专题09 投影与视图（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

专题09 投影与视图 【考点01：平行投影】 【考点02：中心投影】 【考点03：正投影】 【考点04：简单几何体三视图】 【考点05：由三视图判断几何体】 优网 知识点1 平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　 知识点2 中心投影 　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 知识点3 平行投影与中心投影的区别与联系 1. 联系： 　　（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. 　　（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 2.区别： （1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 知识点4 正投影 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 知识点5 三视图的概念 （1） 视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面 　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 知识点6 三视图之间的关系 （1） 位置关系 　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 （2）大小关系 　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 知识点7 画几何体的三视图 画图方法： 　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 知识点8 由三视图想象几何体的形状 　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 【考点01：平行投影】 【典例1】阳光明媚的一天，小明和小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说：“我踩到你的影子顶端了．”如图，线段表示小明，线段表示小丽，线段表示小明某一时刻在阳光下的影子，，． (1)请画出此时小丽在阳光下的影子； (2)若已知小明身高为，小明的影子长为，而此时小丽的影子长为，求小丽的身高． 【变式1-1】在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高． 【变式1-3】（1）用配方法解方程：； （2）①一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子；（用线段表示） ②图2是两根标杆及它们在灯光下的影子，请在图中画出光源的位置（用点P表示），并在图中画出人在此光源下的影子（用线段表示）． 【考点02：中心投影】 【典例2】如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为米，在距地面米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为，，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是 ． 【变式2-1】在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，则在同一路灯下（   ） A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短 C．小明的影子和小强的影子一样长 D．无法判断谁的影子长 【变式2-2】如图，小树在路灯O的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为 m． 【变式2-3】如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它的影子是． (1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置（用点P表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线； (2)在图中画出表示大树高的线段； (3)若小明的身高是，他的影长．大树的高度为，它的影长．且大树与小明之间的距离，求路灯的高度． 【考点03：正投影】 【典例3】下列投影一定不会改变的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当平行投影面时的正投影 【变式3-1】把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，是线段在投影面上的正投影，已知，则投影的长为（   ）    A． B． C． D． 【变式3-3】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（    ） A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 【考点04：简单几何体三视图】 【典例4】如图所示的几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图所示，该几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】某零件如图所示，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【考点05：由三视图判断几何体】 【典例5】如图，是某几何体的三视图，该几何体是（   ）    A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【变式5-1】如图是某几何体的三视图，该几何体是（   ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．正方体 D．圆锥 【变式5-2】如图是一个立体图形的主视图，则这个立体图形是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如右图所示，是一个由9个相同大小的立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中个数表示该位置立方块的个数，则该几何体的主视图为是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．长方体 3．下面四幅图是两物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（    ） A．①②③④ B．①④②③ C．③④①② D．③④②① 4．下列各种现象属于中心投影现象的是（    ） A．中午烈日下用来乘凉的树影 B．上午阳光下人走在路上的影子 C．晚上人走在路灯下的影子 D．早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子 5．如图是一个长方体的三视图（单位：），这个长方体的体积是（    ） A． B． C． D． 6．如图，小明夜晚从路灯下的甲处走到乙处的过程中，他在地面上的影子（   ） A．逐浙变长 B．逐渐变短 C．先变长后变短 D．先变短后变长 二、填空题 7．在阳光下，高为的一尊雕像在地面上的影长为，则此刻该处另一尊高为的雕像在地面上的影长为 . 8．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度为 米． 9．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面看和从上面看得到的图形如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．    10．