19.2.1正比例函数课件 -2024—2025学年人教版数学八年级下册

第十九章 一次函数 19.2.1正比例函数 学习目标 1.掌握正比例函数的概念并会判断.（重点） 2.根据正比例函数的概念求字母的取值.（难点） 3.学会画正比例函数图象，并通过图象掌握正比例函数的性质.（重点） 4.能够利用正比例函数的性质解决相关问题.（难点） 情境导入 如果设蛤蟆的数量为 x，y 分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数解析式吗？ 一个蛤蟆一张嘴， 两只眼睛四条腿， 扑通一声跳下水。 两个蛤蟆两张嘴， 四只眼睛八条腿， 扑通、扑通跳下水。 是 知识点一 正比例函数的概念 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式： (1) 圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化．( ) 解：函数解析式为：l = 2πr (2) 铁的密度为 7.9 g/cm3，铁块的质量 m (单位：g) 随它的体积 V (单位：cm3) 的变化而变化．( ) 解：函数解析式为：m = 7.9V 是 知识讲解 4 (3)每个练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h(单位：cm) 随练习本的本数 n 的变化而变化．( ) (4) 冷冻一个 0 ℃ 的物体，使它每分钟下降 2℃，物体温度 T(单位：℃) 随 冷冻时间 t (单位：min)的变化而变化．( ) 解：函数解析式为：h = 0.5n. 解：函数解析式为： T = -2t. 是 是 知识讲解 认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常量和自变量． 函数解析式 函数 常量 自变量 l = 2πr m = 7.9V h = 0.5n T = -2t 2，π r l 7.9 V m h T t 0.5 -2 n 函数＝常数 × 自变量 y k x ＝ 这些函数解析式都是常数与自变量的乘积的形式！ 知识讲解 6 正比例函数的一般形式 y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 比例系数 自变量 注意k ≠ 0 一般地，形如 y = kx ( k 是常数，k ≠ 0)的函数，叫做正比例函数， 其中 k 叫做比例系数． 知识点一 正比例函数的概念 知识讲解 1. 这个函数解析式在形式上具有怎样的结构特征呢？ 2. 正比例函数 y = kx 的自变量 x 的取值范围是什么? 等号右边是一次单项式，一次项系数不为 0，次数为 1. 自变量 x 的取值范围是全体实数， 注意实际问题：要符合实际情境. 知识讲解 思考： 例1. 判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？ 是，3 不是 是，π 不是 是，- 是，- 知识讲解 例2.已知函数 y = (m - 1) 是正比例函数，求 m 的值. 函数是正比例函数 一次项系数不为 0 次数为 1 k = (m - 1) ≠ 0 m2 = 1 m ≠ 1， m =±1， ∴ m = -1. ∴ m - 1 ≠ 0， m2 = 1， 即 解：∵函数 y = (m - 1) 是正比例函数， 知识讲解 根据下表写出 y 与 x 之间的函数解析式： 知识点二 求正比例函数的解析式 x -1 0 1 2 y 2 0 -2 -4 y 与 x 之间的函数解析式为__________，由此断定 y 是 x 的 __________函数. 正比例 y = -2x 知识讲解 例1.已知 y - 3 与 x 成正比例，并且 x = 4 时，y = 7，求 y 与 x 之间的函数关系式. 解：依题意，设 y - 3 与 x 之间的函数关系式为 y - 3 = kx， ∵ x = 4 时，y = 7，∴ 7 - 3 = 4k，解得 k = 1. ∴ y - 3 = x，即 y = x + 3. 知识讲解 例1 画出下列正比例函数的图象： （1）y = 2x，y=x （2）y = -1.5x，y = -4x. x y 1 0 0 -1 2 -2 … … … … 2 4 -2 -4 解：（1）函数 y = 2x 中自变量 x 可为任意实数. ①列表如下： 知识点三 正比例函数的图象 描点法画函数图象的三个步骤是：列表、描点、连线. 知识讲解 y = 2x 画出上面表格中各对数值所对应的点. 观察发现：这两个图象都是经过原点的 ．而且都经过第 象限； 一、三 直线 ②描点 ③连线 同样可以画出函数y=x 的图像 y=x 知识讲解 知识点三 正比例函数的图象 解：(2) 函数 y = -1.5x，y = -4x 的图象如下： y = -4x 发现：这两个函数图象都是经过原点和 第 象限的直线. 二、四 知识讲解 y = -1.5x y = kx (k 是常数，k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线 y = kx(k ≠ 0) 经过的象限 k＞0 第一、三象限 k＜0 第二、四象限 另外：函数 y = kx 的图象我们也称作直线 y = kx 知识讲解 两点 作图法 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： (1) y = -3x； (2)y=x 由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点 (0，0) 和点 (1，k)，连线即可. 思考：经过原点与点 (1，k) (k 是常数，k ≠0)的直线是哪个函数的图象? 画正比例函数的图象时，怎样画最简单?为什么? 知识讲解 O x 0 1 y = -3x y=x 0 -3 0 y = -3x 函数 y = -3x， y=x 的图象如下： 解：列表如下： y=x 知识讲解 (1) 若函数图象经过第一、三象限，则 k 的取值范围是________. 例题1.已知正比例函数 y = (k + 1)x. k＞-1 （2）若函数图象经过点 (2，4)，则 k_____. 解析：将坐标 (2，4) 带入函数解析式中，得4 = (k + 1)·2，解得 k = 1. 知识讲解 = 1 解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k + 1 > 0，解得 k > -1. 观察图象可以发现： 直线 y = x，y = 3x 向右逐渐上升， 即 y 的值随 x 的增大而增大； 直线 y = - x，y = -4x 向右逐渐下降， 即 y 的值随 x 的增大而减小. 知识点四 正比例函数的性质 知识讲解 在正比例函数 y = kx 中： 当 k > 0时，y 的值随着 x 值的增大而增大； 当 k < 0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小. 知识讲解 知识点四 正比例函数的性质 1.已知正比例函数 y = 2x 的图象上有两点（3，y1），（5，y2），则 y1 y2. < 2.已知正比例函数 y = kx (k < 0) 的图象上有两点（-3，y1）， （1，y2），则 y1 y2. > 知识讲解 例题： 3.已知正比例函数 y = mx 的图象经过点（m，4），且 y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值. 解：∵ 正比例函数 y = mx 的图象经过点（m，4）， ∴ 4 = m · m，解得 m = ±2. 又∵ y 的值随着 x 值的增大而减小， ∴ m < 0，故 m = －2. 知识讲解 （1）正比例函数 y = x 和 y = 3x 中，随着 x 值的增大 y 的值都增加了， 其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？ （2）正比例函数 y = - x 和y = -4x 中，随着 x 值的增大 y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？ | k | 越大，直线越陡，直线越靠近 y 轴. 思考 知识讲解 1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（ ） A. 圆的面积 S 与它的半径 r B. 行驶速度不变时，行驶路程 s 与时间 t C. 正方形的面积 S 与边长 a D. 工作总量（看作“1” ）一定，工作效率 w 与工作时间 t B 随堂练习 3.已知正比例函数 y = (2m + 4)x. （1）当 m 时，函数图象经过第一、三象限； （2）当 m 时，y 随 x 的增大而减小； （3）当 m 时，函数图象经过点（2，10）. ＞-2 ＜ -2 = 0.5 B 2.下列图象哪个可能是函数 y = -x 的图象（ ） D C B A 随堂练习 2m+4＞0 2m+4＜0 4m+8=10 4.已知某种小汽车的耗油量是每 100 km 耗油 15 L.所使用的汽油为 5 元/ L. (1)写出汽车行驶途中所耗油费 y (元) 与行程 x (km) 之间的函数关系式， 并指出 y 是 x 的什么函数； (2)计算该汽车行驶 220 km 所需油费是多少？ 答：该汽车行驶 220 km 所需油费是 165 元． y 是 x 的正比例函数. 解：(1) y = 5×15x÷100，即y= x （x≥0） (2) 当 x = 220 时，y= ×220=165 随堂练习 正比例函数 正比例函数的概念 正比例函数的图象 y = kx ( k 是常数，k ≠ 0) 求正比例函数的解析式 正比例函数的性质 k＞0，y随x的增大而增大； k＜0，y随x的增大而减小 课后小结 k＞0 经过一、三象限 k＜0 经过二、四象限 谢谢观看 $$