第11讲 空间几何体表面积与体积(思维导图+知识梳理+10类核心考点+过关测)-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

空间几何体表面积与体积 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．柱、锥、台的侧面积和体积 2．是圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积公式及其应用 知识点 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）正方体、长方体的表面积 正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和 长、宽、高分别为的长方体的表面积： 棱长为的正方体的表面积： . （2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图: 棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图 棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图 （3）棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积： 知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 （1）棱柱的体积 ①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积 ①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解. （3）棱台的体积 ①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长 ②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高) 知识点3 圆柱、圆锥、圆台的表面积 （1）圆柱的表面积 ①圆柱的侧面积： 圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为. ②圆柱的表面积： . 知识点4 圆锥的表面积 ①圆锥的侧面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为 ②圆锥的表面积： 知识点5 圆台的表面积 ①圆台的侧面积： 圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为 ②圆台的表面积： 知识点6圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积： 知识点7球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 考点一：棱柱的表面积 例1．（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为 . 【变式1-3】（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）已知底面为正方形的长方体底面边长为1，体对角线长为，则长方体的表面积为 . 考点二：棱柱的体积 例2.（2024·江苏苏州·一模）已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为 ． 【变式2-1】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（    ）. A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知在长方体中，，则该长方体体积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式2-3】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，设圆柱有一个内接棱柱（即棱柱的侧棱都是圆柱的母线，棱柱的两个底面分别在圆柱的两个底面内）．已知圆柱的体积是，棱柱的底面是边长为2的正三角形．求棱柱的体积． 考点三：棱锥的表面积 例3.（24-25高二·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【变式3-1】（24-25高一下·全国·随堂练习）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的侧面积为 . 【变式3-3】（24-25高二·上海·假期作业）三棱锥中，，，求该棱锥的表面积. 考点四：棱锥的体积 例4.（24-25高三上·山西大同·期中）已知四面体ABCD的顶点均在半径为3的球面上，若，则四面体ABCD体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高三上·河北承德·期中）在棱长为2的正四面体中，为棱AD上的动点，当最小时，三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024高三·全国·专题练习）棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为 . 【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）如图，在正四棱锥中，，，点，分别在棱，上运动，且满足，，其中，求三棱锥的最大体积. 考点五：棱台的表面积 例5.（23-24高一下·北京·阶段练习）已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3，高为1，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·全国·课后作业）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（    ） A．50 B．100 C．248 D．168 考点六：棱台的体积 例6.（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积与体积分别为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·广东·模拟预测）现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）已知正四棱台两底面边长分别为20和10，侧面积为780，则其体积为 ． 【变式6-3】（24-25高三上·广东·开学考试）中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为 . 考点七：圆柱的表面积和体积 例7.（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为40cm，底面的半径长为10cm．    (1)求纸篓的面积； (2)求该纸篓的表面积． 【变式7-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）若圆柱的高为10，底面积为，则这个圆柱的侧面积为 . 【变式7-2】（24-25高三上·天津·期中）已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一下·四川成都·期末）如图，圆锥的底面直径和高均为，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点八：圆锥的表面积和体积 例8.