专题10一元二次方程的判别式及根与系数关系-2024-2025学年九年级数学上学期期末复习必刷专题训练（华东师大版）

专题10一元二次方程的判别式及根与系数关系 一、单选题 1．已知是方程的两个实数根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，即可得到答案． 【详解】已知是方程的两个实数根， 其中，则有，故选：D． 2．已知方程，则方程的根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程的两个实数根情况不确定 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，能够熟练运用判别式判断根的情况是解题关键．利用判别式判断二次方程的根的情况即可． 【详解】， ， ， 方程有两个不相等的实数根，故选：C． 3．已知方程有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是，的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再根据，，即可得出答案． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，， ，， ，， ∴方程两个根分别是，．故选：D． 4．已知，是方程的两个实数根，则的值是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ，故选：． 5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且，解得：且；故选A． 6．已知一元二次方程的两根分别是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系：，是解本题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，然后利用完全平方公式把变形求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是， ∴，， ∴．故选D． 7．关于的一元二次方程有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若是一元二次方程的根，则． 其中表述正确的序号是（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可． 在中，令，可判断①；当，，时，得出，可判断②；若方程有两个不相等的实根，可得，可判断③；若是一元二次方程的根，可得，可判断④． 【详解】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ②， ， 又， ， ， ∴方程一定有实数根，故说法②正确； ③若方程有两个不相等的实根，则，即， ， ∴方程必有两个不相等的实根，故说法③正确； ④若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ， ∴，故说法④正确； ∴正确的有②③④．故选：C． 8．已知一元二次方程的两根为，，若方程（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的两根为，，得，，得到方程为，于是得到的两个根均为正数，建立不等式组，求不等式组的解集，判断即可． 本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，根的判别式，不等式组的解法，熟练掌握定理，根的判别式，正确解不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴方程为， ∵的两个根均为正数，设两个根为： ∴，解不等式组，得，故选：C． 9．若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，分和两种情况分析，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：当时，实数，满足，， ∴可把，看成是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 当时，， 综上可知：代数式的值为或，故选：． 10．若是方程的两个实数根，则（    ） A．2016 B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数关系，方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+．利用根与系数关系，变形计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，∴，故选：C． 二、填空题 11．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且，解得：且，故答案为：且． 12．若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得的范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：．故答案为： 13．方程的两根为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，代数式求值，解题的关键是理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系，．利用一元二次方程的根与系数的关系和完全平方公式变形解答即可． 【详解】解：方程的两根为， ，， ，故答案为：11． 14．已知实数，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握其计算方法是解题的关键． 根据题意，设，，可得，将原式变形得，由此代入计算即可求解． 【详解】解：已知实数，且，， ∴设，， ∴，即， ∵，∴原式，故答案为： ． 15．设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵、是一元二次方程的根， ， ，故答案为：． 16．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入原式中即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴，故答案为：． 17．非零实数a，b满足，，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，分两种情况：当时，实数a，b是方程的两个不同的根；当时，实数a，b是方程的两个相同的根，分别计算即可得解． 【详解】解：∵非零实数a，b满足，， ∴当时，实数a，b是方程的两个不同的根，由根与系数的关系可得，，此时； 当时，实数a，b是方程的两个相同的根，此时； 综上所述，的值是或，故答案为：或． 18．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定义得到,， 再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可得解，熟练掌握若是一元二次方程 的两根，则， 是解决此题的关键． 【详解】解：是方程 的实数根， , ,， 是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 三、解答题 19．已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键． （1）由根与系数的关系可知，，．把变形成，代入，即可求解； （2）把变形成代入，即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系可知， ，． ； （2）解：． 20．已知方程， (1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根； (2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根． 【答案】(1)证明见解析；(2)当时，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根的判别式和解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． （1）先根据根的判别式求出，再由判别式证明即可； （2）把代入方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）已知方程， 其中， ， 对任意实数m，方程总有两个实数根． （2）当时， 原式变为，整理得， 则或，解得． 21．如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知、满足，，求的值； (2)已知、、满足，，求正数的最小值 【答案】(1)或2；(2)4 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根与判别式的关系、解不等式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意可得a，b是的解，根据一元二次方程根与系数的关系可得当时，，；时，分别代入求值即可； （2）由，，即a、b是方程的解，然后根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足，， ∴a，b是的解， 当时，，， ∴， 当时，． 综上，的值为或2． （2）解：∵，， ∴，， ∴a、b是方程的解， ∴，即， ∵c是正数， ∴， ∴， ∴， ∴正数c的最小值是4． 22．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； (2)若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数之间的关系、勾股定理．