专题06 等腰三角形有关问题与最短路径问题-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（人教版）

专题06 等腰三角形有关问题与最短路径问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（6大题型） 目录 题型一 等腰三角形中的分类讨论思想 1 题型二 角平分线+垂线构造等腰三角形 2 题型三 等腰三角形+一边的平行线构造等腰三角形 3 题型四 利用垂直平分线构造等腰三角形 4 题型五 转化倍角，构造等腰三角形 4 题型六 最短路径问题 5 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 等腰三角形中的分类讨论思想 ⭐技巧积累与运用 1、 底角或腰不确定时分类讨论 2、 高的位置不确定时分类讨论 3、 腰的垂直平分线不确定时分类讨论 类型一、底角或腰不确定时分类讨论 1．等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 2．已知等腰三角形其中一个内角为，那么这个等腰三角形的顶角度数为（  ） A． B．或 C．或 D．或 3.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 4.一个等腰三角形的周长为18，其中一边长是8，求出其他两边的长． 类型二、高的位置不确定时分类讨论 1．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角的度数为 ． 2．等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度为 ． 3.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求该等腰三角形的顶角的度数． 类型三、腰的垂直平分线不确定时分类讨论 1．在中，，的垂直平分线与直线所成的角为，则等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为，则此等腰三角形的顶角是（  ） A． B． C．或 D．或 3.已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为50°，则此等腰三角形的底角是 （    ） A．70° B．20° C．20°或70° D．40°或70° 4.已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，求此等腰三形的顶角的度数． 题型二 角平分线+垂线构造等腰三角形 ⭐技巧积累与运用 若OC平分∠AOB,ED⊥OC,延长ED交OB于点F，则，△OEF是等腰三角形. 1．如图，中，是的平分线，于，于．求证： (1)； (2)垂直平分． 2．如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长． 题型三 等腰三角形+一边的平行线构造等腰三角形 ⭐技巧积累与运用 1．已知，如图，，的平分线交于，过作，交于，交于． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 2．如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． (1)求的度数； (2)求的周长． 3．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 题型四 利用垂直平分线构造等腰三角形 ⭐技巧积累与运用 1．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求 ． 2．如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型五 转化倍角，构造等腰三角形 ⭐技巧积累与运用 1．在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数． 2．如图，在中，平分，交于，，，，求的长． 3．如图，在中，，，分别垂直平分，，交线段于M，N，，的延长线交于点F，设O为中点，连接． (1)求的度数； (2)证明：． 题型六 最短路径问题 ⭐技巧积累与运用 1、 利用轴对称解决最短路径问题 2、 利用平移解决最短路径问题 类型一、利用轴对称解决最短路径问题 1．如图，等边三角形的边长为8，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 2．如图，等边中，点D，E分别是，的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 3．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 4．已知：两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点．（不用写作法） (1)如图①，在上求作一点，使得最小； (2)如图②，在上求作一点，使得最小； (3)如图③，在上求作一点，使得最大． 类型二、利用平移解决最短路径问题 1．（1）在图（1）中用尺规作图作一点，使至，的距离相等，且到，的距离相等； （2）如图（2），在上找一点，使最小．（保留作图痕迹） 2．如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． (1)燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． (2)若测得A，B两镇的距离为，又测得A，B两镇到公路l的距离分别为和，求所铺设管道的最短长度． 3．如图所示，在，两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥，．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥，的位置，使由村到村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置） 一、单选题 1．已知等腰三角形的周长为，且一边长为，则腰长为(   ) A． B． C． D．或 2．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形的顶角是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 4．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（  ）   A．4 B．5 C．6 D．8 5．如图，在等腰中，腰长为5，，分别是上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．13 6．如图，在中，，平分，，且，，则（　　） A．30 B．40 C．50 D．60 二、填空题 7．一个等腰三角形的内角为，则其顶角的度数为 ． 8．如果一个三角形的两边的垂直平分线交点在第三边上，则这个三角形的最大角的度数是 ． 9．如图，在中，，P是边上的动点（不与点B重合），点B关于直线的对称点是，连接，则长度的最小值是 ． 10．如图，，C为上的定点，，若点M，N分别为射线上的动点，则的最小值为 ． 三、解答题 11．等腰三角形的周长为20厘米． (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长． 12．如图，，点A在上，垂直平分分别交、于点B、C．点D在射线上，不与点O、B重合，当是等腰三角形时，求的度数． 13．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 14．在中，，，点是上一点，，点是上一点，． (1)如图，求证：是等腰三角形． (2)如图，过点作于点，求证：平分． 15．在等边三角形中，D为所在直线上的一个动点，E为延长线上一点，． (1)如图1，若点D在边上，求证：． (2)如图2，若点D在边的延长线上，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由． 16．如图，在中，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． (1) ______（用含t的式子表示）； (2)当点Q在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，直接写出此时t的值：______． 