（温故知新篇）专题05 数学广角—数与形-2024-2025学年人教版数学六年级上学期寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年人教版数学六年级上学期寒假学习讲义（温故知新篇） 专题05 数学广角—数与形 （导图+知识点+易错点+培优卷） 知识点01：数形结合思想的意义。 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想． 知识点02：寻找数与形规律的方法。 通常从相邻数（或形）之间的关系，总结出一般的规律。 知识点03：数与形找规律题的步骤。 第一步：寻找数量关系； 第二步：用代数式表示规律； 第三步：验证规律。 在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。 （难度系数：0.43 较难） 一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•湖滨区期中），，，那么　　 A． B． C． D． 【思路点拨】观察给出的式子得出（除第一个式子）：小数的循环节等于被除数乘9，据此解答即可。 【规范解答】解： 那么 故选：。 【考点评析】根据题中的式子，发现规律，利用规律解题是关键。 2．（2分）（2024秋•克州期中）按规律填数：18，9，4.5，2.25，1.125，　　， A．0.5625 B．0.125 C．0.65 D．0.5635 【思路点拨】， ， ， ， 后一个数是前一个数的一半，由此求解． 【规范解答】解： 验证： 这列数是：18，9，4.5，2.25，1.125，0.5625，0.28125． 故选：。 【考点评析】关键是根据已知的数得出前后数之间的变化关系的规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题． 3．（2分）（2023秋•依兰县期末）如图里的数和它周围里的数有关系，想一想，里应填　　 A．2 B．5 C．8 【思路点拨】里的数等于它周围里的数之和。 【规范解答】解：如图里的数和它周围里的数有关系，想一想，里应填2。 故选：。 【考点评析】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。 4．（2分）（2024秋•石泉县期中）观察下列算式，“？”处的数应是　　 ？ A．133326 B．133336 C．1333326 D．13333326 【思路点拨】根据题意算式可知：一个乘数固定是6，另一个乘数个位均是1，其他数位数字都是2，且2的个数依次增加1个，乘积首位都是1，末两位都是26，中间都是3，且3的个数比乘数中2的个数少1，据此解答。 【规范解答】解：因为 所以 故选：。 【考点评析】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。 5．（2分）（2024春•阎良区期末）奇思用计算器算出，，，根据这样的规律，可以直接写出算式　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由题意可知，第一个因数是5，个数从左到右依次增加1个，第二个因数是9，也是个数从左到右依次增加1个，其积的位数是两因数位数之和，积中5的个数与4的个数相同，积的个位是5，再往前是连接4的个数，再向前是剩余的连续5的个数，根据这一规律即可写出其作算式的积。 【规范解答】解：分析可知； 所以算式正确的是。 故选：。 【考点评析】解答此题的关键是找规律，找到规律再根据规律解答即可。 二．仔细想，认真填（共8小题，满分17分） 6．（2分）（2024•永年区）古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”与“数”联系在一起，下图是用“形”来表示“数”、请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9，依次排下去，第10幅图的点数为 　37　，第幅图的点数为 　　。 【思路点拨】根据题意，第1幅图的点数为，第2幅图的点数为，第3幅图的点数为；第4幅图的点数为，那么第幅图的点数应为：；将，代入计算出第10幅图即可；据此解答。 【规范解答】解：根据分析，第幅图的点数应为：； 当时， 所以，依次排下去，第10幅图的点数为37，第幅图的点数为。 故答案为：37，。 【考点评析】此题考查了数与形的知识，关键能够根据增加数量找出规律再解答。 7．（2分）（2023秋•闽侯县期末）观察如图，第6幅图有　21　个点；照这样排下去，第幅图有　　个点。 