第11讲 图形的位似（2考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第11讲 图形的位似 课程标准 学习目标 1 理解位似图形的概念，掌握位似图形的性质，包括位似图形对应点的坐标变化规律等。 2 能识别位似图形，会运用位似变换的方法进行图形的放大、缩小等操作，并解决相关几何作图与计算问题。 3 培养学生运用位似知识在平面直角坐标系及实际生活中解决图形变换问题的能力，体会数学与生活、数学与其他学科的联系。 1. 牢记位似图形的定义、性质，了解位似中心、位似比等关键要素。 2. 能够准确判断图形是否为位似图形，熟练运用位似变换进行图形的缩放操作、坐标变换以及解决简单几何问题。 3. 感受位似图形带来的图形变换之美，增强对数学图形学习的兴趣和探索欲望。 知识点一、位似的概念 如果两个多边形不仅相似，而且对应边互相平行（或在同一直线），对应顶点所在直线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似多边形，其交点称为位似中心. 如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 1.位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形，位似图形是相似图形的特例. 2.位似中心可以在图形的内部、外部或图形上，但位似中心只能有一个. 3.各对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比 知识点二、将图形放大或缩小 1.用位似的方法将一个图形放大或缩小的步骤如下： （1）在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； （2）作位似中心与各关键点连线； （3）在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； （4）顺次连接各对应点，得到放大或缩小的图形. 2.位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法： 题型01 位似变换 1．一个图形经过下列变换后得到新图形，不能全等的是（　　） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．缩小 2．如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺之间的变换是（　　） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 3．如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个“E”之间的变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 4．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（　　） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 题型02 确定位似中心的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与A′B′C′的位似比为1：2，且位似中心是原点O，若点B（﹣2，﹣1），则其对应点B′的坐标为（　　） A．（2，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，2） 2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8） 3．如图，在平面直角坐标系中，已知A（6，4），B（2，3），D（3，2），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（　　） A．（1，2） B． C． D． 题型03 求位似图形的线段或周长 1．如图，△ABC与△A′B′C′、位似，位似中心为点O，OC′：CC′＝3：1，△A'B'C'的周长为18，则△ABC周长为（　　） A．54 B．24 C．32 D． 2．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若AD＝12，则OD的长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 3．如图，△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若，△ABC的周长为6，则△A1B1C1的周长是（　　） A．8 B．12 C．18 D．24 4．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，若AB＝3，则DE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 题型04 求位似图形的面积 1．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S3，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．12 C．9 D．6 2．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD＝1：3，且△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．9 3．如图，△ABC和△DEF是位似图形，位似中心是O，若OA：OD＝1：2，S△ABC＝3，那么S△DEF＝（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 题型05 位似变换作图 1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为A′，B′，C′，且都在格点上． （1）请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； （2）请在图中画出△A″B″C″，使之满足如下条件： ①△A″B″C″与△A′B′C′关于点P位似，且△A″B″C″与△A′B′C′的位似比为； ②△A″B″C″与△A′B′C′位于点P的同侧． 2．已知，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）． （1）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格纸第一象限中画出△A1B1C1； （2）点C1的坐标是　　，若图中每个小方格的面积为1，△A1OC1的面积＝　　． 3．在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 　； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它△OAB的相似比为2：1． 1．如图，△AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，CD＝2AB．若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣6，﹣3） B．（﹣5，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣4，﹣3） 2．如图，平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（2，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为2，则△ABC的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 3．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE＝1：2，且四边形ABCD的周长为3，则四边形EFGH的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．27 4．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O是它们的位似中心，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　） A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：9 5．下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（　　） A．点P B．点O C．点M D．点N 6．如图，小雪利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置．她在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为12cm．蜡烛火焰AB高为6cm，若像CD高3cm，则蜡烛到薯片筒底部小孔O的距离为（　　） A．6cm B．24cm C．36cm D．48cm 7．在平面直角坐标系中，有三个点O（0，0），A（3，4），B（4，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似图形△OCD，位似比为，则点C的坐标为 　 　． 8．如图，在直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，则它们位似中心的坐标是 　 　． 9．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，△ABC与△DEF的面积之比为4：1，则OD：OA＝ 　 　． 10．如图，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若点A的坐标为（1，0），则点F的坐标为 　 　． 11．如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的位似比为1：2．点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为（﹣2，4），则点N的坐标为 　 　． 12．如图，将△AOB以坐标原点O为位似中心放大，得到△OCD，已知A（1，2）、B（3，0）、D（4，0），则点C的坐标为 　 　． 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标依次为A（1，3），B（2，1），C（4，1）． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且相似比为2：1（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F）； （2）在（1）的条件下，写出点E的坐标． 14．如图，已知O是坐标原点，B（﹣3，6），C（﹣3，0），以原点O为位似中心，将△OBC缩小为原来的一半（即新图形与原图形的相似比为1：2）． （1）画出缩小后的图形； （2）写出B点的对应点坐标； （3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出点M经位似变换后的对应点坐标． 15．如图，已知△ABC，请用尺规作图法，以点A为位似中心作△ADE，使得△ADE∽△ABC，且点D在边AB上，点E在边AC上，相似比为1：2．（保留作图痕迹，不写作法） 16．已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2），△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形． （1）请写出点P的坐标是 　 　； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使其与△ABC的相似比为2：1； （3）计算△A2B2C2的面积．（写出计算过程） 17．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点O为位似中心画△ODE，使得△ODE与△OAB位似，且相似比为2：1，D，E为格点． （2）如图2，在OA边上找一点F，使得． 18．已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形． （1）请写出点P的坐标是 　 　； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形．△A2B2C2，使相似比为1：1； （3）若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 图形的位似 课程标准 学习目标 1 理解位似图形的概念，掌握位似图形的性质，包括位似图形对应点的坐标变化规律等。 2 能识别位似图形，会运用位似变换的方法进行图形的放大、缩小等操作，并解决相关几何作图与计算问题。 3 培养学生运用位似知识在平面直角坐标系及实际生活中解决图形变换问题的能力，体会数学与生活、数学与其他学科的联系。 1. 牢记位似图形的定义、性质，了解位似中心、位似比等关键要素。 2. 能够准确判断图形是否为位似图形，熟练运用位似变换进行图形的缩放操作、坐标变换以及解决简单几何问题。 3. 感受位似图形带来的图形变换之美，增强对数学图形学习的兴趣和探索欲望。 知识点一、位似的概念 如果两个多边形不仅相似，而且对应边互相平行（或在同一直线），对应顶点所在直线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似多边形，其交点称为位似中心. 如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 1.位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形，位似图形是相似图形的特例. 2.位似中心可以在图形的内部、外部或图形上，但位似中心只能有一个. 3.