广东省清远市清新区第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

1 2024-2025 学年高二上学期 12 月考数学试题参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A D B B B AC BD 题号 11 答案 BCD 1．解：因为直线方程为 3 2 0x y   ，化为斜截式为： 3 2 3 3 3 y x   ， 所以直线的斜率为： 3 3  .故选：D. 2．由抛物线方程 2 20y x ，得 10p  ，故抛物线焦点到准线距离为10，故选：B. 3． 1l ：  1 2 0x m y    ， 2l ： 2 4 0mx y   斜率不可能同时不存在， ∴ 1 2l l ∥ 1l 和 2l 斜率相等，则 21 2 0 1 1 2 m m m m m           或 2m   ， ∵m＝－2时， 1l 和 2l 重合，故 m＝1. 另解： 1 2l l ∥ 1 1 2 1 2 2 4 m m m        ，故 m=1.故选：B. 4．令周一至周五的 5天依次为 1，2，3，4，5，则周一至周五任选两天的样本空间 {12,13,14,15,23,24,25,34,35,45}  ，共 10个样本点，连续两天的事件 {12,23,34,45}A  ， 共 4个样本点，所以该校的同学甲连续两天为父母捶背的概率为 4 2( ) 10 5 P A   .故选：C 5．若方程 2 2 1 1 2 x y k k     表示椭圆，则 1 0 2 0 1 2 k k k k          ，解得 31 2 k  或 3 2 2 k  ， 因为 1k k   31 2 k k    或 3 2 2 k     ， 因此，“ 1k  ”是“方程 2 2 1 1 2 x y k k     表示椭圆”的必要不充分条件.故选：D. 6．由平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 可得 1 1AC AB BC CC       ， 又 1 12 3AC xAB yBC zC C       ，所以 1,2 1,3 1x y z    ， 则 1 1 71 2 3 6 x y z      .故选：B. 7．设与直线 1y x  平行的直线 l的方程为 y x m  ， 2 ∴当直线 l与曲线 2 2x y  相切，且点Q为切点时， P，Q两点间的距离最小， 设切点  0 0,Q x y ，  2 2x y  ，所以 2 1 2 y x  ， y x    ， 0 01 1x x     ， 0 1 2 y   ， 点 11, 2 Q      ，直线 l的方程为 1 2 y x  ， ,P Q 两点间距离的最小值为平行线 1 2 y x  和 1y x  间的距离， ,P Q 两点间距离的最小值为 11 22 42   .故选：B . 8．第一个数列的公差为 4，第二个数列的公差为 6，故新数列的公差是 4和 6的最小公倍数 12，则新数列的公差为 12，首项为 2，其通项公式为  2 1 12 12 10n n     ，令12 10 200n  ， 得 17.5n  ，故 17n  ，则 1 1717 2 19417 17 1666 2 2 a aS       ，故选：B. 9．A： ( )11 1a b+ = - -  ，， ，所以 3a b   ，A正确； B： ( )3 0 4a c+ = -   ，， ，所以( ) ( ) 3 0 4 1a b a c+ × + = - + + =    ，B错误； C： ( )2 3 3 1a b+ = - -  ，， ，( )2 6 3 3 0a b c+ × = - + + =   ，所以  2a b c  ，C正确； D： ( )2 6 0 6c b- = -  ，， ，不存在实数，使得 ( )2a c bl= -   ，故 a  与2c b-  不平行，D错误． 故选：AC． 10．直线 BC的斜率为 7 3 2 6 0 3 k    ，而直线3 2 1 0x y   的斜率为 3 2 ，两直线不平行，A 错； BC边上高所在直线斜率为 3 2  ，直线方程为 3 ( 4) 2 y x   ，即3 2 12 0x y   ，B正确； 过C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为 13 0x y   ，过原点时方程为 7 6 y x ，C错； 过点 A且平分△ABC面积的直线过边 BC中点，坐标为 (3,5)，D正确 ．故选：BD． 11．依题知， 3, 5a c  ，则 2 2 4b c a   ，所以双曲线的方程为 2 2 1 9 16 x y   ，且  5,0F 对于 A，当直线的斜率为零时，该直线截双曲线的弦长为 322 6 3 a   ，故 A错误； 对于 B，双曲线的离心率 5 3 ce a   ，故 B正确； 3 对于 C，设双曲线上任意一点      , , , 3 3,P x y x       ，则 2 2 16 16 9 xy   ， 则   2 2 2 255 10 9 9 xPF x y x      ， 又 225 10 9 9 xy x   的对称轴为 9 5 x  ，故当 3x  时， min 2PF  ，故 C正确； 对于 D，双曲线方程知，渐近线方程为 4 3 by x x a     ，故 D正确；故选：BCD. 12．等比数列 na 满足 1 3a  ， 3 6a  ，由 23 1 5a a a ，得 2 2 3 5 1 6 12 3 aa a    .故答案为：12 13．