专题04 一元一次方程（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版2024）

专题04 一元一次方程 【考点01 一元一次方程的定义】 【考点02 等式的性质】 【考点03 一元一次方程的解】 【考点04 解一元一次方程】 【考点05 同解方程】 【考点06 一元一次方程之利润问题】 【考点07 一元一次方程之工程问题 【考点08 一元一次方程之行程问题】 【考点09 一元一次方程之方案设计问题】 【考点10 一元一次方程之数轴动点问题】 知识点1 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 2. 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么； 知识点3：含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 知识点4： 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 知识点5： 一元一次方程的实际应用 审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系 设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程 解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符合题意，是否符合实际意义。 【考点01 一元一次方程的定义】 【典例1】下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若是一元一次方程，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 【变式1-2】已知是关于x的一元一次方程，则a是（   ） A． B． C．3 D． 【变式1-3】下列方程：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次方程的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点02 等式的性质】 【典例2】下列等式的性质的运用中，错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-1】已知，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列由得到的变形中，正确的是（   ） A．方程两边同时乘 B．方程两边同时乘 C．方程两边同时除以 D．方程两边同时除以 【变式2-3】下列运用等式的性质的变形中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式2-4】下列变形中，错误的是（   ） A．变形为 B．变形为 C．变形为 D．变形为 【考点03 一元一次方程的解】 【典例3】是以下哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】若关于的一元一次方程的解为,则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式3-2】已知是关于的方程的解，则式子的值为 ． 【变式3-3】若关于x的方程的解是，则代数式的值为 ． 【考点04 解一元一次方程】 【典例4】解方程 (1)(2) 【变式4-1】解方程 (1) (2) 【变式4-2】解下列方程： (1)； (2)． 【变式4-3】解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【考点05 同解方程】 【典例5】已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求k的值； (2)若，求的值． 【变式5-1】若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】若方程与方程的解相同，则 ． 【变式5-3】已知方程的解是关于x的一元一次方程的解相同，求k的值 【变式5-4】已知方程和方程的解相同． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【考点06 一元一次方程之利润问题】 【典例6】微商琪琪计划购进，两款果汁机共台在朋友圈进行销售，这两款果汁机的进价、售价如下表： 进价/(元/台) 售价/(元/台) 款 款 (1)如何进货才能使进货款恰好为4000元？ (2)如何进货才能使销售完这批果汁机时获得的利润恰好为1550元？ 【变式6-1】某种商品的进货价为每件a元，零售价为每件120元，若商品按八五折出售，仍可获利，则a的值为 ． 【变式6-2】为参加演出，七年级一班和七年级二班准备购买演出服．下面是某商家给出的演出服价格表： 购买演出服数量/套 61及61以上 每套演出服价格/元 70 60 50 已知两班共有学生67人（其中一班人数多于二班人数，且两班学生人数都不超过60人），如果两班单独购买演出服，每人只买一套，那么一共应付4320元． (1)若两班联合购买演出服，共可以节省多少钱？ (2)七年级一班和七年级二班各有多少学生购买演出服？ (3)若七年级二班单独购买时，商家每件演出服获利．现七年级三班想单独购买，且购买的演出服比二班多8套，那么商家卖给三班演出服可获利多少元？ 【变式6-3】为了丰富学生的课余生活，拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/本） 售价（元/本） 20 13 (1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ (2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ 【变式6-4】随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． (1)求10月初购进A、B两种商品各多少件？ (2)该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 【考点07 一元一次方程之工程问题 【典例7】装修一间房屋，如果由一名装修工人单独完成需要40小时．现在，业主先安排了一部分工人工作2小时，随后又增加了4名工人与他们一起工作了3小时，最终恰好完成了装修工作．假设每名工人的工作效率都是相同的，那么最初被安排进行装修的工人有多少名？ 【变式7-1】甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作．设工作总量为1，工作进度如下表，则完成这项工作共需 天． 天数 第3天 第5天 工作进度 【变式7-2】有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有墙面未来得及刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷的墙面．求每个房间需要粉刷的墙面面积； 【变式7-3】一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 【考点08 一元一次方程之行程问题】 【典例8】，两地相距48千米，甲骑自行车从地前往地，速度为每小时16千米，1小时后，乙电动车也沿相同的路线从地前往地，速度为每小时40千米， (1)乙出发多长时们后能追上甲？ (2)若乙到达地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距地多少千米？ 【变式8-1】在一段双轨铁道上，两辆火车迎头驶过，A列车车速为40米/秒，B列车车速为50米/秒．若A列车全长200米，B列车全长160米，两列车错开需要的时间为 秒 【变式8-2】一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了小时；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了小时．已知水流的速度是每小时千米．求船在静水中的平均速度． 【变式8-3】列方程解应用题：甲乙两车分别从相距的、两地相向而行． (1)两车保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的倍，若甲车比乙车提前出发，则甲车出发后两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少． (2)若甲、乙两车保持（1）中的速度，同时出发，相向而行，求经过多长时间两车相距． 