各对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比 知识点二、将图形放大或缩小 1.用位似的方法将一个图形放大或缩小的步骤如下： （1）在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； （2）作位似中心与各关键点连线； （3）在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； （4）顺次连接各对应点，得到放大或缩小的图形. 2.位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法： 题型01 位似变换 1．一个图形经过下列变换后得到新图形，不能全等的是（　　） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．缩小 【分析】根据平移、翻折、旋转的性质得到变换后的图形与原图形全等，缩小不是全等变换，变换前后的图形不全等．由此即可得到结论． 【解答】解：三角形经过平移、翻折、旋转后，所得三角形与原三角形全等， 把一个三角形缩小后，所得三角形与原三角形不全等． 故选：D． 【点评】本题考查了几何变换的类型，掌握常见的全等变换是解答本题的关键． 2．如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺之间的变换是（　　） A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换 【分析】根据轴对称变换，平移变换，相似变换，旋转变换的相关概念结合题目，采用排除法即可选出正确选项． 【解答】解：根据相似图形的定义可知，用放大镜将图形放大．属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似图形的识别，关键在于要图形结合，熟记相似图形的定义． 3．如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个“E”之间的变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 【分析】根据几种常见变换的特征即可解决问题． 【解答】解：视力表中两个开口向右的“E”大小不一样， 而平移、旋转、轴对称变换都是全等变换． 故选：C． 【点评】本题考几何变换的类型，熟知常见几何变换的特征是解题的关键． 4．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（　　） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【分析】根据位似变换的定义判断即可． 【解答】解：小孔成倒像的实验，物和像属于位似变换． 故选：D． 【点评】本题考查几何变换的类型，平移变换，轴对称变换，旋转变换，位似变换等知识，解题的关键是理解各种变换的定义． 题型02 确定位似中心的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与A′B′C′的位似比为1：2，且位似中心是原点O，若点B（﹣2，﹣1），则其对应点B′的坐标为（　　） A．（2，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，2） 【分析】把B点的横纵坐标都乘以﹣2得到点B′的坐标． 【解答】解：∵△ABC与A′B′C的位似比为1：2，且位似中心是原点O， 而点B（﹣2，﹣1）， ∴B点对应点B′的坐标为（4，2）． 故选：D． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8） 【分析】根据点A与点A′的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2）， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2， ∵点B的坐标为（﹣2，4）， ∴点B的对应点B′的坐标为（﹣2×2，4×2），即（﹣4，8）， 故选：A． 【点评】本题主要考查的是位似变换，正确求出相似比是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知A（6，4），B（2，3），D（3，2），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（　　） A．（1，2） B． C． D． 【分析】先求出OA、OD的长，再根据位似图形的性质计算，得到答案． 【解答】解：设E点的坐标是（x，y）， ∵A（6，4），D（3，2）， ∴，， ∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，B（2，3）， ∴，， ∴x＝1， ∴E点的坐标为， 故选：B． 【点评】本题考查的是位似图形的概念及性质．掌握其性质是解决此题的关键． 题型03 求位似图形的线段或周长 1．如图，△ABC与△A′B′C′、位似，位似中心为点O，OC′：CC′＝3：1，△A'B'C'的周长为18，则△ABC周长为（　　） A．54 B．24 C．32 D． 【分析】先求出，再根据△ABC与△A′B′C′位似得到ABC∽△A′B′C′，由相似三角形的性质即可得到答案． 【解答】解：∵OC′：CC′＝3：1， ∴， ∵△ABC与△A′B′C′位似， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴△A'B'C'的周长：△ABC的周长＝3：4， ∵△A′B′C′的面积为18， ∴△ABC的周长＝24， 故选：B． 【点评】此题考查了位似变换、熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 2．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若AD＝12，则OD的长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，AB：DE＝1：3，得到△ABO∽△DEO，再根据相似三角形的性质列式计算即可． 【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，AB：DE＝1：3， ∴△ABO∽△DEO， ∴， ∵AD＝12， ∴， 解得：OD＝18， 故选：B． 【点评】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 3．如图，△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若，△ABC的周长为6，则△A1B1C1的周长是（　　） A．8 B．12 C．18 D．24 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若， 故△ABC的周长和△A1B1C1的周长比为1：2， 故△A1B1C1的周长是12， 故选：B． 【点评】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． 