（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆柱和圆锥的高相等，侧面积相等，且它们的底面半径均为2，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高三上·宁夏·期中）若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高三上·北京房山·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）若一个圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 考点九：圆台的表面积和体积 例9.（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）如图，将底面半径为1高为3的圆锥截去体积为的锥尖，剩余圆台的侧面积为（  ）    A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·浙江·期中）把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式9-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆台的上､下底面半径分别为和，母线长为，则圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 考点十：球的表面积和体积 例10.（2024高三·全国·专题练习）如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知球的表面积为，则该球的体积是（    ）cm³ A．64π B．144π C．288π D．216π 【变式10-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知轴截面是正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的表面积与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高二上·四川资阳·阶段练习）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为 . 一、单选题 1．（24-25高三上·浙江·期中）已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 4．（23-24高一下·江苏·期末）若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·贵州·期中）已知某圆锥的底面半径和球的半径都为，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（   ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）斗不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，其可近似看作正四棱台，现制作一上底面的面积为81平方分米，侧面积为120平方分米，侧高为5分米的米斗，若斗面的厚度忽略不计，则该斗可以装米（1立方分米1升）（    ） A．39升 B．156升 C．201升 D．210升 二、多选题 9．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（   ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 10．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（    ） A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．该圆锥的轴截面的面积是8 D．圆锥侧面积是 三、填空题 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）表面积为 的球的体积是 . 12．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为 . 13．（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为 . 14．（2024高三·全国·专题练习）已知圆柱与圆锥的高均为3，底面半径均相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积. 16．（24-25高二上·上海·期中）我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 17．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间几何体表面积与体积 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．柱、锥、台的侧面积和体积 2．是圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积公式及其应用 知识点 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）正方体、长方体的表面积 正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和 长、宽、高分别为的长方体的表面积： 棱长为的正方体的表面积： . （2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图: 棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图 棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图 （3）棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积： 知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 （1）棱柱的体积 ①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积 ①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解. （3）棱台的体积 ①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长 ②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高) 知识点3 圆柱、圆锥、圆台的表面积 （1）圆柱的表面积 ①圆柱的侧面积： 圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为. ②圆柱的表面积： . 知识点4 圆锥的表面积 ①圆锥的侧面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为 ②圆锥的表面积： 知识点5 圆台的表面积 ①圆台的侧面积： 圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为 ②圆台的表面积： 知识点6圆柱、圆锥、圆台的体积 （1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积： 知识点7球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 考点一：棱柱的表面积 例1．