【思路点拨】根据题意，第1幅图的点数为，第2幅图的点数为，第3幅图的点数为；第4幅图的点数为，那么第幅图的点数应为：；将，代入计算出第6幅图即可；据此解答。 【规范解答】解：根据分析，第幅图的点数应为：； 当时， 答：第6幅图有21个点；照这样排下去，第幅图有个点。 故答案为：21，。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 8．（3分）（2023秋•成都期末）先观察前面的两道算式，再按规律填一填。 ； ； 　3333333303　； 　　； 　　。 【思路点拨】根据已知的算式可得：第一个因数不变，第二个因数扩大到原来的多少倍，积就扩大到原来的多少倍，据此解答。 【规范解答】解：； ； ； ； 。 故答案为：3333333303，4444444404，。 【考点评析】解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律。 9．（2分）（2023秋•苏州期末）东东用棋子摆了一些图形（如图） 照这样摆下去，第5个图形需要 　25　枚棋子，第9个需要 　　枚棋子。 【思路点拨】根据图形可以看出：第一个图形里有一枚棋子；第二个图形里每一个边都有两枚棋子，总共有四枚棋子；第三个图形里每一个边都有三枚棋子，总共九枚棋子；第四个图形里每一个边都有四枚棋子，总共十六枚棋子；由此我们不难发现： 第一个图形：； 第二个图形：； 第三个图形：； 第四个图形：； 以此类推，我们就可以推出第五个图形和第九个图形所需要的棋子。 【规范解答】解：根据分析： 第5个图形里应该每一个边都有五枚棋子，所以总共是：枚棋子； 第9个图形里应该每一个边都有六枚棋子，所以总共是：枚棋子。 故答案为：25，81。 【考点评析】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 10．（2分）（2024•天宁区）按照如图中的规律继续画下去，第7幅图长 　32　厘米，第幅图长 　　厘米。 【思路点拨】根据图示，后面的图形依次比前面的图形多4厘米，据此解答即可。 【规范解答】解：分析可知，第幅图长： 厘米 （厘米） 答：第7幅图长32厘米，第幅图长厘米。 故答案为：32；。 【考点评析】本题考查了图与形的组合知识，结合题意分析解答即可。 11．（2分）（2024秋•方城县期中）观察前三个算式，找规律完成后面的算式。 　5005　 　　 【思路点拨】仔细观察算式可知，前三个算式都有相同的乘数143，另一个乘数都是7的倍数是7的9倍，56是7的8倍，49是7的7倍）。乘得的积都是四位数且百位和十位上的数都是0，前面的一个乘数是7的几倍，积的个位和千位上的数就是几。在算式中，，即35是7的5倍，所以。在算式中，3003的个位和千位上都是3，，所以。 【规范解答】解：根据分析可知： 故答案为：5005；21。 【考点评析】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。 12．（2分）（2024•鼓楼区）用火柴棒按照如图所示摆图形。摆1个六边形需要6根火柴棒，摆2个六边形需要11根火柴棒摆5个六边形需要 　26　根火柴棒；摆个六边形需要 　　根火柴棒。 【思路点拨】根据摆1个六边形需要6根火柴棒；摆2个需要11根火柴棒；摆3个需要16根火柴棒；摆个需要根。据此规律做题即可。 【规范解答】解：（2） （根 答：摆5个六边形需要26根火柴棒；摆个六边形需要根火柴棒。 故答案为：26；。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 13．（2分）（2023秋•历城区期末）“长桌宴”是侗寨最为隆重的待客礼俗。每当有受到全寨尊敬的客人来侗寨，各家便会拼成长条桌，拼菜成席，共同款待客人，让客人一次性感受全寨各家各户的盛情。长桌的拼摆方式及座位如图。 按这样拼下去，4张桌子拼在一起可坐 　18　人，张桌子拼在一起可坐 　　人。 【思路点拨】根据图示，发现这组图形的规律：1张桌子可坐人数：（人；2张桌子可坐人数：（人；3张桌子可坐人数：（人；；张桌子可坐人数：人；据此求解即可。 【规范解答】解：（1）1张桌子可坐人数：（人 2张桌子可坐人数：（人 3张桌子可坐人数：（人 4张桌子可坐人数：（人 张桌子可坐人数：（人 答：4张桌子拼在一起可坐18人，张桌子拼在一起可坐人。 故答案为：18；。 【考点评析】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图形发现这组图形的规律，并运用规律做题。 三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分） 14．（1分）（2023秋•正安县期末）在数列“，，，，，，”中，第10个数是．　　（判断对错） 【思路点拨】这组数据的分子从左到右分别是1、3、5、，即是从1开始相邻的奇数；分母分别是1、4、9、，即分别是1、2、3、各数的平方．因此，第10数的分子是19，分母是，即100．也就是第10个数是． 【规范解答】解：这个数列中从左到右分别是1、3、5、7、9、11、13、15、17、 分母是 因此，在数列“，，，，，，”中，第10个数是． 故答案为：． 【考点评析】解答此题的关键是找规律，可分子、分母分别找，找到规律，根据规律解答就比较容易了． 15．（1分）（2023秋•召陵区期末）摆一个等边三角形需要3根火柴，往后每多摆1个就增加2根火柴，按这样的规律摆个三角形，一共需要根火柴。 　　（判断对错） 【思路点拨】根据题意，摆一个三角形用3根火柴棒，， 摆两个三角形用5根火柴棒，， 摆三个三角形用7根火柴棒，， 摆四个三角形用9根火柴棒， 所摆三角形个数的2倍加1就是所用火柴棒的根数，即摆个三角形要用根火柴棒。据此解答即可。 【规范解答】解：分析可知，摆一个等边三角形需要3根火柴，往后每多摆1个就增加2根火柴，按这样的规律摆个三角形，一共需要根火柴。所以原题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了数与形的组合知识，解答此题的关键是找规律，只要找到规律，根据规律解答即可。 16．（1分）（2023秋•修水县月考）我能知道，搭第个图形要用根火柴。 　　（判断对错） 【思路点拨】观察发现第几个图形就有几个正方形。 搭第1个图形需要4根火柴，即； 搭第2个图形需要7根火柴，即； 搭第3个图形需要4根火柴，即； 搭第个图形需要的火柴数：。 【规范解答】解：分析可知，根据图示，搭第个图形需要的火柴数：。所以原题说法正确。 故答案为：。 【考点评析】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多搭1个正方形形就多用3根小棒是解本题的关键。 17．（1分）（2020•闵行区）摆1个正方形需要4根小棒，往后每多摆1个正方形就增加3根小棒，按这样的规律摆10个正方形，一共需要31根小棒．　　．（判断对错） 【思路点拨】摆一个正方形要小棒4根；摆两个正方形要小棒根，即7根；摆三个正方形要小棒根，即10根，由此得到摆个正方形要小棒根；然后把代入中即可求出摆10个正方形需要的小棒数． 【规范解答】解：摆一个正方形要小棒4根； 摆两个正方形要小棒根，即7根； 摆三个正方形要小棒根，即10根， ， 所以摆个正方形要小棒：（根； ，（根； 答：摆10个正方形一共需要31根小棒． 原题说法正确． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 18．（1分）（2018秋•和平区期末）如图这样放三角形积木，如果最下层放19块积木，共需放72块积木。　　（判断对错） 【思路点拨】图；图；图。结合规律可知：如果最下层放19块积木，共需放积木的块数为：，计算出结果判断即可。 【规范解答】解： 故答案为：。 【考点评析】本题考查数和形中的找规律问题。找到共同特征解决问题即可。 四．计算能手（共2小题，满分12分，每小题6分） 19．（6分）（2024秋•宛城区期中）先计算出左边三个算式的结果，找出规律后，不计算直接写出右面三个算式的结果。 　22　 　　 　　 　　 　　 　　 【思路点拨】根据题意，先计算出左边三个算式的结果，观察左边三个算式，发现积的位数是两个因数位数的和，最高位和最低位上都是2，中间都是3，3的个数比第一个因数中3的个数少1个，据此规律，即可解答。 【规范解答】解：因为 所以 故答案为：22；23332；232；233332；2332；2333332。 【考点评析】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。 20．（6分）（2024•郑州）在比较“与 “的大小时，奇奇用了下面的计算方法。他发现：。根据他的方法，请你完成： （1）　100　　　 （2）在下面空白处写下你的计算过程。 （3）按照这种方法，　　。 【思路点拨】观察这组算式，两个因数相等，是由个9组成，加数由1和个9组成。得数与两个相同的数的乘积相等，这两个数由1和个0组成。 【规范解答】解：（1） （2） （3） 故答案为：100，100；。 【考点评析】本题通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，这是学生应该具备的基本能力。 五．