专题10 利用一次函数的图象和性质解决综合问题-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（苏科版）

专题10 利用一次函数的图象和性质解决综合问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（6大题型） 目录 题型一 识图并分析图象信息 1 题型二 含参数的一次函数的图象和性质 3 题型三 一次函数图象的共存问题 6 题型四 利用一次函数的性质解决实际问题 9 题型五 利用一次函数的性质解决几何问题 12 题型六 利用一次函数的性质解决与三角形全等综合问题 17 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 识图并分析图象信息 例题：（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，在梯形中（图1），，，．动点P以每秒的速度沿着方向运动，相应的的面积与时间之间的函数关系如图2所示．则梯形的面积为 ．（温馨提示：梯形的面积） 【变式训练】 1.（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 2.（23-24六年级下·山东济南·期末）如图1，在四边形中，，，，动点从点出发，沿着向终点运动，设点运动的路程为，的面积为，若与的关系如图2所示，下列说法： ①；②； ③四边形的周长是26； ④面积的最大值为23． 其中正确的是 ．（填序号） 题型二 含参数的一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．当时，点、在图象上，则 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象经过定点 【变式训练】 1．（23-24八年级下·天津·期末）关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 题型三 一次函数图象的共存问题 例题：（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A．B．C．D． 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型四 利用一次函数的性质解决实际问题 例题：（23-24八年级下·全国·期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元． (1)求A，B两种品牌足球的单价； (2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．（利润售价进价） 种类 种配件 种配件 进价（元/件） 售价（元/件） (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）一辆货车从地运送一批物资到地，一辆客车从地运送一批乘客到地，两车同时出发，图中，分别表示两车相对于地的距离与行驶时间之间的关系． (1)根据图象，直接写出，对应的函数关系式； (2)求两车同时出发后的相遇时间； (3)当为何值时，两车相距？ 题型五 利用一次函数的性质解决几何问题 例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与轴、轴交于点，点在直线上，点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图1，直线与直线交于点，与坐标轴交于点B、C两点．点C的坐标是． (1)求n的值及的解析式． (2)如图2，已知点P是直线上的一个动点，且点P的横坐标为a，过P作轴的垂线，与相交于点Q，当时，求a的值． 2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 题型六 利用一次函数的性质解决与三角形全等综合问题 例题：（22-23八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线：分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．    (1)求直线的函数表达式； (2)在x轴上方是否存在点D，使以点，，为顶点的三角形与全等，若存在画出，并求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点P是y轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点B的对应点′恰好落在x轴上时，请直接写出此时直线的函数表达式． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）类比探究 在中，． 模型建立 （1）如图1，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长交于点，容易得到与全等，从而解决问题．请你判断数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展 （2）如图2，点在上，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由； 模型应用 （3）如图3，将等腰放入平面直角坐标系，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，且平分，线段交轴于点，过点作轴交于点．若点的坐标是，点的坐标是，直接写出点的坐标是______．（用的代数式表示） 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于、两点． (1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出______，______； ②点的坐标______； (2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，当时，直线：与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是______（直接写出答案即可）． 一、单选题 1．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数（m、n为常数，且）的图象经过点，且与y轴的交点坐标为，则下列关于该一次函数的说法，不正确的是（    ） A．该一次函数的图象不经过第三象限 B．该一次函数的图象与轴交于正半轴 C．图象与坐标轴围成的三角形面积可能为3 D．随的增大而减小 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与轴相交所成的锐角为．若是轴上的点，，是上的点，，的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B． C． D． 二、填空题 4．（22-23八年级下·北京平谷·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交与A，B两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以A，C，D为顶点的三角形与全等，则的长为 ． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ． 6．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为 ．    