18.2.3正方形课件- 2024—2025学年人教版数学八年级下册

第十八章 平行四边形 18.2.3正方形 1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.（难点） 学习目标 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 你还能举出其他的例子吗？ 情境导入 矩 形 〃 〃 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 知识点一 正方形的定义及性质 正方形 知识讲解 4 问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 正方形 知识讲解 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 知识讲解 思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.  正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 4条 A B C D 知识讲解 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 知识讲解 例1 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 知识讲解 例2 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO, AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 知识讲解 A D C B O 例3 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O. 求证: △ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形. 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都 是等腰直角三角形,并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. 知识讲解 例4 如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵ΔBEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°， ∴∠EAD= ∠EDA=90°75°=15°. 知识讲解 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 知识点二 正方形的判定 知识讲解 13 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 正方形 菱形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 知识讲解 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形. A B C D O 请证明 对角线互相垂直的矩形是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形. 知识讲解 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形. A B C D O 请证明 对角线相等的菱形是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB, ∴AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 知识讲解 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角， 一组邻边相等， 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 知识讲解 例1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么? 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM. 分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌ △CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可. 知识讲解 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM, ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形 . 知识讲解 证明：∵DE⊥AC，DF⊥CB ， ∴∠DEC= ∠DFC=90°.又∵ ∠C=90 ° ∴四边形EDFC是矩形. 过点D作DG⊥AB，垂足为G.∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB， ∴DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF， ∴四边形EDFC是正方形. 例2 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥CB.求证:四边形CEDF为正方形. A B C D E F G 知识讲解 例3 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形. B A C D O E H G F 证明：∵四边形ABCD为正方形, ∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°, ∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∵EG⊥FH, ∴∠BOE+∠BOH=90°, ∴∠COH=∠BOE, ∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG, 知识讲解 ∴OE=OF=OG=OH. 又∵EG⊥FH, ∴四边形EFGH为菱形. ∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, ∴四边形EFGH为正方形. B A C B O E H G F 知识讲解 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 D 随堂练习 2.在正方形ABCD中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= . A D B C O 45° 45° 90° 随堂练习 3.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 . A D B C O E 22.5° 随堂练习 4.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长． 解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，∠ACB=45°, AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA=∠EFC=90°. 又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形,∴EF=FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF. ∴FC＝BE.在Rt△ABC中，cm ∴FC＝AC－AF＝(－1)cm，∴BE＝(－1)cm． 随堂练习 5. 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB△DPC； 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠DCB=90°． ∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB． ∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB， 即∠ABP=∠DCP． 又∵AB=DC，PB=PC， ∴△APB△DPC． 随堂练习 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠DAC=45°． ∵△APB≌△DPC，∴AP=DP． 又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD． ∴△APD是等边三角形． ∴∠DAP=60°．∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°． ∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°． ∴∠BAP=2∠PAC． （2）求证：∠BAP=2∠PAC． 随堂练习 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 判定 1.对角线互相垂直的矩形是正方形 2.对角线相等的菱形是正方形 课后小结 谢谢观看 $$