专题05 几何图形初步（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版2024）

专题05 几何图形初步 【考点01 认识平面图形和立体图形、图形分类】 【考点02正方体的展开图】 【考点03点、线、面、体】 【考点04直线、射线与线段的相关概念】 【考点05作图-直线射线和线段】 【考点06线段的有关计算】 【考点07钟面角】 【考点08方位角】 【考点09度分秒换算】 【考点10角平分线的概念有关运算】 【考点11三角板中角度计算问题】 【考点12余角和补角概念及及性质】 知识点1：认识平面图形和立体图形、图形分类 ⑴几何图形：几何图形是数学研究的主要对象之一。几物体的形状、大小和位置关系是何研究的内容。像长方体、圆柱、球、长方形、正方形、圆、线段、点、三角形、梯形……它们都是几何图形。 ⑵立体图形：有些几何体（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）各个部分都不在同一平面内，它们是立体图形。 ⑶平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。 知识点2：立体图形的展开图 立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。 如正方体的展开图有如下几种情况： 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: 知识点3：点、线、面、体。 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 点动成线，线动成面，面动成体。 知识点4：直线、射线与线段的概念 知识点5 ：基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 知识点6： 基本概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 知识点7：双中点模型 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 知识点8： 角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点9： 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 知识点10：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点11：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 知识点12： 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点13：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点14：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B 【考点01 认识平面图形和立体图形、图形分类】 【典例1】下列几何体中，含有曲面的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何图形，根据题意，逐一进行判断即可．掌握几何图形的分类是解题的关键． 【详解】解：A、是平面图形，不符合题意； B、是平面图形，不符合题意； C、是立体图形，不含曲面，不符合题意； D、是含有曲面的立体图形，符合题意； 故选D． 【变式1-1】下列几何体中，是圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了认识立体图形，根据常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、圆台等的特征解答即可，熟练掌握常见的立体图形的特征是解决此题的关键． 【详解】解：A、这个几何体是圆锥，故本选项不符合题意； B、这个几何体是圆台，故本选项不符合题意； C、这个几何体是圆柱，故本选项符合题意； D、这个几何体是棱台，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】下列几何体中，不是柱体的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据柱体：“一个多面体有两个面互相平行，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱体”，进行逐项判断即可．本题考查了几何图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：A、是圆柱，是柱体，故该选项不符合题意； B、是正方体，是柱体，故该选项不符合题意； C、是三棱柱，是柱体，故该选项不符合题意； D、是圆锥，不是柱体，故该选项符合题意； 故选：D 【变式1-3】下列几何体中，锥体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形的定义，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，注意球和圆的区别，球是立体图形，圆是平面图形．关键是根据锥体的概念判断．利用锥体的意义，直接选择答案即可． 【详解】解：A、是圆柱； B、是正方体； C、是三棱锥； D、是圆锥； 属于锥体的是D． 故选：D． 【考点02正方体的展开图】 【典例2】如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（    ） A．美 B．丽 C．卢 D．龙 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“设”与“丽”是相对面， “建”与“龙”是相对面， “美”与“卢”是相对面． 故选：D． 【变式2-1】如图为正方体的平面展开图，相对的两个面上的数互为相反数，则m的值为（  ） A．3 B．－4 C．－6 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，根据题意，先找出展开图的相对面，然后由相反数的定义求出m的值即可． 【详解】解：∵与是正方体相对两个面上的数字， 又由正方体相对两个面上的数互为相反数，得： ， 解得，， 故选：B． 【变式2-2】一个小立方块的六个面分别写着1、2、3、4、5、6，从三个不同方向看到的情形如图所示，那么“4”对面的数字是（   ） A．5 B．1 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据相邻的面确定出对面上的数字是解题关键．根据图形确定“1”和“3”相对，再根据“4”和“1、2、6”相邻，即可确定“4”对面的数字． 【详解】解：由图形可知，“1”和“2、5、4、6”相邻，即“1”和“3”相对， 又“4”和“1、2、6”相邻， 即“4”和“5”相对， 故选：A． 【变式2-3】如图，平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之积为，则 【答案】 【分析】本题考查正方体的展开与折叠，有理数的乘法运算，求代数式的值，根据正方体表面展开图的特征，判断相对的面，求出、的值，最后代入计算即可．掌握正方体表面展开图的特征是解题的关键． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知： “”与“”是对面，“”与“”是对面， 又∵相对面上两个数之积为， ∴，， ∴． 故答案为：． 【考点03点、线、面、体】 【典例3】旋转一周，能得到下面左图所示几何体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面图形的旋转，掌握立体图形的特点，平面图形旋转的性质是解题的关键． 根据平面图形的旋转的性质，立体图形的性质即可求解． 【详解】解：根据立体图形的特点，只有D选项旋转一周即可得到立体图形， 故选：D ． 【变式3-1】直升飞机螺旋桨一般由4片桨叶组成，直升飞机起飞时，螺旋桨旋转时向下推动空气，即向下施加一个作用力，直升飞机获得竖直向上的力，使得飞机能悬浮在空中．若把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了（    ） A．面动成体 B．线动成面 C．点动成线 D．面面相交成线 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，明确点动成线，线动成面，面动成体．根据点、线、面、体的关系解答即可． 【详解】解：若把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了线动成面． 故选：B． 【变式3-2】如图所示，将梯形绕它的长底边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面图形旋转得到几何体；根据基本图形是梯形，绕它的长底边旋转得到的几何体是圆锥与圆柱组合体即可． 【详解】解：将梯形绕它的长底边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是圆锥下面是圆柱的组合体， 故选：D． 【变式3-3】用平面去截一个长方体，不能截出的截面是（   ） A．椭圆 B．长方形 C．梯形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了长方体截面的问题，理解并掌握长方体的特点是解题的关键． 根据长方体的特点，结合截面的位置及截出图形的特点即可求解 【详解】解：A、用平面去截一个长方体，不能出现曲线，故不能截出椭圆，该选项符合题意； B、用平面去截一个长方体，能截出长方形，如图所示， C、用平面去截一个长方体，能截出梯形，如图所示， D、用平面去截一个长方体，能截出六边形，如图所示， 故选：A ． 【考点04直线、射线与线段的相关概念】 【典例4】下列说法不正确的是（） A．射线和射线是同一条射线 B．经过两点有且只有一条直线 C．线段的长度就是点A与点B之间的距离 D．若，则点B不一定为线段的中点 【答案】A 【分析】本题考查的是线段中点的概念、射线的表示方法、两点间的距离的定义、两点确定一条直线的概念，掌握相关的概念是解题的关键．根据线段中点的概念、射线的表示方法、两点间的距离的定义、两点确定一条直线的概念判断即可． 【详解】解：A．射线和射线不是同一条射线，A说法不正确，符合题意； B．经过两点有且只有一条直线，B说法正确，不符合题意； C．线段的长度就是点A与点B之间的距离，C说法正确，不符合题意； D．若，则点B不一定为线段的中点，D说法正确，不符合题意 故选：A． 【变式4-1】下列说法正确的是（   ） A．延长线段和延长线段的含义相同 B．射线和射线是同一条射线 C．两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离 D．延长直线 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的性质，两点间的距离定义，根据相关知识逐项分析判断即可． 【详解】A. 延长线段和延长线段的含义不同，延长方向不同，则延长后的端点不一样，故该选项错误； B. 射线和射线不是同一条射线，射线是有方向的，故该选项错误； C. 两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离，故该选项正确； D. 直线向两端无限延伸，因此直线不可延长，故该选项错误， 故选：C． 【变式4-2】在下列生活，生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（   ） A．  平板弹墨线 B．  建筑工人砌墙 C．  会场摆直茶杯 D．  弯河道改直 【答案】D 【分析】该题主要考查了“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”，解题的关键是理解以上知识点． 直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【详解】解：A、B、C三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，D图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识． 故选：D． 【变式4-3】用所学知识解释生活中的现象，如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，为什么他们要做出如此破坏生态环境的不道德行为呢？试用所学数学知识来说明这个问题： ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，解题的关键是掌握线段的性质． 根据两点之间线段最短求解即可． 【详解】解：从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪， 用所学数学知识来说明这个问题原因是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【考点05作图-直线射线和线段】 【典例5】如图，平面内有，，，四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若，，，四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站，要使供水站到，，，四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键； （1）①根据射线的定义画图即可； ②根据线段的定义画图即可； ③根据直线的定义画图即可； （2）线段与直线的交点即为满足题意的点P的位置，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图所示，射线即为所求； ②如图所示，线段即为所求； ③如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求． 【变式5-1】如图，已知平面上A，B，C，D四个点． (1)按下列要求画图（不写画法）： ①连接； ②过点A，C作直线； ③作射线，交于点； (2)通过测量线段的长度，可知__________（填“”“＝”或“”），可以解释这一现象的基本事实为_________________． 【答案】(1)见解析 (2)，两点之间线段最短 【分析】本题考查了应用与设计作图、直线、射线、线段、两点之间线段最短等知识，解决本题的关键是区别直线、射线、线段． （1）①连接即可；②画直线即可；③画射线，交于点O即可； （2）根据两点之间线段最短即可解答． 【详解】（1）解：画图如图所示． （2）解：通过测量线段的长度，可知，可以解释这一现象的基本事实为两点之间线段最短， 故答案为：，两点之间线段最短． 