24.3 圆周角（第2课时 圆内接四边形）（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 24.3 圆周角 第2课时 圆内接四边形 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识. 2. 理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用. (重点) 情景导入 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆. A B C D O 新知探究 四边形ABCD内接于⊙O，这时，它的每一 个角都成为圆周角． 利用圆周角定理，我们来研究圆内接四边形的角之间的关系． A B C D O 在图中，由于弧BAD和弧BCD所对的圆心角之和是周角为360°，则 ∠A＋∠C＝180°. 同理，得∠B＋∠D＝180°. 新知探究 A B C D O E ∠BCD＋∠BCE＝180°. ∴ ∠A =∠BCE. 延长BC到点E，有 由于∠A是∠DCE的补角∠BCD的对角（简称为 ∠DCE的内对角），于是我们得到圆内接四边形的性质： 概念归纳 定理 圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角． 课本例题 解：设∠A，∠B，∠C的度数分别等于2x，3x，6x. 例2 在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6. 求这个四边形各角的度数. ∵ 四边形ABCD内接于圆， ∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°， ∵ 2x+6x=180°， ∴ x = 22.5°. ∴ ∠A = 45°， ∠B = 67.5°， ∠C =135°， ∠D =180°-67.5°=112.5°. 课堂练习 1． 如图，四边形ABCD是 ⊙O的内接四边形，∠BOD＝ 100°，求 ∠BAD与∠BCD 的度数． 解:因为 ∠BOD=100°，∠BAD= ∠BOD， 所以 ∠BAD=50°. 因为 ∠BAD+∠BCD=180°， 所以 ∠BCD=130°. 2． 已知：四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD∥BC，AC与BD相交于点P，∠APB=20°，求四边形ABCD各个角的度数． 解:: AD// BC， ∴ 弧AB=弧CD. ∴ AB=CD，即四边形ABCD是等腰梯形， ∴ PB=PC. ∴ ∠ACB= ∠APB=10° . ∵ BC是直径，∴ ∠BAC=90° . ∴ ∠ABC=∠DCB=80° . ∴ ∠BAD=∠CDA=100° . 3． 证明：圆内接平行四边形是矩形． 解：已知：四边形ABCD为圆内接四边形. 求证：四边形ABCD为矩形. 证明：∵平行四边形的对角相等，∴ ∠A=∠C. ∵ ∠A所对的弧+∠C所对的弧=360°，且∠A与∠C均为圆周角， ∴ ∠A+∠C =180° (圆周角度数等于弧度数的一半). ∴ ∠A=∠C=90°. ∴ 四边形ABCD为矩形(有一个角等于90°的平行四边形为矩形). 分层练习-基础 1．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，顺次连接AB，BC，CD，DA，若∠C＝120°，则∠A的度数为(　　) A．30° B. 60° C．90° D．120° B A C 3．[2024·吉林]如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(　　) A．50° B. 100° C. 130° D. 150° A 【答案】 D 6．[2024·青岛一模]如图，⊙O的半径为2，四边形ADBC为⊙O的内接四边形，AB＝AC，∠D＝112.5°，则弦BC的长为________． 【点拨】如图所示，连接OB，OC， ∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，∠D＝112.5°， ∴∠ACB＝180°－∠D＝180°－112.5°＝67.5°. 7．[2024·广元]如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上的一点，∠AOC＝128°，则∠CDE＝(　　) A．64° B. 60° C. 54° D. 52° A 【点拨】连接BD， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A. ∵∠ABC∶∠ADC＝2∶1，∴∠ABC∶∠CBE＝2∶1. ∴易得∠CBE＝∠ADC＝60°，∠CBA＝120°. 