中午12点，身高的小冰的影长为，同学小明此时在同一地点的影长为，那么小明的身高为 ． 11．如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为 ． 三、解答题 12．如图所示的是某个几何体的三视图． (1)说出这个几何体的名称． (2)根据图中有关数据，求这个几何体的表面积． 13．如图，用10个棱长都为的小立方块堆成一个几何体． (1)画出该几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图； (2)求这个几何体的表面积； (3)如果现在还有一些棱长都为的小立方块，要求从上面看和从左面看到的形状图都保持不变，最多可以再添加______个小立方块． 14．如图，白鹭洲国家湿地公园广场有一灯柱，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为的标杆和．测得的影长等于，且点N，B，C在同一条直线上． (1)请画出标杆的影子； (2)若，求灯柱的高度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 投影与视图 【考点01：平行投影】 【考点02：中心投影】 【考点03：正投影】 【考点04：简单几何体三视图】 【考点05：由三视图判断几何体】 优网 知识点1 平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　 知识点2 中心投影 　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 知识点3 平行投影与中心投影的区别与联系 1. 联系： 　　（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. 　　（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 2.区别： （1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 知识点4 正投影 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 知识点5 三视图的概念 （1） 视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面 　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 知识点6 三视图之间的关系 （1） 位置关系 　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 （2）大小关系 　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 知识点7 画几何体的三视图 画图方法： 　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 知识点8 由三视图想象几何体的形状 　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 【考点01：平行投影】 【典例1】阳光明媚的一天，小明和小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说：“我踩到你的影子顶端了．”如图，线段表示小明，线段表示小丽，线段表示小明某一时刻在阳光下的影子，，． (1)请画出此时小丽在阳光下的影子； (2)若已知小明身高为，小明的影子长为，而此时小丽的影子长为，求小丽的身高． 【答案】(1)见解析； (2)小丽的身高为． 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的应用； （1）利用阳光是平行投影进而得出小丽在阳光下的影子进而得出答案； （2）利用相同时刻身高与影子成正比进而得出即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为此时小丽在阳光下的影子． （2）解：∵，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得． 答：小丽的身高为． 【变式1-1】在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影特点，熟练掌握平行投影的特点是解题的关键；平行投影特点是在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例． 根据平行投影特点结合选项判断即可． 【详解】解：A、影子的方向不相同，故本选项错误； B、影子的方向不相同，故本选项错误； C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误； D、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确； 故选：D． 【变式1-2】如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高． 【答案】 【分析】本题考查了平行投影的应用，熟练掌握同一时刻，所有物体的影子与其高度成正比是解题关键．延长，相交于点，先根据平行投影的性质可得的长，从而可得树影的长，再根据平行投影的性质求解即可得． 【详解】解：如图，延长，相交于点， ∵在同一时刻测得高为的竹竿影长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴树影长， 又∵在同一时刻测得高为的竹竿影长为， ∴，即， ∴， 答：树高为． 【变式1-3】（1）用配方法解方程：； （2）①一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子；（用线段表示） ②图2是两根标杆及它们在灯光下的影子，请在图中画出光源的位置（用点P表示），并在图中画出人在此光源下的影子（用线段表示）． 【答案】（1）（2）①图见解析②图见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，平行投影和中心投影： （1）利用一除，二移，三配，四变形的方法，进行配方，再进行求解即可； （2）①根据平行投影，过木杆的顶点，画太阳光的平行线，即可得到线段； ②先确定光源的位置，再画出人在此光源下的影子即可． 【详解】解：（1） ， ， ， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，即为所求； ②如图，点，线段即为所求． 【考点02：中心投影】 【典例2】如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为米，在距地面米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为，，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了中心投影，将中心投影问题转化为相似三角形问题是解题的关键．过点作轴于点，根据题意得：，，，由可得：，推出，求出，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点， 根据题意得：，，， 点的坐标为， ， ， ， ，即， 解得：， ， 点的坐标是， 故答案为：． 【变式2-1】在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，则在同一路灯下（   ） A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短 C．小明的影子和小强的影子一样长 D．无法判断谁的影子长 【答案】D 【分析】本题考查中心投影和平行投影，理解中心投影和平行投影特点和规律是解答的关键． 平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂 直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．根据在同一路灯下，由于位置不确定，则无法判断谁的影子长短，进而可得结论． 