【考点09 一元一次方程之方案设计问题】 【典例9】某牛奶加工厂现有鲜奶，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；若制成酸奶销售，每吨可获取利润1 200元；若制成奶片销售，每吨可获取利润2 000元．该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利较多？多获利多少？ 【变式9-1】七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人的团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票． (1)已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样． 【变式9-2】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为万元；经粗加工后销售，每吨利润可达万元；经精加工后销售，每吨利润涨至万元．当地一家蔬菜公司收购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案利润最大，为什么？ 【变式9-3】中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 【考点10 一元一次方程之数轴动点问题】 【典例10】如图，数轴上点A、B、C表示的数分别为、、． (1)___________； (2)若点D从A点出发以每秒个单位长度的速度向左运动．点E从B点出发以每秒个单位长度的速度向右运动；点从C点出发以每秒个单位长度的速度向右运动．设点D、E、同时出发，运动时间为秒，求的值； (3)若点M以每秒4个单位的速度从A点出发，点N以每秒个单位的速度从C点出发，设点M、N同时出发，运动时间为秒，试探究：经过多少秒后，点M、N两点间的距离为个单位． 【变式10-1】阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则． 根据以上知识解决下列问题： 如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示） (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发． ①若点，两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系． 【变式10-2】据国际田联田径场地设施标准手册标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，有条跑道，每条跑道宽，直道长；跑道第一圈最内圈的弯道半径为到之间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为的标准跑道，小王同学计算了各圈的长：第一圈长：；第二圈长：；第三圈长： (1)第三圈的弯道比第一圈的弯道长多少米？小王计算的第八圈的长是多少米？取，结果保留整数 (2)小王紧靠第一圈内边线逆时针跑步，邓教练紧靠第三圈内边线顺时针骑自行车均以所靠边线长计路程，在如图的起跑线同时出发，经过两人在直道第一次相遇若邓教练平均速度是小王平均速度的倍，求他们的平均速度各是多少？注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇 【变式10-3】如图，数轴上点A表示，点表示4，点表示12．将数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，若点，表示的数分别是，，我们把，之差的绝对值叫做点，之间友好距离，即．例如：点A和点在“折线数轴”上的友好距离为16个长度单位．动点从点A出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向向终点运动，点从点A出发的同时，点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向向终点A运动，设运动的时间为秒． (1)当秒时，，两点在“折线数轴”上的友好距离为______个长度单位． (2)当，两点在“折线数轴”上相遇时，求运动时间的值． (3)当，两点在“折线数轴”上的友好距离为3个长度单位时，______． (4)是否存在某一时刻使得A，两点在“折线数轴”上的友好距离与，两点在“折线数轴”上的友好距离相等？若存在，请直接写出的取值；若不存在，请说明理由． 1．下列式子中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．方程的解是（   ） A． B．6 C．1 D． 3．下列变形错误的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．当时，由，得 4．在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（ ） A． B． C． D． 5．某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和10枚银币，但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币，这件衣服值多少枚银币？设这件衣服值枚银币，依据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 6．有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 7．一件衣服以元的价格卖出，可获利，则这件衣服的成本价是 ． 8．开学在即，某校初二年级要进行分班．如果平均每班44人，还余10人；如果平均每班45人，还差2人．设这个学校初二年级有x个班，依据题意可列方程为 ． 9．已知关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为 ． 10．足球比赛中胜1场得3分，平1场得1分，输1场得0分，某队共赛11场，得18分，其中输了1场，这支球队共胜了 场． 11．解方程： (1)； (2)． 12．某种仪器由5个A部件和3个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件个或者加工B部件个．现有工人人，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？ 13．已知，且，在数轴上对应的点分别是， (1)____________，____________ (2)数轴上有一点，且到，两点的距离之和为11，求点在数轴上对应的数 (3)若点、点同时沿数轴正方向运动，点到原点的距离记为线段，点到原点的距离记为线段，点的速度是点速度的2倍，3秒后满足，求点的速度 14．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距22个单位长度．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要多少秒？ (2)、两点相遇时，求相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 15．某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，下图是1班班长与售票员咨询的对话： (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班的学生人数为，3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问3班有多少人？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次方程 【考点01 一元一次方程的定义】 【考点02 等式的性质】 【考点03 一元一次方程的解】 【考点04 解一元一次方程】 【考点05 同解方程】 【考点06 一元一次方程之利润问题】 【考点07 一元一次方程之工程问题 【考点08 一元一次方程之行程问题】 【考点09 一元一次方程之方案设计问题】 【考点10 一元一次方程之数轴动点问题】 知识点1 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 2. 