掌握一元二次方程根的判别式与根的个数之间的关系以及根与系数之间的关系，是解题的关键． （1）求出根的判别式的符号即可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴不论实数m取何值，即方程总有实数根； （2）解：设方程的两个根为， 则：，， ∵该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，且这个直角三角形的斜边长为5， ∴， ∴， ∴，解得：或， 当时，，不合题意，舍去． ∴． 23．关于的一元二次方程． (1)不论为何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)当，2，3，…，2023时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，，、，…，，，求：的值． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，理解题目含义，掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式可得即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，当，2，3，…，2023时，原式，运用拆分法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，，整理得，， 故方程有两个不相等的实数根； （2）解：关于的一元二次方程，当，2，3，…，2023时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，，、，…，，， ∴，，……， ∴， ． 24．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_____，______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值． 【答案】(1)；(2)或 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）由题意得：a，b是的两个根， ，故答案为：； （2）由题意，得：，即，解得； ， ， ， 当时，，解得：， ，，； 当时，，解得：， ，，； 综上：或． 25．【材料阅读】 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如（a，b，c是常数，且）的两根分别为，则有，． 【问题解决】 (1)若m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根；求的值． (2)若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，求k的值． (3)已知：，（）是一元二次方程的两个实数根，设，，求，的值． 【答案】(1)；(2)1；(3)1；3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一元二次方程的解等知识点， （1）根据根与系数的关系求解即可； （2）先由根的判别式求出k的范围，根与系数的关系求出k的值，然后取舍即可得解； （3）先将根代入原方程进行恒等变形再结合两根和代入计算即可得解； 熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解决此题的关键． 【详解】（1），n是关于x的一元二次方程的两个实数根 ，， ； （2），是方程的两个实数根 ，解得：， 由根与系数的关系可知：，， 又， ，整理得：，解得：（不合题意，舍去），， ∴k的值为1． （3）是方程的两个根， ，，， ．． 26．阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形计算、分式的混合运算等知识，掌握一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系为“，”是解题的关键； （1）利用根与系数的关系，即可得出的值； （2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求解； （3）由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，进而求得的值，再将其代入中，即可求解； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ，故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为，， ，， ； （3）解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ，即或 当时，； 当时，； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10一元二次方程的判别式及根与系数关系 一、单选题 1．已知是方程的两个实数根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程，则方程的根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程的两个实数根情况不确定 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程有两个相等的实数根 3．已知方程有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是，的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，是方程的两个实数根，则的值是（　 　） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 6．已知一元二次方程的两根分别是，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．关于的一元二次方程有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若是一元二次方程的根，则． 其中表述正确的序号是（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 8．已知一元二次方程的两根为，，若方程（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 10．若是方程的两个实数根，则（    ） A．2016 B． C．2024 D． 二、填空题 11．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 12．若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 13．方程的两根为，则 ． 14．已知实数，且，，则 ． 15．设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 16．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 17．非零实数a，b满足，，则的值是 ． 18．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 三、解答题 19．已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 20．已知方程， (1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根； (2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根． 21．如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知、满足，，求的值； (2)已知、、满足，，求正数的最小值 22．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； (2)若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值． 23．关于的一元二次方程． (1)不论为何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)当，2，3，…，2023时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，，、，…，，，求：的值． 24．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_____，______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值． 25．【材料阅读】 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如（a，b，c是常数，且）的两根分别为，则有，． 【问题解决】 (1)若m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根；求的值． (2)若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，求k的值． (3)已知：，（）是一元二次方程的两个实数根，设，，求，的值． 26．阅读材料： 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值； (3)提升：已知实数，满足，且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$