又∵∠E＝60°，∴易得△CBE为等边三角形. ∴∠BCE＝∠A＝60°. 【答案】 D 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)，连接CP，若∠B＝120°，则∠APC可能为(　　) A．30° B．45° C．50° D．65° 【点拨】∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B＋∠D＝180°. 又∵∠B＝120°，∴∠D＝180°－∠B＝60°. ∵∠APC为△PCD的外角， ∴∠APC＞∠D.∴只有D选项满足题意．故选D. 【答案】 D 分层练习-巩固 10．如图，△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，连接AD，BD.若AB＝5，AC＝4，则BD＝________，CD＝________． 如图，延长CB到点E，使得BE＝AC，连接DE， ∵四边形ADBC内接于⊙O，∴∠DBE＝∠DAC. 又∵BE＝AC，AD＝BD，∴△ADC≌△BDE. ∴DE＝CD，∠ADC＝∠BDE. ∴∠CDE＝∠BDE＋∠CDB＝∠ADC＋∠CDB＝∠ADB＝90°.∴△DCE为等腰直角三角形. ∵CE＝CB＋BE＝BC＋AC＝7， 【证明】如图所示，连接AC， ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠ACE＝90°＝∠ACB. 12．[2024·浙江]如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC. (1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数； 【解】∵CD为直径， ∴∠CAD＝90°. 又∵∠AFE＝∠ADC＝60°， ∴∠ACD＝90°－60°＝30°. ∴∠ABD＝∠ACD＝30°. (2)求证：①EF∥BC； 【证明】如图，延长AB至点M， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠CBM＝∠ADC. 又∵∠AFE＝∠ADC， ∴∠AFE＝∠CBM.∴EF∥BC. ②EF＝BD. ∵四边形ACGD是圆内接四边形， ∴∠GDE＝∠ACG.∵DG∥EF， ∴∠FED＝∠EDG.∴∠FED＝∠ACG. ∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC， ∴∠AFE＝∠AGC.又∵AE＝AC， ∴△AEF≌△ACG.∴EF＝CG.∴EF＝BD. 分层练习-拓展 13．【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补． 如图①，点A，B，C，D均为⊙O上的点， ∠ABC＝85°，则∠ADC＝________°； 95 【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点A，B，C，D均为⊙O上的点，若AB＝BC，点D为弧AC上任意一点(点D不与点A，C重合)，若点D在运动的过程中始终保持BD＝AD＋DC，则∠ABC的度数恒为60°. (1)∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠BAD＝∠ECB. (2)∴∠EBD＝60°.∵△DAB≌△ECB， ∴∠EBC＝∠DBA.∵∠EBD＝∠EBC＋∠CBD， ∠ABC＝∠DBC＋∠ABD，∴∠ABC＝∠EBD＝60°. 习题 24.3 1．已知：三角形的三个顶点在圆上，且把圆周分成所对圆心角之比为1：2：3的三个部分，求这个三角形的三个角的大小． 解：三个顶点把圆周分成的三段弧所对的圆心角分别为 ×360°=60°， ×360°=120°， ×360°=180°，所以这个三角形的三个角内角的度数分别为 ×60°=30°， ×120°=60°， ×180°=90°． 2．以半圆的直径为一边作一等边三角形，求该等边三角形将半圆截成的三条弧所对的圆心角的度数. 解：如图，已知BC为半圆O的直径，△ABC是等边三角形，AB交半圆上的点为D，AC交半圆上的点为E，连接DO，EO． ∵BO=DO=EO=CO， ∴∠B=∠ODB，∠C=∠OEC． ∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°． ∴∠ODB=∠B=60°，∠OEC=∠C=60°． ∴△BOD等边三角形，△CEO为等边三角形． ∴∠BOD=∠COE=60°， ∠DOE=180°-60°-60°=60°． 