体积相等，表面积不相等 B．甲和乙体积相等，表面积也相等 C．甲和乙体积不相等，表面积相等 【思路点拨】根据体积、表面积的意义，因为一本书的体积是一定的，所以这样的5本书无论怎么放置体积不变。把这5本书写放时表面积发生了变化。据此解答。 【规范解答】解：由分析得：将五本书用如图两种方式叠放起来，下面描述正确的是甲和乙的体积相等，表面积不相等。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握体积、表面积的意义及应用。 3．（2分）（2024•孟津区）魔方又叫鲁比克方块，是一款风靡全球的益智玩具。小军是魔方爱好者，他有一款三阶魔方，即。可是一次玩耍中，不小心掉了一个小正方体，魔方的表面积会　　 A．变大 B．变小 C．不变 D．答案不唯一 【思路点拨】掉了一个小正方体后，由于掉的小正方体原来的位置不同，魔方的表面积会有不同的变化，需要分类讨论。讨论时，先分析增加的部分，再分析减少的部分，最后对比出魔方的表面积是增还是减。 【规范解答】解：根据题意可以分三种情况： 第一种情况：如果掉的小正方体是魔方的8个顶点中的一处，会减少三个小正方形的面积，同时会增加三个小正方形的面积，那么魔方的表面积不变； 第二种情况：掉的小正方体是魔方每条棱上非顶点位置的一处，会减少2个小正方形的面积，但同时会增加4个小正方形的面积，那么魔方的表面积变大； 第三种情况：掉的小正方体在魔方每个面的中心位置，会减少1个小正方形的面积，但同时会增加5个小正方形的面积，那么魔方的表面积变大。 综上可知，魔方的表面积可能变大也可能不变，那么答案不唯一。 故选：。 【考点评析】本题考查的是正方体表面积知识的运用。 4．（2分）（2024秋•睢宁县期中）一个长方体纸箱，从里面量得长15分米，宽6分米，高10分米。如果要在纸箱里放棱长是3分米的正方体包装盒，最多能放　　个包装盒。 A．10 B．40 C．30 D．33 【思路点拨】根据题意，首先根据“包含”除法的意义，用除法分别求出长方体纸箱的长、宽、高里面各包含多少个3分米，然后根据长方体的体积长宽高，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（个 （个 （个（分米） （个 答：最多能放30个包装盒。 故选：。 【考点评析】此题是易错题，不能用长方体纸箱的容积除以正方体包装盒的体积，必须先用除法分别求出长方体纸箱的长、宽、高里面各包含多少个3分米，进而求出最多能放的个数。 5．（2分）（2024•连州市）已知图①中每个小正方体的棱长为，现从图①中拿一个小正方体放在左上角（见图②，在这个过程中，关于表面积变化的描述正确的是　　 A．表面积没有变化 B．表面积增加了 C．表面积增加了 D．表面积增加了 【思路点拨】通过观察图形，如果把这个小正方体拿走后不放在左上角，表面积比原来增加小正方体的2个面的面积，当把拿出的这个小正方体放在长方体左上角时，此时的表面积比原来增加了小正方体的4个面的面积，所以在整个包含过程中，表面积比原来增加了小正方体的6个面的面积，也就是一个小正方体的表面积，根据正方体的表面积棱长棱长，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（平方厘米） 所以表面积比原来增加了6平方厘米。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体表面积的意义及应用，正方体的表面积公式及应用。 二．仔细想，认真填（共8小题，满分18分） 6．（2分）（2024秋•睢宁县期中）把1.6米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加2.8平方分米，原来这根木料的体积是 　11.2　立方分米。 【思路点拨】通过观察图形可知，把这个长方体木料横截成3段后，表面积增加4个截面的面积，据此可以求出一个截面的面积，再根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：1.6米分米 （立方分米） 答：原来这根木料的体积是11.2立方分米。 故答案为：11.2。 【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 7．（2分）（2024秋•睢宁县期中）如图在棱长为12厘米的正方体上挖去三个棱长为2厘米的小正方体和长12厘米，宽和高都是2厘米的小长方体，如下图所示，这个几何体的表面积是 　608　平方厘米。 【思路点拨】根据题意可知，上面左右两个顶点挖去的两个正方体，表面积的大小不变；中间挖去一个小正方体，表面积增加了4个边长为2厘米的正方形的面，下面挖去一个长方体，表面积减少了2个边长为2厘米的正方形的面积，总共增加2个小正方形的面。 【规范解答】解： （平方厘米） 答：这个几何体的表面积是608平方厘米。 故答案为：608。 【考点评析】解答此题要运用正方形的面积公式。 8．（3分）（2024秋•洪泽区期中）皮皮家有两块长6分米、宽4分米的玻璃和两块长5分米、宽4分米的玻璃，他爸爸想做一个无盖玻璃鱼缸，还要配一块长 　6　分米、宽 　　分米的玻璃，做成的鱼缸的容积是 　　升。（玻璃的厚度忽略不计） 【思路点拨】（1）一个完整的长方体有6个面，相对的两个面完全一样；根据此特征，可把两块长6分米、宽4分米的玻璃当这个鱼缸的前后两个面；把两块长5分米、宽4分米的玻璃当这个鱼缸的左右两个侧面；据此还要配一块长6分米、宽5分米的玻璃做这个鱼缸的下底面；所以做成的这个鱼缸的长为6分米，宽为5分米，高为4分米； （2）长方体的容积的计算方法和体积的计算方法一样，就用长乘宽再乘高即可。 【规范解答】解：（1）根据长方体的特征，可知做的这个玻璃鱼缸的长为6分米，宽为5分米，高为4分米，所以要配一块长6分米宽5分米的玻璃； （2）做成的鱼缸的容积： （立方分米） 120立方分米升 答：还要配一块长6分米宽5分米的玻璃．做成的鱼缸的容积是120升。 故答案为：6，5，120。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体容积的计算方法。 9．（2分）（2024秋•隰县期中）王海在一个无盖的长方体玻璃容器内摆了一些棱长是1厘米的小正方体（如图），这个容器的容积是 　90　立方厘米。 【思路点拨】根据王海在一个无盖的长方体玻璃容器内摆了一些棱长是1厘米的小正方体可知，该容器的长为6厘米，宽为5厘米，高为3厘米。根据“长方体体积公式：表示底面的长，表示底面的宽，表示高）”代入数据即可求解。 【规范解答】解：根据图示可知，该容器的长为6厘米，宽为5厘米，高为3厘米。所以： （立方厘米） 答：这个容器的容积是90立方厘米。 故答案为：90。 【考点评析】本题考查了长方体体积计算。 10．（2分）（2024秋•洪泽区期中）张伯伯要在墙角搭一个正方体形状的鸡笼（两面靠墙）。搭鸡笼用的3根框架共用去钢筋12米（如图）。如果露在外面的面用塑料网包裹，那么至少需要 　48　平方米的塑料网。 【思路点拨】通过观察图形可知，靠墙角用12米钢筋搭成一个正方体的框架，这个正方体的棱长是米，根据正方体的表面积棱长棱长，需要塑料网的面积是这个正方体的3个面的面积，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（米 （平方米） 答：至少需要48平方米的塑料网。 故答案为：48。 【考点评析】此题主要考查正方体的棱长总和公式、正方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是明确：需要钢筋的长度是这个正方体的几条棱长，需要塑料网的面积是这个正方体的几个面的面积。 11．（3分）（2023秋•晋源区期末）一块长方体木块长25厘米，宽12厘米，厚8厘米，所占的空间大小是 　2400　立方厘米，占地面积最大是 　　平方厘米。如果将它削成一个最大的正方体，削去部分的体积是 　　立方厘米。 【思路点拨】根据长方体的体积公式：，长方形的面积公式：，把这个长方体削成一个最大的正方体，削成的最大正方体的棱长等于长方体的高，根据正方体的体积公式：，削去部分的体积等于长方体与正方体的体积差。把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （立方厘米） （平方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：这个长方体所占的空间大小是2400立方厘米，占地面积是300平方厘米，削去部分的体积是1888立方厘米。 故答案为：2400，300，1888。 【考点评析】此题主要考查长方体的体积公式、长方形的面积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 12．（2分）（2024秋•江宁区期中）如图是由体积为1立方厘米的小正方体摆成的物体，它的表面积是 　32　平方厘米，体积是 　　立方厘米。 【思路点拨】通过观察图形可知，这个组合图形的前、后面都外露小正方体的6个面，上、下面，左、右面都外露小正方体的5个面，体积是1立方厘米的小正方体的每个面的面积是1平方厘米，据此可以求出这个组合图形的表面积；这个组合图形是由9个小正方体摆成，据此可以求出这个组合图形的体积。 【规范解答】解： （平方厘米） （立方厘米） 答：它的表面积是32平方厘米，体积是9立方厘米。 故答案为：32，9。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握求组合图形的表面积、组合图形体积的方法及应用。 13．（2分）（2024•渝中区）一个长方体木块，从上部和下部分别截去3厘米和2厘米长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了80平方厘米，原长方体的体积是 　144　立方厘米，正方体的体积是 　　立方厘米。 【思路点拨】根据题意可知，一个长方体木块，从上部和下部分别截去3厘米和2厘米长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了80平方厘米，表面积减少的是高为厘米的长方体的侧面积，根据长方体的侧面积底面周长高，据此可以求出长方体的底面周长，因为剩余部分是一个正方形，所以原来长方体的底面是正方形，根据正方形的边长周长，可以求出原来长方体的底面边长，底面边长加上厘米就是原来长方体的高，根据长方体的体积公式：，正方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （厘米） （厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：原长方体的体积是144立方厘米，正方体的体积是64立方厘米。 故答案为：144，64。 【考点评析】此题主要考查长方体的侧面积公式、正方形的周长公式、长方体的体积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 三．判断正误（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（2分）（2024秋•隰县期中）一个长3厘米，宽与高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积和体积都比原来小。 　　（判断对错） 【思路点拨】观察图示可知，挖掉一个小正方体后，体积减小了1个小正方体的体积，表面积增加了2个长和宽都是1厘米的正方形的面积，据此判断。 【规范解答】解：一个长3厘米，宽与高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积比原来大，体积比原来小。即原说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了长方体表面积和体积计算的应用。 15．（2分）（2024秋•上思县月考）长方体和正方体的体积，都等于它的底面积乘以高．　　（判断对错） 【思路点拨】根据长方体和正方体的体积公式，长方体的长宽长方体的底面积；正方体的棱长棱长正方体的底面积；由此解答． 【规范解答】解：长方体的体积底面积高，正方体的体积底面积高； 因此正方体和长方体的体积都可以用底面积乘以高来进行计算，原题说法是正确的． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查长方体和正方体的统一的体积计算公式，． 16．（2分）（2024春•薛城区期末）一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的体积就扩大到原来的9倍。 　　（判断对错） 【思路点拨】设正方体的棱长为1，利用赋值法解答。 【规范解答】解：设正方体的棱长为1，棱长扩大到原来的3倍后得到的正方体的棱长为3，则： 原正方体的体积： 扩大到原来的3倍后的长方体的体积： 体积扩大到原来的27倍。 原题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了正方体体积的计算，需熟记公式，解答此类问题用赋值法比较简便。 17．（2分）（2023•颍东区）《九章算术）书中在求底面是正方形的长方体体积时，这样概述；“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的表面积。 　　（判断对错） 【思路点拨】我国古代数学名著《九章算术）书中在求底面是正方形的长方体体积时，这样概述；“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的体积。据此判断。 【规范解答】解：“方自乘，以高乘之即积尺”，就是说先用边长乘边长再乘高就得到长方体的体积。 因此题干中的结论是错误的。 故答案为：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的体积公式及应用，了解古代数学家对长方体体积计算方法的研究。 18．（2分）（2019春•长春月考）正方体的棱长是1厘米，它的表面积就是6厘米．　　．（判断对错） 【思路点拨】根据正方体的表面积棱长棱长，正方体的棱长已知，代入公式求出正方体的表面积即可判断． 【规范解答】解：（平方厘米）， 所以正方体的棱长是1厘米，它的表面积就是6平方厘米． 所以“表面积是6厘米”弄错了面积单位，这个说法是错误的． 故答案为：． 【考点评析】本题中的数值是正确的，但面积单位错误，解答时很容易误判，因此解题时一定要认真． 四．看图列式计算（共1小题，满分6分，每小题6分） 19．（6分）（2021秋•淮安期中）求下面几何形体的表面积。（单位： 【思路点拨】通过观察图形可知，由于正方体和长方体粘合在一起，所以在求表面积时，长方体只求它的上下、前后4个面的面积，正方体求出表面积，然后合并起来；它的体积等于正方体与长方体的体积和，根据正方体的表面积公式：，长方体侧面积的计算方法，把数据代入公式解答。 【规范解答】解： （平方厘米） 答：它的表面积是190平方厘米。 【考点评析】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 五．解决实际问题（共11小题，满分56分） 20．（5分）（2024秋•隰县期中）曲妍用硬纸板（如图）折成一个长方体纸盒，折成的长方体纸盒的容积是多少立方厘米？至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度忽略不计） 【思路点拨】根据题图可知，该长方体的长为，宽为，高为，根据“长方体体积长宽高”代入数据计算容积即可；再根据“长方体表面积六个面的面积之和”计算需要的硬纸板即可。 【规范解答】解： （厘米） （立方厘米） （平方厘米） 答：折成的长方体纸盒的容积是288立方厘米，至少需要312平方厘米的硬纸板。 【考点评析】本题考查了长方体的体积和表面积计算。 21．（5分）（2023秋•南京期末）一个长方体的玻璃缸，长，宽，高，水深。（如图）如果投入一块棱长的正方体铁块，缸里的水是否会溢出？请说明理由。 【思路点拨】根据长方体的体积公式：，求出玻璃缸内无水部分的体积，根据正方体的体积公式：，求出铁块的体积，铁块的体积与玻璃缸内无水部分的体积进行比较，即可解答。 【规范解答】解： （立方分米） （立方分米） 64立方分米立方分米 答：缸里的水会溢出。 【考点评析】此题主要考查长方体、正方体的体积公式的灵活运用，关键是明白：铁块的体积与玻璃缸内无水部分的体积进行比较。 22．（5分）（2024•广汉市）“六一”儿童节这天，雒雒、城城和笑笑三人来到三星堆文创馆，三名同学观察并测量了同一个长方体泥塑后，描述了以下信息： 雒雒：如果高增加3分米，它恰好是一个正方体。 城城：长方体的前后左右四个面的面积之和是72平方分米。 笑笑：它的底面周长是24分米。 请你根据他们描述的信息，求出这个长方体泥塑的体积。 【思路点拨】根据正方形的周长边长，那么边长周长，据此求出这个长方体的底边边长，底面边长减去3分米就是原来的高，再根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（分米） （分米） （立方分米） 答：这个长方体泥塑的体积是108立方分米。 【考点评析】此题主要考查正方形的周长公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 23．（5分）（2024秋•铜山区期中）张师傅和李师傅准备要把一块长、宽的铁皮锻造成一个无盖铁皮箱。 张师傅：我把铁皮的4个角各切掉一个边长5厘米的正方形后就可以做成无盖铁皮箱。（图 李师傅：我是这样切割材料的，一点铁皮都不浪费，也可以做成无盖铁皮箱。（图 用哪种方法做成的无盖铁皮箱容积大？请计算说明理由。 【思路点拨】图1，做成的无盖铁皮箱的长是厘米，宽是厘米，高是5厘米； 图2，做的无盖长方体铁皮箱的底面边长是20厘米，高是厘米，根据长方体的容积公式：，把数据代入公式分别求出两个铁皮箱的容积，然后进行比较即可。 【规范解答】解：图1， （立方厘米） 图2， （厘米） （立方厘米） 答：图2的方法做成的无盖铁皮箱的容积大。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用，长方体的容积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 24．（5分）（2024秋•南海区校级月考）在一个教学实验活动中，先往一个长方体容器中注水，使水深为4厘米，然后将一块不规则冰块完全浸没水中，水的高度上升到7厘米（冰块能完全浸没）。已知冰融化成水，体积减小原来的，当冰块完全融化时，容器内的水深是多少厘米？ 【思路点拨】根据题意可知，把冰块放入容器中上升部分水的体积就等于冰块的体积，根据长方体的体积公式：，求出冰块的体积，冰融化成水，体积减小原来的，据此可以求出这块冰块融化成水的体积，用原来水的体积加上冰块融化成水的体积和除以容器的底面积求出现在的水深。 【规范解答】解：（立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） （厘米） 答：容器内水深是6.7厘米。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的测量方法及应用，长方体的体积公式及应用，关键是熟记公式。 25．（6分）（2024秋•万柏林区月考）看得见草绿，闻得到花香，小游园体现大民生。某市中心城区的一座小游园正在紧锣密鼓地建设中。按照规划图纸，工人叔叔需要在园内挖一个长方体景观水池，长5.2米、宽2.8米、深2.4米。 （1）这个水池的占地面积是多少平方米？ （2）如果在四壁和底面贴上长4分米、宽2分米的瓷砖，至少需要多少块这样的瓷砖？ 【思路点拨】（1）根据长方形的面积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据无盖长方体的表面积公式：，把数据代入公式求出需要贴瓷砖的面积，根据长方形的面积公式：，求出每块瓷砖的面积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。 