【详解】解：∵在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长， ∴小明的身高比小强高， ∵在同一路灯下，两人与路灯的距离不确定， ∴无法判断谁的影子长． 故选：D． 【变式2-2】如图，小树在路灯O的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为 m． 【答案】5 【分析】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：5． 【变式2-3】如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它的影子是． (1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置（用点P表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线； (2)在图中画出表示大树高的线段； (3)若小明的身高是，他的影长．大树的高度为，它的影长．且大树与小明之间的距离，求路灯的高度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)路灯的高度为． 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握中心投影的性质是解题的关键． （1）延长和交于点点P，即为路灯的位置，再确定是什么光线； （2）根据中心投影的性质作图； （2）根据直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：影子是路灯照射形成的，点P的位置如图所示； ； （2）解：即为树高如图所示； （3）解：过P点作，垂足为G，则的长即为路灯的高度 由题意知：，， 所以，，即为等腰直角三角形， 所以 即路灯的高度为． 【考点03：正投影】 【典例3】下列投影一定不会改变的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当平行投影面时的正投影 【答案】D 【分析】本题考查了投影，关键是掌握中心投影、平行投影、正投影的区别，根据中心投影、平行投影、正投影的定义即可得出答案． 【详解】解：一定不会改变的形状和大小的是：当平行投影面时的正投影， 故选：D． 【变式3-1】把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，当投射线由正前方射到后方时，它们在该投影面上的投影积聚成一直线，结合正六棱柱的特点即可得到答案． 【详解】解：根据投影的性质可得，该物体为正六棱柱，则正投影与主视图一致． 故选：B． 【变式3-2】如图，是线段在投影面上的正投影，已知，则投影的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过点作，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：过点作，    ∵是线段在投影面上的正投影， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【变式3-3】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（    ） A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 【答案】D 【分析】本题考查了投影，根据投影的含义进行判断即可； 【详解】解：当正方形纸板所在平面与光线平行时，得到的正投影是一条线段；正方形纸板所在平面与光线垂直时，得到一个与原正方形全等的正方形；正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时，得到一个平行四边形；正投影不可能得到等腰梯形； 故选：D． 【考点04：简单几何体三视图】 【典例4】如图所示的几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据左视图就是从左面看得到的图形解答即可，也是解题关键． 【详解】解：从左面看如图所示的几何体得到的图形如图， 故选A． 【变式4-1】如图所示，该几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图，掌握三视图的特点是解题的关键．根据三视图的特点，能看到的用实线表示，存在但看不到的用虚线表示，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，该几何体的左视图是 故选：C ． 【变式4-2】某零件如图所示，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的三视图，根据俯视图是从几何体的上面所看到的图形求解即可． 【详解】解：圆柱的俯视图是圆形，球的俯视图是圆形，球放在圆柱上的俯视图是圆环． 故选：C． 【变式4-3】如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三视图，俯视图，从上面看到的平面图形，注意能看到的棱都要画成实线，不能看到的线画成虚线． 【详解】解：从上面看这个几何体看到的是三个长方形， 所以俯视图是： 故选C 【考点05：由三视图判断几何体】 【典例5】如图，是某几何体的三视图，该几何体是（   ）    A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据有两个视图是长方形，一个视图是圆，可知该几何体是圆柱． 【详解】解：主视图和左视图是长方形，俯视图是圆，则该几何体是一个圆柱， 故选：C． 【变式5-1】如图是某几何体的三视图，该几何体是（   ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．正方体 D．圆锥 【答案】A 【分析】本题考查了三视图的相关知识，其中主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面观察物体所得到的图形，三视图的掌握程度和空间想象能力是解题关键．结合选项，根据主视图和俯视图确定是柱体，锥体还是球体，再根据左视图确定具体形状． 【详解】解：由主视图和左视图为长方形可知，这个几何体是柱体， 由俯视图为三角形可知，这个柱体是三棱柱， 故选：A． 【变式5-2】如图是一个立体图形的主视图，则这个立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键．根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：由题意得，选项B的主视图是： ， 故选：B． 【变式5-3】如右图所示，是一个由9个相同大小的立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中个数表示该位置立方块的个数，则该几何体的主视图为是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】】此题考查了三视图判断几何体，根据俯视图可得从正面看可看到每列正方体的最多个数分别为1，3，3，再表示为平面图形即可． 【详解】解：根据俯视图中的每个数字是该位置小立方块的个数，得出主视图有3列，从左到右的列数分别是1，3，3． 故选：D． 一、单选题 1．下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，分别写出各几何体的主视图和左视图，然后进行判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、主视图和左视图都为矩形的，故选项符合题意； B、主视图和左视图都为等腰三角形，故选项不符合题意； C、主视图和左视图为圆，故选项不符合题意； D、主视图是矩形，左视图为三角形，故选项不符合题意； 故选：A． 2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．长方体 【答案】A 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图都是长方形确定为柱体，再结合俯视图为圆即可得出答案． 