【变式5-2】（1）平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求作图： ①作直线； ②作射线交直线于点E； ③连接，交于点F； （2）图中共有______条线段； （3）若图中F是的一个三等分点，，已知线段上所有线段之和为12，求的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）（3） 【分析】本题考查直线、射线、线段作图，线段的数量，线段的和差，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）①根据直线概念作图即可； ②根据射线概念作图即可； ③连接，交于点F即可； （2）根据图形找出里面的线段即可，注意不要漏找，重复找； （3）根据题意得到，，结合线段上所有线段之和为12，推出，进而即可得到． 【详解】解：（1）①所作直线如图所示： ②所作射线交直线于点E如图所示： ③所作线段，交于点F如图所示： （2）由图可知线段有，，，，，，，，，，，共条， 故答案为：． （3）因为图中F是的一个三等分点，， 所以，， 因为线段上所有线段之和为12， 所以， 解得， 所以． 【变式5-3】如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹） (1)画直线，画射线，连接； (2)延长线段到E．使得； (3)在线段上取点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，直线、射线、线段，两点间的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据基本作图方法即可画直线，画射线，连接； （2）延长线段到E，利用尺规使，可得； （3）连接线段交于点P，根据两点之间线段最短可得的值最小． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求； （2）解：如图，点E即为所求： （3）解：如图，点P即为所求． 【考点06线段的有关计算】 【典例6】如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为________； (2)的长度为________； (3)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1)12 (2)8 (3)或 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算． （1）直接根据D是的中点可得答案； （2）先求出的长，然后根据E是的中点求出，即为的长； （3）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：由线段中点的性质，， 故答案为：12； （2）解：由线段的和差，得， 由线段中点的性质，得， 由线段的和差，得， 故答案为：8； （3）解：当M在点B的右侧时，， 当M在点B的左侧时，， ∴的长度为或． 【变式6-1】已知线段，，那么线段的长度是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点之间的距离．根据点三点位置不确定，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，点三点位置不确定， 线段的长度是无法确定的， 故选：D． 【变式6-2】如图，线段，C为线段延长线上一点，． (1)求线段的长； (2)若D是图中最长线段的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义， 熟练掌握线段中点的定义是解题的关键 （1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论； （2）当点D是图中最长线段的中点，根据线段中点的定义即可得到结论． 【详解】（1）， ， ， ， .； （2）∵图中最长线段是， ∴D为线段的中点， 由（1）知， ∴， ∴． 【变式6-3】如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且m，n满足，点M，N分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求移动前线段的长． 【答案】(1)， (2)或8 【分析】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用以及数轴和两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第二问注意分类讨论思想，此题难度不大． （1）根据非负性求出的值，即可得出结果； （2）分6秒后，在点左边时，6秒后，在点右边时两种情况分别计算求出结果即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 所以，， 所以，； （2）若6秒后，在点左边时， 由，即， 解得， 若6秒后，在点右边时， 则，即， 解得． 综上，或8． 【考点07钟面角】 【典例7】（1）时分时，时钟的时针与分针的夹角是多少度？时分时，时钟的时针与分针的夹角又是多少度？ （2）从时分到时分，时钟的分针与时针各转过了多少度？ （3）时钟的分针从时整的位置起，按顺时针方向旋转多少度时与时针第次重合？ 【答案】（）时分时，时针与分针的夹角是，时分时，时针与分针的夹角是；（）分针转过的角度是，时针转过的角度是；（）分针按顺时针旋转时与时针第一次重合． 【分析】（）根据分针每分钟走小格，时针每分钟走小格即可求解； （）根据钟表分针和时针每走一分钟度数即可求解； （）设经过分针可与时针第次重合（即追上时针），根据题意列出方程，然后解方程即可； 本题考查了钟表分针和时针所转过的角度计算，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）因为分针每分钟走小格，时针每分钟走小格， 所以时分时，时针与分针的夹角是， 时分时，时针与分针的夹角是． （）从时分到时分，，经过了， 所以分针转过的角度是， 时针转过的角度是； （）设经过分针可与时针第次重合（即追上时针）． 因为时整时针与分针的夹角是， 所以列方程得， 解得， 所以， 所以分针按顺时针旋转时与时针第一次重合 【变式7-1】一节课分钟，分针所转过的角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查钟表时针与分针的夹角．两个相邻数字间的夹角为，每个小格夹角为． 表盘共被分成60小格，每一小格所对角的度数为，分针每分钟转动．进行解答即可． 【详解】解：分针经过分钟，那么它转过的角度是． 故选：A． 【变式7-2】钟面上的时间为时，再经过，时针与分针第一次重合，则t的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元一次方程的应用,解决这个问题就要弄清楚时针与分针转动速度的关系：每一小时，分针转动，而时针转动，即分针每分钟转动，时针每分钟转动． 【详解】解：设从点开始，经过，时针和分针第一次重合， 由题意得： 解得：， 则至少再经过时针和分针第一次重合． 故选:B． 【变式7-3】知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【答案】问题一：或；问题二：（1），；（2）；（3）或分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角． 问题一：设后两车相距，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距，相遇后两车相距； 问题二：（1）根据钟面角即可解答； （2）分别求出时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可． 