4．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，若AB＝3，则DE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：由题意△ABC∽△DEF， ∴， ∵AB＝3， ∴DE＝4.5． 故选：B． 【点评】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型． 题型04 求位似图形的面积 1．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S3，则△ABC的面积为（　　） A．15 B．12 C．9 D．6 【分析】根据位似变换的概念得到△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形， ∴△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1， ∴△OBC≌△OB1C1， ∴， ∴（）2， ∵S3， ∴△ABC的面积＝3×4＝12， 故选：B． 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、相似三角形的性质是解题的关键． 2．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD＝1：3，且△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．9 【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，证明△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△OAB∽△ODE， ∵OA：OD＝1：3， ∴， ∴（）2， ∵△ABC的面积为1， ∴△DEF的面积为9， 故选：D． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 3．如图，△ABC和△DEF是位似图形，位似中心是O，若OA：OD＝1：2，S△ABC＝3，那么S△DEF＝（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出面积比，即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：OD＝1：2， ∴S△ABC：S△DEF＝1：4， ∵S△ABC＝3， ∴△DEF的面积为：12． 故选：C． 【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出三角形面积比是解题关键． 题型05 位似变换作图 1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为A′，B′，C′，且都在格点上． （1）请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； （2）请在图中画出△A″B″C″，使之满足如下条件： ①△A″B″C″与△A′B′C′关于点P位似，且△A″B″C″与△A′B′C′的位似比为； ②△A″B″C″与△A′B′C′位于点P的同侧． 【分析】（1）连接AA′、BB′、CC′相交于点P，则点P即为所求； （2）①②根据位似的性质，分别取PA′、PB′、PC′的中点A″、B″、C″，顺次连接各点即可求解． 【解答】解：（1）连接AA′、BB′、CC′相交于点P，点P即为所求； （2）取PA′、PB′、PC′的中点A″、B″、C″，顺次连接各点得到△A″B″C″，作图如下： 【点评】本题考查了作图﹣﹣﹣﹣位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答关键． 2．已知，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）． （1）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格纸第一象限中画出△A1B1C1； （2）点C1的坐标是　　，若图中每个小方格的面积为1，△A1OC1的面积＝　　． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可． （2）由图可得点C1的坐标；利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由图可得，点C1的坐标是（2，10）． △A1OC1的面积为30﹣6﹣8＝16． 故答案为：（2，10）；16． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 3．在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 　； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它△OAB的相似比为2：1． 【分析】（1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长OA、OB，并使OA2＝2OA、OB2＝2OB，连接A2B2即可． 【解答】解：（1）如图所示，点P为所作，点P的坐标为（﹣5，﹣1）． 故答案为：（﹣5，﹣1）； （2）如图，△OA2B2为所作． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 1．如图，△AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，CD＝2AB．若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为（　　） A．（﹣6，﹣3） B．（﹣5，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣4，﹣3） 【分析】先确定为位似比为2，然后把点的横纵坐标都乘以﹣2即可． 【解答】解：∵△AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，CD＝2AB， ∴位似比为2， ∵点A的坐标为（2，1）， ∴点C的坐标为（﹣4，﹣2）． 故选：C． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 2．如图，平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（2，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为2，则△ABC的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵△ABC缩小后得到△DEF，A（2，4），D（1，2）， ∴△ABC∽△DEF，相似比为2：1， ∴△ABC的面积：△DEF的面积＝4：1， ∵△DEF的面积为2， ∴△ABC的面积为8． 