三、解答题 7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果，经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元） 售价（元） 甲 x 12 乙 y 14 (1)购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y的值； (2)该平台决定每天对甲、乙两种水果进行销售，求平台每天售完两种水果获利w（元）与销售甲种水果的数量的函数关系式；并说明在销售甲种水果的数量不超过的情况下，平台每天获利能否达到2500元？ 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)目的地距离学校________，小轿车出发去目的地的行驶速度是________． (2)当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标； (3)在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距如时，行驶时间为________． 9．（21-22七年级下·广东茂名·期中）已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若，请回答下列问题： (1)图1中 ， ， ． (2)求图2中m，n的值； (3)分别求出当点P在线段和上运动时s与t的关系式． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，，，连接交y轴于C． (1)求出点C的坐标； (2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形的面积为8，求点P的坐标； (3)如图2，直线交x轴于，将直线平移经过点A交y轴于E，点在直线上，且，直接写出点Q横坐标x的值． 11．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于点和点，点在直线上，将线段沿翻折，使点落在线段上的点处；再将线段沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与线段分别交于点． (1)分别求出点、点的坐标和的长； (2)若点P坐标为，且的面积为8，求的值； (3)请直接写出线段的长度． 12．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、分别是轴上两点，且满足多项式的积中不含项和项，点是轴正半轴上的动点． (1)求，两点坐标； (2)过点作，，且，． ①连接、相交于点，再连，求的度数； ②连接与轴相交于点，当动点在轴正半轴上运动时，线段的长度变不变？如果不变，请求出其值；如果变化，请求出其变化范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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④面积的最大值为23． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，正确识图是解题的关键．根据数形结合思想求解． 【详解】解：，， ， ，故①正确； 由图2可知；，，， ，故②正确； ， 四边形的周长是， 故③正确； 当点在上运动是面积的最大， 面积的最大为：，故④错误的． 故答案为：①②③． 题型二 含参数的一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．当时，点、在图象上，则 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象经过定点 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了求一次函数值、判断一次函数图像的增减性、比较函数值大小、判断一次函数图像经过的象限等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．将代入函数解析式并计算的值，即可判断选项A；结合，易得该一次函数图像的增减性，再进行比较即可判断选项B；根据该函数的的值，即可确定该函数图象经过的象限，即可判断选项C；计算当时的函数值，即可判断选项D． 【详解】解：A、对于函数，当时，，即图象与轴的交于点，故选项正确，不符合题意； B、对于函数，因为，所以随着的增大而减小，点、在图象上，且，则，故本选项正确，不符合题意； C、当时，则函数的图象经过第二、三、四象限，但是当时，则函数的图象经过第一、二、三象限，本选项错误，符合题意； D、 对于函数，当时，，即图象经过定点，故选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·天津·期末）关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围、识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，确定函数与系数之间的关系，进而求解． ①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限或二，四象限，则，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解 【详解】①时，，因自变量x前面的系数不为0，则函数为一次函数，故①正确； ②无论k取什么值，时，总有，故函数过，故②正确； ③图像不经过第一象限，即图象经过二、三、四象限或二，四象限，则，解得：，故③错误； ④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故④正确． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系． A、利用待定系数法求得解析式，即可求得与坐标轴的交点，从而求得图象与两个坐标轴围成的三角形面积，即可判断； B、根据一次函数的性质即可判断； C、求得一次函数的图象过定点，再根据一次函数的图象不经过第四象限即可判断； D、由题意可知两直线平行，当时，则，当时，一定成立，解不等式即可求得的取值，即可判断． 【详解】解：A、在一次函数的图象上， ， ， 一次函数为， 它的图象与两个坐标轴的交点为，， 图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错误，不合题意； B、， ， 随的增大而增大， ，故B错误，不合题意； C、， 一次函数的图象过定点， 一次函数的图象一定经过第三象限， 一次函数的图象不经过第四象限， 且， 解得：，故C错误，不合题意； D、对于一次函数和，无论取任何实数，总有， 直线与直线平行， 一次函数的图象过定点， 当时，， 解得， 当时，一定成立， 的取值范围是或，故D正确，符合题意． 故选：D． 题型三 一次函数图象的共存问题 例题：（23-24八年级上·山东青岛·期末）一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项的图，假定其中一条之间的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】根据判定正比例函数的图象分布在二四象限，且经过原点，判定B，D错误；根据一次函数，得到与y轴交点为，与x轴的交点为，结合，判断即交点位于x轴的正半轴上，判断A错误，C正确，解答即可． 本题考查了函数图象的分布，正确理解图象分布与k，b的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象分布在二四象限，且经过原点， ∴B，D错误； ∵一次函数， ∴图象与y轴交点为，与x轴的交点为， ∵， ∴即交点位于x轴的正半轴上， ∴A错误，C正确． 