如图所示，建立如下空间直角坐标系， 依题可得，        1 12,0,0 , 0,2,1 , 1,1,0 , 2,2,1A C F B , 则    1 12, 2,1 , 1,1,1AC FB     , 所以 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3cos , 99 3 AC FBAC FB AC FB                 , 故直线 1AC 与直线 1BF所成角的余弦值为 3 9 ,故答案为： 3 9 . 14．设椭圆的左焦点为 1F ,连接 1AF ，OT ,由几何关系可知 1 1 2 OT AF b  ，则 2 2 2 2TF OF OT c b    ，即 2 22AF c b  ， 由椭圆的定义可知 1 2AF AF a  ，即 2 22 2 2b c b a   且 2 2 2c a b  ， 整理得 23 2 0b ab  ，解得 2 3 b a  ， 2 2 2 2 2 2 2 51 3 c a b be a a a       .故答案为： 5 3 . 15．【详解】（1）解：由直线 1 : 4 3 10 0l x y   ，可得斜率 1 4 3 k  ， ……2 分 因为 1 2l l ，所以直线 2l 的斜率为 2 3 4 k   ， ……4 分 又因为直线 2l 过点  1,1 ，所以直线 2l 的方程为 31 ( 1) 4 y x    ，即3 4 7 0x y   .……6 分 4 （2）解：由圆 2 2 11: ( ) 25 2 C x y   ，可得圆心 11(0, ) 2 C ，半径 = 5r ，……8分 则圆心C到直线 1 : 3 4 7 0l x y   的距离为 2 2 114 7 2 3 3 4 d      ，……10 分 又由圆的弦长公式，可得弦长 2 22 2 25 9 8AB r d     .……13 分 16．【详解】(1)由等差数列的性质可得： 5 35S a ，则： 3 3 35 , 0a a a   ，……2 分 设等差数列的公差为 d，从而有：     22 4 3 3a a a d a d d     ，……4分      4 1 2 3 4 3 3 3 32 2S a a a a a d a d a a d d             ，……6 分 从而： 2 2d d   ，由于公差不为零，故： 2d ，……7分 数列的通项公式为：  3 3 2 6na a n d n     .……8 分 (2) 由数列的通项公式可得： 1 2 6 4a     ，……9分 则：     2 1 4 2 5 2n n n S n n n         ，……10 分 则不等式 n nS a 即： 2 5 2 6n n n   ，整理可得：    1 6 0n n   ，……12 分 解得： 1n  或 6n  ，……14 分 又 n为正整数，故 n的最小值为7 .……15 分 18．【详解】（1）解法一：因为底面 ABCD是正方形，侧棱 PD 底面 ABCD，以 D为原点， DA，DC，DP所在直线分别为 x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系，……1分 依意得 (1,0,0)A ， (1,1,0)B ， (0,0,1)P ， 1 10, , 2 2 E      ，……2 分 所以 (1,1, 1)PB    ， 1 10, , 2 2 DE        ，……3 分 因为 1 10 0 2 2 PB DE       ，所以 PB ED ，……5分 由已知 EF PB ，且 EF DE E  ，EF 平面 EFD，DE 平面 EFD 所以 PB 平面 EFD．……8分 解法二：底面 ABCD是正方形， BC CD  ，……1分 PD  底面 ABCD，且 BC 平面 ABCD， PD BC  ，……2分 PD CD D  ， PD 平面 PCD，CD 平面 PCD， BC 平面 PCD， DE  平面 PCD， BC DE  ，……3分 1PD DC  ，E为 PC中点， DE PC  ，……4 分 5 BC PC C  ， BC 平面 PBC ， PC 平面 PBC ， DE 平面 PBC ……5 分 PB  平面 PBC ， DE PB  ，……6 分 由已知 EF PB ，且 EF DE E  ， EF 平面 EFD，DE 平面 EFD， 所以 PB 平面 EFD .……8 分 （2）解法一：依题意得 (0,1,0)C ，且 (1,0,0)CB   ， (0,1, 1)PC    ，……9 分 设平面CPB的一个法向量为 ( , , )n x y z  ， 则 0, 0, CB n x PC n y z              ，即 0, , x z y    取 (0,1,1)n   ，……11 分 因为 (1,1,0)DB   ， (0, 0,1)DP   ，设平面 PBD的一个法向量为  , ,m a b c  ， 则 0, 0, DB m a b DP m c              即 0 a b c     取 (1, 1,0)m    ，……13 分 设平面CPB与平面 PBD的夹角为 ，则 1cos cos , 2 n mn m n m           ，……14 分 又 π0, 2      ，所以 π 3   ，所以平面CPB与平面PBD的夹角为 π 3 ．……15 分 解法二：由（1）知 PB 平面 EFD， DF PB  ， 又 EF PB ，DF 平面 PBD， EF 平面CPB， DFE 为平面CPB与平面 PBD所成角，……9分 1PD CD  ，E为 PC中点， 2 2 DE  ， 2BD  ， 6 3 DF  ……10 分 DE  平面 PBC ， EF 平面 PBC ， DE EF  ，……12 分 直角三角形DEF 中， 2 32sin 26 3 DEDFE DF     ，所以 π 3 DFE  ，……14 分 所以平面CPB与平面 PBD的夹角为 π 3 ……15 分 17．【详解】（1）因为 2n nS a n  ， 当 1n  时， 1 12 1S a  ，解得得 1 1a  ；……1 分 当 2n  时，由 2n nS a n  ，得 1 12 ( 1)n nS a n    ，……2分 6 两式相减得 1 12 2 1n n na a a    ，即 1 2 1n na a   ，……3 分 则  1 1 2 1n na a    ，即 1 2n nb b  ，……4分 又 1 1 1 2b a   ，故 0nb  ，所以 1 2n n b b   ，……6分 所以 nb 是以 1 2b  为首项，2为公比的等比数列， 所以 12 2 2n nnb    ，即 1 2nna   ， 所以 2 1nna   ．……8 分 （2）由（1）得 2nnb  ， 所以  2 2 12 1 2log l2 2 2 1 2ogn n n n n nc nb b       ,……10 分 所以  1 2 33 2 5 2 7 2 2 1 2nnT n          ，……11 分 则   12 3 42 2 1 23 2 5 2 7 2 nnT n          ，……12 分 两式相减，得   11 2 3 23 2 2 2 2 2 2 2 1 2nn nT n             ……13 分      1 12 1 2 2 1 2 22 1 22 2 1 2 n n nn n             ，……16 分 所以   12 1 2 2nnT n     ．……17 分 19．【详解】（1）由 1 2 2 4F F c  ，得 2c  ，……1分 又 1ABF 的周长为8 2，即 4 8 2a  ， 2 2 22 2, 2, 8 4 4a c b a c        ，……3 分 椭圆C的标准方程为 2 2 1 8 4 x y   .……4 分 （2）设        1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , ,A x y B x y P x y Q x y ， 7 当直线 AB的斜率为 0时，得 4 2, 4, 2 AB AB PQ PQ    ；……6 分 当直线 AB的斜率不为 0时，设直线 : 2AB x ty  ，直线 :PQ y tx  ，……7 分 联立直线 AB和椭圆C的方程，并消去 x整理得  2 22 4 4 0t y ty    ，  2 2 2Δ 16 4 4 2 32 32 0t t t       . 由根与系数的关系得 1 2 1 22 2 4 4, 2 2 ty y y y t t        ，……9 分 所以       2 22 1 2 1 2 2 4 2 1 1 4 2 t AB t y y y y t          联立直线 PQ和椭圆C的方程，并消去 y整理得  2 21 2 8 0t x   ， 由根与系数的关系得 3 4 3 4 2 80, 1 2 x x x x t      ，……11 分     2 22 3 4 3 4 2 4 2 11 4 1 2 tPQ t x x x x t         ，……12 分 所以   2 2 2 1 1 2 2 t tAB PQ t     .……13 分 令  2 2 2u t u   ，则 2 2,t u  不妨设      1 2 3u uAB f u PQ u     2 2 3 5 1 5 12 3 6 12u u u           ，……15 分 8 2u  ， 1 10, 2u      ，  1 2 2 f u   ， 1 2 2 AB PQ    综上可得， AB PQ 的取值范围为 1 , 2 2      .……17 分 答案第 1页，共 4页 清新区第一中学 2024-2025 学年高二上学期月考数学试题 (时间:120分钟 分值:150分) 命题：邹俊杰 审核：王志坤 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1．直线 3 2 0x y   的斜率为（ ） A． π 3 B． 5π 6 C． 3 D． 3 3  2．抛物线 2 20y x 的焦点到准线的距离为（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 3．已知两条直线 1l ：  1 2 0x m y    ， 2l ： 2 4 0mx y   ，且 1 2l l∥ ，则m的值为( ) A．－2 B．1 C．－2或 1 D．2或－1 4．圆    2 2: 1 1 2C x y    关于直线 : 1l y x  对称后的方程为（ ） A．  2 22 2x y   B．  2 22 2x y   C．  22 2 2x y   D．  22 1 2x y   5．若 Rk ，则“ 1k  ”是“方程 2 2 1 1 2 x y k k     表示椭圆”的（ ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 6．平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1 12 3AC xAB yBC zC C       ，则 x y z  （ ） A．1 B． 7 6 C． 5 6 D． 2 3 7．若动点 P在直线 1y x  上，动点 Q在曲线 2 2x y  上，则|PQ|的最小值为（ ） A． 1 4 B． 2 4 C． 2 2 D． 1 8 答案第 2页，共 4页 8．已知两个等差数列 2，6，10，L，202及 2，8，14，L，200，将这两个等差数列的公 共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ） A．1678 B．1666 C．1472 D．1460 二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分，有选错的得 0 分) 9．已知 ( )1 1 1a = - -  ， ， ， ( )2 2 0b = -  ，， ， ( )21 3c = -  ，， ，则（ ） A． 3a b   B．     6a b a c        C．  2a b c   D． ( )/ / 2a c b-   10．△ABC的三个顶点坐标为 A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（ ） A．边 BC与直线3 2 1 0x y   平行 B．边 BC上的高所在的直线的方程为3 2 12 0x y   C．过点 C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 13 0x y   D．过点 A且平分△ABC面积的直线与边 BC相交于点 D(3，5) 11．若双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的实轴长为 6，焦距为 10，右焦点为 F，则下列结 论正确的是（ ） A．过点 F的最短的弦长为 32 3 B．双曲线 C的离心率为 5 3 C．双曲线 C上的点到点 F距离的最小值为 2 D．双曲线 C的渐近线为 4 3 y x  第ⅠI 卷（非选择题） 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12．已知等比数列 na 满足 1 3a  ， 3 6a  ，则 5a  ． 13．长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 2AB BC  ， 1 1CC  ，点 F是底面 ABCD的中心，则直 线 1AC 与直线 1BF所成角的余弦值为 ． 14．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的右焦点为 F，过 F点作圆 2 2 2x y b  的一条切线，切 点为 T，延长 FT交椭圆 C于点 A，若 T为线段 AF的中点，则椭圆 C的离心率为 ． 答案第 3页，共 4页 四、解答题本大题共 5 个大题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤． 15．(本小题满分 13分)已知直线 1 : 4 3 10 0l x y   与 2l 垂直,且 2l 经过点  1,1 . (1)求 2l 的方程; (2)若 2l 与圆 2 211: ( ) 25 2 C x y   相交于 ,A B两点,求 AB . 16．(本小题满分 15分)记 nS 是公差不为 0的等差数列 na 的前 n项和，若 3 5 2 4 4,a S a a S  ． （1）求数列 na 的通项公式 na ； （2）求使 n nS a 成立的 n的最小值． 17．(本小题满分 15分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD 底 面 ABCD， 1PD DC  ，E是 PC的中点，作EF PB 交 PB于点 F． (1)求证：PB 平面 EFD； (2)求平面CPB与平面 PBD的夹角的大小． 答案第 4页，共 4页 18．(本小题满分 17分)记数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 2n nS a n  . 1n nb a  (1)证明：数列 nb 为等比数列，并求数列 na 的通项公式； (2)设 2 2 1logn n nc b b   ，求数列 nc 的前 n项和 nT . 19．(本小题满分 17分)已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的左､右焦点分别为 1 2,F F ，且 1 2 4FF  .过右焦点 2F 的直线 l与C交于 ,A B两点， 1ABF 的周长为8 2 . (1)求椭圆C的标准方程； (2)过原点O作一条垂直于 l的直线 1 1,l l 交C于 ,P Q两点，求 AB PQ 的取值范围. 2024-2025学年第一学期高二数学月考 答题卡 考 号学 校： 座位号： 班 级： 姓名： 试室号： 第 1 页 共 4 页 数学答题卡 学科网（北京）股份有限公司 注意事项 : 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班别、姓名、试室号、座位号和考号，贴好条形码。 2．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 条形码粘贴处 一、选择题 (第 1-8 题为单选题，第 9-11 题为多选题，共 58分) 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 以下为非选择题答题区，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目的指定区域作答。否则答案无效。 二.填空题（每题5分，共15分） 12. ； 13. ； 14. . 三.解答题(共77分) 15.（本题 13 分） 16.（本题 15 分） 17.（本题 15 分） 第 2 页 共 4 页 数学答题卡 学科网（北京）股份有限公司 18.（本题 17 分） 19.（本题 17 分） 第 4 页 共 4 页 数学答题卡 学科网（北京）股份有限公司 $$