故选：C． 【点评】本题考查位似变换，坐标与图形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE＝1：2，且四边形ABCD的周长为3，则四边形EFGH的周长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．27 【分析】根据位似图形的概念得到AD∥EH，根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似， ∴AD∥EH， ∴△OAD∽△OEH， ∴，即四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为， ∵四边形ABCD的周长为3， ∴四边形EFGH的周长为9， 故选：B． 【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的判定和性质、相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 4．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O是它们的位似中心，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（　　） A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：9 【分析】根据位似图形的面积之比等于相似比的平方，列式计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似， ∴AD∥A′D′， ∴△AOD∽△A′OD′， ∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3， ∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为4：9， 故选：D． 【点评】本题主要考查相似三角形及位似图形的性质，掌握相似三角形和位似图形的性质是解题的关键． 5．下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（　　） A．点P B．点O C．点M D．点N 【分析】根据位似图形对应点的连线交于一点，交点就是位似中心解答即可． 【解答】解：如图，连接对应点，交于点P，则两个菱形的位似中心是点P， 故选：A． 【点评】本题考查位似变换，理解位似变换的定义是解题关键． 6．如图，小雪利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置．她在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为12cm．蜡烛火焰AB高为6cm，若像CD高3cm，则蜡烛到薯片筒底部小孔O的距离为（　　） A．6cm B．24cm C．36cm D．48cm 【分析】连接AB、CD，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，先判定△COD∽△BOA，得出，求出，即可得到答案． 【解答】解：连接AB、CD，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O， 根据题意可得：OC＝OD，∠COD＝∠AOB，AO＝BO， ∴△COD∽△BOA， ∴， ∵， ∴， ∴OE＝2OF＝2×12＝24（cm）， ∴蜡烛到薯片筒底部小孔O的距离为24cm． 故选：B． 【点评】本题主要考查位似，相似的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，有三个点O（0，0），A（3，4），B（4，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似图形△OCD，位似比为，则点C的坐标为 　　． 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似图形△OCD，位似比为，且A（3，4）， ∴点C的坐标为，即， 故答案为：． 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 8．如图，在直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，则它们位似中心的坐标是 　（0，2）　． 【分析】直接利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，连接对应点，进而得出位似中心的位置． 【解答】解：如图所示：位似中心点P的坐标为（0，2）． 故答案为：（0，2）． 【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 9．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，△ABC与△DEF的面积之比为4：1，则OD：OA＝ 　1：2　． 【分析】根据位似图形面积比是位似比的平方，对应点到位似中心的距离比也是位似比即可得解． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，△ABC与△DEF的面积之比为4：1， ∴△ABC∽△DEF，OD：OA＝EF：BC， ∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1， ∴OD：OA＝EF：BC＝1：2． 故答案为：1：2． 【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 10．如图，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若点A的坐标为（1，0），则点F的坐标为 　（9，6）　． 【分析】根据位似变换的性质得到△OAD∽△OBG，且，根据A（1，0），得到OA＝1，得到OB＝3，得到AB＝2，根据相似三角形的性质求出BE即可得到答案． 【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形， ∴△OAD∽△OBG， ∵相似比为1：3，A（1，0）， ∴，OA＝1， ∴OB＝3， ∴AB＝OB﹣OA＝2， ∵△OBC∽△OEF， ∴， ∴， 解得：BE＝6， ∴OE＝OB+BE＝9， ∴点F的坐标为（9，6）． 故答案为：（9，6）． 【点评】本题考查了位似变换、坐标与图形性质、正方形的性质．掌握位似变换的基本性质是解题的关键． 11．如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的位似比为1：2．点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为（﹣2，4），则点N的坐标为 　（4，﹣8）　． 【分析】利用位似变换的性质求解即可． 