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么； 知识点3：含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 知识点4： 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 知识点5： 一元一次方程的实际应用 审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系 设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程 解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符合题意，是否符合实际意义。 【考点01 一元一次方程的定义】 【典例1】下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义“含有一个未知数，且未知数的最高次是1的整式方程”作答． 【详解】解：A、满足一元一次方程的定义，该选项符合题意； B、有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不符合题意； C、，未知数的最高次是2，不是一元一次方程，该选项不符合题意； D、没有未知数，不是一元一次方程，该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】若是一元一次方程，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是根据一元一次方程的未知数x的次数是1这个条件，此类题目应严格按照定义解答．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．一元一次方程的一般形式是是常数目．据此解答即可． 【详解】解：是一元一次方程， ∴且， 解得． 故选：D． 【变式1-2】已知是关于x的一元一次方程，则a是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程．根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：：依题意可知：且 解得：且， 所以， 故选：D． 【变式1-3】下列方程：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次方程的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，逐个判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程； ②含有两个未知数，不是一元一次方程； ③等号左边不是整式，不是一元一次方程； ④是一元一次方程； ⑤未知数的最高次数是2，不是一元一次方程； ∴只有①④两个方程是一元一次方程． 故选：A． 【考点02 等式的性质】 【典例2】下列等式的性质的运用中，错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质： （1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 根据等式的性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解∶A、c等于零时，除以c无意义，原变形错误，故这个选项符合题意； B、两边都乘以，结果仍得等式，原变形正确，故这个选项不符合题意； C、两边都加上2，结果仍得等式，原变形正确，故这个选项不符合题意； D、两边都除以，结果仍得等式，原变形正确，故这个选项不符合题意； 故选∶A． 【变式2-1】已知，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．根据等式的性质逐个判断即可； 【详解】由得： 得到：，同时 故选项A正确，符合题意；选项D不正确，不符合题意； ，得： 得到： 故选项B不正确，不符合题意； 由得： 得到： 将上式代入得：， 将上式代入， 得到： 不一定为0， 故选项C不正确，不符合题意； 故选：A 【变式2-2】下列由得到的变形中，正确的是（   ） A．方程两边同时乘 B．方程两边同时乘 C．方程两边同时除以 D．方程两边同时除以 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次方程，根据等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0)，结果仍相等即可得出结果． 【详解】解： 方程两边同时乘得到 故选：B． 【变式2-3】下列运用等式的性质的变形中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：．如果，那么或，原式不正确，故该选项不符合题意； ．如果，那么，原式正确，故该选项符合题意； ．如果，当，那么，原式不正确，故该选项不符合题意； ．如果，那么，，则，原式不正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-4】下列变形中，错误的是（   ） A．变形为 B．变形为 C．变形为 D．变形为 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键，根据等式的基本性质逐一判断即可得答案． 【详解】解：A、两边同时减去6可得，变形正确，该选项不符合题意； B、两边同时乘以2可得，变形正确，该选项不符合题意； C、两边同时除以可得，变形错误，该选项符合题意； D、两边同时乘以2可得，变形正确，该选项不符合题意； 故选：C． 【考点03 一元一次方程的解】 【典例3】是以下哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此本题主要考查了方程的解的含义：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，把分别代入四个选项进行验证，看看左右两边是否相等即可． 【详解】解：把分别代入四个选项进行验证，看看左右两边是否相等： A.当时，左边，右边，左边右边，则不是该方程的解，所以本选项不符合题意； B.当时，左边，右边，左边右边，则是该方程的解，所以本选项符合题意； C.当时，方程左边，右边，左边右边，则不是该方程的解，所以本选项不符合题意； D.当时，左边，右边，左边右边，则不是该方程的解，所以本选项不符合题意． 故选：B． 【变式3-1】若关于的一元一次方程的解为,则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于b的一元一次方程是解此题的关键．首先根据求出，再把代入方程中得，再求出关于b的方程的解即可． 【详解】方程为关于的一元一次方程， ， 解得， 又方程的解为， ， 解得， ， 故选：B． 【变式3-2】已知是关于的方程的解，则式子的值为 ． 【答案】2024 【分析】把代入方程，得到，整体思想，变形求代数式的值即可． 本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解，正确求代数式的值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴, 解得， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3-3】若关于x的方程的解是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点04 解一元一次方程】 【典例4】解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）去括号，移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）先去分母，去括号，再移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式4-1】解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式4-2】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键． （1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 【变式4-3】解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次方程的知识，题目难度不大，但是出错率很高，是失分率很高的一类题目，同学们要在按步骤解答的基础上更加细心的解答． （1）先移项合并，最后进行化系数为1的运算． （2）先去括号，然后移项合并，最后进行化系数为1的运算． （3）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行解答． （4）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行解答． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． （3）解： ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得： ， 合并同类项得：， 系数化为1得：． （4）解：， 去分母得：， 去括号得： ， 移项得： ， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【考点05 同解方程】 【典例5】已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求k的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了非负数的性质，解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得：，再把代入方程中求出k的值即可； （2）根据（1）所求可得，则由非负数的性质得到，，即，，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵方程与关于x的方程的解相同， ∴是关于x的方程的解， ∴， 解得； （2）解：∵，即， ∴， ∴，， ∴． 【变式5-1】若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 先解方程，得，代入方程中求出k的值即可． 【详解】解：解方程， 得：， 把代入方程得：． 解得：． 故选：B． 【变式5-2】若方程与方程的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，一元一次方程的解法，先解方程可得，把代入即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：， 将代入方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式5-3】已知方程的解是关于x的一元一次方程的解相同，求k的值 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、以及由一元一次方程的解求未知数的问题．先求出的解，再将x的值代入第二个方程即可得答案． 【详解】解：∵， ∴ 由题意，将代入关于x的方程得： ， 解得：． 【变式5-4】已知方程和方程的解相同． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了同解方程，解一元一次方程，列出关于m的方程是解题的关键． （1）分别解出两个方程的解，根据解相同列出方程，解方程即可； （2）代入求值即可． 【详解】（1）解：由解得：， 由解得：， 由题知：， 解得：； （2）当时， ． 【考点06 一元一次方程之利润问题】 【典例6】微商琪琪计划购进，两款果汁机共台在朋友圈进行销售，这两款果汁机的进价、售价如下表： 进价/(元/台) 售价/(元/台) 款 款 (1)如何进货才能使进货款恰好为4000元？ (2)如何进货才能使销售完这批果汁机时获得的利润恰好为1550元？ 【答案】(1)微商琪琪购进A款果汁机7台，B款果汁机5台时，进货款恰好为4000元 (2)微商琪琪购进A款果汁机5台，B款果汁机7台时，利润恰好为1550元 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是明确题中的等量关系． （1）设微商琪琪购进款果汁机台，则购进款果汁机台，根据进货款恰好为元列方程即可得到答案； （2）设琪琪购进款果汁机台，则购进款果汁机台，根据利润恰好为元列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设微商琪琪购进款果汁机台，则购进款果汁机台， 由题意得，， 解得，． （台）． 答：微商琪琪购进款果汁机台，款果汁机台时，进货款恰好为元． （2）解：设琪琪购进款果汁机台，则购进款果汁机台， 由题意得，． 解得，． （台）． 答：微商琪琪购进款果汁机台，款果汁机台时，利润恰好为元． 【变式6-1】某种商品的进货价为每件a元，零售价为每件120元，若商品按八五折出售，仍可获利，则a的值为 ． 【答案】85 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握进价、利润、售价、打折之间的关系． 根据题意可得等量关系：（利润率）进价原售价打折数，代入相应数值列出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：85． 【变式6-2】为参加演出，七年级一班和七年级二班准备购买演出服．下面是某商家给出的演出服价格表： 购买演出服数量/套 61及61以上 每套演出服价格/元 70 60 50 已知两班共有学生67人（其中一班人数多于二班人数，且两班学生人数都不超过60人），如果两班单独购买演出服，每人只买一套，那么一共应付4320元． (1)若两班联合购买演出服，共可以节省多少钱？ (2)七年级一班和七年级二班各有多少学生购买演出服？ (3)若七年级二班单独购买时，商家每件演出服获利．现七年级三班想单独购买，且购买的演出服比二班多8套，那么商家卖给三班演出服可获利多少元？ 【答案】(1)970元 (2)七年级一班有37人，七年级二班有30人 (3)380元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，利用利润=售价-进价正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意和表格中的数据得出两班联合的费用，再用元减即可得出结论； （2）先求出两班人数均不超过人时购买服装所购买演出服需总费用，比较后可得出一班的人数大于人，设一班有学生x人，则二班有学生人，根据总价单价数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）先求每套商品的成本，然后根据单个利润数量总利润分析计算． 【详解】（1）解：（元） ∴共可以节省多少元 （2）解： ∵（元），， ∴一定有一个班的人数大于人． ∵一班人数多于二班人数，且两班学生人数都不超过人 ∴一班人数大于人，二班人数小于人， 设一班有学生x人，则二班有学生人， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：七年级一班有人购买演出服购买演出服，七年级二班有人 （3）设成本为a元， 则， 解得：， 故获利为：（元）． 答：商家卖给三班演出服可获利380元． 【变式6-3】为了丰富学生的课余生活，拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/本） 售价（元/本） 20 13 (1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ (2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ 【答案】(1)甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元； (2)甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，准确找到等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据“购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元”，列出方程即可； （2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本，结合“购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元”，列出方程求解的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， ， 答：甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元． （2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本， 由题意得，， 解得：， ， 答：甲类书刊购进350本，则乙类书刊购进450本． 