18.1.2第1课时平行四边形的判定课件 -2024—2025学年人教版数学八年级下册

第十八章 平行四边形 18.1.2 第1课时 平行四边形的判定 1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会 类比思想及探究图形判定的一般思路。（重点） 2.掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件 灵活选取适当的判定定理进行推理论证.（难点） 学习目标 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形. A B C D 四边形ABCD 如果 AB∥CD AD∥BC B D ABCD A C 问题1 平行四边形的定义是什么？有什么作用？ 可以用平行四边形的定义来判定平行四边形，如： 情境导入 问题2 除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？ 平行四边形的对边相等. 平行四边形的对角相等. 平行四边形的对角线互相平分. 边： 角： 对角线： 情境导入 思考 我们得到的这些逆命题是否都成立？这节课我们一起探讨一下吧. 问题3 平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么？ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 情境导入 知识点一 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 知识讲解 平行四边形的判定定理： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. B D A C 已知： 四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC. 求证： 四边形ABCD是平行四边形. A B C D 连接AC， 在△ABC和△CDA中, AB=CD (已知)， BC=DA(已知)， AC=CA (公共边)， ∴△ABC≌△CDA(SSS) ∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3， ∴AB∥ CD , AD∥ BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 证明： 1 4 2 3 知识讲解 例1 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证： 四边形PONM是平行四边形． 证明：Rt△MON中， 由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2， 解得x＝8. ∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5. ∴PM＝ON，OP＝MN， ∴四边形PONM是平行四边形． 知识讲解 例2 如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形． 解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形， ∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC， ∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF＝AE. 同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD， ∴四边形DAEF是平行四边形． 知识讲解 例3 如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：在Rt△ABC和Rt△ACD中， ∵AC=CA,AB=CD, ∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL), ∴BC=DA. 又∵AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形． 知识讲解 问题 我们知道，两组对边分别平行或相等的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？ 猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形. 等腰梯形不是平行四边形，因而此猜想错误. 知识点二一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 知识讲解 猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形. 梯形的上下底平行，但不是平行四边形，因而此猜想错误. 知识讲解 B A 活动 如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段CD，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？ D C 四边形ABCD是平行四边形 猜想3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 知识讲解 13 A B C D 证明思路 作对角线构造全等三角形 一组对应边相等 两组对边分别相等 四边形ABCD是平行四边形 如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，求证：四边形ABCD是平行四边形. 知识讲解 14 A B C D 2 1 证明：连接AC. ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2. 在△ABC和△CDA中, AB=CD， AC=CA， ∠1=∠2， ∴△ABC≌△CDA(SAS)， ∴BC=DA .又∵AB= CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 知识讲解 B D A C 平行四边形的判定定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 知识讲解 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB =CD，EB //FD．又∵EB = AB ，FD = CD，∴EB =FD ． ∴四边形EBFD是平行四边形． 例1 如图 ，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形. 知识讲解 例2 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形． 证明：∵AB=CD， ∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD， 在△ACE和△DBF中， AC＝BD ,∠A＝∠D, AE＝DF ,∴△ACE≌△DBF(SAS)， ∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，∴CE∥BF， ∴四边形BFCE是平行四边形． 知识讲解 如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形． 证明：（1）∵点C是AB的中点，∴AC=BC. 在△ADC与△CEB中，AD＝CE , CD＝BE , AC＝BC ,∴△ADC≌△CEB（SSS）， （2）∵△ADC≌△CEB， ∴∠ACD=∠CBE，∴CD∥BE. 又∵CD=BE，∴四边形CBED是平行四边形． 知识讲解 平行四边形的判定定理： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D, ∴四边形ABCD是平行四边形. B D A C 知识讲解 已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D， 求证：四边形ABCD是平行四边形. A B C D 又∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°， ∴2∠A+2∠B=360°， 即∠A+∠B=180°， ∴ AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 同理得 AB∥ CD， 证明： 知识讲解 例3 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度数； (2)求证：四边形ABCD是平行四边形． (1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°， ∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°； (2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB， ∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°. ∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°， ∴∠DCB＝∠DAB＝125°.又∵∠D＝∠B＝55°， ∴四边形ABCD是平行四边形． 知识讲解 如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？ B D O A C 猜想：四边形ABCD一直是一个平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识讲解 23 平行四边形的判定定理： 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO, ∴四边形ABCD是平行四边形. B O D A C 知识讲解 A B C D O 已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明： 在△AOB和△COD中, OA=OC (已知)， OB=OD (已知)， ∠AOB=∠COD (对顶角相等)， ∴△AOB≌△COD(SAS)， ∴ ∠BAO=∠OCD , ∠ABO=∠CDO, ∴AB∥ CD , AD∥ BC ∴四边形ABCD是平行四边形. 知识讲解 例4 如图，□ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形. B O D A C E F 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AO=CO,BO=DO. ∵AE=CF ， ∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF. 又∵BO=DO， ∴四边形BFDE是平行四边形. 知识讲解 26 拓展探究 昨天李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来?然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)？ A B C 知识讲解 D A B C 方法依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 方法一： 知识讲解 D A B C 方法依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 方法二： 知识讲解 D O A B C 方法依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 方法三： 知识讲解 1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是 ( ) A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分 C.两条对角线相等 D.两组对边分别平行 2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O. 如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm, BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形. B O D A C C 4 5 随堂练习 2.如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，写出图中除▱ABCD以外的所有的平行四边形. 解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC，AD=BC. ∵E，F分别是AB，CD的中点，∴AE=BE=DF=FC， ∴四边形ADFE是平行四边形，四边形EFCB是平行四边形，四边形BEDF是平行四边形. 随堂练习 3.如图，已知E，F，G，H分别是▱ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：在平行四边形ABCD中， ∠A=∠C，AD=BC, 又∵BF=DH，∴AH=CF. 又∵AE=CG，∴△AEH≌△CGF（SAS）， ∴EH=GF.同理得△BEF≌△DGH（SAS）， ∴GH=EF，∴四边形EFGH是平行四边形． 随堂练习 4.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形． 证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D. 又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO ， ∴△AOC≌△BOD(AAS)； (2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO. ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EO＝FO.又∵AO＝BO， ∴四边形AFBE是平行四边形． 随堂练习 5.学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？ A1 A3 A2 A B C 随堂练习 平行四边形的判定 定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 课后小结 谢谢观看 $$