【解答】解：∵点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为（﹣2，4），相似比为1：2， ∴N（4，﹣8）． 故答案为：（4，﹣8）． 【点评】本题考查位似变换，坐标确定位置等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质． 12．如图，将△AOB以坐标原点O为位似中心放大，得到△OCD，已知A（1，2）、B（3，0）、D（4，0），则点C的坐标为 　（，）　． 【分析】由将△AOB以坐标原点O为位似中心扩大到△OCD（如图），D（4，0），B（3，0），即可求得其位似比，继而求得答案． 【解答】解：∵B（3，0），D（4，0）， ∴OB：OD＝3：4， ∵将△AOB以坐标原点O为位似中心扩大到△OCD， ∴位似比为：3：4， ∵A（1，2）， ∴点C的坐标为：（，）． 故答案为：（，）． 【点评】此题考查了位似变换，坐标与图形性质等知识．注意根据题意求得其位似比是关键． 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标依次为A（1，3），B（2，1），C（4，1）． （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且相似比为2：1（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F）； （2）在（1）的条件下，写出点E的坐标． 【分析】（1）连接OA，延长OA至格点D，使OA＝AD，则D为A的对应点，同法确定B的对应点E，C的对应点F，再顺次连接D，E，F即可； （2）根据对应格点的位置可得答案． 【解答】解：（1）与△ABC位似且相似比为2：1的△DEF，如图，即为所求； （2）根据对应格点的位置可得：E（4，2）． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，掌握位似图形的性质再确定位似图形对应点的坐标是解答本题的关键． 14．如图，已知O是坐标原点，B（﹣3，6），C（﹣3，0），以原点O为位似中心，将△OBC缩小为原来的一半（即新图形与原图形的相似比为1：2）． （1）画出缩小后的图形； （2）写出B点的对应点坐标； （3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出点M经位似变换后的对应点坐标． 【分析】（1）由以原点O为位似中心，将△OBC缩小为原来的一半，根据位似图形性质，可求得其对应点的坐标，继而画出图形； （2）结合（1）可求得B点的对应点坐标； （3）根据位似图形的性质，即可求得点M经位似变换后的对应点坐标． 【解答】解：（1）∵以原点O为位似中心，将△OBC缩小为原来的一半，B（﹣3，6），C（﹣3，0）， ∴B′（，3），C′（，0）；B″（，﹣3），C″（，0）； （2）B点的对应点坐标为：（，3），（，﹣3）； （3）△OBC内部一点M的坐标为（x，y）， 则点M经位似变换后的对应点坐标为：（x，y），（x，y）． 【点评】此题考查了位似图形变换．注意掌握关于原点位似的图形的变化特点是关键． 15．如图，已知△ABC，请用尺规作图法，以点A为位似中心作△ADE，使得△ADE∽△ABC，且点D在边AB上，点E在边AC上，相似比为1：2．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】根据位似的性质作图． 【解答】解：如下图：△ADE即为所求. 【点评】本题考查了作图﹣位似变化，理解位似的性质是解题的关键． 16．已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2），△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形． （1）请写出点P的坐标是 　（0，﹣2）　； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使其与△ABC的相似比为2：1； （3）计算△A2B2C2的面积．（写出计算过程） 【分析】（1）连接A1A，B1B，C1C，并分别延长，相交于点P，即可得出答案． （2）根据位似的性质作图即可． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）连接A1A，B1B，C1C，并分别延长，相交于点P， 则△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形， ∴点P的坐标是（0，﹣2）． 故答案为：（0，﹣2）． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）△A2B2C2的面积为30﹣8﹣6＝16． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 17．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，△OAB的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点O为位似中心画△ODE，使得△ODE与△OAB位似，且相似比为2：1，D，E为格点． （2）如图2，在OA边上找一点F，使得． 【分析】（1）在OA延长线上取格点D，在OB延长线上取格点E，使OD＝2OA，OE＝2OB，连接OD，OE，DE，根据位似图形的判定和性质可知△ODE即为所求作； （2）在点A的下方取格点G，使AG＝3，AG∥OB，连接BG交AO于点F，根据相似三角形的判定和性质可知F即为所求． 【解答】解：（1）如图1所示，在OA延长线上取格点D，在OB延长线上取格点E，使OD＝2OA，OE＝2OB，连接OD，OE，DE， 则， ∵∠DOE＝∠AOB， ∴△ODE∽△OAB， 故△ODE即为所求； （2）如图2所示，在点A的下方取格点G，使AG＝3，AG∥OB，连接BG交AO于点F， 则△AGF∽△OBF， ∵OB＝2， ∴， 故点F即为所求作． 【点评】本题主要考查了网格作图——位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 18．已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形． （1）请写出点P的坐标是 　（0，﹣2））　； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形．△A2B2C2，使相似比为1：1； （3）若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为 　（﹣a，﹣b）　． 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可． 【解答】解：（1）如图所示：点P（0，﹣2）； （2）如图所示：△A2B2C2即为所求，点M对应点的坐标为：（﹣a，﹣b）． 故答案为：（1）（0，﹣2）；（2）（﹣a，﹣b）． 【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$