【详解】解：问题一：设后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． ∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），或后两车相距； 故答案为：或； 问题二：（1）分针每分钟转过的角度为， 时针每分钟转过的角度为， 故答案为：，； （2）时，分针转动角度为， ∵钟面一共有12个大格， ∴每转动一个大格，时针转动角度为． ∴时，时针转动角度为， ∴故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得：， 解得：． 答：在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 【考点08方位角】 【典例8】如图，在A、B两处观测到C处的方位角分别是（　　） A．北偏东，北偏西 B．北偏东，北偏西 C．北偏东，北偏西 D．北偏东，北偏西 【答案】B 【分析】本题考查了方向角，方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向，根据方向角的定义即可判断． 【详解】解：处观测到的处的方向角是：北偏东， 处观测到的处的方向角是：北偏西． 故选：B． 【变式8-1】如图，下面说法中，不正确的是（   ） A．射线表示北偏东 B．射线表示西北方向 C．射线表示西偏南 D．射线表示南偏东 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，根据图形逐项判断即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、射线表示北偏东，故此选项正确，不符合题意； B、射线表示西北方向，故此选项正确，不符合题意； C、射线表示南偏西，故此选项错误，符合题意； D、射线表示南偏东，故此选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式8-2】慕梓睿一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于慕梓睿家南偏西的方向，则慕梓睿家位于西柏坡的（   ） A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 【答案】D 【分析】本题考查方向角，根据方向角的表示方法，结合图象进行判断即可． 【详解】解：如图，由图可知：慕梓睿家位于西柏坡的北偏东方向； 故选D． 【变式8-3】周末明明和聪聪相约一起去科技馆，他们的位置如图所示，此时明明在聪聪的（   ） A．西偏南方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 【答案】C 【分析】本题考查方向和位置，以聪聪的位置为观测点，根据“上北下南，左西右东”及角度信息解答即可． 【详解】解：由分析可知：明明在聪聪的北偏东方向上． 故选：C． 【考点09度分秒换算】 【典例9】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据度分秒的进制计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-1】若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的度、分、秒之间的换算，熟练掌握角的度、分、秒之间的换算是解题的关键．将的度数换算成，即可判断答案． 【详解】 ， ． 故选：A． 【变式9-2】可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查度分秒的换算，根据，进行计算即可． 【详解】解：， 故选D． 【考点10角平分线的概念有关运算】 【典例10】已知：在的内部，且，，射线平分，．求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算和角平分线的定义，解题的关键是掌握角的和差计算和角平分线的定义． （1）根据，可得，从而得到，然后根据角平分线的定义，即可求解； （2）根据，，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴． 【变式10-1】如图，已知，平分，平分，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的和差，角的平分线的定义计算即可．本题考查了角的平分线，角的和差计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴； ∴； ∵， ∴ ∵平分， ∴； 故选：A． 【变式10-2】如图，直线、相交于O，，． (1)求的度数； (2)试说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角的运算，涉及角平分线的性质，邻补角的性质，属于基础题型． （1）先根据条件和邻补角的性质求出的度数，然后即可求出的度数． （2）只要证明即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴平分． 【变式10-3】如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)当与重合时，求的度数． (3)当时，求的值． (4)当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为19或29； (4)的值为15或20或30． 【分析】本题考查了角度计算问题和角的平分线的定义，熟练掌握角的平分线的定义，并能够根据题目已知条件找到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键． （1）利用，直接计算即可； （2）先用表示出和，当与重合时，，求出的值即可解答； （3）由（2）知，当时，与重合，分2种情况①；②，再结合列出等式，求解即可； （4）由角的平分线的定义，分3种情况①平分；②平分；③平分，再结合列出等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， 的度数为． （2）由题意得，，， 当与重合时，， 即：， 解得：， ， 的度数为． （3）由（2）知，当时，与重合， 下面分2种情况讨论： ①若，则， 即：， 解得：； ②若，则， 即：， 解得：； 综上所述，的值为19或29． （4）由题意得，分3种情况讨论： ①若平分，则， 解得：； ②若平分，则， ， ， 解得：； ③若平分，则， ， ， 解得：； 综上所述，的值为15或20或30． 【考点11三角板中角度计算问题】 【典例11】如图1所示，将一副三角板重叠放在一起，使直角的顶点重合于点O． (1)请从图1中找出以点O为顶点且相等的两个角（小于180°的角），并说明相等依据；（找出一对即可） (2)如图1，若．试求的度数； (3)如图1，当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有什么样的数量关系？请直接写出答案； (4)当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板无重合部分）时，如图2所示，那么与之间又有什么样的数量关系？请直接写出答案． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角的和差． （1）一副三角板中，两个三角板均为直角三角形，或同角的余角相等即可求解； （2）根据已知可得，进而根据，即可求解； （3）表示出，可得． （4）根据，，即可得出． 【详解】（1）解：，一副三角板中，两个三角板均为直角三角形； 因为， 所以， 所以； 故相等的角有两对：或（答案任写一对即可） （2）解：因为，， 所以， 所以； （3）解：； 因为， 所以， 所以， （4）解： 因为，， 所以． 