6.1.4数乘向量（同步课件）数学人教B版必修第二册

6.1 平面向量及其线性运算 6.1.4 数乘向量 第6章 平面向量初步 情境引入 我们已经知道，多个向量相加，结果是一个向量.特别地，给定一个向量，个相加的结果，是一个模为、方向与相同的向量，如图所示，通常这个向最简记为，即；个相加的结果，是一个模为、方向与相反的向量，如图所示，通常这个向量简记为，即. 新知探索 尝试与发现：你能根据上述实例，给出实数与任意一个向量的乘积的定义吗？ 一般地，给定一个实数与任意一个向量，规定它们的乘积是一个向量，记作，其中： (1)当且时，的模为，而且的方向如下： ①当时，与的方向相同； ②当时，与的方向相反. (2)当或时，. 新知探索 上述实数与向量相乘的运算简称为数乘向量.由定义不难看出，数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线(平行)，即；数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地，一个向量的相反向量可以看成与这个向量的乘积，即. 当与都是实数，且是向量时：是向量，也是向量；是实数，但是向量.可以看出 . 新知探索 例如，， . 由此可知，写成也不会产生歧义，以后我们常将简单地写成. 数乘向量的定义说明，如果存在实数，使得，则. 例析 例1 已知，，其中为非零向量，判断与是否平行，并求的值. 解 由得，代入得. 因此，且，即. 新知探索 利用数乘向量，可以方便地研究三点其线的情形.例如，当时，三点一定共线，而且点为线段的中点；当时，三点共线,而且为线段的一个三等分点，如图所示. 一般地，如果存在实数，使得，则与平行且有公共点，从而三点一定共线. 例析 例2 已知，，其中为非零向量，判断三点是否共线.如果共线，求出. 解 由已知可得：， 因此三点共线，且， 即. 练习 题型一：向量的线性运算 例1.化简： (1)(2) 解：(1)原式 (2)原式 练习 变1.(1)若向量，，则. (2)若，其中为已知向量，则向量. 答案：(1)；(2). 解：(1) (2)有题知， ∴∴. 练习 方法技巧： 向量线性运算的方法 (1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数； (2)向量也可以通过列方程求解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算. 练习 题型二：用已知向量表示其他向量 例2.如图，四边形是以，为邻边的平行四边形，已知，，对角线交于点，又，，试用向量表示，. 解：∵∴ ∴ ∵∴ ∴. 练习 变2.在中，已知是上的点，且，设，，试用和表示. 解：∵三点共线，且， ∴. ∴ . 练习 方法技巧： 用已知向量来表示另外一些向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线、相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解. 练习 题型三：共线向量定理的应用 例3.设是不共线的两个向量. (1)若，，，求证：三点共线； 解：(1)证明：∵ ∴与共线，且有公共点， ∴三点共线. 练习 例3.设是不共线的两个向量. (2)若与共线，求实数的值. 解：(2)∵与共线， ∴存在实数，使得 即 ∵与不共线，∴解得 练习 变3.(1)若向量不共线，且，，，则共线的三点是（ ）. A. B. C. D.,S 答案：C. 解：由，得， 则 即 ∵与有公共点， ∴三点共线. 练习 变3.(2)如图所示，在中，，. ①用表示，； 解：∵， ∴， ∴. 又∵， ∴， ∴ 练习 变3.(2)如图所示，在中，，. ②若，证明：三点共线. 解：∵， ∴ 因为 ∴即与共线. ∵与有公共点， ∴三点共线. 练习 方法技巧： 证明或判断三点共线的方法 (1)证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，两个向量共线的充要条件是解决共线向量的依据. (2)若三点共线，则向量在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据. 课堂小结 向量的数乘运算 (1)定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. ③由①可知，当时，. 由①②可知，. 注：是实数，是向量，它们的积仍然是向量.实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如，均没有意义.对于非零向量，当时，表示方向上的单位向量. 课堂小结 向量的数乘运算 (2)运算律：设为任意实数，则有 ① 特别地，有： (3)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量，，以及任意实数，，， 恒有 . 课堂小结 共线向量定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 也就是说，位于同一条直线上的向量可以由这条直线上的一个非零向量表示. 注：定理中不能漏掉.若，则实数可以是任意实数；若，则不存在实数，使得. 课堂小结&作业 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P151的练习，练习. 谢谢学习 Thank you for learning $$