【详解】解：由主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆柱， 故选：A． 3．下面四幅图是两物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（    ） A．①②③④ B．①④②③ C．③④①② D．③④②① 【答案】C 【分析】此题考查了平行投影的特点和规律，根据平行投影的特点和规律进行解打即可． 【详解】根据平行投影的特点和规律可知，③④是上午，①②是下午， 根据影子的长度可知先后为． 故选：C． 4．下列各种现象属于中心投影现象的是（    ） A．中午烈日下用来乘凉的树影 B．上午阳光下人走在路上的影子 C．晚上人走在路灯下的影子 D．早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的性质，根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可，解题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有C选项得到的投影为中心投影， 故选：C． 5．如图是一个长方体的三视图（单位：），这个长方体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了由三视图判断几何体，本题要先判断出几何体的形状，然后根据其体积公式进行计算即可．根据三视图我们可以得出这个几何体应该是个长方体，然后根据其体积公式进行计算即可． 【详解】解：该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个长方体， 依题意可求出该几何体的体积为． 答：这个长方体的体积是． 故选择：C． 6．如图，小明夜晚从路灯下的甲处走到乙处的过程中，他在地面上的影子（   ） A．逐浙变长 B．逐渐变短 C．先变长后变短 D．先变短后变长 【答案】D 【分析】此题考查了中心投影的性质，熟知平行投影与中心投影的区别是解题的关键． 根据中心投影的定义及特点即可判断． 【详解】小明从甲处向一盏路灯下靠近时，光与地面的夹角越来越大，人在地面上留下的影子越来越短，当小明到达路灯的下方时，他在地面上的影子变成一个圆点； 当他再次远离路灯走向乙处时，光线与地面的夹角越来越小，小明在地面上留下的影子越来越长， 他在走过一盏路灯的过程中，其影子的长度变化是先变短后变长． 故选：D． 二、填空题 7．在阳光下，高为的一尊雕像在地面上的影长为，则此刻该处另一尊高为的雕像在地面上的影长为 . 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用、平行投影，解答本题的关键是明确同一时刻，旗杆的高与影长的比等于建筑物的高与影长的比．根据题意可知，同一时刻，旗杆的高与影长的比等于建筑物的高与影长的比，然后即可解答本题． 【详解】解：设另一尊雕像在地面上的影长为 ， 由题意可得：， 解得， 即雕像在地面上的影长为， 故答案为：. 8．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．矩形的对边平行且相等．落在墙上的影子长与物体本身的长度相等． 【详解】解：过点作于，如图所示： ，， ， 四边形为矩形， 则，． 设，则， 解得， 故旗杆的高度（米）． 故答案为：10． 9．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面看和从上面看得到的图形如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．    【答案】9 【分析】本题考查了从不同的方向看几何体，解题的关键是根据从正面和上面看到的图形得出第一列最多2层，第二列最多1层，第三列最多有2层，即可求解． 【详解】解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2层，第二列最多1层，第三列最多有2层，如图所示，    ∴搭成这个几何体的小立方块最多有， 故答案为：9． 10．中午12点，身高的小冰的影长为，同学小明此时在同一地点的影长为，那么小明的身高为 ． 【答案】180 【分析】本题考查了平行投影． 设小明的身高为，根据“在同一时刻物高与影长的比相等”，即可求解． 【详解】解：设小明的身高为，根据题意得： ， 解得：， 即小明的身高为． 故答案为：180 11．如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为 ． 【答案】/10米 【分析】根据同一时刻，物长和影长成比例求解即可． 【详解】解：因为米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，，根据同一时刻，物长和影长成比例得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行投影，准确掌握同一时刻，物长和影长成比例是解题的关键． 三、解答题 12．如图所示的是某个几何体的三视图． (1)说出这个几何体的名称． (2)根据图中有关数据，求这个几何体的表面积． 【答案】(1)三棱柱 (2)192 【分析】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识， （1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个直三棱柱； （2）根据直三棱柱的表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：根据三视图，可得这个几何体是三棱柱； （2）表面积为：． 13．如图，用10个棱长都为的小立方块堆成一个几何体． (1)画出该几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图； (2)求这个几何体的表面积； (3)如果现在还有一些棱长都为的小立方块，要求从上面看和从左面看到的形状图都保持不变，最多可以再添加______个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)168平方厘米 (3)5 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体、几何体的表面积等知识，正确的作图是解题的关键． （1）根据从正面看到的是主视图，从左面看到的是左视图，从上面看到的是俯视图作图即可； （2）分别求出从正面、左面、上面三个方向看到的形状图的表面积，然后求出其2倍即可解答； （3）作从上面看到的俯视图，然后根据题意确定最多添加的小正方体的数量即可． 【详解】（1）解：这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示． （2）解：由（1）得，从正面看到的形状图的面积为， 从左面看到的形状图的面积为， 从上面看到的形状图的面积为， 所以该几何体的表面积为． （3）解：如图：在从上面看到的形状图的相应位置增加相应数量的小立方块，使其从上面看和从左面看到的形状图都不变，所以最多可以再添加5个小立方块． 14．如图，白鹭洲国家湿地公园广场有一灯柱，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为的标杆和．测得的影长等于，且点N，B，C在同一条直线上． (1)请画出标杆的影子； (2)若，求灯柱的高度． 【答案】(1)见解析 (2)灯柱的高度为 【分析】（1）本题考查投影，根据光沿直线传播，连接并延长，交的延长线于点，即可画出标杆的影子． （2）本题考查相似三角形的性质和判定，设灯柱的高度为x m，根据题意证明，得到，再证明，得到，利用等量代换建立等式，即可解题． 【详解】（1）解：如图所示的影子为； （2）解：由题意可知，，， 即， 设灯柱的高度为x m，根据题意，得由，得， 即， 代入数据，化简得， 由，得，， 即， 代入数据，化简得， ， （m）， 答：灯柱的高度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$