一、单选题 1．如图，在中，，分别是线段，的垂直平分线.若．则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．中，，，，是的角平分线，点E、F分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（　　） A．4 B．3 C．8 D．16 二、填空题 3．如图，在中，，边的垂直平分线交于点，连接，如果，那么的长为 ． 4．如图，，D为的垂直平分线上一点，且，，则 ． 三、解答题 5．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上． (2)已知，求的度数． 6．如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，的三个顶点都在格点上（用无刻度的直尺画图）． (1)画出的中线； (2)作出关于直线对称的； (3)在直线上找到一点，使的值最小． 7．在中，，，的平分线交边于点D． (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点E，在上截取，连接，求证：； (3)如图3，若外角的平分线交延长线于点E，求证： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 等腰三角形有关问题与最短路径问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（6大题型） 目录 题型一 等腰三角形中的分类讨论思想 1 题型二 角平分线+垂线构造等腰三角形 7 题型三 等腰三角形+一边的平行线构造等腰三角形 9 题型四 利用垂直平分线构造等腰三角形 12 题型五 转化倍角，构造等腰三角形 15 题型六 最短路径问题 18 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 等腰三角形中的分类讨论思想 ⭐技巧积累与运用 1、 底角或腰不确定时分类讨论 2、 高的位置不确定时分类讨论 3、 腰的垂直平分线不确定时分类讨论 类型一、底角或腰不确定时分类讨论 1．等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：当内角为是该等腰三角形的底角时，则它的底角度数为； 当内角为是该等腰三角形的顶角时，则它的底角度数为； 综上，等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为或， 故选：D． 2．已知等腰三角形其中一个内角为，那么这个等腰三角形的顶角度数为（  ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：当为底角时，顶角为； 当顶角为时，顶角就是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为或． 故选：D． 3.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：如图：分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 一共有8个点. 故选：C． 4.一个等腰三角形的周长为18，其中一边长是8，求出其他两边的长． 【答案】8，2或5，5 【详解】解：当腰为8时，三边为8，8，2能构成三角形； 当底为8时，腰为5，5，也能构成三角形， 所以这个等腰三角形的其它两条边的长分别为：8，2或5，5． 类型二、高的位置不确定时分类讨论 1．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角的度数为 ． 【答案】 【详解】解：分两种情况讨论： ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②若，如图2所示： 同①可得：， ∴， ∵， ∴； 综上所述：等腰三角形底角的度数为或． 故答案为：或． 2．等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度为 ． 【答案】或或 【详解】解：依题意有以下两种情况： （1）为锐角三角形时， 此时又有两种情况： ①当是等腰底边上的高时，如图1所示： 为等腰三角形底边上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ； ②当是等腰腰上的高时，如图2所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ． （2）当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，如图3所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ， ． 综上所述：等腰三角形底角的度数为或或． 故答案为：或或． 3.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求该等腰三角形的顶角的度数． 【答案】或 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图， ∵，， ∴， ∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴三角形的顶角为， ∴该等腰三角形的顶角的度数为或． 类型三、腰的垂直平分线不确定时分类讨论 1．在中，，的垂直平分线与直线所成的角为，则等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解： 如图①， 当的中垂线与线段相交时， 则可得， ， ， ， ； 如图②， 当的中垂线与线段的延长线相交时， 则可得， ， ， ， ， ． 底角为或． 故选：B． 2．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为，则此等腰三角形的顶角是（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：①当等腰三角形的顶角为锐角时，如图： ∵为的垂直平分线 ∴ ∵ ∴； ②当等腰三角形的顶角为钝角时，如图： ∵为的垂直平分线 ∴ ∵ ∴ ∴． ∴综上所述，此等腰三角形的顶角为或． 故选：D 3.已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为50°，则此等腰三角形的底角是 （    ） A．70° B．20° C．20°或70° D．40°或70° 【答案】C 【详解】解：当顶角为锐角时，如图， ∵∠ADE=50°，∠AED=90°， ∴∠A=40°， ∴； 当顶角为钝角时，如图， ∵∠ADE=50°，∠AED=90°， ∴∠BAC=∠ADE+∠AED=140°， ∴； 综上所述，此等腰三角形的底角是70°或20°． 故选：C 4.已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，求此等腰三形的顶角的度数． 【答案】或 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示： ∵垂直平分，， ∴， ∴； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图所示： ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：等腰三形的顶角的度数为或． 题型二 角平分线+垂线构造等腰三角形 ⭐技巧积累与运用 若OC平分∠AOB,ED⊥OC,延长ED交OB于点F，则，△OEF是等腰三角形. 1．如图，中，是的平分线，于，于．求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：是的角平分线，，， ， ∴； （2）证明：是的角平分线，，， ，， 在和中， ， ； ， 又∵， 垂直平分． 2．如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵在和中 ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴ ， 又∵中，， ∴， ∴， ∴． ∴． 