【变式6-4】随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． (1)求10月初购进A、B两种商品各多少件？ (2)该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 【答案】(1)10月初购进200件A商品，300件B商品； (2)m的值为9． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． （1）设10月初购进x件A商品，则购进件B商品，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设10月初购进x件A商品，则购进件B商品， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：10月初购进200件A商品，300件B商品； （2）解：根据题意得： ， 解得：． 答：m的值为9． 【考点07 一元一次方程之工程问题 【典例7】装修一间房屋，如果由一名装修工人单独完成需要40小时．现在，业主先安排了一部分工人工作2小时，随后又增加了4名工人与他们一起工作了3小时，最终恰好完成了装修工作．假设每名工人的工作效率都是相同的，那么最初被安排进行装修的工人有多少名？ 【答案】先安排整理的人员有5人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．此题用到的公式是：单人工作效率×工作时间×人数=工作量． 等量关系为：所求人数2小时的工作量+所有人3小时的工作量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设先安排整理的人员有x人，依题意得， ， 解得： ， 答：先安排整理的人员有5人． 【变式7-1】甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作．设工作总量为1，工作进度如下表，则完成这项工作共需 天． 天数 第3天 第5天 工作进度 【答案】9 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握列方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系；②列出方程；③解出方程；④作答． 本题首先依据题意找出等量关系即工作总量为1，列出方程并解答． 【详解】解：依题意可知甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设这项工作共需天， 则可得方程：， 解得：， 完成这项工作共需9天． 【变式7-2】有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有墙面未来得及刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷的墙面．求每个房间需要粉刷的墙面面积； 【答案】每个房间需要粉刷的墙面面积为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准题目中等量关系正确列方程计算是解题关键． 设每个房间需要粉刷的面积为，然后分别表示出师傅和徒弟每天粉刷的面积，然后根据每名师傅比徒弟一天多刷的墙面列方程解答即可； 【详解】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为， 则每名师傅每天粉刷墙壁，每名徒弟每天粉刷墙壁； 由题意得：． 解得：． 即每个房间需要粉刷的墙面面积为． 【变式7-3】一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 【答案】(1)4天 (2)36000元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，根据题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设这项工程为“1”，设甲队还需x天才能完成这项工程，根据“两队的工程和等于1”列方程求解即可． （2）根据两队完成的天数和各自的报酬求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程为“1”，根据题意，甲队、乙队的工作效率分别为，， 设甲队还需x天才能完成这项工程， 根据题意，得， 解得， 答：甲队还需4天才能完成这项工程； （2）解： （元）， 答： 完成这项工程共需支付两队36000元． 【考点08 一元一次方程之行程问题】 【典例8】，两地相距48千米，甲骑自行车从地前往地，速度为每小时16千米，1小时后，乙电动车也沿相同的路线从地前往地，速度为每小时40千米， (1)乙出发多长时们后能追上甲？ (2)若乙到达地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距地多少千米？ 【答案】(1)小时 (2)千米 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设乙出发x小时后能追上甲，则甲出发了小时，根据等量关系列方程求解即可得到答案； （2）设乙返回途中与甲相遇时骑了y小时，根据等量关系列方程求解，再求出此时乙行驶的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙出发x小时后能追上甲，根据题意得： ， 解得：， 答：乙出发小时后能追上甲； （2）解：设乙返回途中与甲相遇时骑了y小时，根据题意得： ， 解得：， 此时距离A地为（千米）； 乙返回途中与甲相遇时骑了千米． 【变式8-1】在一段双轨铁道上，两辆火车迎头驶过，A列车车速为40米/秒，B列车车速为50米/秒．若A列车全长200米，B列车全长160米，两列车错开需要的时间为 秒． 【答案】4 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，此题的难点在于找到等量关系：两列车错车即两辆火车一共合走了两辆火车的总车长．若设两列车错车的时间为x秒，经分析可知：两列车错车即两辆火车一共合走了两辆火车的总车长． 【详解】解：设两列车错车的时间为x秒，根据题意得： ， 解得：． 故答案为：4． 【变式8-2】一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了小时；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了小时．已知水流的速度是每小时千米．求船在静水中的平均速度． 【答案】船在静水中的平均速度为每小时千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设船在静水中的平均速度为每小时千米，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设船在静水中的平均速度为每小时千米． 根据题意得： 解得 答：船在静水中的平均速度为每小时千米． 【变式8-3】列方程解应用题：甲乙两车分别从相距的、两地相向而行． (1)两车保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的倍，若甲车比乙车提前出发，则甲车出发后两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少． (2)若甲、乙两车保持（1）中的速度，同时出发，相向而行，求经过多长时间两车相距． 【答案】(1)甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时； (2)经过小时或小时两车相距千米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设乙车的速度是千米/小时，则甲车的速度是千米/小时，利用路程速度时间，可列出关于的一元一次方程，解之可得出乙车的速度，再将其代入中，即可求出甲车的速度； （2）设经过小时两车相距千米，利用路程速度时间，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙车的速度是千米/小时，则甲车的速度是千米/小时， 根据题意得： 解得： (千米/小时)． 