八年级数学上学期期末模拟卷（二）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

2024-2025学年八年级数学上学期期末模拟卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：八年级上册（人教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若分式值为0，则a的取值是（    ）． A． B． C． D． 2．若分式的值等于0，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 3．若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为（    ）． A．1cm B．2cm C．5cm D．8cm 4．在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ） A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 5．2022年10月12日某中学八年级（4）班的同学在听了“天宫课堂”第三课，即我国航天员在中国空间站进行的太空授课后，组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，那么的依据是（    ） A． B． C． D． 6．若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，则为（    ） A． B． C． D． 8．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛．已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500元购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为元，根据题意列出正确的方程是（   ） A． B． C． D． 9．如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，的面积（    ） A．4 B．5 C．6 D．4.5 10．将一个圆形纸片连续对折三次之后，沿虚线裁剪展开后得到的多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 11．如图，边长为a，b的长方形的周长为13，面积为10，则a3b+ab3的值为(   ) A．37.5 B．65 C．130 D．222.5 12．如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 第Ⅱ卷 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．如图，在和中，A、F、C、D在同一直线上，当添加一个条件 时，就可得到（只需填写一个你认为正确的条件即可）．     14．若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数是 ． 15．若能用完全平方公式因式分解，则的值为 ． 16．若关于的分式方程有增根，那么的值是 ． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）（1）已知a+b＝5，ab＝10，求的值． （2）解分式方程：． 18．（10分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 19．（10分）（1）尺规作图：已知△ABC，以 AB、AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE，连 接 BE、CD，请你完成图形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）作图的基础上，求证：BE＝CD 20．（10分）某商店直接从工厂购进，两款热水袋，已知老板购进个款热水袋与个款热水袋的费用相同，购进个款热水袋比个款热水袋的费用多元． (1)求每个款热水袋与每个款热水袋的进价； (2)商店老板为了吸引顾客，决定对款热水袋进行打折销售，经计算，款热水袋降价后获得的销售额为元，比按照原价打九折销售要多卖个才能获得相同的销售额，则款热水袋降价前的售价为每个多少元？ 21．（10分）如图，将一个边长为的正方形图形分割成两个正方形和两个长方形． (1)请观察图形，写出一个用不同方法表示图形总面积的等式． (2)如果图中的a，b满足，，试求的值； (3)若，求的值． 22．（12分）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 23．（12分）如图，在中，，，以为边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)作的垂直平分线分别交，于点，． ①如图1，，求证：； ②如图2，，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期期末模拟卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：八年级上册（人教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若分式值为0，则a的取值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令分式中且，解出即可． 【详解】由题意得：且， 解得：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 2．若分式的值等于0，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】根据分子为零，分母不为零计算判断即可． 【详解】解：∵分式的值等于0， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，根据条件列出符合题意的等式和不等式计算是解题的关键． 3．若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为（    ）． A．1cm B．2cm C．5cm D．8cm 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再看哪个选项内的数在这个范围内即可． 【详解】解：设第三边长xcm． 根据三角形的三边关系，得2＜x＜8． ∵5cm在第三边长的取值范围内，所以此三角形的第三边长可能为5cm． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．在平面直角坐标系中，与点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ） A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 【答案】A 【分析】根据对称点的坐标规律即可得出. 【详解】解：点（1，2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，2）． 故选A． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-轴对称，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 5．