故选C． 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数图象与系数关系，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象判断a、b的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的a、b的正负一致，即为正确选项； 【详解】A、的图象过一二三象限，所以，；的图象过二三四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； B、的图象过一二三象限，所以，；的图象过一三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； C、的图象过一三四象限，所以，；的图象过一二四象限，所以，，两个图象判断a、b的取值一致，故该选项符合题意； D、的图象过一二四象限，所以，；的图象过二三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； 故选：C． 题型四 利用一次函数的性质解决实际问题 例题：（23-24八年级下·全国·期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元． (1)求A，B两种品牌足球的单价； (2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用． 【答案】(1)A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元 (2)，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，列二元一次方程组即可； （2）根据题意，得一元一次不等式，解不等式，表示出总费用y，根据一次函数的增减性计算y最小值即可． 【详解】（1）解：设A，B两种品牌足球的单价分别为a元，b元， 根据题意，得， 解得：， ∴A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元． （2）解：根据题意可知，B品牌足球个， ∵B品牌足球不少于a品牌数的2倍， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最小，此时． 综上，，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．（利润售价进价） 种类 种配件 种配件 进价（元/件） 售价（元/件） (1)求种配件进价的值． (2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)260 (2)当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据“用元可购进产品件和产品件”列方程求解即可； （2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），再设两种配件全部售出后获得的总利润为元，根据“利润售价进价”列函数关系式，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 答：的值为； （2）解：设购进种配件件，则购进种配件件， 依题意得：， 解得：， ∴（为正整数）， 设两种配件全部售出后获得的总利润为元， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为：， 此时， 答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元． 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）一辆货车从地运送一批物资到地，一辆客车从地运送一批乘客到地，两车同时出发，图中，分别表示两车相对于地的距离与行驶时间之间的关系． (1)根据图象，直接写出，对应的函数关系式； (2)求两车同时出发后的相遇时间； (3)当为何值时，两车相距？ 【答案】(1)； (2)3小时 (3)或4 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）利用待定系数法即可得到答案； （2）根据两车相遇是相等，列方程解答即可； （3）根据（2）中相遇时间，分，两种情况计算即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，经过点，经过点， ， ，， ， 故答案为：，． （2）解：当时，两车相遇 解得： 答：两车同时出发后3小时相遇． （3）解：根据题意，当时， 解得： 当时， 解得： 即当或4时，两车相距． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，实际问题与一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并从图像获取准确信息是解题的关键． 题型五 利用一次函数的性质解决几何问题 例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与轴、轴交于点，点在直线上，点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值是2或6 【知识点】一次函数与几何综合、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）由一次函数图象与性质，令，解方程即可得到答案； （2）根据题意得到点的纵坐标，在网格中表示出，代值求解即可得到答案； （3）设点的纵坐标为，由题中，先求出、，得到面积，从而得到，解出，由点在直线上，点的横坐标为，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 当时，，即； （2）解：点在直线上，点的横坐标为， 当时，， 由（1）知， ∴； （3）解：设点的纵坐标为， 直线与轴、轴交于点， 、， ∵， ∴， ∴，， 点在直线上，点的横坐标为， 当时，，； 当时，，； 综上满足条件的的值是2或6． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质、求直线与坐标轴的交点、已知自变量求函数值、平面直角坐标系中三角形面积的求法、解绝对值方程及解一元一次方程等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图1，直线与直线交于点，与坐标轴交于点B、C两点．点C的坐标是． (1)求n的值及的解析式． (2)如图2，已知点P是直线上的一个动点，且点P的横坐标为a，过P作轴的垂线，与相交于点Q，当时，求a的值． 【答案】(1)，的解析式为： (2)或 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、坐标与图形 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，求一次函数解析式，坐标与图形． （1）将代入，即可求出n的值，在利用待定系数法即可求出的解析式； （2）根据题意得，，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，则， ， 将，代入，则， 解得：， 的解析式为：； （2）解：∵点为直线上的一个动点，且点的横坐标为， ∴， ∵轴，在直线上， ∴， ∵， ∴ 解得：或． 