13.4最短路径问题 课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

     复 习 回 顾 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P l A B C D PC最短，因为垂线段最短 复 习 回 顾 3.在前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？ l A A′ O 像“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题. 本节将探究数学史上著名的“将军饮马问题”及“造桥选址问题”. 模型一：一定直线，异侧两定点 将实际问题抽象为数学问题： 问题1 如图，点A，B在直线l的两侧，在l上找一点C，使得AC+BC最小． 熊猫达人作品 l .A 军营 .B 家 C 先找路线再找点 方法:连接AB,与直线l相交于点C. C点即为所求 根据:两点之间，线段最短 熊猫达人作品 模型二：一定直线，同侧两定点 问题2 如果点A，B分别是直线l 同侧的两个点，又应该如何解决？ l C A' B' B A 方法: （1）作点A 关于直线l 的对称点A′； （2）连接A′B，与直线l相交于点C． 则点C 即为所求． 能不能作出B点的对称点B',连接AB'，与l还交于C点吗？ 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合) 连接AC′，BC′，A′C′．由垂直平分线的性质知: AC =A′C，AC′=A′C′ ∴AC +BC= A'C +BC= A′B AC′+BC′= A′C′+BC′ 在△A′BC′中， A′B＜A′C′+BC′ ∴AC+BC＜AC′+BC′ 即:AC +BC 最短 A C' C B A' 归纳总结 l C A' B A 同侧转化异侧 两定点在同侧 实际问题 抽象为数学问题 通过轴对称把同侧点转为异侧点 利用“两点之间，线段最短”确定所求位置 两定点在异侧 A l B C 模型三：二定直线，一定点 问题3 点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小. M N O A B P2 P1 P M N O P2 P1 P A' B' 模型四：二定直线，二定点 问题4 如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点 A，B.使四边形PAQB的周长最小. M N O Q1 P1 A B P Q 1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） D 课堂练习 2.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 . A B C E F D E' F' 5 方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解. F' 3.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是 . A B O P P1 P2 Q R 10 实际问题 抽象为数学问题 通过轴对称把同侧点转为异侧点 利用“两点之间，线段最短”确定所求位置 拓展提高 （造桥选址问题） 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）. 应用平移 Lavf57.62.100 Lavf57.62.100 $$