（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 【变式1-1】（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】棱柱表面积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为，由正四面体的表面积求出，从而求出正方体的表面积. 【详解】设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为， 所以， 所以， 所以. 故选：B 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为 . 【答案】36 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】根据正棱柱的侧面积公式求解. 【详解】由正棱柱的侧面积公式可得， 故答案为：36 【变式1-3】（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）已知底面为正方形的长方体底面边长为1，体对角线长为，则长方体的表面积为 . 【答案】 【知识点】棱柱表面积的有关计算、正棱柱及其有关计算 【分析】利用长方体体对角线可求得各棱长，再由表面积公式即可求得结果. 【详解】如下图所示：    易知底面边长，体对角线，则可得； 设，则，解得； 所以长方体的表面积为. 故答案为：. 考点二：棱柱的体积 例2.（2024·江苏苏州·一模）已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为 ． 【答案】16 【知识点】基本不等式求积的最大值、多面体与球体内切外接问题、柱体体积的有关计算 【分析】将直三棱柱外补全成长方体，从而可得直三棱柱外接球的直径即为该长方体的对角线，从而可得，再根据重要不等式，即可求解． 【详解】如图，将直三棱柱外补全成长方体， 则直三棱柱外接球的直径即为该长方体的对角线， 设，，则，， 直三棱柱的体积为， 当且仅当时，等号成立， 该棱柱体积的最大值为16． 故答案为：16． 【变式2-1】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】设直三棱柱的底面面积为，在图中，设水面的高度为，根据图和图中水的体积相等可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】记棱，，，的中点依次为， 设直三棱柱的底面面积为， 在图中，设水面的高度为，则水的体积为， 在图中，几何体为直四棱柱， 因为分别为棱，，，的中点，所以， 则水的体积为，解得. 故选：C. 【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知在长方体中，，则该长方体体积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】柱体体积的有关计算、基本不等式求积的最大值 【分析】设，可知，根据体积关系结合基本不等式运算求解. 【详解】设， 由题意可得：，整理得， 则该长方体体积，当且仅当时，等号成立， 所以该长方体体积的最大值为4. 故选：C. 【变式2-3】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，设圆柱有一个内接棱柱（即棱柱的侧棱都是圆柱的母线，棱柱的两个底面分别在圆柱的两个底面内）．已知圆柱的体积是，棱柱的底面是边长为2的正三角形．求棱柱的体积． 【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】借助棱柱的底面是边长为2的正三角形可得圆柱底面半径，结合圆柱体积可得圆柱的高，再利棱柱体积公式计算即可得解. 【详解】由棱柱的底面是边长为2的正三角形，则圆柱底面半径， 设圆柱的高为，则有，即， 故棱柱的体积为. 考点三：棱锥的表面积 例3.（24-25高二·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【答案】A 【知识点】棱锥表面积的有关计算、正棱锥及其有关计算 【分析】由已知，利用勾股定理先求出侧棱长，再利用三角形的面积公式，即可求出表面积. 【详解】 如图，由已知，两两垂直，且， 为等边三角形，， 在中， 所以， 所以此棱锥的表面积是 . 故选：A. 【变式3-1】（24-25高一下·全国·随堂练习）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为.    故选：. 【变式3-2】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的侧面积为 . 【答案】 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】利用正四棱锥的性质，结合条件，求出斜高，即可求出结果.. 【详解】如图，，取的中点，连接，易知， 因为正四棱锥的底面边长为，高为，则，， 所以正四棱锥的侧面积为， 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高二·上海·假期作业）三棱锥中，，，求该棱锥的表面积. 【答案】 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】取中点，连结，由勾股定理可求得，取中点，连结，由勾股定理可求得，可求表面积. 【详解】取中点，连结， ∵，∴， 同理，. 在正三角形中，，同理。 取中点，连结， 因为，，所以， 所以， 所以，， 所以三棱锥的表面积为. 考点四：棱锥的体积 例4.（24-25高三上·山西大同·期中）已知四面体ABCD的顶点均在半径为3的球面上，若，则四面体ABCD体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设为AB的中点，为CD的中点，为四面体ABCD外接球的球心，通过 ，同样利用进行放缩后可得最大值． 【详解】如图，设为AB的中点，为CD的中点，为四面体ABCD外接球的球心， 因为， 所以，又， 所以，当且仅当AB与CD垂直，且均与EF垂直时取等号． 故选：B． 【变式4-1】（24-25高三上·河北承德·期中）在棱长为2的正四面体中，为棱AD上的动点，当最小时，三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】将立体图形展开为平面图形可确定最小时，点E的位置，然后可得体积. 【详解】将侧面如图展开，由平面几何性质可得，当为AD的中点时，满足题意. 又如图，过A向平面BCD作垂线，垂足为O，则O为中心， 连接OC，则OC为外接圆半径，由正弦定理，. 则正四面体的高为， 又E为AD中点，所以． 故选：A． 【变式4-2】（2024高三·全国·专题练习）棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为 . 【答案】1 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据等体积法，即可根据锥体体积公式求解. 【详解】如图，由正方体棱长为2及分别为，的中点， 得， 又易知为三棱锥的高，且， . 故答案为：. 【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）如图，在正四棱锥中，，，点，分别在棱，上运动，且满足，，其中，求三棱锥的最大体积. 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、基本不等式求积的最大值 【分析】根据等体积法可得体积的表达式，再结合基本不等式可求最值. 