6.1.5向量的线性运算（同步课件）数学人教B版必修第二册

6.1 平面向量及其线性运算 6.1.5 向量的线性运算 第6章 平面向量初步 复习引入 向量的加法运算、数乘向量运算，它们的结果都是向量，这就是说，这两者可以进行混合运算.例如，对于任意向量，式子是有意义的. 一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法.因此，可以简写成.另外，不难看出 . 一般地，对于实数与，以及向量，有. 还可以通过，以及的符号进行讨论得到.例如，当，都是正数时，不难看出和的方向都与的方向相同，而且都等于，所以此时. 新知探索 如图所示，下面我们来考虑与之间的关系. 在图中，，，.注意到, ，，所以，因此，且，从而有，即. 一般地，对于任意实数，以及向量与，有. 例析 例1 化简：. 解 原式 . 不难看出，向量的减法也能与向量的加法、数乘向量进行混合运算.向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算. 新知探索 向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项.因此，可以简单地写成 . 另外，由于向量的加法满足交换律与结合律，减去一个向量可以看成加上这个向量的相反向量，因此， . 事实上，当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号，例如，. 例析 例2 化简下列各式： (1)；(2)； (3)；(4). 解(1) 原式. 解(2) 原式. 解(3) 原式. 解(4) 原式 . 例析 例3 如图所示，已知，，求证：. 证明 由已知得 . 例析 例4 已知为线段的中点，且为任意一点，求证：. 证明 由为线段的中点可知，因此 ， 从而有，即. 例析 例5 已知，求证：为线段的中点. 证明 由可知，因此 ， 从而有，即为线段的中点. 例4与例5的结果说明，为线段中点的充要条件是. 例析 例6 已知是三个不同的点，，，.求证：是三点共线. 证明 因为， ， 所以，因此三点共线. 练习 题型：向量的线性运算 例1.化简： (1)(2) 解：(1)原式 (2)原式 练习 方法技巧： 向量线性运算的方法 (1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数； (2)向量也可以通过列方程求解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算. 练习 变1.(1)若向量，，则. (2)若，其中为已知向量，则向量. 解：(1) (2)有题知， ∴∴. 课堂小结&作业 小结： 1.向量的加法与数乘向量的混合运算； 2.向量的线性运算. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P154的练习，练习. 谢谢学习 Thank you for learning $$