解：如图，作AD⊥BC于D．∵AB=AC， ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD= ∠BAC=60°． ∴AD垂直平分BC． ∴△ABC的外接圆的圆心O在AD的 延长线上．连接OB．∵OA=OB， ∴△OAB为等边三角形．∴OB=AB=3cm． ∴△ABC的外接圆的直径为2×3=6（cm）． 3．在△ABC中，AB=AC=3cm，∠A=120°，求△ABC的外接圆直径. 5．[2024·盐城一模]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，且∠ADC＝125°，则∠BEC的度数是(　　) A．25° B．55° C．45° D．35° 4．已知：如图，AB和CD交于⊙O内一点P. 求证：PA•PB=PC•PD． 解：连接AC，BD，如图所示． ∵∠CAB，∠CDB所对应圆弧都为 ， ∴∠CAB=∠CDB． ∵∠APC=∠DPB，∴△APC∽△DPB． ∴ ．∴PA•PB=PC•PD． 5．如图，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径. 解：如图，过O作OC⊥AB于C，连接OA. ∵OC⊥AB，OC过O，AB=10cm, ∴AC=BC=5cm,∠OCP=90°. ∵PA=4cm,∴CP=AC-PA=1cm. 由勾股定理，得OC= cm， ∴OA=7cm，即⊙O的半径是 7 cm. 6．已知：在△ABC中，∠BAC的平分线分别交边BC、△ABC的外接圆于点D，E. 求证：（1）△ABD∽△AEC； 证明：如图，∵AE平分∠BAC， ∴∠1=∠2． ∵∠B=∠E， ∴△ABD∽△AEC． 6．已知：在△ABC中，∠BAC的平分线分别交边BC、△ABC的外接圆于点D，E. 求证：（2）AB•AC=AD•AE=AD2+BD•DC． 证明：如图，∵△ABD∽△AEC， ∴ ． ∴AB•AC=AD•AE=AD•（AD+DE）=AD2+AD•ED． ∵∠B=∠E，∠BAD=∠DCE， ∴△BAD∽△ECD．∴ ． ∴AD•ED=BD•DC． ∴AB•AC=AD•AE=AD2+BD•DC． 7．已知：半圆的直径AB=13cm，C为半圆上一点，CD⊥AB，垂足为D，且CD=6cm，求AD的长. 解：如图，连接OC． ∵CD⊥AB于D，∴∠CDO=90°． ∴OC2=OD2+CD2． 设AD=xcm,则OD=OA-AD=（6.5-x）cm, ∴6.52=（6.5-x）2+62． 解得x1=4，x2=9（不合题意舍去）． ∴AD=4cm． 8．在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D只可能是下列四个选项中的 . ①1：2：3：4；②4：3：2：1； ③4：1：3：2；④4：3：1：2. 由此你发现，圆内接四边形的各角度数之比的规律是什么？ ④ 解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°， ①因为1+3≠2+4，所以不能构成圆内接四边形； ②因为4+2≠3+1，所以不能构成圆内接四边形； ③因为4+3≠1+2，所以不能构成圆内接四边形； ④因为4+1=3+2，所以能构成圆内接四边形． 由此发现：∠A与∠C的份数之和=∠B与∠D的份数之和． 9．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC的平分线交 于点P，交CB延长线于点E.求证：BP平分∠ABE． 解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE． ∵∠ABP=∠ADE∠PBE=∠CDE， ∴∠ABP=∠PBE． ∴BP平分∠ABE． 10．已知：如图，⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C、与⊙O2交于点D；经过点B的直线EF与⊙O1交于点E、与⊙O2交于点F．求证：CE∥DF． 证明：如图，连接AB． ∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形， ∴∠BAD=∠E．又∵四边形 ADFB是⊙O2的内接四边形， ∴∠BAD+∠F=180°． ∴∠E+∠F=180°．∴CE∥DF． 11．如图，点A在⊙O内，点B在⊙O外，点C，D在⊙O上，试比较∠CAD与∠CBD的大小. 解：延长DA交⊙O于E，CB交⊙O于F，连接CE，DF，如图． ∵∠CAD＞∠CED，∠CFD＞∠CBD，而∠CED=∠CFD， ∴∠CAD＞∠CBD． 课堂小结 1. 圆内接四边形的内角和为360°； 2. 