精品解析：青海省西宁市海湖中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

海湖中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题 命题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设x，，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直、平行的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 由可知，，解得，所以. 故选：B. 2. 正四棱柱中，，四面体体积为，则与平面所成角的正弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据四面体体积为得出,再建立空间直角坐标系求线面角正弦即可. 【详解】设,因为四面体体积为，所以，解得, 以分别为轴，建立空间直角坐标系，则, 所以， 设平面的法向量为, 所以，即， 令，则，所以, 设与平面所成角为， . 故选：C. 3. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求的值, 然后求圆心坐标，接着求圆心与点连线的斜率，最后求圆在点处的切线方程. 【详解】因为圆经过点， 将点代入圆的方程可得：.即，所以， 则圆的方程为. 对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.： 根据斜率公式，这里，，则. 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则. 已知，所以切线的斜率. 又因为切线过点，根据点斜式方程（这里）， 可得切线方程为.整理得. 故选：A. 4. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 5. 如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形法则以及模长公式和向量夹角公式即可求得结果. 【详解】利用三角形法则，故A正确，B错误； 对于选项C： ， 所以，故选项C正确, ， ，所以选项D正确. 故选： 6. 已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（ ） A. -2 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行求出即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或1，经检验均满足题意， 所以实数的所有取值之和为. 故选：B 7. 直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线焦半径公式求出点的横坐标，进而求出弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，则， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以. 故选：C 8. 年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（ ）个. ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题设椭圆中可得，又、判断①②；令得，特殊值判断③；利用椭圆定义求焦点三角形周长判断④. 【详解】由题意，椭圆中几何量，所以，则， 故①正确； 因为，由椭圆性质可知， 所以，故②正确； 设，则 ，取， 则，故③错误； 由椭圆定义知，， 所以的周长，故④正确，故答案为①②④. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题③的关键点在于设，由表示出，结合三角函数的性质即可得出答案. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与圆相交列不等式，进而得到点与圆位置关系，判断A；根据直线与圆的相交，确定最长弦长为直径，判断B；根据点到直线的距离公式，结合圆的半径，判断C；根据圆的特征以及切线的定义，判断D. 【详解】对于A项，由题意可得，所以，从而点在圆的外部，故A项正确； 对于B项，直线恒过定点，， 点在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径4，故B项错； 对于C项，圆心到直线的距离为，如图，直线与圆相交， ，与平行，且与直线的距离为1，故可以看出，圆的半径应该满足，故C项错误； 对于D项，过点作圆：的切线只有一条，则点在圆上， 又，故切线的斜率为， 所以切线方程为，即，故D项正确. 故选：AD. 10. 已知O为坐标原点，是抛物线上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有（ ） A. 周长的最小值为 B. 若，则最小值为4 C. 若直线过点F，则直线的斜率之积恒为 D. 若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据F到准线的距离为2，求出，可得焦点和准线方程，利用抛物线的定义可求出周长的最小值为，故A不正确；利用抛物线的定义将弦长转化为弦的中点到准线的距离可得最小值为4。故B正确；设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理和斜率公式，计算可知C不正确；利用外接圆与抛物线C的准线相切，求出圆心的横坐标和圆的半径，可得圆的面积为，故D正确. 【详解】因为F到准线的距离为2，所以，所以抛物线，，，准线， 对于A，过作，垂足为，则， 所以周长的最小值为，故A不正确； 对于B，若，则弦过，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，设的中点为，过作，垂足为，则，即最小值为4，故B正确； 对于C，若直线过点F，设直线， 联立，消去得， 设、，则，， 所以，故C不正确； 对于D，因为为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为， 因为外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆的半径为， 所以该圆面积为，故D正确. 故选：BD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为面的中心，、分别为和的中点，则（ ） A. 平面 B. 若为上的动点，则的最小值为 C. 点到直线的距离为 D. 平面与平面相交 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，故故与平面不平行，A错误；B选项，将两平面展开到一个平面内，利用勾股定理求出最小值；C选项，利用点到直线距离向量公式求出答案；D选项，求出平面的法向量，与平面的法向量不平行，得到两平行相交. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 所以， 故与平面不平行，A错误； B选项，把平面与平面以为公共边展开到同一平面内，如图， 连接与相交于点，此时最小， 最小值为，B正确； C选项，，，， ， 点到直线的距离为，C错误； D选项，，所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 显然与不平行，故平面与平面不平行， 又两平面不重合，故两平面相交，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在长方体中，，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】建立为空间直角坐标系设，，根据异面直线与，与所成角求出，，再应用空间向量公式计算点到平面距离即可. 