【变式11-1】【实践活动】 如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）若，则　　；　　（填、、）； （2）①若，则　　；若，则　　； ②与之间的数量关系是　　． 【折展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）①，；②；，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，角的大小比较，掌握角的计算，角的大小比较方法是解题的关键． （1）根据图形中角的关系即可得出的度数．由题意，得，，进而得出，，然后根据角度运算可得出答案； （2）①根据角的运算可得出的度数，再根据计算即可得出的度数；先根据计算得出的度数，再根据角的运算即可得出的度数； ②由，，可得出，，则得出，进而得出，进而得出答案； （3）根据题意，由得出：，进而得出，由此可得与之间的数量关系． 【详解】解：（1）由题意，得，，， ∴ ， ， ∴． 故答案为：，； （2）①∵，，， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ． 故答案为：，； ②∵，， ∴，， ∴． 又∵， ∴ ， ∴与之间的数量关系是． 故答案为：； （3）与之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， 即， ∴ ． 【变式11-2】如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的计算． （1）用减去的度数，求出的差就是的度数； （2）设，用含x的代数式表示出后根据建立关于x的方程，解方程求出x的值后即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式11-3】如图，将两块三角板的顶点重合． (1)请写出图中所有以O点为顶点且小于平角的角； (2)你写出的角中相等的角有 ； (3)若，试求的度数； (4)当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？ 【答案】(1)所有以O点为顶点且小于平角的角有，，，，， (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了角的定义和角的比较与计算，解题的关键掌握三角板的角度计算． （1）根据角的定义写出即可； （2）根据三角板的特征知，则写出即可； （3）根据求出，代入求出即可； （4）求出，代入求出即可． 【详解】（1）图中所有以O点为顶点且小于平角的角有，，，，，． （2）图中相等的角有，， 故答案为：，； （3）解； ∵，， ∴， ∵， ∴． （4），理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 【考点12余角和补角概念及及性质】 【典例12】如图，是直线上一点，平分，若，和互余，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角的计算角平分线的定义，余角的定义；根据角平分线的定义得到，再根据和互余，求出，即可求出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵和互余， ∴， ∴， 故选：A． 【变式12-1】，则它的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了补角．解题的关键在于明确．由计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴这个角的补角度数为， 故选：B． 【变式12-2】如图，已知是平角，平分，在平面上画射线，使和互余，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，互余的定义，根据角平分线的定义求出的度数， 分两种情况：射线在直线的左上方和射线在直线的右下方一一加以计算即可，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， 当射线在直线的左上方时，如图所示， ∵和互余， ∴，即， ∴， 射线在直线的右下方，如图所示， ∵和互余， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式12-3】已知，求： (1)的余角； (2)的2倍与的的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与余角有关的计算，角的四则运算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据余角的含义列式计算即可； （2）根据题意列式运算角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 1．下列图形中，不属于立体图形的是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立体图形与平面图形的识别，掌握立体图形与平面图形的含义是关键． 若图形上的所有点都在同一个平面内，则这个图形是平面图形；若图形上的点不都在同一个平面内，则这个图形是立体图形；根据平面图形与立体图形的含义即可完成． 【详解】A、是圆，是平面图形，故符合题意； B、C、D三个选项中的图形分别是圆锥、正方体、三棱锥，它们都是立体图形，不符合题意． 故选：A． 2．如图，，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角度计算，根据互余两角的关系进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故选：A． 3．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面的字是（     ） A．乡 B．美 C．丽 D．设 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可解答． 【详解】解：正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面的字是“乡”． 故选：A． 8．小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒，如图，六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解： 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， A、“预”的对面是“考”，“祝”的对面是“成”，“中”的对面是“功”，故本选项错误； B、“预”的对面是“功”，“祝”的对面是“考”，“中”的对面是“成”，故本选项错误； C、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，故本选项正确； D、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“成”，“考”的对面是“功”，故本选项错误． 故选：C． 5．如图，下面的说法正确的是（    ） A．点在直线上 B．可以表示成或 C．直线和相交于点 D．射线和射线表示同一条射线 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的表示方法，射线和直线的相关概念，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、点不在直线上，原说法错误，不符合题意； B、可以表示成，不可以表示成，原说法错误，不符合题意； C、直线和相交于点，原说法正确，符合题意； D、射线和射线表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，若，则线段的长度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的计算，解题的关键是根据题意，得到线段之间的数量关系，进行解答，即可． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7．若，，，则下列结论正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握度、分的单位换算方法是解题的关键． 先将进行单位换算，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 8．如图，节日的焰火可以看成由点运动形成的，可以说明这一现象的数学原理是 ． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了点线面体之间的关系，根据点动成线，线动成面，面动成体解答即可． 【详解】根据题意可知数学原理：点动成线． 故答案为：点动成线． 9．如图，，，平分，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了角的计算以及角平分线的定义，熟练掌握角的和差倍分是解答本题的关键． 根据条件先计算出，再依据条件计算出，根据平分求得结果即可． 【详解】解：，， ，， 平分， ， 故答案为：． 10．比较大小： （用，或连结）． 【答案】 【分析】本题考查角度的换算，先把两个都统一用度和分表示，再比较大小即可． 【详解】解：∵，而， ∴ 故答案为：． 11．若点A，B，C在同一条直线上，线段，线段则线段的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差关系，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．分点C在线段的延长线上和点C在线段上两种情况，利用线段的和差关系求解． 【详解】解：当点C在线段的延长线上时， ； 当点C在线段上时， ， 故答案为：或． 12．已知一个角的补角与这个角的余角的和是这个角的余角的5倍，求这个角的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了余角和补角，关键是表示出这个角的余角和补角进行列式．设这个角为，则它的余角为，补角为，根据题目所给等量关系列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则它的补角为，它的余角为， 由题意得：， 解得：， 答：这个角为． 13．如图，已知点A，B，C，D，按要求画图：    (1)画线段； (2)画射线； (3)画直线； (4)画点P，使最小，并写出画图的依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了作直线，射线，线段，及两点之间线段最短， （1）根据线段的定义画图即可． （2）根据射线的定义画图即可． （3）根据直线的定义画图即可． （4）根据线段的性质：两点之间线段最短，连接，交于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求；    （2）解：如图，射线即为所求；    （3）解：如图，直线即为所求；    （4）解：如图，连接，交于点P， 此时，为最小值， 则点P即为所求．    画图的依据为：两点之间线段最短． 14．如图，点是直线上的一点，，平分． (1)试说明； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查余角、补角，角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示中角度的关系，掌握余角、补角的计算是解题的关键． （1）根据同角的余角相等即可求解； （2）根据角平分线的性质，同角的余角相等可得，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，熟练的利用角的和差运算进行计算与证明是解本题的关键． （1）先求解，再证明，结合，从而可得答案； （2）证明，，结合 ，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 16．“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1－12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转度． 【课题学习】三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，，三点二十分时，时针与分针所成角度是， 【问题解决】 (1)三点三十分时，时针与分针所成角度是______，三点四十分时，时针与分针所成角度是______； (2)如图2，十二点钟时，时针与分针重合，在十二点钟到十三点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻： (3)当时针和分针所成角度为时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共______个美妙时刻． 【答案】(1)75；130 (2)在或时，时针与分针垂直 (3)22 【分析】本题考查了钟面角的计算、一元一次方程的应用： （1）先求出从三点开始分针旋转的角度，再求出时针旋转的角度，利用最终差值公式即可求解； （2）设从十二点开始过了分钟时针与分针垂直，最终差值可以是或，分类讨论：当最终差值为时，当最终差值为时，利用最终差值公式即可求解； （3）再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转，则时针每分钟少旋转，则可求得下一个美妙时刻所经过的时间为分，再利用一天的时间除以下一个美妙时刻所经过的时间即可求解； 熟练掌握题干中钟面角的最终差值的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：三点整时，时针与分针所成的角为，从三点到三点三十分，分针所转的角度是，时针所转的角度为， 三点三十分时，时针与分针所成角度是， 三点到三点四十分时，分针所转的角度是，时针所转的角度为， 三点三十分时，时针与分针所成角度是， 故答案为：75；130． （2）设从十二点开始过了分钟时针与分针垂直， 由题意得：分针旋转角度（初始角度时针旋转角度）最终差值，当时针与分针垂直时，最终差值可以是或， 当最终差值为时，， 解得：， 当最终差值为时，， 解得：， 综上所述，在或时，时针与分针垂直． （3）再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转， 则时针每分钟少旋转， 到达下一个美妙时刻需要的时间为分， 一天有分钟， ， 即一天有22个美妙时刻， 故答案为：22． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 几何图形初步 【考点01 认识平面图形和立体图形、图形分类】 【考点02正方体的展开图】 【考点03点、线、面、体】 【考点04直线、射线与线段的相关概念】 【考点05作图-直线射线和线段】 【考点06线段的有关计算】 【考点07钟面角】 【考点08方位角】 【考点09度分秒换算】 【考点10角平分线的概念有关运算】 【考点11三角板中角度计算问题】 【考点12余角和补角概念及及性质】 知识点1：认识平面图形和立体图形、图形分类 ⑴几何图形：几何图形是数学研究的主要对象之一。几物体的形状、大小和位置关系是何研究的内容。