2022年10月12日某中学八年级（4）班的同学在听了“天宫课堂”第三课，即我国航天员在中国空间站进行的太空授课后，组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，那么的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由E，F分别是，的中点，，得出；根据三边对应相等，证明． 【详解】∵E，F分别是，的中点， ∴ 在与中 ∴ 故选：D 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 6．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出与的值，即可求出的值． 【详解】解：已知等式整理得：， 可得，， 解得：，， 则， 故选：B． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】解：∵6x＝2，6y＝3， ∴6x＋2y＝a x•a2y ＝6x•(6y)2 ＝2×32 ＝2×9 ＝18． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方法则的逆用，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 8．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛．已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500元购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为元，根据题意列出正确的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题，抽象出分式方程．设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为元，根据用2700元购买A型陶笛与用4500元购买B型陶笛的数量相同，列方程即可． 【详解】解：设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为元， 根据题意可得． 故选：D． 9．如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，的面积（    ） A．4 B．5 C．6 D．4.5 【答案】A 【分析】此题主要是考查了全等三角形的判定和性质，延长交于点，然后证得，得出，根据中点定义可得的面积为面积的2倍． 【详解】延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ． ∴， ， ，， ． 故选：A． 10．将一个圆形纸片连续对折三次之后，沿虚线裁剪展开后得到的多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据将一个圆形纸片连续对折三次之后形成的多边形是八边形，然后再根据多边形内角和公式进行计算即可． 【详解】解：将一个圆形纸片连续对折三次之后形成的多边形是八边形，其内角和为：（8−2）×180°＝1080°，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查剪纸问题，多边形内角和公式，熟记多边形内角和公式，是解题的关键． 11．如图，边长为a，b的长方形的周长为13，面积为10，则a3b+ab3的值为(   ) A．37.5 B．65 C．130 D．222.5 【答案】D 【分析】先根据长方形的周长为13，面积为10，可求出a+b和ab的值，然后把a3b+ab3提取公因式ab，再把剩余的因式根据完全平方公式配方，把a+b和ab的值代入计算即可. 【详解】∵a+b=，ab=10， ∴a3b+ab3=ab[（a+b）2﹣2ab]=10×（﹣20）=222.5. 故选D． 【点睛】本题考查了长方形的面积和周长公式，因式分解，配方法的应用及整体代入法求代数式的值，熟练掌握因式分解及配方法是解答本题的关键. 12．如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先作出点C关于AD的对称点，判断出CC'=BC，进而判断出∠C'=30°，再构造出直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解∶如图，延长CD至C'，使C'D=CD， ∵∠ADC=90°，C'D=CD， ∴点C'与点C关于AD对称， 连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小， ∵∠A=∠ADC=90° ∴CD//AB， ∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC= 120°， ∵C' D=CD，∠ADC=90° ∴CC' =2CD， ∵BC=2CD， ∴CC' =BC， ∴∠C'=∠CBC'， ∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°， 过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E， 则BE=AD=2， 在Rt△BEC'中，∠C'=30°， BE=2， ∴BC' =2BE=4， 即PB+ PC的值最小值为4， 故选∶A． 【点睛】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出CC'= BC是解本题的关键． 第Ⅱ卷 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．如图，在和中，A、F、C、D在同一直线上，当添加一个条件 时，就可得到（只需填写一个你认为正确的条件即可）．     【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，如果添加，则通过就可证明；如果添加，则通过就可证明；即可作答． 【详解】解：添加， ∵ ∴ ∵ ∴； 故答案为： 添加 ∵ ∴ ∴； 故答案为： 14．若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】15 【分析】首先根据题意，求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴它的一个外角是：， ∵多边形的外角和为， ∴这个正多边形的边数是：． 故答案为：15． 【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角，解题的关键是求出正多边形的外角度数． 15．若能用完全平方公式因式分解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】利此题考查了完全平方式，用完全平方公式的结构特征可得，即可确定出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得：或， 故选：或． 16．若关于的分式方程有增根，那么的值是 ． 【答案】2或 【分析】分式方程去分母得整式方程，然后根据分式方程有增根，求出x的值代入整式方程即可得答案. 【详解】解： ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 综上，m的值为2或， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决本题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）（1）已知a+b＝5，ab＝10，求的值． （2）解分式方程：． 