第10讲 立体图形直观图(思维导图+知识梳理+5类核心考点+过关测)-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第10讲 立体图形直观图 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解立体图形的直观图的画法 2．熟练运用掌握平面图形的斜二测画法，理解例题图形的斜二测画法要领 知识点 1 空间几何体的直观图 （1）空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形. （2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 知识点2 空间几何体的直观图的绘制方法 （1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面； （2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段； （3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半； （4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图. 知识点3斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 考点一：画水平放置的平面图形直观图 例1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】（1）利用斜二测画法画出直观图即可； （2）作，为垂足，求出即可求解． 【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 【变式1-1】（23-24高一下·天津·阶段练习）利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图 【分析】利用斜二测画法作出直观图，可得结果. 【详解】作出正方形的斜二测直观图如下图所示（单位：）：    故选：C. 【变式1-2】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜二测画法辨析、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】根据斜二测画法的规则，即可得出结论. 【详解】斜二侧画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则长度不变， 平行或与y轴重合的线段长度减半，则减掉一半，线段对应线段也会缩小， 如图所示： 所以的对应点画对了,的对应点画错了. 故选：C. 【变式1-3】（2024高一·江苏·专题练习）画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．    【答案】作图见解析 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法辨析 【分析】根据斜二测画法的步骤，即可作出直观图. 【详解】（1）在已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴， 垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图①所示． （2）画相应的轴和轴，使，在轴上截取， 在轴上截取，过点作轴的平行线， 在上沿轴正方向取点使得.连接，如图②. （3）所得四边形就是直角梯形的直观图．如图③.    考点二：由直观图还原成原图 例2.（24-25高二上·山东济南·阶段练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积.    【答案】 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】利用斜二测画法性质还原出原图形即可得出原图形面积. 【详解】根据斜二测画法可知正方形的对角线长为， 画出原图形如下图所示：    原图为两直角边分别为的直角三角形组成的平行四边形， 所以原来图形的面积为. 【变式2-1】（23-24高一下·黑龙江·期中）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】根据斜二测画法的规则进行判断. 【详解】由斜二测画法的规则，与轴平行的线段长度不变， 注意到正方形的对角线在轴上，对角线长为， 经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半， 故原图的对角线长是，只有A符合题意. 故选：A 【变式2-2】（23-24高一下·湖南·阶段练习）把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】A 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，进而分析出的形状． 【详解】根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，如下图所示： 由图得，，故为等边三角形， 故选：A 【变式2-3】（23-24高一下·天津河北·期中）如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】由斜二测画法的规则可知：平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变，作出原图，即可选出答案． 【详解】设直观图中与轴和轴的交点分别为和， 根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的和点， 再由平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变， 作出原图得四边形 故选：B． 【点睛】 考点三：画简单几何体的直观图 例3.（2024高三·全国·专题练习）画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 【答案】答案见解析 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】根据斜二测画法绘制正六棱柱的直观图即可. 【详解】（1）画轴．画轴、轴、轴，使，． （2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF． （3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线， 在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm. （4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线， 将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图． 【变式3-1】（23-24高一·全国·课后作业）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【答案】画图见解析 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】由斜二测画法的规则画出直观图即可. 【详解】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形． ①画轴，如图，画轴，轴，轴，三轴相交于点，使, . ②画底面，在轴正半轴上取线段，使，在轴正半轴上取线段，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为，则就是长方体的底面的直观图. ③分别过点B、C、D作，，，且． ③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示．    