【详解】 如图，连接交于点，连接，则平面． 过点作，垂足为，则，即． 因为，所以． 由等体积法可得， ． 又因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故三棱锥的最大体积为. 考点五：棱台的表面积 例5.（23-24高一下·北京·阶段练习）已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3，高为1，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】依题意画出图形，求出棱台的侧棱，再求出其中一个侧面的面积，即可得解； 【详解】解：如图正六棱台中，设上底面的中心为，下底面的中心为，过点作， 则，，，所以， 在侧面中，，，，过点作，则， 所以， 所以，所以； 故选：C 【变式5-1】（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 【答案】B 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】作出辅助线，求出侧高，得到侧面积. 【详解】如图，过点分别作⊥，⊥，垂足分别为， 其中，故， 所以， 又，由勾股定理得， 其中，由勾股定理得， 故梯形的面积为， 其侧面积为. 故选：B 【变式5-2】（24-25高一下·全国·课后作业）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（    ） A．50 B．100 C．248 D．168 【答案】D 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】根据题意求出正四棱台的斜高，从而可求出棱台的侧面积，进而可求出其表面积. 【详解】由题意可知，正四棱台的斜高为， 故侧面积等于， 所以表面积为． 故选：D 考点六：棱台的体积 例6.（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积与体积分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】画出该几何体，利用已知条件分别计算正六棱台的上底面积、侧面面积、表面积、正六棱台的高即可. 【详解】 如图在正六棱台中， 因为， 所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为：， 所以梯形的面积为：， 所以该正六棱台的上底面积为：， 同理下底面积为：， 所以正六棱台的表面积为：， 正六棱台的高为， 所以正六棱台的体积为：， 故选：C 【变式6-1】（2024·广东·模拟预测）现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据题意，水库的最大蓄水量等于正四棱台的体积，进而用台体的面积公式即可求解. 【详解】根据题意画出图形，如图所示，其中且. 由，可得， 又且，可得是长方形，则， 所以，， 则，正四棱台的高，下底面的面积，上底面的面积. 于是正四棱台的体积. 故该水库的最大蓄水量为. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）已知正四棱台两底面边长分别为20和10，侧面积为780，则其体积为 ． 【答案】2800 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据正四棱台的侧面积结合正四棱台的特征先求侧面高，再计算棱台的高，最后由棱台的体积公式计算计算. 【详解】如图所示正四棱台，其上下底面的中心为， 取的中点， 根据正四棱台的特征可知为侧面的一个高，为棱台的高， 因为上下两底面边长分别为20和10，侧面积为780， 即，则, 所以，则， 所以棱台的体积为. 故答案为：2800. 【变式6-3】（24-25高三上·广东·开学考试）中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为 . 【答案】28 【知识点】台体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为，由四个三棱柱的体积之和与四个四棱锥的体积之和，可得和，则有，求出中间长方体的体积，即可得该正四棱台的体积. 【详解】如图，令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为， 依题意，四棱锥的体积为，即， 三棱柱的体积为，即，因此 于是长方体的体积， 所以该正四棱台的体积为. 故答案为：28 考点七：圆柱的表面积和体积 例7.（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为40cm，底面的半径长为10cm．    (1)求纸篓的面积； (2)求该纸篓的表面积． 【答案】(1)； (2). 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】（1）（2）根据给定条件，结合圆柱的侧面积公式计算即得. 【详解】（1）依题意，纸篓的面积（）. （2）依题意，纸篓的表面积（）. 【变式7-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）若圆柱的高为10，底面积为，则这个圆柱的侧面积为 . 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据圆柱的底面积以及侧面积公式，即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为，则，得， 所以圆柱的侧面积. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高三上·天津·期中）已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、圆锥的结构特征辨析 【分析】由和相似，可得，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案. 【详解】圆锥的高为，如图， 由和相似，可得，所以， 所以, 则圆柱侧面积， 圆锥侧面积，所以. 故选：D． 【变式7-3】（23-24高一下·四川成都·期末）如图，圆锥的底面直径和高均为，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥中截面的有关计算 【分析】设，用的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出最大值． 【详解】圆锥轴截面如图所示， 设圆柱的底面半径为，，由可知，，即， 所以， 故被挖去的圆柱的侧面积为， 当且仅当时取等号，即时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为． 故选：C 考点八：圆锥的表面积和体积 例8.（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆柱和圆锥的高相等，侧面积相等，且它们的底面半径均为2，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】锥体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】利用圆锥的体积和侧面积公式求解即可. 【详解】设圆柱和圆锥的高为， 则圆锥的母线长为：， 由圆锥与圆柱侧面积相等得：，解得， 故圆锥的体积：. 故选：D 【变式8-1】（24-25高三上·宁夏·期中）若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】根据圆锥的特征先计算底面圆半径，面积，周长，结合圆锥的表面积公式计算即可. 