第08讲 复数的四则运算(思维导图+知识梳理+6类核心考点+过关测)-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第08讲 复数的四则运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则 2．掌握复数代数形式的乘法和除法运算 3．逐步加强理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律 知识点1 复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： 显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 （2）复数加法满足的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： （3）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 知识点2 复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）复数减法的几何意义 复数 向量 知识点3 ()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 知识点4 复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数乘法满足的运算律 复数乘法的交换律、结合律、分配律 (交换律) (结合律) (分配律) 知识点5 复数代数形式的乘方 （1）复数的乘方 复数的乘方就是相同复数的乘积 （2）复数乘方的运算律 根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有： ① ② ③ 知识点03：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 知识点6 复数代数形式的除法运算 （1）定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 考点一：复数加，减运算 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3). 【变式1-1】（2024高一下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】（23-24高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)..． 【变式1-3】（2024高一下·全国·专题练习）计算： (1)  ； (2)； (3)； (4)． 考点二：根据复数加、减运算结果求参数 例2.（23-24高一下·全国·课后作业）已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝ ，y＝ . 【变式2-1】（23-24高一下·山东·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）（2024·福建漳州·一模）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，为实数，若，求 考点三：复数乘除法运算 例3.（24-25高三上·河北石家庄·期中）已知复数，则的虚部为（    ） A．1 B．1 C．2 D．2 【变式3-1】（2024高二下·安徽·学业考试）已知为虚数单位，，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高三下·浙江杭州·期中）已知复数，则（　　） A．2 B．1 C． D． 考点四：复数乘方运算 例4.（24-25高一上·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）若复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-2】（2024高三·全国·专题练习）= . 【变式4-3】（24-25高三上·江苏南通·期中）已知为虚数单位，复数满足，则 ． 考点五：共轭复数计算 例5.（24-25高三上·上海·期中）设为虚数单位，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高三上·四川·期中）已知复数，为的共轭复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 考点六：根据复数乘除法运算结果求参数 例6-1.（2024·全国·模拟预测）已知（，为虚数单位），则（    ） A． B．3 C．1 D．2 例6-2.（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【变式6-1】（2024·海南·模拟预测）已知复数z满足，，则z为实数的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则 . 【变式6-3】（23-24高一下·广西·阶段练习）已知，则的值为 ． 【变式6-4】（2024·湖南·模拟预测）已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 一、单选题 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若存在复数满足（为虚数单位），则 ． 5．（24-25高三上·四川自贡·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2024高三·全国·专题练习）已知复数z满足（i是虚数单位），则的值为（   ） A． B．1 C． D．2022 7．（2024高三·全国·专题练习）已知复数z与复平面内的点对应，则（   ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知复数满足，若复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·云南昆明·期中）关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆 C．如果，那么是纯虚数 D．若复数满足，则在复平面对应的点是 10．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知虚数是方程的两个不同的根，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知i是虚数单位，若，则（   ） A．复数z的虚部为 B． C．复数z对应的点在第二象限 D． 12．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知复数，，满足，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 三、填空题 13．（2024高三·全国·专题练习）复数，，若为实数，则 ． 14．（2024高三·全国·专题练习）若，则 ． 15．（24-25高三上·上海松江·期末）若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数 ． 四、解答题 16．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数，求复数的模. 17．（23-24高一下·北京通州·期中）若复数满足，其中为虚数单位，其共轭复数为. (1)求复数和； (2)若，（，），求实数，的值. 18．（24-25高一下·全国·单元测试）已知 (1)是z的共轭复数，求的值； (2)求的值． 19．（23-24高一下·广东佛山·期中）计算： (1) (2) (3) 20．（23-24高一下·广西北海·期末）（1）已知，复数是纯虚数，求的值； （2）已知，设是虚数单位），求. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 复数的四则运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则 2．掌握复数代数形式的乘法和除法运算 3．逐步加强理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律 知识点1 复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： 显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 （2）复数加法满足的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： （3）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 知识点2 复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）复数减法的几何意义 复数 向量 知识点3 ()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 知识点4 复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数乘法满足的运算律 复数乘法的交换律、结合律、分配律 (交换律) (结合律) (分配律) 知识点5 复数代数形式的乘方 （1）复数的乘方 复数的乘方就是相同复数的乘积 （2）复数乘方的运算律 根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有： ① ② ③ 知识点03：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 知识点6 复数代数形式的除法运算 （1）定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 考点一：复数加，减运算 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】（1）利用复数的四则运算法则求解即可. （2）利用复数的四则运算法则求解即可. （3）利用复数的四则运算法则求解即可. 