答：甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时； （2）解：设经过小时两车相距千米，根据题意得： 或 解得：或， 答：经过小时或小时两车相距千米． 【考点09 一元一次方程之方案设计问题】 【典例9】某牛奶加工厂现有鲜奶，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；若制成酸奶销售，每吨可获取利润1 200元；若制成奶片销售，每吨可获取利润2 000元．该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利较多？多获利多少？ 【答案】第二种方案获利较多，多获利元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 方案一：根据制成奶片，每天可加工 ，求出天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶求出利润即可； 方案二：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润比较即可得到结果． 【详解】解：方案一：易知最多生产奶片，其余的直接销售鲜奶． 利润为（元）． 方案二：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意，得， 解得：， 利润为（元）， （元）， 所以第二种方案获利较多，多获利元． 【变式9-1】七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人的团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票． (1)已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样． 【答案】(1)1班购票需要704元 (2)2班有46人 (3)当人数为63人时，两种方案所需钱数一样 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，找准题目间等量关系是解题的关键． （1）用人数44乘以票价20再乘以0.8即可； （2）设2班有人，列方程，求解即可得到答案； （3）设有人，由题意得，得，当班级人数为63人时，两种方案费用相等． 【详解】（1）解：（元， 答：1班购票需要704元； （2）解：设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有46人； （3）解：设有人，由题意得， 解得， 当班级人数为63人时，两种方案费用相等． 【变式9-2】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为万元；经粗加工后销售，每吨利润可达万元；经精加工后销售，每吨利润涨至万元．当地一家蔬菜公司收购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案利润最大，为什么？ 【答案】方案三获得利润最大，最大利润为75万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，方案选择问题，本题的关键是设未知数，通过方程计算出精加工和粗加工的天数，从而算出利润解题．由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工，计算可得到方案一的利润；由条件可知15天可精加工蔬菜75吨，计算可得到方案二的利润；设用天精加工蔬菜，则用天粗加工蔬菜，列方程求出的值，得精加工蔬菜50吨，粗加工蔬菜70吨，计算可得到方案三的利润，对比即可得到结果． 【详解】解：方案三获得利润最大，理由如下： 方案一：由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工， （万元）， 将蔬菜全部进行粗加工再销售，可获得利润60万元； 方案二：由条件可知15天可精加工蔬菜（吨）， 则剩下（吨）在市场上直接销售， （万元）， 尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售，可获得利润万元； 方案三：设用天精加工蔬菜，则用天粗加工蔬菜， 依题意得，， 解得， 得精加工蔬菜（吨），粗加工蔬菜（吨）， （万元）， ， 方案三获得利润最大，最大利润为75万元． 【变式9-3】中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 【答案】(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元 (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟 (3)若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元 【分析】本题考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，理解两种“计费方法”的意义是正确解答的关键． （1）根据计费方法A的计费标准进行计算即可； （2）先估算通话时间，再利用计费方法B的解法标准进行计算即可； （3）求出用计费方法B的用户某个月累计费用126元的通话时间，再根据通话时间与计费方法A计算费用，比较得出答案． 【详解】（1）解：当通话时间为100分钟时，应付费（元）， 答：某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元； （2）解：由于用计费方法B的用户某个月累计费用107元大于88元，因此通话时间大于200分钟，设通话时间是分钟， 则， 解得， 答：用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟； （3）解：设通话时间是分钟，由题意可得 ， 解得， 当通话时间为400分钟时，（元）， （元）， 答：若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元． 【考点10 一元一次方程之数轴动点问题】 【典例10】如图，数轴上点A、B、C表示的数分别为、、． (1)___________； (2)若点D从A点出发以每秒个单位长度的速度向左运动．点E从B点出发以每秒个单位长度的速度向右运动；点从C点出发以每秒个单位长度的速度向右运动．设点D、E、同时出发，运动时间为秒，求的值； (3)若点M以每秒4个单位的速度从A点出发，点N以每秒个单位的速度从C点出发，设点M、N同时出发，运动时间为秒，试探究：经过多少秒后，点M、N两点间的距离为个单位． 【答案】(1)8 (2)2 (3)6秒或秒或秒或22秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴两点间的距离公式，数轴上动点问题等知识．根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）用t表示出、，计算即可求解∶ （3）分4种情况∶①点M、N同时向左出发；②点M向左出发，点N向右出发；③点M向右出发、点N向左出发；④点M、N同时向右出发；根据等量关系点M、N两点间的距离为14个单位列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在数轴上点A、C表示的数分别为，． ∴ （2）解：∵D、E、F同时出发，运动t秒时， 则D点表示的数为，E点表示的数为，F点表示的数为， ∴， ∴ （3）解：①点M、N同时向左出发， 依题意有， 解得：． ②点M向左出发，点N向右出发， 依题意有， 解得：， ③点向右出发、点N向左出发， 依题意有， 解得：， ④点M、N同时向右出发， 依题意有， 解得． 故经过6秒或秒或秒或22秒后，点M、N两点间的距离为14个单位． 【变式10-1】阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则． 