专题01 实数及其运算【十大考点+知识串讲】-2025年中考数学一轮总复习重难考点强化训练（全国通用版）

专题01 实数及其运算 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）实数的分类 （1）实数分类 （2）无理数的几种常见类型 ①开方开不尽的数，如，等； ②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等； ③有特定结构的数，如0.1010010001…等无限不循环小数； （二）实数的相关概念 （1）绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。 （2）相反数：实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零).从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。 （3）倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 （4）数轴：①数轴的三要素为原点、正方向和单位长度，数轴上的点与实数构成一一对应． ②数轴上a，b两点之间的距离= （三）科学计数法 （1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数 （2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成， 1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个） （四）实数的大小比较 有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， ， ， （3）求商比较法：设a、b是两正实数， （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 （5）平方法：设a、b是两负实数，则。 备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。 （五）开方运算 （1）平方根、算数平方根： 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 （2）立方根： 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 （六）实数运算 常考的运算法则： （1）乘方：（-2）3=-8 （2）-1的奇偶次幂：（偶次为1，奇次为-1） （3）零次幂：a0=1（a≠0） （4）负指数幂：a-n=（按正指数，再倒数） （5）绝对值运算： （6）特殊角的三角函数：sin30°=等 实数的运算顺序： 实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行． 运算律： （1）加法交换律：a+b=b+a． （2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）． （3）乘法交换律：ab=ba． （4）乘法结合律：（ab）c=a（bc）． （5）分配律：a（b+c）=ab+ac． 模块三 考点一遍过 考点1：实数的分类 典例1：在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列各数是负数的是（    ） A．0 B． C． D． 【变式2】四个数－1，0，，中，为无理数的是 ． 【变式3】在，，，，这五个数中，有理数有 个 考点2：数轴的相关计算 典例2：实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（    ） A．2023 B． C． D． 【变式2】如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．    【变式3】一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为 ． 考点3：相反数 典例3：若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（    ） A． B． C．9 D．1 【变式1】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 【变式2】若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 【变式3】计算： ． 考点4：绝对值 典例4：已知a，b都是实数，若，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2023 【变式1】已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知实数a，b满是，则的最大值为 ． 【变式3】已知，都是实数，若，则 ． 考点5：科学计数法 典例5：我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为 ． 【变式3】年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长左右，城镇新增就业万人以上……将数“万”用科学记数法表示为 ． 考点6：近似数 典例6：用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是（ ） A．3.142 B．3.141 C．3.14 D．3.1 【变式1】用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（　　） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.050（精确到0.001） 【变式2】为了保护人类居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作．2011年，我国火电企业的平均煤耗继续降低，仅为330000毫克/千瓦时，用科学记数法表示并保留三个有效数字为 毫克/千瓦时． 【变式3】某省将为义务教育阶段的贫困学生免费发放教科书，预计发放总量为1500万册，发放总量用科学记数法记为 万册（保留3个有效数字）． 考点7：实数的大小比较 典例7：下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 【变式3】写出一个比大且比小的整数是 ． 考点8：平方根、算术平方根、立方根 典例8：完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 【变式1】的平方根是（　　） A． B． C． D． 【变式2】计算： ． 【变式3】一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为 ． 考点9：无理数的估算 典例9：矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【变式1】设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 【变式3】若两个连续的整数、满足，则的值为 ． 考点10：实数的运算 典例10：计算： 【变式1】计算： 【变式2】计算：． 【变式3】计算：． 【变式4】计算：． 【变式5】计算：． 【变式6】计算：． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 实数及其运算 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）实数的分类 （1）实数分类 （2）无理数的几种常见类型 ①开方开不尽的数，如，等； ②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等； ③有特定结构的数，如0.1010010001…等无限不循环小数； （二）实数的相关概念 （1）绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。 （2）相反数：实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零).从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。 （3）倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 （4）数轴：①数轴的三要素为原点、正方向和单位长度，数轴上的点与实数构成一一对应． ②数轴上a，b两点之间的距离= （三）科学计数法 （1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数 （2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成， 1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个） （四）实数的大小比较 有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， ， ， （3）求商比较法：设a、b是两正实数， （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 （5）平方法：设a、b是两负实数，则。 备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。 （五）开方运算 （1）平方根、算数平方根： 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 （2）立方根： 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 （六）实数运算 常考的运算法则： （1）乘方：（-2）3=-8 （2）-1的奇偶次幂：（偶次为1，奇次为-1） （3）零次幂：a0=1（a≠0） （4）负指数幂：a-n=（按正指数，再倒数） （5）绝对值运算： （6）特殊角的三角函数：sin30°=等 实数的运算顺序： 实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行． 运算律： （1）加法交换律：a+b=b+a． （2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）． （3）乘法交换律：ab=ba． （4）乘法结合律：（ab）c=a（bc）． （5）分配律：a（b+c）=ab+ac． 模块三 考点一遍过 考点1：实数的分类 典例1：在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】实数的分类、求一个数的立方根、零指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答． 【详解】解：在实数，x0（x≠0）=1，，中，有理数是，x0=1， 所以，有理数的个数是2， 故选：B． 【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 【变式1】下列各数是负数的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数的分类 【分析】根据小于0的数是负数即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴-＜0＜＜-(-5)， ∴-是负数， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了负数的定义．解题的关键是掌握负数的定义，要注意0既不是正数，也不是负数． 【变式2】四个数－1，0，，中，为无理数的是 ． 【答案】 【知识点】实数的分类、无理数 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：－1，0，是有理数； 是无理数； 故答案为：． 【点睛】此题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，解题的关键是知道初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，π3等；②开方开不尽的数，如等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0．1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0．2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等． 【变式3】在，，，，这五个数中，有理数有 个 【答案】3 【知识点】有理数的定义、实数的分类 【分析】根据有理数和无理数的定义进行判断即可得. 【详解】根据题意可得有理数有，，， ，为无理数， 所以有理数有3个， 故答案为3． 【点睛】本题考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数与无理数的定义. 考点2：数轴的相关计算 典例2：实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、实数与数轴、绝对值的意义、不等式的性质 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 【变式1】如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（    ） A．2023 B． C． D． 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】根据数轴的定义求解即可． 【详解】解；∵数轴上点A表示的数是2023，， ∴， ∴点B表示的数是， 故选：B． 【点睛】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． 【变式2】如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是 ．    【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算 【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可． 【详解】解：∵点是的中点，线段， ∴， ∴点表示的数是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． 【变式3】一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为 ． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上的动点问题、线段中点的有关计算 【分析】先根据数轴的定义、线段中点的定义分别求出点表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】由题意得：点表示的数为 点表示的数为 点表示的数为 点表示的数为 归纳类推得：点表示的数为（n为正整数） 则点表示的数为 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴的定义、线段中点的定义，根据点表示的数，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 考点3：相反数 典例3：若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（    ） A． B． C．9 D．1 【答案】D 【知识点】相反数的定义、已知式子的值，求代数式的值、倒数 【分析】本题考查了相反数、倒数、求代数式的值，根据相反数和倒数的定义得出，，将式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握相反数、倒数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式1】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 【答案】A 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可． 【详解】解：A、和互为相反数，故A选项符合题意； B、2024和互为倒数，故B选项不符合题意； C、和2024不互为相反数，故C选项不符合题意； D、和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义、求一个数的立方根、已知式子的值，求代数式的值 【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式3】计算： ． 【答案】2024 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2024． 考点4：绝对值 典例4：已知a，b都是实数，若，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2023 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可求解a，b的值，再代入计算可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了绝对值与偶次方非负性的应用，解题关键是利用非负性求出a、b的值． 【变式1】已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、有理数的除法运算 【分析】根据数轴上点的位置可得，，据此化简求解即可． 【详解】解：由数轴上点的位置可得，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了化简绝对值，根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的除法，正确得到，是解题的关键． 【变式2】已知实数a，b满是，则的最大值为 ． 【答案】55 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求不等式组的解集 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，解一元一次不等式组，根据题意得出的取值范围是解题的关键． 根据得出，从而得出，根据得出的取值范围，再根据即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的最大值为55， 故答案为：55 ． 【变式3】已知，都是实数，若，则 ． 【答案】 【知识点】乘方的应用、有理数的乘方运算、绝对值非负性 【分析】根据绝对值，偶次幂的非负性求出，，再代入计算即可． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值，偶次幂的非负性，求出，的值是解本题的关键． 考点5：科学计数法 典例5：我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同， 【详解】解：万， 则， 故选：B． 【变式1】“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式2】2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：3802亿， 故答案为：． 【变式3】年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长左右，城镇新增就业万人以上……将数“万”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“，其中，是正整数”是解题的关键． 【详解】解：万， 故答案为：． 考点6：近似数 典例6：用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是（ ） A．3.142 B．