像长方体、圆柱、球、长方形、正方形、圆、线段、点、三角形、梯形……它们都是几何图形。 ⑵立体图形：有些几何体（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）各个部分都不在同一平面内，它们是立体图形。 ⑶平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。 知识点2：立体图形的展开图 立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。 如正方体的展开图有如下几种情况： 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: 知识点3：点、线、面、体。 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 点动成线，线动成面，面动成体。 知识点4：直线、射线与线段的概念 知识点5 ：基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 知识点6： 基本概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 知识点7：双中点模型 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 知识点8： 角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点9： 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 知识点10：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点11：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 知识点12： 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点13：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点14：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B 【考点01 认识平面图形和立体图形、图形分类】 【典例1】下列几何体中，含有曲面的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列几何体中，是圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列几何体中，不是柱体的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列几何体中，锥体的是（　　） A． B． C． D． 【考点02正方体的展开图】 【典例2】如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（    ） A．美 B．丽 C．卢 D．龙 【变式2-1】如图为正方体的平面展开图，相对的两个面上的数互为相反数，则m的值为（  ） A．3 B．－4 C．－6 D．2 【变式2-2】一个小立方块的六个面分别写着1、2、3、4、5、6，从三个不同方向看到的情形如图所示，那么“4”对面的数字是（   ） A．5 B．1 C．3 D．6 【变式2-3】如图，平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之积为，则 【考点03点、线、面、体】 【典例3】旋转一周，能得到下面左图所示几何体的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】直升飞机螺旋桨一般由4片桨叶组成，直升飞机起飞时，螺旋桨旋转时向下推动空气，即向下施加一个作用力，直升飞机获得竖直向上的力，使得飞机能悬浮在空中．若把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了（    ） A．面动成体 B．线动成面 C．点动成线 D．面面相交成线 【变式3-2】如图所示，将梯形绕它的长底边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】用平面去截一个长方体，不能截出的截面是（   ） A．椭圆 B．长方形 C．梯形 D．六边形 【考点04直线、射线与线段的相关概念】 【典例4】下列说法不正确的是（） A．射线和射线是同一条射线 B．经过两点有且只有一条直线 C．线段的长度就是点A与点B之间的距离 D．若，则点B不一定为线段的中点 【变式4-1】下列说法正确的是（   ） A．延长线段和延长线段的含义相同 B．射线和射线是同一条射线 C．两点之间线段的长度，叫作两点之间的距离 D．延长直线 【变式4-2】在下列生活，生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（   ） A．  平板弹墨线 B．  建筑工人砌墙 C．  会场摆直茶杯 D．  弯河道改直 【变式4-3】用所学知识解释生活中的现象，如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，为什么他们要做出如此破坏生态环境的不道德行为呢？试用所学数学知识来说明这个问题： ． 【考点05作图-直线射线和线段】 【典例5】如图，平面内有，，，四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若，，，四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站，要使供水站到，，，四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站的位置． 【变式5-1】如图，已知平面上A，B，C，D四个点． (1)按下列要求画图（不写画法）： ①连接； ②过点A，C作直线； ③作射线，交于点； (2)通过测量线段的长度，可知__________（填“”“＝”或“”），可以解释这一现象的基本事实为_________________． 【变式5-2】（1）平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求作图： ①作直线； ②作射线交直线于点E； ③连接，交于点F； （2）图中共有______条线段； （3）若图中F是的一个三等分点，，已知线段上所有线段之和为12，求的长． 【变式5-3】如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹） (1)画直线，画射线，连接； (2)延长线段到E．使得； (3)在线段上取点P，使的值最小． 【考点06线段的有关计算】 【典例6】如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求： (1)的长度为________； (2)的长度为________； (3)若在直线上，且，求的长度． 【变式6-1】已知线段，，那么线段的长度是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式6-2】如图，线段，C为线段延长线上一点，． (1)求线段的长； (2)若D是图中最长线段的中点，求线段的长． 【变式6-3】如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且m，n满足，点M，N分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求移动前线段的长． 