【详解】如图建立以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为z轴的空间直角坐标系， ，且设， 则，，，，， 则，，. 因为异面直线与所成角为， 所以， 因为异面直线与所成角为， 所以， 所以可得，，所以，， 设平面法向量为，则， 令，则 因为，， 则点到平面的距离. 故答案为：. 13. 已知直线过点，直线过点，若直线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，代入计算，即可求解. 【详解】由题得，即，解得． 故答案为： 14. 如图，已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1作圆的切线与双曲线C的左，右两支分别交于M，N两点，若则双曲线C的离心率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线与圆相切于点，连接，作作，垂足为，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到，的关系，即可得到结果． 【详解】设直线与圆相切于点，连接，作作，垂足为， 由于圆的半径为，则， 且为的中位线，可得， 又，所以，即有， 在直角三角形中，因为，所以， 则，可得，所以， 由双曲线的定义可得，即，所以， 由，则，所以双曲线C的离心率为. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法即可列方程求解半径和圆心，进而得解. 【详解】设所求圆的标准方程为：， 依题意得，即， 解得， 所以所求圆的标准方程为：. 16. 已知抛物线：的焦点为． （1）求抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若，求线段的长． 【答案】（1）焦点为，准线. （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的方程直接求解； （2）利用抛物线的定义确定点的坐标，从而确定直线的斜率，利用韦达定理分别求得，的值，再利用抛物线的焦点弦长公式求解即可. 【小问1详解】 由抛物线方程可得，， 所以焦点为，准线. 【小问2详解】 设， 根据对称性，不妨设在轴上方，则在轴下方， 根据抛物线的定义可知，，所以， 将代入可得或（舍）， 所以， 所以, 所以直线的直线方程为，即， 联立，消去可得，， 根据韦达定理可得，， 所以， 所以. 17. 求与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程． 【答案】或 【解析】 【分析】 由已知椭圆方程和离心率可得、，，由此能求出椭圆的方程. 【详解】把方程写成， 则其焦距，所以， 又，所以， ， 故所求椭圆的方程为，或. 【点睛】椭圆的标准方程： （1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1； （2）椭圆的标准方程中，与的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上； （3）椭圆的标准方程中三个参数满足； （4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数的值. 18. 已知直线，直线． （1）若，求，之间的距离； （2）若，求，及轴围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由求出的值，再由平行线间的距离求解即可. （2）由求出的值，再求出直线，的交点，及，与x轴的交点，由三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得，解得或． 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意．故， 则，之间的距离为． 【小问2详解】 因为，所以，解得． ，的方程分别为，． 联立方程组，得． 因为，与轴的交点分别为，， 所以，及轴围成的三角形的面积为． 19. 如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则, ，， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，得， 因为，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海湖中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题 命题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设x，，向量，，，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 2. 正四棱柱中，，四面体体积为，则与平面所成角的正弦值为（    ） A. B. C. D. 3. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则错误的是（    ） A. B. C. D. 6. 已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（ ） A. -2 B. C. 1 D. 2 7. 直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（ ） A. B. 3 C. D. 8. 年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（ ）个. ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 10. 已知O为坐标原点，是抛物线上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有（ ） A. 周长的最小值为 B. 若，则最小值为4 C. 若直线过点F，则直线的斜率之积恒为 D. 若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为面的中心，、分别为和的中点，则（ ） A. 平面 B. 若为上的动点，则的最小值为 C. 点到直线的距离为 D. 平面与平面相交 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在长方体中，，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为______. 13. 已知直线过点，直线过点，若直线，则______． 14. 如图，已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1作圆的切线与双曲线C的左，右两支分别交于M，N两点，若则双曲线C的离心率为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程. 16. 已知抛物线：的焦点为． （1）求抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若，求线段的长． 17. 求与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程． 18. 已知直线，直线． （1）若，求，之间的距离； （2）若，求，及轴围成的三角形的面积． 19. 如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $