18.1.2第2课时三角形的中位线课件- 2024—2025学年人教版数学八年级下册

第十八章 平行四边形 18.1.2 第2课时 三角形的中位线 1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.（重点） 2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.(重点） 学习目标 问题 平行四边形的性质和判定有哪些？ B O D A C AB=CD, AD=BC 边： AB∥CD, AD∥BC AB∥CD, AB=CD 角： ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线： AO=CO,DO=BO 判定 性质 情境导入 我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧. 思考 如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？ 情境导入 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. A B C D E 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，则线段DE就称为△ABC的中位线. 知识点一 三角形的中位线定理 知识讲解 问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ A B C D E F 有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF. 问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？ 中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 知识讲解 问题3：如图，DE是△ABC的中位线， DE与BC有怎样的关系？ D E 两条线段的关系 位置关系 数量关系 猜想： 猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 知识讲解 平行 角 平行四边形 或 线段相等 一条线段是另一条线段的一半 倍长短线 分析1： D E 问题3：如何证明你的猜想？ 知识讲解 分析2： D E 互相平分 构造 平行四边形 倍长DE 知识讲解 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． D E △ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点， 则DE∥BC，DE=BC． 三角形中位线定理： 符号语言： 知识讲解 A B C D E F 重要发现： ①中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE. 知识讲解 A B C D E F ②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一. 知识讲解 例1 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长 解：∵D、E分别为AC、BC的中点， ∴DE∥AB，∴∠2＝∠3. 又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3， ∴AC＝2AD＝2DF＝6. 1 2 3 知识讲解 例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点， ∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线， ∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC， ∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形， ∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°，∴∠PMN=(180°−130°)÷ 2 =25°． 知识讲解 例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 证明：取AC的中点F，连接BF.∵BD＝AB， ∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF. ∵E为AB的中点，AB＝AC， ∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB， ∴△EBC△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE. F 恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键． 知识讲解 知识点二 三角形的中位线与平行四边形的综合运用 1.在复杂的几何图形中，先找出三角形的中位线，利用中位线的性质得到线段的平行关系和数量关系.再看这些关系是否满足平行四边形的判定条件. 2.若已知平行四边形，可通过平行四边形的性质得到线段平行和相等的条件，进而找出潜在的三角形中位线，从而建立起两者之间的联系解决问题. 知识讲解 例1 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 四边形问题 连接对角线 三角形问题 （三角形中位线定理） 分析： 知识讲解 证明:连接AC. ∵E,F,G,H分别为各边的中点, ∴ EF∥HG, EF=HG. ∴EF∥AC,AC HG∥AC,AC ∴四边形EFGH是平行四边形. 知识讲解 证明：∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥ BC，DE= BC. ∵CF= BC， ∴DE=FC． 例2 如图，等边△ABC的边长是2，D、E 分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF． (1)求证：DE=CF； 知识讲解 例2 如图，等边△ABC的边长是2，D、E 分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF = BC，连接CD和EF． （2）求EF的长． 解：∵DE∥FC，DE=FC， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DC=EF， ∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2， ∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2， ∴EF=DC= ． 知识讲解 例3 如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形. 证明：如图，连接BD. ∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点， ∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD， ∴EH∥FG且EH=FG，∴四边形EFGH为平行四边形. 知识讲解 2.如图，在▱ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于 （　　） A.2 B.3 C.4 D.5 1.如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为（　　） A.1 B.2 C.4 D.8 C C 随堂练习 3.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、 AC的中点. （1）若∠ADF=50°，则∠B= °； （2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8， 则△DEF的周长为 . 50 15 A B C D F E 随堂练习 4.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 . A B D C E F G H 11 随堂练习 5.如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，求DE的长． 解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD， ∴AB=AF=6cm，BD=DF， ∴CF=AC-AF=4cm， ∵BD=DF，E为BC的中点， ∴DE= CF=2cm． 随堂练习 三角形的中位线 三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半 三角形的中位线定理 三角形的中位线定理的综合应用 课后小结 谢谢观看 $$