【规范解答】解：（1）（平方米） 答：这个水池的占地面积是14.56平方米。 （2）4分米米 2分米米 （块 答：至少需要662块这样的瓷砖。 【考点评析】此题主要考查长方形的面积公式、长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 26．（5分）（2024秋•睢宁县期中）一个长方体按图中三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了36平方厘米、24平方厘米、12平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？若长、宽、高都是整厘米数，体积是多少立方厘米？ 【思路点拨】观察图形可知，若用三种不同的方法切成两个完全一样的长方体，方法分别是横切、纵切和平切，每一种切法就增加两个面，所以把三种切法增加的面相加，就是原长方体的表面积；观察（平方厘米）、（平方厘米）、（平方厘米），因为；且；，据此可得长方体的长宽高分别是6厘米，3厘米，2厘米，据此即可求出长方体的体积。 【规范解答】解： （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （立方厘米） 答：原来长方体的表面积是72平方厘米，体积是36立方厘米。 【考点评析】解答此题的关键是明确增加的不同的面，正好分别是原来的小长方体的各个相对的面的面积；利用分解质因数的方法，把36、24、12写成三个数字两两乘积的形式，即可求得这个长方体的长宽高，再利用体积公式计算即可解答。 27．（5分）（2024•余杭区）一个学习小组的四名同学观察并测量了一个长方体，得到了五条信息： 信息1：如果高再增加3厘米，它恰好是一个正方体。 信息2：长方体的侧面积是280平方厘米。 信息3：长方体的表面积是480平方厘米。 信息4：长方体的棱长总和是108厘米。 信息5：长方体的底面周长是40厘米。 这五条信息都是正确的，请从中选择需要的信息，求出这个长方体的体积。 【思路点拨】根据信息1可知，这个长方体的底面是正方形，即长方体的长和宽相等，长方体的高比长和宽少3厘米；根据信息5可知，长方体的底面正方形的周长是40厘米，根据正方形的周长边长，那么边长周长，据此求出长方体的长和宽，进而求出长方体的高，然后根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：长方体的长、宽：（厘米） 长方体的高：（厘米） 长方体的体积： （立方厘米） 答：这个长方体的体积是700立方厘米。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的特征，以及正方形的周长公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 28．（5分）（2024•铁西区）一个长方体无盖的玻璃鱼缸（如图）。从鱼缸里面量得长，宽，高。把水草和小鱼放入鱼缸后现在的水面高度是，如果再放入体积的石块，水会溢出来吗？请说明理由。 【思路点拨】根据长方体的体积（容积）公式：，把数据代入公式求出玻璃鱼缸内无水部分的体积，然后与石块的体积进行比较，如果玻璃鱼缸内无水部分的体积大于或等于石块的体积，水就不会溢出，否则水就会溢出。 【规范解答】解： （立方厘米） 10立方分米立方厘米 答：水不会溢出，理由是玻璃鱼缸内无水部分的体积大于石块的体积。 【考点评析】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 29．（5分）（2024秋•瑞安市月考）如图是一个长方体的展开图，请根据图中提供的数据计算出它的表面积及体积。 【思路点拨】通过观察长方体展开图可知，这个长方体的长是5厘米，高是（厘米），宽是（厘米），根据长方体的表面积公式：，长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（厘米） （厘米） （平方厘米） （立方厘米） 答：这个长方体的表面积是94平方厘米，体积是60立方厘米。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用，长方体的表面积公式、体积公式的及应用，关键是熟记公式。 30．（5分）（2024春•城厢区期末）有空的长方体容器甲和装有24厘米深的长方体容器乙．将容器乙中水倒一部分到容器甲，使两个容器里的水的高度相同，这时水深是多少厘米？（容器壁厚度忽略不计） 【思路点拨】我们运用方程解答便于理解，设这时水深是厘米．运用底面积乘以高分别表示出甲乙两个容器的体积加在一起的和等于现在乙容器里面的水的体积． 【规范解答】解：设这时水深是厘米． ， ， ， ， ； 答：这时水深是8厘米． 【考点评析】本题运用长方体的体积公式进行解答即可，即运用“长宽高体积”进行计算即可 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$