【详解】由题意可知该圆锥母线2，高为；底面圆半径为1，则其周长为，面积为， 所以该圆锥的侧面积为，表面积为. 故选：B 【变式8-2】（23-24高三上·北京房山·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】以正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥,利用圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】如图，正三角形绕所在直线为旋转轴旋转一周， 得到几何体是两个同底的圆锥， 圆锥的底面半径为， 所得几何体的表面积为． 故选：D． 【变式8-3】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）若一个圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】利用圆锥的表面积公式计算即可. 【详解】由题意可知圆锥的母线长，底面圆周长为，底面圆面积为， 所以圆锥侧面积为，故该圆锥表面积为. 故选：A. 考点九：圆台的表面积和体积 例9.（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）如图，将底面半径为1高为3的圆锥截去体积为的锥尖，剩余圆台的侧面积为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆台表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】首先设锥尖的半径为，高为，根据题意得到和，从而得到，再计算圆台侧面积即可. 【详解】设锥尖的半径为，高为， 则锥尖的体积为，解得. 又因为， 所以. 所以圆台侧面积. 故选：A 【变式9-1】（24-25高二上·浙江·期中）把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算、圆台表面积的有关计算 【分析】设出小圆锥和圆台的高之比，则可得到小圆锥和圆台的母线之比及圆台上下底面半径之比，结合侧面积公式计算即可得解. 【详解】设圆锥与圆台的母线分别为、，圆台的上下底面半径分别为、， 小圆锥和圆台的高之比为，则有，即，， 则，，有， 即，整理得， 解得或（负值，舍去）. 故选：D. 【变式9-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆台的上､下底面半径分别为和，母线长为，则圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】根据圆台的侧面积公式即可直接求解. 【详解】圆台侧面积； 故选：A 【变式9-3】（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 【答案】 【知识点】圆台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】借助于轴截面，根据内切圆的性质分析可知圆台的母线长为，进而可求表面积. 【详解】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 考点十：球的表面积和体积 例10.（2024高三·全国·专题练习）如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算 【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 球的体积. 故选：A 【变式10-1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知球的表面积为，则该球的体积是（    ）cm³ A．64π B．144π C．288π D．216π 【答案】C 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】先求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则， 所以球的体积为. 故选：C 【变式10-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知轴截面是正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的表面积与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆锥表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，由已知可得，可求得圆锥的表面积与球的表面积之比. 【详解】设圆锥的底面半径为，球的半径为，因为圆锥的轴截面是正三角形， 所以圆锥的高为，母线长为，由题意可得，所以， 所以圆锥的表面积为， 球的表面积为， 所以. 故选：A. 【变式10-3】（24-25高二上·四川资阳·阶段练习）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为 . 【答案】 【知识点】台体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】根据圆台的体积公式及球的体积公式，即可求解. 【详解】根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为2，3， 则圆台的母线长为， 圆台的高为， 该圆台的内切球的半径， 该圆台的体积与球的体积之比为. 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高三上·浙江·期中）已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】首先根据侧面展开图面积等于半圆面积，求得底面半径与母线长，再利用勾股定理算得圆锥高. 【详解】 设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为r， 因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆， 则，解得， 则该圆锥的高为. 故选：A. 2．（24-25高二上·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】设，由柱体的体积可得，长方体外接球的半径为，由基本不等式求出的最小值即可求出外接球表面积的最小值. 【详解】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 3．（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】找到圆锥高和底面半径的关系，建立方程求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面为正三角形， 所以圆锥的高为，因为圆锥的体积为， 所以，解得， 故圆锥的高为，故A正确. 故选：A 4．（23-24高一下·江苏·期末）若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】利用圆锥表面积以及球的表面积公式构造方程即可. 【详解】易知圆锥的表面积为，球的表面积为， 故，即， 解得（负舍）. 故选：B. 5．（24-25高二上·贵州·期中）已知某圆锥的底面半径和球的半径都为，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】先求出圆锥的高，再求出母线，然后计算侧面积. 【详解】设圆锥的高为，则母线长. 根据已知条件有，得，所以. 故圆锥的侧面积. 