题型三 等腰三角形+一边的平行线构造等腰三角形 ⭐技巧积累与运用 1．已知，如图，，的平分线交于，过作，交于，交于． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)27 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，即； （2）解：由（1）可知，，， ∵，， ∴的周长． 2．如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 平分平分， ； （2）解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， 的周长为． 3．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 题型四 利用垂直平分线构造等腰三角形 ⭐技巧积累与运用 1．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 2．如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ， ∴， ， ． 3．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型五 转化倍角，构造等腰三角形 ⭐技巧积累与运用 1．在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）解：如图，延长至，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 2．如图，在中，平分，交于，，，，求的长． 【答案】 【详解】解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 3．如图，在中，，，分别垂直平分，，交线段于M，N，，的延长线交于点F，设O为中点，连接． (1)求的度数； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴； 同理：； ∵， ∴， ∴． （2）证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴； 同理：， ∴； ∵O为中点， ∴， ∴． 题型六 最短路径问题 ⭐技巧积累与运用 1、 利用轴对称解决最短路径问题 2、 利用平移解决最短路径问题 类型一、利用轴对称解决最短路径问题 1．如图，等边三角形的边长为8，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【详解】解：连接交于点E，过点B作直线， ∵， 是等边三角形，边长为8， ∴是等边三角形，， ∵A、B、三点在同一直线上， ∴和关于直线l的对称， ∵， ∴ ， ∵， ∴，， ∴点C、关于直线对称， ∴当点D与点B重合时，的值最小， 最小值为线段， 故选：C． 2．如图，等边中，点D，E分别是，的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】D 【详解】解：如图，连接，与交于点P， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即长就是的最小值， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， 则， ， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：C． 4．已知：两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点．（不用写作法） (1)如图①，在上求作一点，使得最小； (2)如图②，在上求作一点，使得最小； (3)如图③，在上求作一点，使得最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图，点即为所作， （2）解：如图，点即为所作， 由线段垂直平分线的性质可得，此时； （3）解：如图，点即为所作， 在中，，则最大． 类型二、利用平移解决最短路径问题 1．（1）在图（1）中用尺规作图作一点，使至，的距离相等，且到，的距离相等； （2）如图（2），在上找一点，使最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】解：（1）如图，点即为所求， ； （2）如图，点即为所求， ． 2．如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． (1)燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． (2)若测得A，B两镇的距离为，又测得A，B两镇到公路l的距离分别为和，求所铺设管道的最短长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P， 则点P即为所求． 沿线段，铺设管道，管道总长度最短． （2）解：设交直线l于点E，过点B作直线l的垂线，交直线l于点F，过点作于点C，过点A作于点D， 四边形为矩形，四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 所铺设管道的最短长度为． 3．如图所示，在，两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥，．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥，的位置，使由村到村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置） 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A、B，在上截取等于河宽，在上截取等于河宽，连接交于E、M，分别过点E、M作的垂线，垂足分别为F、N，则，即为所求； 易证明的长即为最短路径长． 一、单选题 1．已知等腰三角形的周长为，且一边长为，则腰长为(   ) A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：解：分情况考虑：当是腰时，则底边长是，此时，，能组成三角形； 当是底边时，腰长是，，，能够组成三角形． 此时腰长是或 故选：D． 2．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：若是顶角的外角，则顶角； 若是底角的外角，则底角，那么顶角． 故选：C． 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形的顶角是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：①此等腰三角形为钝角三角形， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 此三角形的顶角， ②此等腰三角形为锐角三角形， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 此三角形的顶角 故选：C． 4．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A，B是格点，如果点P也是图中的格点，且使得是以为腰的等腰直角三角形；则点P的个数是（  ）   A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴当时，结合正方形小网格的特征，或 如下图所示： ∴当时，结合正方形小网格的特征，或 如下图所示： 综上：满足是以为腰的等腰直角三角形的点P有个， 故选：A 5．如图，在等腰中，腰长为5，，分别是上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．13 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵等腰的腰长为5， ∴， ∴四边形的周长． 故选：B． 6．