解决实际问题（共5小题，满分26分） 21．（4分）（2024•梁子湖区）探索与发现。 圆柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳子捆扎圆柱形物体。如图中每个圆柱的底面直径都是8厘米，捆所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）明明用下面这样的方式进行研究： 序号 图① 图② 图③ 图形 圆柱的个数 1 3 6 绳子的长度厘米 （1）若按此规律继续摆，图④中有 　10　个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是 　　。 （2）根据发现的规律推理，图⑨中有多少个圆柱？表示图⑨中绳子长度是多少厘米？取 【思路点拨】（1）图①圆柱的个数是1个；绳长为厘米； 图②圆柱的个数是3个，；绳长为厘米，； 图③圆柱的个数是6个，；绳长为厘米，； 图④圆柱的个数是10个，；绳长为厘米，； 图圆柱的个数是个，绳长为厘米。 即图中圆柱的个数是：，捆一圈所用绳子的长度由两部分组成，曲线部分刚好是一个底面圆的周长，即厘米，直线部分是每条边上的条直径的长度，共3条边，即厘米，所以捆一圈所用绳子的长度是厘米。 （2）根据（1）的规律，计算当时圆柱的个数及绳子的长度即可。 【规范解答】解：图①圆柱的个数是1个；绳长为厘米； 图②圆柱的个数是3个，；绳长为厘米，； 图③圆柱的个数是6个，；绳长为厘米，； 图④圆柱的个数是10个，；绳长为厘米，； 图圆柱的个数是个，绳长为厘米。 即图中圆柱的个数是：，捆一圈所用绳子的长度由两部分组成，曲线部分刚好是一个底面圆的周长，即厘米，直线部分是每条边上的条直径的长度，共3条边，即厘米，所以捆一圈所用绳子的长度是厘米。所以： （1）图④中有10个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是。 （2）图⑨中有45个圆柱，表示图⑨中绳子长度是： （厘米） 答：图⑨中有45个圆柱，表示图⑨中绳子长度是217.24厘米。 故答案为：10，。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 22．（8分）（2024春•通州区期中）康平小学四年级（3）班有35名同学在操场上体育课。在做广播操时，学生之间需保持1米的安全距离。 （1）在操场上列队时，10名同学排成一排需要多少米？ （2）操场上面积为25平方米的正方形区域内，能否容纳该班35名同学？（提示：可以画图） （3）为保证做广播体操时学生的手臂不相互接触，体育老师要求同学之间的距离是2米。保持第（2）题中的队形不变，此时该班同学所占正方形区域的面积是多少平方米？ （4）请你设计一个合理的列队方案（面图或者语言描述），要求35名同学所占区域面积小于23平方米。（保持1米距离） 【思路点拨】（1）根据两端都植树可知，间隔数人数，用间隔数乘间隔距离即可求解； （2）根据正方形的面积以及面积边长边长即可求出正方形区域的边长，根据两端都植树可知，一排可以站的人数为边长，可以站的排数也是边长，据此即可判断是否能容纳； （3）根据（2）可知，一排站6人，共计5个间隔，每个间隔2米，用间隔数乘间隔距离即是正方形区域的边长，再根据正方形面积边长边长即可解答； （4）设计为长为11米，宽为2米的长方形也可以容纳36人，此时面积为（平方米）平方米，满足题意。 【规范解答】解：（1）（米 答：10名同学排成一排需要9米。 （2）因为 所以正方形的边长为5米 （名 （名 ，即能容纳。 如下图所示：每个黑点代表1人，则正方形区域最多可以站36人。 答：操场上面积为25平方米的正方形区域内，能容纳该班35名同学。 （3）（米 （平方米） 答：此时该班同学所占正方形区域的面积是100平方米。 （4）当长方形队列的长为11米，宽为2米时，最多可容纳的人数为（人 ，满足题意。 此时队形的面积为（平方米） ，满足题意。 如下图所示：每个黑点代表1人，则长方形区域最多可以站36人。 【考点评析】本题考查了植树问题的应用，以及长方形和正方形面积的计算等。 23．（6分）（2023秋•房山区期末）“长桌宴”是独特又古老的传统民俗文化，如图是幸福村“长桌宴”摆放桌椅的方式。（桌子用表示，椅子用表示。 （1）按照这样摆放桌椅的方式，5张桌子需要配多少把椅子？ （2）旅行团共有20人参加长桌宴，按照这样摆放桌椅的方式需要多少张桌子？ （3）明明发现这样摆放桌椅的方式是有规律的，请用含有字母的式子表示出这样的规律。 【思路点拨】（1）图张桌子6把椅子；图张桌子10把椅子；图张桌子14把椅子；张桌子把椅子；据此解答； （2）20人需要20把椅子，代入（1）的关系式求解； （3）根据（1）总结的规律直接解答。 【规范解答】解：图张桌子6把椅子； 图张桌子10把椅子； 图张桌子14把椅子； 张桌子把椅子； （把 答：5张桌子需要配22把椅子。 （2） 答：按照这样摆放桌椅的方式需要5张桌子。 （3） 答：含有字母的式子表示出这样的规律为：。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 24．（4分）（2022秋•如东县期末）先阅读理解，再解决问题。 有这样一组非常有趣的等式，从上往下写成若干行。请你注意观察这些数的规律。 第1行：； 第2行：； 第3行：； 第4行：； 第行： （1）观察每行的第1个数，我发现：第行的第1个数正好是 　行数的平方　。 （2）照上面写下去，第5行的等式是：　　。 （3）请你列式计算出第6行等式左边的所有数的和。 【思路点拨】（1）根据题意，找出每行的第1个数与行数之间的关系可知，第行的第1个数正好是行数的平方； （2）根据第行的第1个数正好是行数的平方可知，第5行的第1个数是25。看算式找规律可知，等式的左边加数的个数是而且是数字依次加1，等式的右边加数的个数是，数字依次加1。等式右边开始的数字是等式左边最后一个数字加1。 （3）根据等式的规律可知，第6行等式左边的数是，据此解答。 【规范解答】解：（1）第行的第1个数正好是行数的平方； （2）第5行的等式是：； （3） 故答案为：行数的平方；。 【考点评析】此题考查了算式的规律。要求学生熟练掌握并灵活运用。 25．（4分）（2023•九龙坡区）某公司进行年终分红，规定按下面的规则将钱平均分给每个人，第一个人先取1元，再取余下的；接着第二人先取2元，再取余下的；如此继续下去，第个人先取元，再取余下奖金的，最后奖金被分完，则公司有多少人参与分红？ 【思路点拨】根据题目中描述的分红规则来建立方程解答，首先设总钱数为一个未知数，然后根据每个人取钱的规则列出方程，最后通过解方程求出总钱数，再根据总钱数求出每人分到的钱数，进而得出参与分红的人数。 【规范解答】解：设总钱数为元。 第一个人先取1元，此时剩下元，再取余下的，即（元 所以第1个人共取钱数为：（元 第二个人先取2元，此时剩下元，再取余下的，即（元 所以第2个人共取钱数为：（元 因为最后奖金被分完，即第一个人分的钱和第二个分的钱相等（这里假设只有2个人先进行分析，实际对于任意相邻的人分的钱数是相等的），即列方程为： 解得： 所以每人分得钱数为：（元 即参与分红的人数为（人 答：公司有2020人参与分红。 【考点评析】解答此题的关键是通过设未知数，根据每人分红金额相同的求出一共分红的金额。 六．动手操作（共1小题，满分6分，每小题6分） 26．（6分）（2024春•栖霞区期末）下面是理理设计的图案，他按照一定的规律，设计了前三幅图。 （1）仔细观察，第③幅图中涂色的部分是原来大正方形的。 （2）像这样继续设计下去，想一想，第④幅图的每一小份是原来大正方形的。 【思路点拨】（1）根据图示可知，第幅图涂色部分的面积占整个图形的，据此解答。 （2）根据（1）的规律计算第④幅图的每一小份是原来大正方形的几分之几。 【规范解答】解：（1） 答：第③幅图中涂色的部分是原来大正方形的。 （2） 答：第④幅图的每一小份是原来大正方形的。 故答案为：1，64；1，256。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 七．拓展探究（共4小题，满分24分，每小题6分） 27．（6分）（2022•南城县）平衡中发现下面是粗细均匀的木杆，在木杆的最中间位置放置一个平衡装置将木杆的左右两点刻上长度均匀的线，并标上数字，如图。 （1）若在左侧数字5的位置悬挂6个质量均为50克的砝码，那么在平衡点右侧数字6位置需悬挂 　5　个同样质量砝码才能保持木杆平衡。 （2）若右侧数字3处放置400克的物品，那么在左侧数字6处要放置 　　克的物品才能保持木杆平衡。 （3）我发现：要使木杆平衡，必须满足物品的质量与放置的位置所标的数字成 　　比例。 【思路点拨】（1）（2）利用左边刻度左边所放质量右边刻度右边所放质量即可解答； （3）如果两个相关联的量的比值一定，则这两个量成正比例，如果两个相关联的量的乘积一定，则这两个量成反比例，据此判断即可。 【规范解答】解：（1） （个 答：在平衡点右侧数字6位置需悬挂5个同样质量砝码才能保持木杆平衡。（2） （克 答：在左侧数字6处要放置200克的物品才能保持木杆平衡。 （3）通过计算可得：要使木杆平衡，必须满足物品的质量与放置的位置所标的数字的乘积一定， 所以要使木杆平衡，必须满足物品的质量与放置的位置所标的数字成反比例。 