【详解】（1） . （2） . （3） . 【变式1-1】（2024高一下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】根据题意由复数的加减法运算法则，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式1-2】（23-24高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)..． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】根据题意由复数的加减法运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 【变式1-3】（2024高一下·全国·专题练习）计算： (1)  ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】（1）（2）（3）（4）根据复数的加减法法则直接求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4） . 考点二：根据复数加、减运算结果求参数 例2.（23-24高一下·全国·课后作业）已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝ ，y＝ . 【答案】 6 11 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等、根据复数的加减运算结果求参数、根据相等条件求参数 【分析】利用复数的加减运算以及复数相等的概念计算求解. 【详解】因为(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)， 所以x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i， ∴，解得. 故答案为：6，11. 【变式2-1】（23-24高一下·山东·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的相等、根据复数的加减运算结果求参数 【分析】根据复数的四则运算求解对应参数即可 【详解】由，得：，解得：. 故选：A 【变式2-2】（多选）（2024·福建漳州·一模）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】根据复数的加减运算结果求参数、复数的相等 【分析】根据复数的加法结合复数相等求，进而逐项分析判断. 【详解】由题意可得：， 则，解得，可得， 故BCD正确，A错误. 故选：BCD. 【变式2-3】（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，为实数，若，求 【答案】. 【知识点】复数的相等、根据复数的加减运算结果求参数、求复数的模 【分析】先化简，再利用复数相等可求出，从而得到，再用复数的模长公式求解即可 【详解】 ， 所以， 解得， ， 所以，， 则，所以． 考点三：复数乘除法运算 例3.（24-25高三上·河北石家庄·期中）已知复数，则的虚部为（    ） A．1 B．1 C．2 D．2 【答案】C 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的除法运算法则，计算出复数的值，然后求出复数的共轭复数，最后写出的虚部即可. 【详解】， 所以，所以的虚部为. 故选：C 【变式3-1】（2024高二下·安徽·学业考试）已知为虚数单位，，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】化简方程可得，由此可求. 【详解】因为，即， 可得，所以. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的除法运算 【分析】利用复数的运算法则计算即可得到结果. 【详解】由得，， 故. 故选：A. 【变式3-3】（23-24高三下·浙江杭州·期中）已知复数，则（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】根据共轭复数的模的性质求解即可. 【详解】， 故选：B 考点四：复数乘方运算 例4.（24-25高一上·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的乘方、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求解其共轭复数，最后求出对应点的坐标即可得解. 【详解】由题意，所以， 则复数在复平面内对应的点在第四象限. 故选：D. 【变式4-1】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）若复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数的乘方 【分析】利用复数的乘方及除法运算求出复数，再利用复数模的意义求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：D 【变式4-2】（2024高三·全国·专题练习）= . 【答案】 【知识点】复数的乘方 【分析】根据的周期性进行求值计算. 【详解】观察原式 ． 故答案为： 【变式4-3】（24-25高三上·江苏南通·期中）已知为虚数单位，复数满足，则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数的乘方 【分析】利用复数的乘方及除法运算求出复数，进而求出其模. 【详解】由，得，即， 则， 所以. 故答案为： 考点五：共轭复数计算 例5.（24-25高三上·上海·期中）设为虚数单位，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解． 【详解】， 故． 故选：D． 【变式5-1】（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，从而求出其共轭复数. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 【变式5-2】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】依题意可得，根据复数代数形式的除法运算化简，从而求出其共轭复数. 【详解】因为，所以， 则， 所以. 故选：D 【变式5-3】（24-25高三上·四川·期中）已知复数，为的共轭复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的概念可得结果. 【详解】因为，则，因此，的虚部为. 故选：A. 考点六：根据复数乘除法运算结果求参数 例6-1.（2024·全国·模拟预测）已知（，为虚数单位），则（    ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】根据除法运算结果求参数、复数的相等 【分析】根据复数的四则运算、复数相等的概念即可求得的值，可得结果. 【详解】由， 可得，， 因此． 故选：B． 例6-2.（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算、根据除法运算结果求参数 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 【变式6-1】（2024·海南·模拟预测）已知复数z满足，，则z为实数的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据充分不必要条件求参数、充分条件的判定及性质、已知复数的类型求参数、根据复数乘法运算结果求参数 【分析】首先，设，代入化简后，利用等式两边相等，即可求得a，再根据充分条件的概念即可得出答案. 【详解】解：若z为实数，则设， 已知，可得，即， 所以，解得， z为实数的一个充分条件是或， 故选：C. 【变式6-2】（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则 . 【答案】21 【知识点】根据复数乘法运算结果求参数、复数的相等 【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】根据可得到， 故，，求得， 所以. 故答案为：21 【变式6-3】（23-24高一下·广西·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据复数乘法运算结果求参数 【分析】根据复数模长的性质与计算求解即可. 【详解】，则，解得，因为，所以． 故答案为：4 【变式6-4】（2024·湖南·模拟预测）已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据除法运算结果求参数 【分析】计算出，从而求出，以及的值. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算 【分析】先根据复数的除法运算计算出，然后根据的实虚部可知对应的点的坐标. 【详解】因为，所以对应的点的坐标是， 故选：A. 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的几何意义得答案． 【详解】∵， 由复数与对应的点关于虚轴对称， ∴． 故选：C. 3．（2024·广东·模拟预测）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的除法运算化简即可求解. 【详解】在复平面内对应的点为， ∴在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若存在复数满足（为虚数单位），则 ． 【答案】0 【知识点】复数的相等、共轭复数的概念及计算 【分析】先设复数为,再应用共轭复数，结合复数项的相等求参. 【详解】设,则, 所以 所以, 即 故答案为：0. 5．（24-25高三上·四川自贡·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数的坐标表示、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】写出，利用复数的四则运算法则计算出，确定对应的点的坐标，得到答案. 【详解】由题意得， 则， 对应的点为，位于第三象限. 故选：C 6．（2024高三·全国·专题练习）已知复数z满足（i是虚数单位），则的值为（   ） A． B．1 C． D．2022 【答案】C 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据复数除法的几何意义，结合复数单位的平方性质、指数的运算性质行求解即可. 【详解】由已知可得， 因此，． 故选：C 7．（2024高三·全国·专题练习）已知复数z与复平面内的点对应，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的除法运算、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】根据复数的几何意义可得，由复数的除法运算法则即可得结果. 【详解】由复数的几何意义可知，则． 故选：C. 8．（2024高三·全国·专题练习）已知复数满足，若复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数、在各象限内点对应复数的特征 【分析】利用复数的除法法则化简得的形式，再由复数对应点在第二或第四象限列不等式求解 【详解】由题可得， ， 因为复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限， 故， 解得， 故选：A． 二、多选题 9．（24-25高二上·云南昆明·期中）关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆 C．如果，那么是纯虚数 D．若复数满足，则在复平面对应的点是 【答案】ABD 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算、与复数模相关的轨迹（图形）问题、判断复数对应的点所在的象限 【分析】运用复数幂的周期性可判断A项，运用复数的模的几何意义可判断B项 ，运用复数分类可判断C项，运用复数运算及几何意义可判断D项. 【详解】对于A选项，由虚数单位的定义，，则，故A项正确； 对于B选项，设在复平面内的点为，由，即，点在以为圆心，1为半径的圆上，故B项正确； 对于C选项，若，那么是实数，故C项错误； 对于D选项，，所以在复平面对应的点是，故D项正确． 故选：ABD． 10．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知虚数是方程的两个不同的根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】复数范围内方程的根、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】解出方程的两个不同的根，逐项判断选项. 【详解】由，得，则， 则. 故选：AC 11．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知i是虚数单位，若，则（   ） A．复数z的虚部为 B． C．复数z对应的点在第二象限 D． 【答案】AD 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、求复数的实部与虚部、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数虚部的定义、几何意义、共轭复数的定义以及复数模的运算公式逐一判断即可. 【详解】， 故其虚部为，．复数z对应的点为，在第四象限， ， 故选：AD 12．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知复数，，满足，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BD 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数的向量表示 【分析】对选项A，设，，即可判断A；分类讨论复数对应向量方向相同和方向不相同即可判断B正确；对选项C，设，，即可判断C；对选项D，设，，，再分别计算和即可判断D. 【详解】对于选项A，设，， 则，，，不满足，故A错误； 对于选项B，设，在复平面内表示的向量分别为，，且，， 当，方向相同时，， 当，方向不相同时，， 综上，，，故B正确； 对于选项C，设，，， ，故C错误； 对于选项D，设，，， ， 则， ，故D正确． 故选：BD 三、填空题 13．（2024高三·全国·专题练习）复数，，若为实数，则 ． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算 【分析】由复数的除法运算结合复数的几何意义求解即可； 【详解】∵， ∵为实数，∴，即． 故答案为：. 14．（2024高三·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【知识点】复数的除法运算 【分析】根据复数的除法法则运算． 【详解】由题得． 故答案为：． 15．（24-25高三上·上海松江·期末）若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数 ． 【答案】 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算得到，根据共轭复数的定义即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：. 四、解答题 16．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数，求复数的模. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）运用纯虚数概念，结合乘法计算即可； （2）运用模长公式，结合除法和共轭复数知识求解. 【详解】（1）由题意得， 是纯虚数， ， ， （2） . 17．（23-24高一下·北京通州·期中）若复数满足，其中为虚数单位，其共轭复数为. (1)求复数和； (2)若，（，），求实数，的值. 【答案】(1)，； (2). 【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数的除法运算、复数的相等 【分析】（1）利用复数除法运算求出，再求出复数的模. （2）由（1）及复数乘法求出，再利用复数相等求解即得. 【详解】（1）由，得；. （2）由（1）知，，则， 由，得， 所以. 18．（24-25高一下·全国·单元测试）已知 (1)是z的共轭复数，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)0 (2)1 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、复数的乘方 【分析】（1）求出，代入可得答案； （2）求出，代入可得答案． 【详解】（1）由题意知， ； （2）， ． ． 19．（23-24高一下·广东佛山·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）根据复数的加、减法运算求解； （2）根据复数的乘法运算求解； （3）根据复数的除法运算求解. 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. 20．（23-24高一下·广西北海·期末）（1）已知，复数是纯虚数，求的值； （2）已知，设是虚数单位），求. 【答案】（1）；（2） 【知识点】求复数的模、复数的相等、复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数 【分析】（1）由纯虚数的概念列出方程组，求解即可； （2）根据复数相等求出的值，再求模. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以 ， 解得 ； （2） 因为 ， 所以 ， 所以 ，解得 ， 所以 . ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$