【变式3-2】（2024高一·全国·专题练习）用斜二测画法画出六棱锥P﹣ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O（尺寸自定）. 【答案】直观图见解析 【知识点】斜二测法画立体图形的直观图 【分析】根据斜二测画法法则画出图形即可. 【详解】设正六边形ABCDEF的边长为2cm，六棱锥的高为2cm，则正六边形的高为cm. ①以CF的中点O为原点，CF所在的直线为x轴，画y轴，使∠xOy＝45°，再作Oz⊥平面xOy； ②在x轴上取OC＝OF＝2cm，在y轴上分别取M、N两点，使OM＝ONcm， 过点M作AB∥x轴，且AM＝BM＝1cm， 过点N作DE∥x轴，且NE＝ND＝1cm，在z轴上取OP＝2cm； ③连结BC、DE、EF、FA、PA、PB、PC、PD、PE、PF，所得六棱锥P﹣ABCDEF即为所求. 考点四：求直观图的长度和面积 例4.（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】根据直观图与原图的关系，可确定直观图（三角形）的底和高，从而求得直观图的面积，得出答案. 【详解】 如图所示，正三角形的边长为，则高为， 根据斜二测画法的知识，则直观图中三角形的高为，底边长为， 所以直观图的面积为. 故选：C. 【变式4-1】（23-24高一下·湖南岳阳·期末）正方形的边长等于2，用斜二测画法画出水平放置的正方形的直观图，则直观图的面积为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】根据斜二测画法及平行四边形面积公式可得答案. 【详解】由斜二测画法知直观图的面积， 故选：D. 【变式4-2】（23-24高一下·浙江台州·期末）用斜二测画法画水平放置的边长为1的正方形，所得直观图的周长为（    ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】画出直观图，结合斜二测画法线段关系得到直观图中相关的线段长度，即可得解. 【详解】如图平面正方形的边长为， 则直观图如下所示： 则，，， 所以直观图的周长为. 故选：B 【变式4-3】（23-24高一下·广西·期末）已知正方形的边长为2，它的水平放置的一个平面图形的直观图为（在轴上），则图形的面积是（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】根据题意，由斜二测画法分析直观图为平行四边形，求出其相邻边长，结合三角形的面积公式计算可得答案． 【详解】根据题意，平行四边形的底边长为2，另一边长为1，夹角为， 所以图形的面积为． 故选：C． 考点五：直观图还原和计算问题 例5.（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】首先算出长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误. 【详解】如图所示，在直观图中，过作于， . 又， 所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图： 那么有，故选项B正确； 又因为，故选项A､C错误； 而，故选项D正确. 故选：BD. 【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】由直观图作出直角梯形的平面图形，然后斜二测画法规则结合已知的数据可求得结果. 【详解】由直观图作出直角梯形的平面图形，如图. 按照斜二测画法规则，由， 得直角梯形中，，. 过作，交于， 则， 所以直角梯形边的长度为， 故选：B. 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】由斜二测画法画出圆图可得答案. 【详解】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形， 如图，其中， 因此有， 所以原图形的周长为. 故选：B. 【变式5-3】（24-25高一上·全国·期中）用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法画法，结合题中条件求出各边边长，即可求出结果. 【详解】记四边形所对应的原四边形为四边形， 由题意可得，原四边形中，、都与轴平行，即四边形是直角梯形， 因为，四边形为等腰梯形， 所以， 所以，，， 因此， 所以原四边形的周长为. 故选：D 【变式5-4】（2024高三·全国·专题练习）如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为 .    【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二侧画法画平面图形的直观图的步骤，判断平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，再求出下底边长，代入梯形的面积公式计算即可． 【详解】平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形， 平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1， 梯形的下底边长为平面图形的面积. 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（   ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图与原图的关系直接可得解. 【详解】由直观图可知，，且， 所以直观图还原得，， 四边形为平行四边形，， 又，所以， 且， 所以， 则， 所以，故原图形为菱形， 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（    ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 【答案】B 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】画出原图可得答案. 【详解】 如图，画出原图， 在原平面图形中，是钝角， 从而． 故选：B. 3．（23-24高一下·福建福州·期中）已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图画出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出平面图形的面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 其中，， 所以. 故选：A 4．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法作出的图象再求解即可. 【详解】由题意，作出的图象可得，且，故. 故选：C 5．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（    ） A．20 B．12 C． D． 【答案】A 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据题意，作出原图矩形，分析原图中的值进而计算可得答案. 【详解】根据题意，矩形中，， 则，如图：原图矩形中，， ， ， 则四边形的周长. 故选：A. 6．（23-24高一下·湖北荆州·阶段练习）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形.