2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由题意得，点、、的坐标分别为：、、，，则，即可求解； （3）关于直线的对称点为，当点落在直线上时，则，解得：；当落在上时，同理可解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入得：， 解得：，即点， 将点、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：由题意得，点、、的坐标分别为：、、， ， 则， 解得：或； （3）解：关于直线的对称点为， 当点落在直线上时， 则， 解得：； 当落在上时， 则， 解得：， 故． 题型六 利用一次函数的性质解决与三角形全等综合问题 例题：（22-23八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线：分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．    (1)求直线的函数表达式； (2)在x轴上方是否存在点D，使以点，，为顶点的三角形与全等，若存在画出，并求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点P是y轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点B的对应点′恰好落在x轴上时，请直接写出此时直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)或． (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）将点代入解析式得出，继而得出点的坐标为，，根据得出，即点的坐标为，然后待定系数法求解析式即可求解； （2）分在轴上方：和如图两种情况，根据特殊角的关系和全等三角形的性质即可求解． （3）由折叠性质可知，，，，继而利用勾股定理求出点P坐标，再利用待定系数法求出解析式． 【详解】（1）解：∵直线：过点， ， ． 当时，， 点的坐标为， 即． ， ． 点在轴正半轴， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为． （2），， ． 在x轴上方使以点，，为顶点的三角形与全等，有和如图两种情况： 如图①：①当时，   ， ，， ， 点的坐标为， ②当时， ，， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． （3）如图2，连接，将沿直线翻折，当点B的对应点′恰好落在x轴上时，    由折叠性质可知，，， ∴ 设，则， ∴，解得：， ∴点P坐标为， 设直线CP的函数表达式为，得： 将、代入，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为． 如图当点P在x轴下方时，设，则， 由折叠性质可知，， ∴ ∴，解得：， ∴点P坐标为， 同理可得直线的函数表达式为； 综上所述，直线的函数表达式为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）类比探究 在中，． 模型建立 （1）如图1，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长交于点，容易得到与全等，从而解决问题．请你判断数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展 （2）如图2，点在上，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由； 模型应用 （3）如图3，将等腰放入平面直角坐标系，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，且平分，线段交轴于点，过点作轴交于点．若点的坐标是，点的坐标是，直接写出点的坐标是______．（用的代数式表示） 【答案】（1），见解析；（2），理由见解析；（3） 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，一次函数图象与性质，角度计算． （1）证明与全等，再利用等腰三角形判定及性质即可得到本题答案； （2）过点作交延长线于，交于，再证明和全等，继而得到本题答案； （3）作轴，证明，设直线解析式为，求出后将点的纵坐标代入即可求出横坐标，继而得到本题答案． 【详解】解：（1）延长交于点， ， ∵，， ∴，， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴； （2）过点作交延长线于，交于， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）作轴于点，则， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵轴， ∴是等腰三角形， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的坐标是， 同（1）证：， ∴，， ∴， ∴点坐标为：， 设直线解析式为， 即：，解得：， ∴直线解析式为：， ∵轴，把代入直线解析式， ，解得：， ∴点的坐标是∶． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于、两点． (1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出______，______； ②点的坐标______； (2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，当时，直线：与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是______（直接写出答案即可）． 【答案】(1)①8，6；② (2)的面积不变， (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形、等腰三角形的定义 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解；②过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质可得，，即可求解； （2）当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点作轴于，过点作于，证明，可分两种情况讨论，由全等三角形的性质得，，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，直线解析式为， 令，则，即， 令，则有， 解得，即， ，． 故答案为：8，6； ②过点作轴，垂足为，如下图， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）当的取值变化时，的面积是定值，，理由如下： 如下图，过点作轴，垂足为， 则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当的取值变化时，的面积是定值，； （3）当时，如下图，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得，， 解得， ∴，， ∴点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 一、单选题 1．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数（m、n为常数，且）的图象经过点，且与y轴的交点坐标为，则下列关于该一次函数的说法，不正确的是（    ） A．