根据以上知识解决下列问题： 如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示） (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发． ①若点，两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系． 【答案】(1) (2)①当或时，点，两点到原点的距离相等；②的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或 【分析】本题主要考查数轴上点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程与行程问题的数量关系的运用，掌握数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据材料提示的两点之间距离的计算方法，数轴上动点表示有理数的计算即可求解； （2）①分别用含的式子标出点到原点的距离，再根据距离公式及数量关系列式求解即可；②根据题意，点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为，根据题意分类讨论：如图所示，点在店左边；点在店右边；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：数轴上两点，表示的数分别为，12， ∴， ∵动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为， 故答案为：； （2）解：①动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为：， ∴点到原点的距离为，点到原点的距离为：， ∵点，两点到原点的距离相等， ∴， 当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，当或时，点，两点到原点的距离相等； ②根据题意，点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为， 如图所示，点在店左边， ∴，， ∴ ， ∵的值不随的变化而变化， ∴； 如图所示，点在店右边， ∴，， ∴ ， ∵的值不随的变化而变化， ∴； 综上所述，的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或． 【变式10-2】据国际田联田径场地设施标准手册标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，有条跑道，每条跑道宽，直道长；跑道第一圈最内圈的弯道半径为到之间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为的标准跑道，小王同学计算了各圈的长：第一圈长：；第二圈长：；第三圈长： (1)第三圈的弯道比第一圈的弯道长多少米？小王计算的第八圈的长是多少米？取，结果保留整数 (2)小王紧靠第一圈内边线逆时针跑步，邓教练紧靠第三圈内边线顺时针骑自行车均以所靠边线长计路程，在如图的起跑线同时出发，经过两人在直道第一次相遇若邓教练平均速度是小王平均速度的倍，求他们的平均速度各是多少？注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题干给定的计算公式，正确的列出方程是解题的关键： （1）第三圈的圈长减去第一圈的圈长求出第三圈的弯道比第一圈的弯道长多少米，利用题干给定的计算公式，求出第八圈的长即可； （2）设小王的平均速度为，邓教练的平均速度为，根据经过两人在直道第一次相遇，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 答：第三圈半圆形弯道比第一圈半圆形弯道长，小王计算的第八圈的长约； （2）设小王的平均速度为，邓教练的平均速度为， 则， ， ； 答：小王的平均速度为，邓教练的平均速度为． 4【变式10-3】如图，数轴上点A表示，点表示4，点表示12．将数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，若点，表示的数分别是，，我们把，之差的绝对值叫做点，之间友好距离，即．例如：点A和点在“折线数轴”上的友好距离为16个长度单位．动点从点A出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向向终点运动，点从点A出发的同时，点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向向终点A运动，设运动的时间为秒． (1)当秒时，，两点在“折线数轴”上的友好距离为______个长度单位． (2)当，两点在“折线数轴”上相遇时，求运动时间的值． (3)当，两点在“折线数轴”上的友好距离为3个长度单位时，______． (4)是否存在某一时刻使得A，两点在“折线数轴”上的友好距离与，两点在“折线数轴”上的友好距离相等？若存在，请直接写出的取值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)或 (4)存在，或8 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离、有理数的运算及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上有理数的表示与距离及一元一次方程的应用是解题的关键； （1）当秒时，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，然后根据两点之间的距离可进行求解； （2）根据相遇问题可得方程，然后求解即可； （3）由题意可分当点P、Q未相遇前，且，两点在“折线数轴”上的友好距离为3个长度单位，当点P、Q相遇后，且，两点在“折线数轴”上的友好距离为3个长度单位，进而分类求解即可； （4）由题意得：点P在“折线数轴”上表示的数为，点Q在“折线数轴”上表示的数为，则有：，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 当秒时，点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为， ∴P、Q两点之间的距离为； 故答案为：10； （2）解：由题意得： ， 解得：； （3）解：由题意可分：当点P、Q未相遇前，且，两点在“折线数轴”上的友好距离为3个长度单位，则有：， 解得：； 当点P、Q相遇后，且，两点在“折线数轴”上的友好距离为3个长度单位，则有：， 解得：； 故答案为：或； （4）解：存在，理由如下： 由题意得：点P在“折线数轴”上表示的数为，点Q在“折线数轴”上表示的数为，则有：， 解得：或； ∴当或时，A，两点在“折线数轴”上的友好距离与，两点在“折线数轴”上的友好距离相等． 1．下列式子中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，即为一元一次方程，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、中的的次数是1，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； C、属于一元一次方程，故该选项符合题意； D、不是一元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．方程的解是（   ） A． B．6 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先移项，再合并同类项，然后系数化为1，可得解． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选：C． 3．下列变形错误的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．当时，由，得 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质．根据“等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，等式的两边仍然相等；等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为零），等式的两边仍然相等”逐一分析即可求解． 【详解】解：由，得，故选项A符合题意； 由，得，故选项B不符合题意； 由，得，故选项C不符合题意； 当时，由，得，故选项D不符合题意； 故选：A． 4．