已知，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】B 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】还原平面图如下图，    对于A，根据斜二测画法可得，故A错误; 对于B，，，B正确; 对于C，过作交于点，则， 由勾股定理得，故四边形的周长为： ，即C错误； 对于D，四边形的面积为：，即D错误. 故选：B. 7．（23-24高一下·广东广州·期末）已知一个矩形较长边长为2用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据直观图是菱形可得答案. 【详解】如图，是矩形的直观图，则，，， 所以的高为， 则直观图的面积为. 故选：A. 8．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是（    ） A．32 B．16 C．8 D．不同于ABC的答案 【答案】B 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 其中，轴，且， 即的高为，所以. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高一下·陕西安康·期中）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 【答案】ABC 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、斜二测画法辨析 【分析】利用斜二测画法规则，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行，A正确； 对于B，若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为，B正确； 对于C，梯形平行的两边在直观图仍然平行，两腰不平行，在直观图仍然不平行， 因此一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确； 对于D，在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中可以垂直， 如正方体的直观图中，竖边与横边垂直，D错误. 故选：ABC    10．（24-25高一下·全国·课后作业）下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 【答案】ABD 【知识点】斜二测画法辨析 【分析】根据直观图的画法规则逐个分析判断即可. 【详解】对于A，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变，所以A正确， 对于B，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的，所以B正确， 对于C，由直观图的画法规则，可知画与直角坐标系对应的时，为或，所以C错误， 对于D，由直观图的画法规则，可知在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同，所以D正确. 故选：ABD． 11．（23-24高一下·河南驻马店·期末）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 【答案】BC 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】由题意可画出其直观图如下， 其中，故A错误，B正确； 过点分别作，垂足分别为点， 故， ，故， 则四边形为等腰梯形，故C正确； 故四边形的周长为，即D错误. 故选：BC. 12．（22-23高一下·黑龙江大庆·期中）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（    ）    A．是钝角三角形 B．的面积是的面积的倍 C．是等腰直角三角形 D．的周长是 【答案】CD 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】求出的边长，计算出三角形的形状和周长，即可得出结论. 【详解】由题意， 在斜二测视图中，， ∴， ，，B错误. ∴在中，， ∴是的中线，，， ∴, ∵， ∴是等腰直角三角形，A错误，C正确， ，D正确， 故选：CD. 三、填空题 13．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是 .    【答案】8 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】根据斜二测画法作出的图象再求解即可. 【详解】由题意，作出的图象如图，可得，，且， 故.    故答案为：8 14．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中．则原平面四边形OABC的面积为 ． 【答案】5 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】由题图及斜二测画法确定原四边形的形状，进而求其面积. 【详解】由斜二测画法，知原图形中，且， 所以原平面四边形OABC为直角梯形，面积为. 故答案为：5 15．（24-25高一上·上海·期中）的斜二测直观图如图所示，则的面积是 .    【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、三角形面积公式及其应用 【分析】根据给定条件，结合斜二测画法规则，求出的底边及这边上的高即可计算得解. 【详解】依题意，由斜二测画法规则知，的底边， 边上的高，所以的面积是. 故答案为：. 16．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形是 ，其面积为 ．    【答案】 菱形 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】作出原图形，可知原图形为菱形，计算出的面积即可得解. 【详解】如图，在原图形中，    应有，又， 所以， 所以，故四边形是菱形． . 故答案为：菱形，. 四、解答题 17．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，求原平面图形的周长．    【答案】 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】由斜二测画法的规则可还原原平面图形，即可由长度关系求解周长. 【详解】由题可知，，，∴． 还原直观图可得原平面图形，如图所示：    则，，， ∴， ∴原平面图形的周长为． 18．（23-24高一·全国·课后作业）用“斜二测”法画出边长为1cm的正六边形的直观图. 【答案】图见解析. 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图 【分析】以正六边形的中心为原点建立直角坐标系，利用“斜二测”画法确定各个顶点位置即可画出其直观图. 【详解】如图： 以正六边形的中心为原点建立平面直角坐标系， 作轴和轴，使得，在轴上取，使得； 在轴上取，使得； 过分别作轴的平行线，且， 连接，从而得到正六边形ABCDEF的直观图． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 立体图形直观图 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解立体图形的直观图的画法 2．熟练运用掌握平面图形的斜二测画法，理解例题图形的斜二测画法要领 知识点 1 空间几何体的直观图 （1）空间几何体的直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. 直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形. （2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 知识点2 空间几何体的直观图的绘制方法 （1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面； （2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段； （3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半； （4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图. 知识点3斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 考点一：画水平放置的平面图形直观图 例1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【变式1-1】（23-24高一下·天津·阶段练习）利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024高一·江苏·专题练习）画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．    考点二：由直观图还原成原图 例2.（24-25高二上·山东济南·阶段练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积.    【变式2-1】（23-24高一下·黑龙江·期中）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·湖南·阶段练习）把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【变式2-3】（23-24高一下·天津河北·期中）如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 考点三：画简单几何体的直观图 例3.（2024高三·全国·专题练习）画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 【变式3-1】（23-24高一·全国·课后作业）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【变式3-2】（2024高一·全国·专题练习）用斜二测画法画出六棱锥P﹣ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O（尺寸自定）. 考点四：求直观图的长度和面积 例4.（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一下·湖南岳阳·期末）正方形的边长等于2，用斜二测画法画出水平放置的正方形的直观图，则直观图的面积为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式4-2】（23-24高一下·浙江台州·期末）用斜二测画法画水平放置的边长为1的正方形，所得直观图的周长为（    ） A．4 B．3 C． D．2 【变式4-3】（23-24高一下·广西·期末）已知正方形的边长为2，它的水平放置的一个平面图形的直观图为（在轴上），则图形的面积是（    ） A．4 B．2 C． D．1 考点五：直观图还原和计算问题 例5.（多选）（2024高三·全国·专题练习）（多选）如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·全国·期中）用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（    ）． A． B． C． D． 【变式5-4】（2024高三·全国·专题练习）如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为 .    一、单选题 1．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（   ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 2．（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（    ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 3．（23-24高一下·福建福州·期中）已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是（    ） A．4 B． C． D．8 4．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（   ） A． B．4 C．8 D． 5．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（    ） A．20 B．12 C． D． 6．（23-24高一下·湖北荆州·阶段练习）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形.已知，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 7．（23-24高一下·广东广州·期末）已知一个矩形较长边长为2用斜二测画法画出矩形的直观图是菱形，则直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是（    ） A．32 B．16 C．8 D．不同于ABC的答案 二、多选题 9．（23-24高一下·陕西安康·期中）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 10．（24-25高一下·全国·课后作业）下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 11．（23-24高一下·河南驻马店·期末）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 12．（22-23高一下·黑龙江大庆·期中）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（    ）    A．是钝角三角形 B．的面积是的面积的倍 C．是等腰直角三角形 D．的周长是 三、填空题 13．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是 .    14．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中．则原平面四边形OABC的面积为 ． 15．（24-25高一上·上海·期中）的斜二测直观图如图所示，则的面积是 .    16．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形是 ，其面积为 ．    四、解答题 17．（23-24高一下·全国·课后作业）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，求原平面图形的周长．    18．（23-24高一·全国·课后作业）用“斜二测”法画出边长为1cm的正六边形的直观图. 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