【答案】（1）125；（2）x＝ 【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解，把a+b与ab的值代入计算即可求出值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：（1）原式＝ab（a2+2ab+b2） ＝ab（a+b）2， 当a+b＝5，ab＝10时，原式＝×10×52＝125； （2） 去分母得：4﹣（x+2）（x+1）＝1﹣x2， 整理得：4﹣x2﹣3x﹣2＝1﹣x2， 解得：x＝， 经检验x＝是分式方程的解． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值及分式方程的解法，熟练掌握整式的运算及分式方程的解法是解题的关键． 18．（10分）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）先根据完全平方公式，多项式除以单项式的法则计算，再合并同类项即可； （2）首先把括号中的整式看成分母是1的分式，通分后再按照同分母分式相加减的方法计算，最后按照除法法则计算． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ∵ ∴ ∴原式． 【点睛】本题考查分式的计算及化简求值，完全平方公式，多项式除以单项式，合并同类项等知识，计算时注意利用因式分解对分子分母约分是简化计算的关键步骤． 19．（10分）（1）尺规作图：已知△ABC，以 AB、AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE，连 接 BE、CD，请你完成图形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）作图的基础上，求证：BE＝CD 【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）先分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BC；再分别以点A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于点E，连接AE、CE即可． （2）根据等边三角形性质得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC．根据SAS证△ABE≌△ADC即可． 【详解】解：（1）完成图形，如图所示： (2)证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°， ∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD， 即∠BAE=∠DAC， 在△ABE和△ADC中， ∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，AE＝AC， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴BE=DC，即BE=CD． 【点睛】此题考查了尺规作图，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 20．（10分）某商店直接从工厂购进，两款热水袋，已知老板购进个款热水袋与个款热水袋的费用相同，购进个款热水袋比个款热水袋的费用多元． (1)求每个款热水袋与每个款热水袋的进价； (2)商店老板为了吸引顾客，决定对款热水袋进行打折销售，经计算，款热水袋降价后获得的销售额为元，比按照原价打九折销售要多卖个才能获得相同的销售额，则款热水袋降价前的售价为每个多少元？ 【答案】(1)A款热水袋购进的个数为元/个款热水袋进价为元/个； (2)款热水袋降价以前的售价元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，分式方程的应用，准确理解题意，列出相应的等量关系是解题的关键． （1）设款热水袋进价为元/个，款热水袋进价为元/个，根据购进个款热水袋与个款热水袋的费用相同，购进个款热水袋比个款热水袋的费用多元，可列二元一次方程组，即可解答； （2）设款热水袋降价以前的售价为元，则可得降价后的售价为元，利用按照按照原价打九折销售的个数加上等于降价后销售的个数，可列分式方程，即可解答． 【详解】（1）解：设款热水袋进价为元/个，款热水袋进价为元/个， 根据题意可得， 解得， 答：款热水袋购进的个数为元/个款热水袋进价为元/个； （2）解：设款热水袋降价以前的售价为元，则可得降价后的售价为元，打九折销售的售价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，为原方程的解， 答：款热水袋降价以前的售价元． 21．（10分）如图，将一个边长为的正方形图形分割成两个正方形和两个长方形． (1)请观察图形，写出一个用不同方法表示图形总面积的等式． (2)如果图中的a，b满足，，试求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)或（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的证明及应用、平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）图形总面积等于大正方形的面积，也等于两个小正方形和两个小长方形面积之和； （2）根据即可求解； （3）设，求出和，进而求出即可． 【详解】（1）解：由图可得： 或； （2）解：由（1）得，， ， ， ， ， ； （3）解：设， 则， ， ， ， ， 即的值为． 22．（12分）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 23．（12分）如图，在中，，，以为边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)作的垂直平分线分别交，于点，． ①如图1，，求证：； ②如图2，，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②4． 【分析】（1）由，即可证明，，由三角形外角性质可知，由此即可得出结论； （2）①先证明，再延长到，使，得是等边三角形，再证明，得即可解题； ②在上取一点，使，得到，由此可得，再由（1），从而可得证明是等腰直角三角形，由此即可求出． 【详解】（1）证明：如解图1，作的延长线， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，即， （2）①∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如解图2，延长到，使， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②如解图3，在上取一点，使， ∵，， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故 【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，等腰三角形、等边三角形的性质和判定，解题关键是利用手拉手模型或对称模型构造全等三角形转化线段关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$