【考点07钟面角】 【典例7】（1）时分时，时钟的时针与分针的夹角是多少度？时分时，时钟的时针与分针的夹角又是多少度？ （2）从时分到时分，时钟的分针与时针各转过了多少度？ （3）时钟的分针从时整的位置起，按顺时针方向旋转多少度时与时针第次重合？ 【变式7-1】一节课分钟，分针所转过的角度是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】钟面上的时间为时，再经过，时针与分针第一次重合，则t的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【考点08方位角】 【典例8】如图，在A、B两处观测到C处的方位角分别是（　　） A．北偏东，北偏西 B．北偏东，北偏西 C．北偏东，北偏西 D．北偏东，北偏西 【变式8-1】如图，下面说法中，不正确的是（   ） A．射线表示北偏东 B．射线表示西北方向 C．射线表示西偏南 D．射线表示南偏东 【变式8-2】慕梓睿一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于慕梓睿家南偏西的方向，则慕梓睿家位于西柏坡的（   ） A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 【变式8-3】周末明明和聪聪相约一起去科技馆，他们的位置如图所示，此时明明在聪聪的（   ） A．西偏南方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 【考点09度分秒换算】 【典例9】计算： ． 【变式9-1】若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】可化为（   ） A． B． C． D． 【考点10角平分线的概念有关运算】 【典例10】已知：在的内部，且，，射线平分，．求： (1)的度数； (2)的度数． 【变式10-1】如图，已知，平分，平分，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，直线、相交于O，，． (1)求的度数； (2)试说明平分． 【变式10-3】如图，，射线绕点从边位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点从边位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒． (1)当时，求的度数． (2)当与重合时，求的度数． (3)当时，求的值． (4)当射线是由射线、、中的其中两条射线组成的角的平分线时，直接写出的值． 【考点11三角板中角度计算问题】 【典例11】如图1所示，将一副三角板重叠放在一起，使直角的顶点重合于点O． (1)请从图1中找出以点O为顶点且相等的两个角（小于180°的角），并说明相等依据；（找出一对即可） (2)如图1，若．试求的度数； (3)如图1，当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有什么样的数量关系？请直接写出答案； (4)当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板无重合部分）时，如图2所示，那么与之间又有什么样的数量关系？请直接写出答案． 【变式11-1】【实践活动】 如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）若，则　　；　　（填、、）； （2）①若，则　　；若，则　　； ②与之间的数量关系是　　． 【折展探究】 （3）如图2，若，且，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【变式11-2】如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 【变式11-3】如图，将两块三角板的顶点重合． (1)请写出图中所有以O点为顶点且小于平角的角； (2)你写出的角中相等的角有 ； (3)若，试求的度数； (4)当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？ 【考点12余角和补角概念及及性质】 【典例12】如图，是直线上一点，平分，若，和互余，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】，则它的补角为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，已知是平角，平分，在平面上画射线，使和互余，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式12-3】已知，求： (1)的余角； (2)的2倍与的的差． 1．下列图形中，不属于立体图形的是（　　） A．B．C． D． 2．如图，，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 3．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面的字是（     ） A．乡 B．美 C．丽 D．设 8．小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒，如图，六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（   ） A．B．C．D． 5．如图，下面的说法正确的是（    ） A．点在直线上 B．可以表示成或 C．直线和相交于点 D．射线和射线表示同一条射线 6．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，若，则线段的长度是（   ）． A． B． C． D． 7．若，，，则下列结论正确的是 （ ） A． B． C． D． 8．如图，节日的焰火可以看成由点运动形成的，可以说明这一现象的数学原理是 ． 9．如图，，，平分，则的度数为 ． 10．比较大小： （用，或连结）． 11．若点A，B，C在同一条直线上，线段，线段则线段的长是 ． 12．已知一个角的补角与这个角的余角的和是这个角的余角的5倍，求这个角的度数． 13．如图，已知点A，B，C，D，按要求画图：    (1)画线段； (2)画射线； (3)画直线； (4)画点P，使最小，并写出画图的依据． 14．如图，点是直线上的一点，，平分． (1)试说明； (2)求的度数． 15．如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 16．“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1－12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转度． 【课题学习】三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，，三点二十分时，时针与分针所成角度是， 【问题解决】 (1)三点三十分时，时针与分针所成角度是______，三点四十分时，时针与分针所成角度是______； (2)如图2，十二点钟时，时针与分针重合，在十二点钟到十三点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻： (3)当时针和分针所成角度为时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共______个美妙时刻． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$