圆内接四边形的对角互补，且任何一个外 角都等于它的内对角. 2． [2024·渭南二模]如图，四边形ABCD内接于⊙O, ＝，若∠C＝70°，则∠ABD的度数为(　　) A．35° B．30° C．45° D．40° 4．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点 A，B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上的一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为(　　) A．4 B．5 C．6 D．2 【点拨】连接AC， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠BAC＋∠ABC＝90°.∴∠BAC＝35°. ∵＝，∴∠BEC＝∠BAC＝35°. 2 ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°. ∴∠BAC＝180°－2∠ACB＝45°. ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°. 又∵⊙O的半径为2， ∴BC＝＝＝2. 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC∶∠ADC＝2∶1，AB＝2 ，点C为的中点，延长AB，DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O 的面积是(　　) A．π B．2π C．3π D．4π ∵点C为的中点，∴CD＝BC. ∴∠CDB＝∠DBC＝30°. ∴∠ABD＝90°，∠ADB＝30°. ∴AD为⊙O的直径. ∵AB＝2，∴AD＝2AB＝4. ∴⊙O的面积是π×＝4π. 【点拨】∵△ABC内接于⊙O且∠ACB＝90°， ∴AB为⊙O的直径.∴∠ADB＝90°. ∵弦CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°.∴AD＝BD. ∵AB＝5，AC＝4，∴CB＝＝3， AD＝BD＝AB＝. ∴CD＝DE＝CE＝. 11．如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB是直径，点C是的中点，延长AD交BC的延长线于点E. (1)求证：CE＝CD； ∵点C是的中点，∴∠CAE＝∠CAB，CD＝CB. 在△ACE和△ACB中， ∴△ACE≌△ACB.∴CE＝CB.∴CE＝CD. (2)若AB＝3，BC＝，求AD的长． 【解】∵△ACE≌△ACB，AB＝3，∴AE＝AB＝3. ∵四边形ABCD内接于半圆O，∴∠CDE＝∠ABE. 又∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA.∴＝. 又∵BE＝2BC＝2，CD＝BC＝，∴＝， 解得DE＝2，∴AD＝AE－DE＝1. 【解】如图，过点D作DG∥BC交圆于点G，连接AG，CG，则DG∥BC∥EF， ∵DG∥BC， ∴易得＝. ∴BD＝CG. 下面是小初的证明过程： 证明：如图②，延长DC至点E，使CE＝AD，连接BE. 缺失(1) 在△DAB与△ECB中，， ∴△DAB≌△ECB.∴BE＝BD， 又∵CE＝AD，ED＝CD＋CE，BD＝AD＋DC， ∴ED＝BD.∴ED＝BD＝BE. ∴△EDB为等边三角形． 缺失(2)请你补全缺失的证明过程． 【结论应用】如图③，点A，B，C，D均为⊙O上的点，若AB＝BC，点D为弧AC上任意一点(点D不与点A，C重合)，且BD＝AD＋DC，⊙O的半径为2，当点D在运动的过程中，四边形ABCD周长的最大值为________． 8 【点拨】如图，延长DC至点E，使CE＝AD，连接BE，AC. 同理可证△DAB≌△ECB，∴∠ABD＝∠CBE，BD＝BE. ∵BD＝AD＋DC，∴BD＝CE＋DC＝DE. ∴2＝DE2.∴2BD2＝DE2. ∴BD2＋BE2＝DE2.∴∠EBD＝90°. ∵∠EBD＝∠EBC＋∠CBD，∠ABC＝∠DBC＋∠ABD， ∴∠ABC＝∠EBD＝90°.∴AC是直径. 又∵⊙O的半径为2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝AC＝2. ∵四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋AD＋DC， ∴要使四边形ABCD的周长最大，则需AD＋DC取得最大值，即BD取得最大值， ∴当BD过圆心时，BD取得最大值. ∴AD＋DC的最大值为4. ∴四边形ABCD周长的最大值为4＋4＝8. $$