在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，根据等式的性质，进行化简即可． 【详解】解：， 方程的两边同时乘以，得：； ∴； 故选B． 5．某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和10枚银币，但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币，这件衣服值多少枚银币？设这件衣服值枚银币，依据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题的关键，本题考查了一元一次方程的应用，根据一年的报酬个月报酬的倍列方程即可得解． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 6．有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第二个数为，则第一个数为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第二个数为，则第一个数为， 根据题意可列方程：， 故选：． 7．一件衣服以元的价格卖出，可获利，则这件衣服的成本价是 ． 【答案】元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意，设这件衣服的成本价为，根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：设这件衣服的成本价为元， ∴， 解得：． 故答案为：元． 8．开学在即，某校初二年级要进行分班．如果平均每班44人，还余10人；如果平均每班45人，还差2人．设这个学校初二年级有x个班，依据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根据实际问题列一元一次方程，依据题意列出方程即可． 【详解】解：依据题意，得 故答案为：． 9．已知关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程的应用，关键是得出关于a的方程．求出第二个方程的解，把x的值代入第一个方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， 解得， ∵关于x的方程的解与方程的解相同， ∴把代入方程得：, 解得：． 故答案为：． 10．足球比赛中胜1场得3分，平1场得1分，输1场得0分，某队共赛11场，得18分，其中输了1场，这支球队共胜了 场． 【答案】4 【分析】设这支球队共胜x场，则可得平了场，从而根据得分为18分可列出方程，解出即可；此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出得分，利用方程解答． 【详解】设这支球队共胜x场，则可得平了场， 由题意得：， 解得：， 故答案为：4． 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 12．某种仪器由5个A部件和3个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件个或者加工B部件个．现有工人人，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？ 【答案】安排8人生产A部件，8人生产B部件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设安排x人生产A部件，则安排人生产B部件，依题意得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设安排x人生产A部件，则安排人生产B部件， 依题意得， 解得， ∴． 答：应安排8人生产A部件，8人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套． 13．已知，且，在数轴上对应的点分别是， (1)____________，____________ (2)数轴上有一点，且到，两点的距离之和为11，求点在数轴上对应的数 (3)若点、点同时沿数轴正方向运动，点到原点的距离记为线段，点到原点的距离记为线段，点的速度是点速度的2倍，3秒后满足，求点的速度 【答案】(1)；3 (2)点在数轴上对应的数为5或； (3)点的速度为或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用与数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）利用绝对值的非负性质得到，，解得，； （2）设点C在数轴上所对应的数为x，根据分情况讨论，列出方程，解方程即可； （3）设点B的速度为v，则A的速度为，分A在原点O的左边与A在原点O的右边进行讨论． 【详解】（1）解：且． ，， 解得，． 故答案为：；3； （2）解：设点在数轴上所对应的数为， 当在点右边， ． 根据题意得 ， 解得． 即点在数轴上所对应的数为5； 当在点左边， ． 根据题意得 ， 解得． 即点在数轴上所对应的数为； 综上，点在数轴上对应的数为5或； （3）解：设速度为，则的速度为， 3秒后点，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， 当还在原点的左边时，由可得， 解得； 当在原点的右边时，由可得，解得． 即点的速度为或． 14．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距22个单位长度．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要多少秒？ (2)、两点相遇时，求相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【答案】(1)点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； (2)对应的数为：4； (3)当为2或5或8，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用； （1）由分别在上的运动时间之和可得答案； （2）先判断相遇点在上，再列式计算即可； （3）分情况讨论：当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，再利用、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A运动至C点需要的时间 （秒） 答：点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； （2）解：当时，重合，而的运动路程为， ∴此时在上，即相遇点在上， ∴相遇时间为， ∴对应的数为：； （3）解：当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 此时方程无解， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 此时方程无解， 综上：当为2或5或8，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 15．某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，下图是1班班长与售票员咨询的对话： (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班的学生人数为，3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问3班有多少人？ 【答案】(1)704元 (2)44人 (3)45人 【分析】本题考查有理数的乘法运算，一元一次方程的实际运用，解题的关键在于根据题意找出等量关系建立方程并求解． （1）根据题意列式计算即可； （2）设2班有人，根据“购票费用为702元，”列出方程求解，即可解题； （3）根据“无论选择哪种方案要付的钱是一样”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解： （元）． 答：1班购票需要704元． （2）解：设2班有人， 由题意，得， 解得． 答：2班有44人． （3）解：因为3班有人， 由题意，得， 解得． 答：3班有45人． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$