该一次函数的图象不经过第三象限 B．该一次函数的图象与轴交于正半轴 C．图象与坐标轴围成的三角形面积可能为3 D．随的增大而减小 【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质等知识点，掌握一次函数的性质成为解题的关键． 先求出一次函数的解析式，然后再运用一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵一次函数（m、n为常数，且）的图象经过点，且与y轴的交点坐标为， ∴，解得：， ∴函数解析式为：， A.由，则该一次函数的图象不经过第三象限，故A选项正确，不符合题意； B. 由，则该一次函数的图象不经过第二、一、四象限，即该一次函数的图象与轴交于正半轴，故B选项正确，不符合题意； C.由，则与x轴、y轴的交点坐标为，，所以图象与坐标轴围成的三角形面积，故C选项不正确，符合题意； D. 由，则随的增大而减小，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与轴相交所成的锐角为．若是轴上的点，，是上的点，，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质和内角和定理，正确利用等边对等角是解题的关键． 根据题意可得，然后根据等边对等角和三角形的外角得到，然后利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵直线与轴相交所成的锐角为， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象．若过第一、三象限，则，所以过第二、四象限，可对、进行判断；若过第二、四象限，则，，，所以过第一、三象限，与轴的交点在轴下方，则可对、进行判断． 【详解】解：A、过第一、三象限，则，所以必过二、四象限，所以A选项错误； B、过第二、四象限，则，，，所以必过一、三象限，与轴的交点在轴下方，所以B选项错误； C、过第二、四象限，则，，，所以必过一、三象限，与轴的交点在轴下方，所以C选项正确； D、过第一、三象限，则，所以必过二、四象限，所以D选项错误． 故选：C． 二、填空题 4．（22-23八年级下·北京平谷·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交与A，B两点，射线于点A，若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以A，C，D为顶点的三角形与全等，则的长为 ． 【答案】6或 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形的性质、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出的两条直角边，并运用勾股定理求出．根据已知可得，分别从或时，即当时，，或时，，分别求得的值，即可得出结论． 【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点， 当时，即， 解得：， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，点C在射线上， ∴，即， ∵， ∴． 若以为顶点的三角形与全等，则或，即或， 如图1所示，当时，，      ∴； 如图2所示，当时，，      ∴． 综上所述，的长为6或． 故答案为：6或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 5．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，待定系数法求解析式，两点之间线段最短，由一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，求出，，作轴于，使得，连接，，证明，则，由，当在上时，最小，在求出直线为，直线为，联立得，求出，然后由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴令，则；令，则， ∴，， 又∵点的坐标为，， ∴，， ∴， 如图，作轴于，使得，连接，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， 设直线解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线为， 同理可得：直线为， ∴联列方程组， ∴， ∴， ∴的纵坐标为：． ∴， 答案为：；． 6．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C是线段上的一点，若将沿折叠，点A恰好落在x轴上的处，若P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则P的坐标为 ．    【答案】或或 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】先求出点A的坐标为，点B的坐标为，设，解得，以下分为三种情况：以和为腰，为底，则，以和为腰，为底，以和为腰，为底，点O是的中点，求解即可． 【详解】解：当时，， ∴点A的坐标为， 当时，，解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∵P是y轴负半轴上一动点，且是等腰三角形， 以和为腰，为底，则， ∴， ∴P的坐标为； 以和为腰，为底， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：， ∴， ∴P的坐标为， 以和为腰，为底，点O是的中点， ∴， ∴P的坐标为，    综上所述，P的坐标为或或． 故答案为：或或． 【点睛】此题考折叠的性质、勾股定理、一次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 三、解答题 7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果，经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元） 售价（元） 甲 x 12 乙 y 14 (1)购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y的值； (2)该平台决定每天对甲、乙两种水果进行销售，求平台每天售完两种水果获利w（元）与销售甲种水果的数量的函数关系式；并说明在销售甲种水果的数量不超过的情况下，平台每天获利能否达到2500元？ 【答案】(1)的值为8，的值为12； (2)，不能获利2500元，理由见解析 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）根据“购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润每千克的销售利润销售数量，可找出关于的函数关系式，利用一次函数的性质，可求出的最大值，再将其与2500元比较后，即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：， 解得：． 答：的值为8，的值为12； （2）根据题意得：， 即， ， 随的增大而增大， 又， 当时，取得最大值，最大值， ， 平台每天售完水果不能获利2500元． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)目的地距离学校________，小轿车出发去目的地的行驶速度是________． (2)当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标； (3)在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距如时，行驶时间为________． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键； （1）根据图象得出距离，进而计算出速度即可； （2）设直线的解析式是，把，代入解析式，得出解析式，再把代入解答即可； （3）得出直线的解析式，再根据题意分情况列方程求解即可； 【详解】（1）解：目的地距离学校千米， 小车出发去目的地的行驶速度是千米/时； 故答案为：； （2）解：设直线的解析式是， 把，代入解析式得：， 解得：， 则直线的解析式是：， 当时，； 则点坐标为：； （3）解：设直线的函数解析式为：， 将代入函数解析式，可得：， 解得：， 即直线的函数解析式为：， 设直线的函数解析式为：， 将代入函数解析式，可得：， 解得：， 即直线的函数解析式为：， 当时，解得：； 当，解得：； 当，解得：； 行驶时间为或或， 故答案为：或或 9．（21-22七年级下·广东茂名·期中）已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图2所示，若，请回答下列问题： (1)图1中 ， ， ． (2)求图2中m，n的值； (3)分别求出当点P在线段和上运动时s与t的关系式． 【答案】(1)；； (2)的值为，的值为 (3)； 【知识点】函数解析式、从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】本题考查动点问题的函数图像，速度、时间、路程之间的关系，三角形的面积等知识，采用了数形结合的思想方法．解题的关键是读懂图像信息． （1）因为点速度为，所以根据图2的时间可以求出线段，和的长度； （2）由图像可知的值就是的面积，的值就是运动的总时间，由此即可解决； （3）先用表示出点到的水平距离，再根据三角形的面积公式求出面积． 【详解】（1）解：由图2可知，点从的运动时间为， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为：， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为， ∴． 故答案为：；；． （2）解：根据题意得：， ， ． ∴图2中的值为，的值为． （3）解：由图2可知，点在上运动时，， ∴， 即， 由图2可知，点在上运动时，， ∴， 即． ∴点在线段上运动时与的关系式为，点在线段上运动时与的关系式为． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，，，连接交y轴于C． (1)求出点C的坐标； (2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形的面积为8，求点P的坐标； (3)如图2，直线交x轴于，将直线平移经过点A交y轴于E，点在直线上，且，直接写出点Q横坐标x的值． 【答案】(1)； (2)或． (3)或． 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题属于一次函数与几何综合题，考查了三角形的面积，一次函数的性质等知识，学会利用参数构建方程是解题关键， （1）根据待定系数法求出一次函数解析式，进而可得AB与y轴的交点C坐标； （2）设，则，根据，列方程求解即可； （3）如图，连接,由，可得，结合已知，可得再由直线平移得出点，由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：设直线解析式为，把，代入得 ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （2）设，则， ， ∵，， 即 或 点的坐标为或． （3）如图，连接, ∵直线交x轴于，设直线解析式为，把，代入得 ，解得， ∴直线解析式为， ∵将直线平移经过点交y轴于， 设直线解析式为，把代入得 ，解得， 即， ∵点在直线上， ∴点， ， ， ∵， ， ∴，即 解得：或， 当时，点的横坐标是或． 11．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于点和点，点在直线上，将线段沿翻折，使点落在线段上的点处；再将线段沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与线段分别交于点． (1)分别求出点、点的坐标和的长； (2)若点P坐标为，且的面积为8，求的值； (3)请直接写出线段的长度． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）求出当时的y值和当时的x值即可得到点、点的坐标，利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式即可求出的长； （2）根据，计算即可； （3）先证明是等腰直角三角形，得到，再利用勾股定理求出，求出，再根据折叠的性质得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵直线与y轴，x轴分别交于A、B两点， 当时，，即， 当时，，即； ， ， 线段沿翻折，点落在线段上的点处， ， ， ， ； （2）解：根据题意得：，， ， ， ， 或； （3）解：由翻折性质可知，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由折叠的性质得到． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 12．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、分别是轴上两点，且满足多项式的积中不含项和项，点是轴正半轴上的动点． (1)求，两点坐标； (2)过点作，，且，． ①连接、相交于点，再连，求的度数； ②连接与轴相交于点，当动点在轴正半轴上运动时，线段的长度变不变？如果不变，请求出其值；如果变化，请求出其变化范围． 【答案】(1)； (2)；不变； 【知识点】全等三角形综合问题、求一次函数解析式、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则进行计算，由积中不含项和项，可知项和项的系数为，列方程组解出即可； （2）如图，在线段上取点，使得，连接，先证明，再证明，进而推出为等腰直角三角形，求得，然后求出的度数； 线段的长度不变，且，证明和，分别表示、两点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，可得的坐标，进而得的长． 【详解】（1）解：， ， ， 多项式的积中不含项和项， ， 解得：， ，； （2）解：如图， 由题意得：，，且，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 在线段上取点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ，又， 为等腰直角三角形， ， ； 线段的长度不变，且，理由如下： 如图，过作轴于， ，， 在和中， ， ， ，， ， 过作轴于， 同理得：， ，， ， 设直线的解析式为：， 把、两点的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， ， ． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的证明、待定系数法求一次函数的解析式等知识点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$