如图，在中，，平分，，且，，则（　　） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【详解】解：在上截取，连接，过点作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中： ， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题 7．一个等腰三角形的内角为，则其顶角的度数为 ． 【答案】或/或 【详解】解：当等腰三角形的顶角是时， 它的两个底角：； 当等腰三角形的底角是时， 顶角为：； ∴它的顶角的度数是或． 故答案为：或． 8．如果一个三角形的两边的垂直平分线交点在第三边上，则这个三角形的最大角的度数是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，垂直平分，垂直平分，、交点在上， ，， ，， ， ， ， 这个三角形最大角的度数是， 故答案为：． 9．如图，在中，，P是边上的动点（不与点B重合），点B关于直线的对称点是，连接，则长度的最小值是 ． 【答案】2 【详解】解： 由轴对称的性质得：， 根据题意得：当A、、C三点在一条直线上时，有最小值，最小值为2． 故答案为：2 10．如图，，C为上的定点，，若点M，N分别为射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：过点C作的对称点，则，如图： ∴， ∴当点共线，且时最小，如图： ∵， ∴由对称得：，， ∵， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 三、解答题 11．等腰三角形的周长为20厘米． (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长． 【答案】(1)4厘米，8厘米，8厘米 (2)7厘米，7厘米或6厘米，8厘米 【详解】（1）解：设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米， 由题意得，， 解得， 所以三边长分别为4厘米，8厘米，8厘米； （2）解：分以下两种情况： 如果6厘米长的边为底边，设腰长为a厘米， 则， 解得， 则三角形三边长为6厘米，7厘米，7厘米，可以构成三角形； 如果6厘米长的边为腰，设底边长为b厘米， 则，解得， 则三角形三边长为6厘米，6厘米，8厘米，可以构成三角形． 由以上讨论可知，其他两边的长分别为7厘米，7厘米或6厘米，8厘米． 12．如图，，点A在上，垂直平分分别交、于点B、C．点D在射线上，不与点O、B重合，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】或或 【详解】解：垂直平分, , , , 由题意知在的延长线上， 当时， , ， 当时， , 当时， , , 的度数是或或. 13．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：， ， ，为的中点， ∴平分， ； 14．在中，，，点是上一点，，点是上一点，． (1)如图，求证：是等腰三角形． (2)如图，过点作于点，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：如图，过作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 15．在等边三角形中，D为所在直线上的一个动点，E为延长线上一点，． (1)如图1，若点D在边上，求证：． (2)如图2，若点D在边的延长线上，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)成立，理由见解析 【详解】（1）证明：如图，过点作，交于点． ∵是等边三角形，， ∴， ∴也是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下， 如图，过点作，交的延长线于点．   ∵是等边三角形，， ∴， ∴也是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在中，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． (1) ______（用含t的式子表示）； (2)当点Q在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，直接写出此时t的值：______． 【答案】(1) (2)不能 (3)11或12 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当在上，，如图， 而，， ∴，， ∵把的周长平分， ∴， 解得：，不符合题意舍去， ∴点Q在边上运动时．不能把的周长平分； （3）解：①当，如图1所示， 则， ∵， ∴． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当，如图2所示， 则， ∴， 综上所述：当t为11秒或12秒时，是以为腰的等腰三角形． 故答案为：11或12． 一、单选题 1．如图，在中，，分别是线段，的垂直平分线.若．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别是线段，的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．中，，，，是的角平分线，点E、F分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（　　） A．4 B．3 C．8 D．16 【答案】A 【详解】解：如图，作F关于的对称点，连接， 则， ∵是的角平分线， ∴在上， ∴， ∴当A、E、三点共线，且即、重合时，的值最小， ∵，，， ∴ 的最小值为4， 故选：A． 二、填空题 3．如图，在中，，边的垂直平分线交于点，连接，如果，那么的长为 ． 【答案】12 【详解】解：因为是边的垂直平分线，， 所以， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， 故答案为：12． 4．如图，，D为的垂直平分线上一点，且，，则 ． 【答案】/36度 【详解】解：连接，过点D作交于点，与交于点，如图： ∵D为的垂直平分线上一点， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， 设，则， 故， 解得：， 即． 故答案为：． 三、解答题 5．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上． (2)已知，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接，，． 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上， （2）解：垂直平分，垂直平分， ，，， ， ，， ， ， ，， ，， 6．如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，的三个顶点都在格点上（用无刻度的直尺画图）． (1)画出的中线； (2)作出关于直线对称的； (3)在直线上找到一点，使的值最小． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【详解】（1）如图，找出中点，然后连接， ∴即为所求； （2）如图，利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点， ∴即为所求； （3）如图， 连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短即可， ∴点即为所求． 7．在中，，，的平分线交边于点D． (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点E，在上截取，连接，求证：； (3)如图3，若外角的平分线交延长线于点E，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， 即， ∴为等腰三角形； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）证明：由（1）得：为等腰三角形， ∴， ∴． 如图，在上截取，连接． ， ∴， ∵， ∴ ∵， 又∵． ∵平分， ∴， ∴，，则， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$