故答案为：5；200；反。 【考点评析】本题属于开放题，解题的关键是掌握左边刻度左边所放质量右边刻度右边所放质量。 28．（6分）（2021秋•瓯海区期末）在数学学习中，我们常常用“数形结合”的方法将复杂的问题简单化，抽象问题具体化。 （1）我们在探究分数乘法的算理和算法时就运用了这一思想方法，请画图解释的算理。 （2）玲玲在解决“”这个问题时，想到了用数形结合的办法来探索，于是她以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如下面所示的长方形来研究。 序号 1 2 3 4 图形 算式 ①你根据前面的规律，把序号4的图形与算式补充完整。 ②观察上面的图形和算式，你能把下面的算式补充完整吗？ 　5　　　。 　　　　。 ③若按此规律继续拼长方形，有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是 　　。 【思路点拨】（1）先将长方形一分为二，取其中的一份，再将其一分为四，取其中的3份，据此表示。 （2）①每次多加的正方形的边长是上两个多加的正方形边长的和，所以再加一个边长为8的正方形。算是上多加一个。 ②每个算式等于这个图形的最大边长乘下个图形的最大边长，据此填空； ③根据①和②的规律，下个算式为：，再下个算式是，检验发现，，据此填空。 【规范解答】解：（1）如图： （2）①如图： ②。 。 ③有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是。 故答案为：5，8.13，21，。 【考点评析】本题考查了数与形，有一定观察和归纳总结能力是解题的关键。 29．（6分）（2023秋•哈尔滨期末）数形结合是一种常见的数学思想，数学中的许多计算结合图形进行思考会变得简便，以正方形为例我们进行如下探究。 （1）如图1，分别观察三个图形中的小正方形排列规律，完成下列计算： ； 　9　； 　　。 根据你发现的规律尝试计算：　　。 （2）把正方形按照图2的方式进行分割，可帮我们计算： ；　　； 根据你发现的规律尝试计算：　　。 （3）如图3，请你结合图形巧妙算出结果：　　。 【思路点拨】（1）观察图1可知，第一个图中小正方形的个数为，第二个图中小正方形的个数为，第三个图中小正方形的个数为，由此解答本题即可； （2）观察图2可知，把大正方形看作单位“1”，则，以此类推去计算即可； （3）观察图2可知，把大正方形看作单位“1”，则，由此解答本题。 【规范解答】解：（1）观察图1可知，第一个图中小正方形的个数为：，第二个图中小正方形的个数为：，第三个图中小正方形的个数为：。 根据发现的规律尝试计算： （2）观察图2可知，把大正方形看作单位“1”，则 （3） 故答案为：（1）9；16；36；（2）；；（3）。 【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 30．（6分）（2021春•中牟县期末）“客上天然居，居然天上客”这是一副对联的上联，它正着念和倒着念一样，回环往复，非常有趣，叫做回文。我们数学中也有这样的算式，如和，和。 （1）计算下面这两组回文算式的积，你发现了什么？ ①　504　； ②　　。 我发现：　　。 （2）先仔细观察每组算式的规律，再写出两组回文算式。 【思路点拨】（1）由，，可以发现：回文算式的两个因数都是两位数，它们十位上的两个数字相乘的积等于个位上的两个数字相乘的积，两因数的积相等。 （2）根据算式的规律写出两组回文算式即可。 【规范解答】解：（1）①； ②。 我发现：回文算式的两个因数都是两位数，它们十位上的两个数字相乘的积等于个位上的两个数字相乘的积，两因数的积相等。 （2）回文算式： 和 和 故答案为：504；1472；回文算式的两个因数都是两位数，它们十位上的两个数字相乘的积等于个位上的两个数字相乘的积，两因数的积相等。 【考点评析】此题考查算式中的规律，注意发现数字之间的联系，找出运算的规律解决问题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学六年级上学期寒假学习讲义（温故知新篇） 专题05 数学广角—数与形 （导图+知识点+易错点+培优卷） 知识点01：数形结合思想的意义。 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想． 知识点02：寻找数与形规律的方法。 通常从相邻数（或形）之间的关系，总结出一般的规律。 知识点03：数与形找规律题的步骤。 第一步：寻找数量关系； 第二步：用代数式表示规律； 第三步：验证规律。 在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。 （难度系数：0.43 较难） 一．慎重选择（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•湖滨区期中），，，那么　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2024秋•克州期中）按规律填数：18，9，4.5，2.25，1.125，　　， A．0.5625 B．0.125 C．0.65 D．0.5635 3．（2分）（2023秋•依兰县期末）如图里的数和它周围里的数有关系，想一想，里应填　　 A．2 B．5 C．8 4．（2分）（2024秋•石泉县期中）观察下列算式，“？”处的数应是　　 ？ A．133326 B．133336 C．1333326 D．13333326 5．（2分）（2024春•阎良区期末）奇思用计算器算出，，，根据这样的规律，可以直接写出算式　　 A． B． C． D． 二．仔细想，认真填（共8小题，满分17分） 6．（2分）（2024•永年区）古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把“形”与“数”联系在一起，下图是用“形”来表示“数”、请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9，依次排下去，第10幅图的点数为 　　，第幅图的点数为 　　。 7．（2分）（2023秋•闽侯县期末）观察如图，第6幅图有　　个点；照这样排下去，第幅图有　　个点。 8．（3分）（2023秋•成都期末）先观察前面的两道算式，再按规律填一填。 ； ； 　　； 　　； 　　。 9．（2分）（2023秋•苏州期末）东东用棋子摆了一些图形（如图） 照这样摆下去，第5个图形需要 　　枚棋子，第9个需要 　　枚棋子。 10．（2分）（2024•天宁区）按照如图中的规律继续画下去，第7幅图长 　　厘米，第幅图长 　　厘米。 11．（2分）（2024秋•方城县期中）观察前三个算式，找规律完成后面的算式。 　　 　　 12．（2分）（2024•鼓楼区）用火柴棒按照如图所示摆图形。摆1个六边形需要6根火柴棒，摆2个六边形需要11根火柴棒摆5个六边形需要 　　根火柴棒；摆个六边形需要 　　根火柴棒。 13．（2分）（2023秋•历城区期末）“长桌宴”是侗寨最为隆重的待客礼俗。每当有受到全寨尊敬的客人来侗寨，各家便会拼成长条桌，拼菜成席，共同款待客人，让客人一次性感受全寨各家各户的盛情。长桌的拼摆方式及座位如图。 按这样拼下去，4张桌子拼在一起可坐 　　人，张桌子拼在一起可坐 　　人。 三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分） 14．（1分）（2023秋•正安县期末）在数列“，，，，，，”中，第10个数是．　 　（判断对错） 15．（1分）（2023秋•召陵区期末）摆一个等边三角形需要3根火柴，往后每多摆1个就增加2根火柴，按这样的规律摆个三角形，一共需要根火柴。 　　（判断对错） 16．（1分）（2023秋•修水县月考）我能知道，搭第个图形要用根火柴。 　　（判断对错） 17．（1分）（2020•闵行区）摆1个正方形需要4根小棒，往后每多摆1个正方形就增加3根小棒，按这样的规律摆10个正方形，一共需要31根小棒．　 　．（判断对错） 18．（1分）（2018秋•和平区期末）如图这样放三角形积木，如果最下层放19块积木，共需放72块积木。　　（判断对错） 四．计算能手（共2小题，满分12分，每小题6分） 19．（6分）（2024秋•宛城区期中）先计算出左边三个算式的结果，找出规律后，不计算直接写出右面三个算式的结果。 　　 　　 　　 　　 　　 　　 20．（6分）（2024•郑州）在比较“与 “的大小时，奇奇用了下面的计算方法。他发现：。根据他的方法，请你完成： （1）　　　　 （2）在下面空白处写下你的计算过程。 （3）按照这种方法，　　。 五．解决实际问题（共5小题，满分26分） 21．（4分）（2024•梁子湖区）探索与发现。 圆柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳子捆扎圆柱形物体。如图中每个圆柱的底面直径都是8厘米，捆所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）明明用下面这样的方式进行研究： 序号 图① 图② 图③ 图形 圆柱的个数 1 3 6 绳子的长度厘米 （1）若按此规律继续摆，图④中有 　　个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是 　　。 （2）根据发现的规律推理，图⑨中有多少个圆柱？表示图⑨中绳子长度是多少厘米？取 22．（8分）（2024春•通州区期中）康平小学四年级（3）班有35名同学在操场上体育课。在做广播操时，学生之间需保持1米的安全距离。 （1）在操场上列队时，10名同学排成一排需要多少米？ （2）操场上面积为25平方米的正方形区域内，能否容纳该班35名同学？（提示：可以画图） （3）为保证做广播体操时学生的手臂不相互接触，体育老师要求同学之间的距离是2米。保持第（2）题中的队形不变，此时该班同学所占正方形区域的面积是多少平方米？ （4）请你设计一个合理的列队方案（面图或者语言描述），要求35名同学所占区域面积小于23平方米。（保持1米距离） 23．（6分）（2023秋•房山区期末）“长桌宴”是独特又古老的传统民俗文化，如图是幸福村“长桌宴”摆放桌椅的方式。（桌子用表示，椅子用表示。 （1）按照这样摆放桌椅的方式，5张桌子需要配多少把椅子？ （2）旅行团共有20人参加长桌宴，按照这样摆放桌椅的方式需要多少张桌子？ （3）明明发现这样摆放桌椅的方式是有规律的，请用含有字母的式子表示出这样的规律。 24．（4分）（2022秋•如东县期末）先阅读理解，再解决问题。 有这样一组非常有趣的等式，从上往下写成若干行。请你注意观察这些数的规律。 第1行：； 第2行：； 第3行：； 第4行：； 第行： （1）观察每行的第1个数，我发现：第行的第1个数正好是 　　。 （2）照上面写下去，第5行的等式是：　　。 （3）请你列式计算出第6行等式左边的所有数的和。 25． （4分）（2023•九龙坡区）某公司进行年终分红，规定按下面的规则将钱平均分给每个人，第一个人先取1元，再取余下的；接着第二人先取2元，再取余下的；如此继续下去，第个人先取元，再取余下奖金的，最后奖金被分完，则公司有多少人参与分红？ 六．动手操作（共1小题，满分6分，每小题6分） 26．（6分）（2024春•栖霞区期末）下面是理理设计的图案，他按照一定的规律，设计了前三幅图。 （1）仔细观察，第③幅图中涂色的部分是原来大正方形的。 （2）像这样继续设计下去，想一想，第④幅图的每一小份是原来大正方形的。 七．拓展探究（共4小题，满分24分，每小题6分） 27．（6分）（2022•南城县）平衡中发现下面是粗细均匀的木杆，在木杆的最中间位置放置一个平衡装置将木杆的左右两点刻上长度均匀的线，并标上数字，如图。 （1）若在左侧数字5的位置悬挂6个质量均为50克的砝码，那么在平衡点右侧数字6位置需悬挂 　　个同样质量砝码才能保持木杆平衡。 （2）若右侧数字3处放置400克的物品，那么在左侧数字6处要放置 　　克的物品才能保持木杆平衡。 （3）我发现：要使木杆平衡，必须满足物品的质量与放置的位置所标的数字成 　　比例。 28．（6分）（2021秋•瓯海区期末）在数学学习中，我们常常用“数形结合”的方法将复杂的问题简单化，抽象问题具体化。 （1）我们在探究分数乘法的算理和算法时就运用了这一思想方法，请画图解释的算理。 （2）玲玲在解决“”这个问题时，想到了用数形结合的办法来探索，于是她以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如下面所示的长方形来研究。 序号 1 2 3 4 图形 算式 ①你根据前面的规律，把序号4的图形与算式补充完整。 ②观察上面的图形和算式，你能把下面的算式补充完整吗？ 　　　　。 　　　　。 ③若按此规律继续拼长方形，有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是 　　。 29．（6分）（2023秋•哈尔滨期末）数形结合是一种常见的数学思想，数学中的许多计算结合图形进行思考会变得简便，以正方形为例我们进行如下探究。 （1）如图1，分别观察三个图形中的小正方形排列规律，完成下列计算： ； 　　； 　　。 根据你发现的规律尝试计算：　　。 （2）把正方形按照图2的方式进行分割，可帮我们计算： ；　　； 根据你发现的规律尝试计算：　　。 （3）如图3，请你结合图形巧妙算出结果：　　。 30．（6分）（2021春•中牟县期末）“客上天然居，居然天上客”这是一副对联的上联，它正着念和倒着念一样，回环往复，非常有趣，叫做回文。我们数学中也有这样的算式，如和，和。 （1）计算下面这两组回文算式的积，你发现了什么？ ①　　； ②　　。 我发现：　　。 （2）先仔细观察每组算式的规律，再写出两组回文算式。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$