故选：A. 6．（2024高三·全国·专题练习）一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】首先根据题目给出的条件确定圆柱的底面半径和高，利用圆柱体积公式计算结果. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形， 所以，所以，，所以圆柱的体积为. 故选：D. 7．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得. 【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，依题意可得，解得， 所以. 该圆锥体积为 故选：B 8．（2024高三·全国·专题练习）斗不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，其可近似看作正四棱台，现制作一上底面的面积为81平方分米，侧面积为120平方分米，侧高为5分米的米斗，若斗面的厚度忽略不计，则该斗可以装米（1立方分米1升）（    ） A．39升 B．156升 C．201升 D．210升 【答案】B 【知识点】棱台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用正棱台的侧面积及体积公式求解即得. 【详解】设米斗的下底面边长为分米，高为分米， 由上底面的面积为81平方分米，得上底面边长为9分米， 由侧面积为120平方分米，侧高为5分米，得平方分米，解得， 即该米斗的下底面边长为3分米，因此分米， 则该米斗的体积为立方分米， 所以该斗可以装米156升. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（   ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 【答案】ACD 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、台体体积的有关计算、圆台表面积的有关计算 【分析】画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是过球心的大圆，结合题意，分别求出圆台的母线长和内切球的半径，即可得出结论． 【详解】画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且，，内切圆圆心即球心； 所以圆台的母线长为，选项A正确； 连接、和，则是直角三角形，且， 所以球的半径为， 所以圆台的体积为，故选项B错误； 圆台的表面积为，故选项C正确； 球的表面积为，故选项D正确． 故选：ACD． 10．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（    ） A．圆锥的体积是 B．圆锥侧面展开图的圆心角是 C．该圆锥的轴截面的面积是8 D．圆锥侧面积是 【答案】BD 【知识点】锥体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题、圆锥中截面的有关计算 【分析】根据给定条件，求出圆锥的高，再逐项分析判断即得. 【详解】圆锥的底面半径，母线长，则该圆锥的高， 对于A，圆锥的体积，A错误； 对于B，圆锥侧面展开图扇形弧长为，该扇形圆心角为，B正确； 对于C，该圆锥的轴截面是底边长为6，高为的等腰三角形，面积为，C错误； 对于D，该圆锥的侧面积，D正确. 故选：BD 三、填空题 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）表面积为 的球的体积是 . 【答案】 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】设球的半径为，根据表面积求出，再由球的体积公式计算可得. 【详解】设球的半径为，则，解得， 所以球的体积. 故答案为： 12．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为 . 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】根据题意可知，结合圆锥的侧面积公式运算求解即可. 【详解】设底面圆的半径为，可知母线长， 所以该圆锥的侧面积与底面积之比为. 故答案为：. 13．（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】利用圆锥轴截面等腰三角形特征求出圆锥的高和底面圆半径，再利用圆锥体积公式计算作答 【详解】因圆锥的轴载面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形， 则此等腰三角形底边上的高即为圆锥的高， 因此，圆锥底面圆半径， 所以圆雗的体积为. 故答案为： 14．（2024高三·全国·专题练习）已知圆柱与圆锥的高均为3，底面半径均相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为 ． 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【详解】设出半径，根据圆柱侧面积和圆锥表面积相等得到方程，求出，利用锥体体积公式得到答案. 【分析】设圆柱和圆锥的底面半径均为，则圆柱的侧面积为， 圆锥的表面积为， 由圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等可得， 化简得，解得， 故圆锥体积． 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积. 【答案】表面积为，体积为． 【知识点】圆柱表面积的有关计算、求旋转体的体积、棱锥表面积的有关计算 【分析】由圆柱与圆锥的侧面积公式、体积公式计算． 【详解】由题意，，， 该旋转体是共底面的圆锥与圆柱组合体， 表面积为， 体积为． 所以旋转体表面积为，体积为． 16．（24-25高二上·上海·期中）我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因； (2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸） (3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米） 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)94毫米 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】（1）因为器形不同，所以不能直接用盆里的水深来代替平地水深. （2）根据台体的体积公式求容积. （3）台体的容积除以盆口面积即可. 【详解】（1）盆的形状不同，接到的雨水存在差异. （2）根据题意，该盆可以视作圆台，故作出该圆台的轴截面，如图， 根据题意得：寸，寸，寸，寸． （立方寸）. （3）由（2）知寸，即水面的半径为10寸， 所以盆中水的体积为（立方寸） 因为平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积，所以平地降雨量为寸． （毫米） 故平地雨降94毫米． 17．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据相似得到，代入体积公式计算即可. （2）根据体积的关系结合圆锥体积公式解方程得到答案. 【详解】（1）设水形成的圆锥底面半径为， 如图，由相似性可知，则， ； 故水的体积为. （2）由相似性可得，则， ， 化简得，解得. 故约为. 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