3.141 C．3.14 D．3.1 【答案】A 【知识点】求一个数的近似数 【分析】把万分位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：把3.14159精确到千分位约为3.142， 故选：A． 【点睛】本题考查了近似数,近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 【变式1】用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（　　） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.050（精确到0.001） 【答案】C 【知识点】求一个数的近似数 【详解】解：A、0.05049精确到0.1应保留一个有效数字，故是0.1，故本选项正确； B、0.05049精确到百分位应保留一个有效数字，故是0.05，故本选项正确； C、0.05049精确到千分位应是0.050，故本选项错误； D、0.05049精确到0.001应是0.050，故本选项正确． 故选C． 【变式2】为了保护人类居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作．2011年，我国火电企业的平均煤耗继续降低，仅为330000毫克/千瓦时，用科学记数法表示并保留三个有效数字为 毫克/千瓦时． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法与有效数字．用科学记数法，是正整数，表示的数的有效数字应该由首数来确定，首数中的数字就是有效数字，由此即可得到答案． 【详解】解：330000毫克/千瓦时，用科学记数法表示并保留三个有效数字为毫克/千瓦时． 故答案为：． 【变式3】某省将为义务教育阶段的贫困学生免费发放教科书，预计发放总量为1500万册，发放总量用科学记数法记为 万册（保留3个有效数字）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法，题目比较典型，是中考中重点题型．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于1500有4位，所以可以确定．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的有关，与10的多少次方无关． 【详解】解：． 故答案为：． 考点7：实数的大小比较 典例7：下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴最小的数是 故选：A． 【变式1】下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】根据正数负数，即可进行解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴比1小的正无理数是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数． 【变式2】我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】> 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 【变式3】写出一个比大且比小的整数是 ． 【答案】2或3 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】先估算出、的大小，然后确定范围在其中的整数即可． 【详解】∵ ， ∴ 即比大且比小的整数为2或3， 故答案为：2或3 【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键． 考点8：平方根、算术平方根、立方根 典例8：完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可． 【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100， ∴一个正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：B． 【变式1】的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：， ∵9的平方根为， ∴的平方根是， 故选：A． 【变式2】计算： ． 【答案】3 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的立方根 【分析】本题考查实数的混合混算，先进行开方和乘方运算，再进行加法运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：3． 【变式3】一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为 ． 【答案】2 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求立方根即可． 【详解】∵和是正数a的平方根， ∴， 解得 ， 将b代入， ∴正数 ， ∴， ∴的立方根为：， 故填：2． 【点睛】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数． 考点9：无理数的估算 典例9：矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选：C． 【变式1】设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的加减运算 【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键． 【变式2】已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、无理数的大小估算 【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）由即可得到答案； （2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，而， ∴； 故答案为：； （2）∵a，b，n均为正整数． ∴，，为连续的三个自然数，而， ∴，， 观察，，，，，，，，，，， 而，，，，， ∴与之间的整数有个， 与之间的整数有个， ∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个）， 故答案为：． 【变式3】若两个连续的整数、满足，则的值为 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】求出在哪两个连续整数之间即可求得两个连续整数，，进而求得的值． 【详解】∵， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，属于基础题，熟练掌握“夹逼法”的应用是解答本题的关键． 考点10：实数的运算 典例10：计算： 【答案】4 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】先计算锐角的余弦，负整数指数幂，化简绝对值，零次幂，算术平方根，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是实数的混合运算，负整数指数幂的含义，零次幂的含义，求解算术平方根，特殊角的三角函数值，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键． 【变式1】计算： 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算 【分析】先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、减法运算，再进行加减混合运算即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式2】计算：． 【答案】6 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算 【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简计算即可得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 【变式3】计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、特殊三角形的三角函数、二次根式的乘法 【分析】根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝ 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键． 【变式4】计算：． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算 【分析】先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得 【详解】解：原式 ． 【点晴】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质． 【变式5】计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算 【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 【变式6】计算：． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、特殊三角形的三角函数、实数的混合运算、零指数幂 【分析】原式分别利用乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，乘法法则分别计算，再作加减法． 【详解】解： = = 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$