精品解析：山西省太原市小店区第一中学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期高二年级第二次月考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 观察正方形数1，4，9，（ ），25，36，…的规律，则括号内的数应为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 【答案】A 【解析】 【分析】观察规律，直接计算即可求解 【详解】设， 明显地，，，所以，①，②，由①和②式，可得到才满足题意，所以， 故选A 2. 已知等差数列中，，公差，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式：，进行求解即可. 【详解】由题意得， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的应用，要熟记公式. 3. 双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程可得，再由离心率的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为双曲线的两条渐近线方程为， 由题意可得，即， 则双曲线的离心率是. 故选：C. 4. 为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程求出，再根据抛物线的定义求出，然后代入抛物线方程解出即可； 【详解】因为抛物线，所以， 由抛物线的定义得：，解得， 则，所以点坐标为， 故选：D. 5. 已知等差数列满足，则的前13项的和为（ ） A. 12 B. 36 C. 78 D. 156 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知等式可求得等差数列的公差和首项，由等差数列求和公式可求得结果. 【详解】设等差数列公差为， ，，， 解得：，，解得：， 的前项的和为. 故选：C. 6. 已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则（ ） A. 4 B. 4或6 C. 3 D. 3或7 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义有，注意、范围，即可得结果. 【详解】双曲线中，， 由双曲线定义知：，而，又且， ∴3或7， 故选：D. 7. 已知P为拋物线上一个动点，Q为圆上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义以及圆的几何性质求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 抛物线的焦点为， 根据抛物线的定义可知，到抛物线准线的距离等于到抛物线焦点的距离， 根据圆的几何性质可知，当三点共线时， 点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值， 最小值为. 故选：C 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据条件表示出，然后结合求解出的关系式，则离心率可求. 【详解】设，所以， 又因为成等差数列，所以， 所以，所以， 因为，解得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，化简可得，所以， 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线离心率的常用方法： （1）定义法：根据已知条件列出方程组求解出的值，结合离心率计算公式求得结果； （2）齐次式法：根据已知条件得到关于的齐次方程，将其转化为关于离心率的方程，计算出结果即可； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值求得离心率. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列，满足，为的前项和，且，则（ ） A. 数列为等差数列 B. C. D. 或时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的判定方法即可得到A正确，再利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得到结果 【详解】对于选项A：因为，,则数列为等差数列，故A正确. 对于选项B：因为， 则，则， 则，解得， 即，故选项B错误. 对于选项C：，所以，故C正确. 对于选项D：因为，开口向下，对称轴为，又因为，故当或时，取得最大值，故D正确. 故选：ACD 10. 已知双曲线的方程为，则（ ） A. B. 的焦点可以在轴上 C. 的焦距一定为8 D. 的渐近线方程可以为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据方程为双曲线可得，且焦点在轴上，即A正确，B错误；易知焦距为8，且当时，渐近线方程为，可得CD正确. 【详解】由题意得，解得，即A正确； 可得双曲线的标准方程为，故双曲线的焦点一定在轴上，所以B错误； 易知双曲线的焦距为，所以C正确； 显然当时，双曲线的标准方程为，其渐近线方程为，所以D正确． 故选:ACD． 11. 在平面直角坐标系中，已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，则（ ） A. B. C. 线段的中点到轴的距离为6 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求得抛物线焦点坐标，可求出p的值，判断A；根据抛物线过焦点的弦长公式可判断B；结合根与系数的关系可判断C；利用向量的数量积的运算，可判断D. 【详解】由题意知直线经过抛物线的焦点，焦点在x轴上， 直线与x轴交点为，故抛物线焦点为， 故，A错误； 联立，整理得，， 设，则，， 由于直线经过抛物线的焦点， 故，B正确； 线段的中点到轴的距离为，C正确； 由于 ， 故不垂直，所以不垂直，D错误， 故选：BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线的焦点坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】确定抛物线的标准方程，即可求得答案. 【详解】由抛物线方程，可知抛物线标准方程为， 其焦准距，焦点在x轴负半轴上， 故其焦点坐标为， 故答案为： 13. 数列和的通项公式分别为，它们的公共项由小到大排成的数列是，则的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可判断数列，均为等差数列，进而可知也为等差数列，由首项和公差即可求解. 【详解】由，知：数列，均为等差数列，且公差分别为4，6， 因此数列也为等差数列，且公差为12，由，故，所以． 故答案为： 14. 设是双曲线右支上的一点，则代数式的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将原式转化到双曲线上的点到定点的距离之差，结合双曲线的几何意义和三角不等式即可得到答案. 【详解】由题意双曲线的左右焦点分别为和. 原代数式可化简变形为：，设点，，，原代数式的几何意义为双曲线右支上一点到的距离减去到右焦点的距离,即； 根据双曲线的定义，，当点为延长线与双曲线右支的交点时，，；当点在异于的位置时，由三角不等式可知： ，. 综上，所求代数式的最小值即为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求适合下列条件的曲线的方程． （1）顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程； （2）焦点为，且经过点的双曲线的标准方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出焦准距p，即可得答案. （2）根据焦点坐标，可得c值及焦点在y轴，根据双曲线定义，可得值，根据c的关系，可得，即可得答案. 【小问1详解】 由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； 【小问2详解】 因为焦点为，，所以，且焦点在轴， 因为双曲线经过点， 根据双曲线定义可得， 解得， 又， 所以双曲线方程为：. 16. 已知数列的前项和为． （1）求的最大值； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分析的单调性，然后确定出的最大值； （2）根据求得的通项公式，注意检验的情况，由此可求结果. 【小问1详解】 因为， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以， 所以的最大值为. 【小问2详解】 当时，，所以， 当时，符合的情况， 所以. 17. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． （1）求抛物线的方程； （2）求△的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式结合的横坐标可求解出的值，由此可求抛物线的方程； （2）先求解出，再计算出到的距离，结合三角形面积公式可求结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 因为，代入抛物线方程可得，且，所以， 又因为，所以，所以， 联立可得，所以， 所以， 又因为，所以到直线的距离为， 所以. 18. 已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由如下： 假设是线段的中点，设，则， 所以，所以， 所以， 所以，即， 联立，可得， 所以，即与曲线没有两个交点， 所以假设不成立，即点不能是线段的中点. 【解析】 【分析】（1）根据列出关于的方程，由此可知结果； （2）先根据点差法求得的斜率，然后可表示出的方程，联立的方程与曲线的方程，根据的结果作出判断. 【小问1详解】 设，所以， 所以， 又斜率存在，所以， 所以. 【小问2详解】 略 19. 已知抛物线，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且，其中点为抛物线的焦点. （1）求抛物线的方程； （2）已知点，，是抛物线上不同的两点，且满，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】（1） （2）点在抛物线上. 设的方程为：， 由 得 所以，整理得 将代入得，即. 所以直线恒过定点 【解析】 【分析】(1) 设,根据条件可得，即，代入抛物线方程，即可求出答案. (2) 设的方程为：，,由方程联立可得，根据，可得，从而得答案. 【小问1详解】 设，根据抛物线的定义可得 又轴于点，则 ，所以 ，则 所以，由在抛物线上，，解得 所以抛物线的方程为 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线过定点问题，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高二年级第二次月考 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 观察正方形数1，4，9，（ ），25，36，…的规律，则括号内的数应为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 2. 已知等差数列中，，公差，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ） A. 2 B. C. D. 4. 为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列满足，则的前13项的和为（ ） A. 12 B. 36 C. 78 D. 156 6. 已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则（ ） A. 4 B. 4或6 C. 3 D. 3或7 7. 已知P为拋物线上一个动点，Q为圆上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是（ ） A. 5 B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知数列，满足，为的前项和，且，则（ ） A. 数列为等差数列 B. C. D. 或时，取得最大值 10. 已知双曲线的方程为，则（ ） A. B. 的焦点可以在轴上 C. 的焦距一定为8 D. 的渐近线方程可以为 11. 在平面直角坐标系中，已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，则（ ） A. B. C. 线段的中点到轴的距离为6 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线的焦点坐标为________. 13. 数列和的通项公式分别为，它们的公共项由小到大排成的数列是，则的通项公式为__________． 14. 设是双曲线右支上的一点，则代数式的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求适合下列条件的曲线的方程． （1）顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程； （2）焦点为，且经过点的双曲线的标准方程． 16. 已知数列的前项和为． （1）求的最大值； （2）求数列的通项公式． 17. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． （1）求抛物线的方程； （2）求△的面积． 18. 已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是2，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由． 19. 已知抛物线，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且，其中点为抛物线的焦点. （1）求抛物线的方程； （2）已知点，，是抛物线上不同的两点，且满，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $