专题09 一次函数的图象和性质-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（苏科版）

专题09 一次函数的图象和性质 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（12大题型） 目录 题型一 函数的概念 1 题型二 函数的三种表示方法 3 题型三 一次函数的识别 6 题型四 利用一次函数的定义求参数 7 题型五 正比例函数的图象和性质 8 题型六 一次函数的图象和性质 10 题型七 利用一次函数的增减性比较函数值的大小 13 题型八 根据一次函数的图象和性质求参数 14 题型九 画一次函数的图象 16 题型十 一次函数的平移问题 20 题型十一 利用待定系数法求一次函数的表达式 21 题型十二 一次函数与方程、不等式的关系 23 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 函数的概念 例题：（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 2.（23-24八年级下·山西长治·期末）下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C．D． 题型二 函数的三种表示方法 例题：（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 2.（23-24七年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 题型三 一次函数的识别 例题：（23-24八年级下·广东汕头·期末）下列函数中，是一次函数有（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 2.（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（23-24七年级上·山东淄博·期末）下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 利用一次函数的定义求参数 例题：（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知是一次函数，则的值是 【变式训练】 1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数是一次函数． 2．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）已知函数是一次函数，则 ． 题型五 正比例函数的图象和性质 例题：（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数的解析式为，下列结论正确的是（    ） A．图象是一条线段 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 【变式训练】 1.（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）关于正比例函数，下列说法正确的是(　　) A．图象经过第一、三象限 B．图象经过原点 C．随增大而增大 D．点在函数的图象上 2.（23-24八年级下·云南昭通·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点 B．y随x的增大而增大 C．图象是一条射线 D．图象经过第二、三、四象限 3.（23-24八年级上·宁夏银川·期末）对于函数（k是常数，）的图象，下列说法不正确的是（    ） A．是一条直线 B．过点 C．y随x的增大而增大 D．经过一、三象限或二、四象限 题型六 一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数的图象与y轴的交点坐标是 B．函数的图象不经过第一象限 C．函数的图象向上平移3个单位长度得的图象 D．点、在函数图象上，若，则 【变式训练】 1.（23-24八年级下·云南大理·期末）关于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限 C．当时，时， D．图象必经过点 2.（23-24八年级下·全国·期末）对于函数，下列说法正确的是（     ） A．y的值随x值的增大而增大 B．它的图象经过点 C．它的图象与x轴的交点坐标是 D．它的图象不经过第一象限 3.（23-24八年级下·辽宁营口·期末）一次函数（k、b为常数，且）的x与y的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（    ） x … 0 1 2 … y … 4 1 … A．y随x的增大而增大 B．当时，y的值为6 C．图象不经过第三象限 D．图象与x轴的交点在x轴负半轴上 题型七 利用一次函数的增减性比较函数值的大小 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知点，都在直线上，则、大小关系是 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·山东日照·期末）已知点，都在直线上，则 （填“”、“”或“”）． 2.（23-24八年级下·山东济宁·期末）直线 经过三点， 则的大小关系是 ． 3.（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知正比例函数（）的图象经过第二、四象限，不同的两点均在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则 0．（填“”“”或“”） 题型八 根据一次函数的图象和性质求参数 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）在一次函数中，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·云南昭通·期末）设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 题型九 画一次函数的图象 例题：（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）在研究一次函数图象的性质时，小聪想通过列表、描点、连线的方法画出一次函数的图象．下面是小聪列出的表格： … 1 2 … … 4 3 3 0 … (1)小聪在作图时发现表格中有一个点不在该函数图象上，这个点的坐标是______； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (3)写出一个正比例函数关系式，使得这个正比例函数图象与该一次函数图象平行． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数的图象不经过第四象限． (1)求的取值范围； (2)当时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)在（2）的情况下，当时，根据图象求出的取值范围． 2.（23-24八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 题型十 一次函数的平移问题 例题：（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，直线的图象不动，将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，此时该直线的解析式变为 ． 2.（23-24八年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则 ． 3.（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知一次函数的图象向上平移个单位后，与轴、轴分别相交于两点，则的面积等于 ． 题型十一 利用待定系数法求一次函数的表达式 例题：（23-24八年级下·陕西西安·期末）已知一次函数图象过点，两点． (1)求这个一次函数的解析式． (2)判断点是否在该函数图象上． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·河南许昌·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数表达式； (2)求该一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． 2.（23-24七年级上·山东淄博·期末）已知正比例函数的图象与一次函数的图象交与点． (1)求，的值； (2)如果一次函数与轴交于点A，求点A的坐标． 题型十二 一次函数与方程、不等式的关系 例题：（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，已知一次函数与的图象交于点． (1)求a，k的值； (2)根据图象，关于x的不等式的解集为______； (3)结合两个一次函数图象与x轴的交点坐标，求不等式组的解集． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数不是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）点在一次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若将直线向下平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线说法正确的是（　　） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．随的增大而减小 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程与时间之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（    ） A．乙队比甲队提前到达终点 B．当乙队划行时，此时落后甲队 C．后，乙队比甲队每分钟快 D．自开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到 5．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，直线与轴交于点，下列叙述正确的是（    ） A．关于的方程的解为 B．， C．直线经过第三象限 D．若是直线上的两点，则 二、填空题 6．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）写出一个一次函数，使其图象经过点，且y随x的增大而减小，该函数表达式可以是 ． 7．（23-24八年级下·山东聊城·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，且经过点，则 0（填“>”、“<”或“=”） 8．（23-24八年级下·全国·期末）如图，已知直线与直线相交于点，由图象可得不等式的解集为 ． 9．（23-24八年级上·江苏·期末）如图，将一块含角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边与x轴交于点D．已知，点A坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标为 ． 10．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）若直线经过点，与x轴交于点A，且，则 ． 三、解答题 11．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线分别与轴交于点A、B，与直线相交于点，点为直线上一点． (1)______，______； (2)若的面积为1，求点的坐标． 12．（23-24八年级下·全国·期末）已知一次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)在图中的网格中画出该函数的图象； (3)当时，的取值范围是 ． 13．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知与成正比例，且当时，．求： (1)与之间的函数表达式； (2)若点，在该一次函数的图象上，且，求实数的取值范围． 14．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/(m/s) 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ． (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为． (4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 15．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． AI (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 16．（24-25八年级上·海南海口·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)的长为_____，点的坐标是_____；直线与直线的位置关系是_____； (2)求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若，求出点的坐标； (4)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（22-23八年级上·福建漳州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求m的值； (2)点D是直线上一动点． ①如图2，当点D恰好在的角平分线上时，求直线的函数表达式； ②是否存在点D，使得，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（24-25八年级上·全国·期末）【问题背景】 已知一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点B，A．以为边在第一象限内作等腰直角三角形，且 作的垂直平分线l，交直线于点E，交x轴于点G． 【知识技能】 （1）求点C的坐标； 【数学理解】 （2）若在的垂直平分线l上有一点M，且点 M与点C位于直线的同侧，使得 ，求点 M的坐标： 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，连接，求证：是等腰直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 一次函数的图象和性质 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（12大题型） 目录 题型一 函数的概念 1 题型二 函数的三种表示方法 3 题型三 一次函数的识别 6 题型四 利用一次函数的定义求参数 7 题型五 正比例函数的图象和性质 8 题型六 一次函数的图象和性质 10 题型七 利用一次函数的增减性比较函数值的大小 13 题型八 根据一次函数的图象和性质求参数 14 题型九 画一次函数的图象 16 题型十 一次函数的平移问题 20 题型十一 利用待定系数法求一次函数的表达式 21 题型十二 一次函数与方程、不等式的关系 23 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 函数的概念 例题：（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【详解】解：A、不符合函数的定义，不是的函数，故此选项符合题意； B、符合函数的定义，是的函数，故此选项不符合题意； C、符合函数的定义，是的函数，故此选项不符合题意； D、符合函数的定义，是的函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】根据函数的定义解答即可． 本题考查对函数概念的理解，认识变量和常量． 【详解】解：与不是唯一的值对应，故选项错误； B．当取一值时，有唯一的值与之对应，故选项正确； C．与不是唯一的值对应，故选项错误； D．在中，、是常量，是自变量，是的函数，故选项错误． 故选B． 2.（23-24八年级下·山西长治·期末）下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，有两个值和它对应， ∴不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 故选：． 题型二 函数的三种表示方法 例题：（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【答案】(1)不符合题意，理由见详解 (2) (3)18，16，随的增大先增大后减小 【知识点】函数解析式、函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查函数关系式及求函数值，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键． （1）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得； （2）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式； （3）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得． 【详解】（1）解：不符合题意， 由题意得，， 当时，， 不符合题意； （2）解：； （3）解：当时，， 当时，， 完成表格如下： （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 2.（23-24七年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 【答案】(1)弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系 (2)见解析 (3)当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加；当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化． 【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法、从函数的图象获取信息、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的基本概念，函数的表示方法： （1）直接观察图象，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解； （3）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：反映了弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系； （2）解：根据上图，补全表格： 0 1 2 4 5 7 8 10 12 16 18 18 （3）解：由图象得： 当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加； 当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化． 题型三 一次函数的识别 例题：（23-24八年级下·广东汕头·期末）下列函数中，是一次函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查一次函数的定义．形如的函数叫做一次函数，根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：A.是二次函数，此项不符合题意； B.是常数函数，此项不符合题意； C.是一次函数，此项符合题意； D.是反比例函数，此项不符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 【答案】D 【知识点】识别一次函数 【分析】根据一次函数的定义对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是一次函数的定义，即一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：①是一次函数，故本选项正确； ②不是一次函数，故本选项错误； ③是一次函数，故本选项正确； ④不是一次函数，故本选项错误； 故选：D． 2.（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键．直接利用一次函数的定义：一般地：形如（，、是常数）的函数，进而判断得出答案. 【详解】解：①；②；③；④；⑤．其中，是一次函数的有：①；②；④共3个． 故选：C． 3.（23-24七年级上·山东淄博·期末）下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的识别，根据形如，这样的函数叫做一次函数，进行判断即可． 【详解】解：①；②；③；④，其中是一次函数的有①③，共2个； 故选B． 题型四 利用一次函数的定义求参数 例题：（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知是一次函数，则的值是 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数定义．关键是掌握一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．首先根据一次函数定义确定的值，再代入代数式，求值即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数是一次函数． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查一次函数，一次函数的定义知x的指数为1，由此列方程即可求解． 【详解】解：函数是一次函数， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）已知函数是一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义即可得到答案． 【详解】解：函数是一次函数， ， 解得， 故． 故答案为：． 题型五 正比例函数的图象和性质 例题：（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数的解析式为，下列结论正确的是（    ） A．图象是一条线段 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 【答案】C 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数，图象是一条直线，不符合题意； B、当时，，图象不经过点，不符合题意； C、，图象经过第一、三象限，符合题意； D、，y随x的增大而增大，不符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）关于正比例函数，下列说法正确的是(　　) A．图象经过第一、三象限 B．图象经过原点 C．随增大而增大 D．点在函数的图象上 【答案】B 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，分别利用正比例函数的性质分析得出即可． 【详解】解：A、正比例函数，图象经过第二，四象限，不正确，不合题意； B、正比例函数，图象经过原点，正确，符合题意 C、正比例函数，随增大而减小，故此选项错误，不合题意； D、当时，，故点在函数的图象上不正确，不合题意； 故选：B． 2.（23-24八年级下·云南昭通·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点 B．y随x的增大而增大 C．图象是一条射线 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】A、当时，，∴图象必经过点，故该选项正确； B、∵，∴y随x的增大而减小，故该选项不正确； C、正比例函数图象是一条直线，故该选项不正确； D、∵，图象经过第二、四象限，故该选项不正确； 故选：A． 3.（23-24八年级上·宁夏银川·期末）对于函数（k是常数，）的图象，下列说法不正确的是（    ） A．是一条直线 B．过点 C．y随x的增大而增大 D．经过一、三象限或二、四象限 【答案】D 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数（）的图象是直线，当，经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，经过第二、四象限，y随x的增大而减小．根据正比例函数的性质求解． 【详解】解：对于函数（k是常数，）的图象， A、是一条直线，说法正确，故本选项不合题意； B、∵当时，， ∴直线经过点，故本选项不合题意； C、∵， ∴y随x的增大而增大，故本选项不合题意； D、∵， ∴直线经过第一、三象限，不经过二、四象限，故本选项符合题意． 故选：D． 题型六 一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数的图象与y轴的交点坐标是 B．函数的图象不经过第一象限 C．函数的图象向上平移3个单位长度得的图象 D．点、在函数图象上，若，则 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质。根据一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的几何变换进行判断． 【详解】解：当时，， ∴函数的图象与y轴的交点坐标是，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故B选项正确，不符合题意； 函数的图象向上平移3个单位长度得的图象，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点、在函数图象上，， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 【变式训练】 1.（23-24八年级下·云南大理·期末）关于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限 C．当时，时， D．图象必经过点 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．利用，可判定一次函数的增减性和所在象限，即可判定选项A和B；利用增减性可判定选项C；将代入即可判定选项D． 【详解】解：A中、由于，则随增大而增大，所以A选项正确； B中、由于，则函数的图象必过第一、三象限，由于，图象与轴的交点在轴的下方，则图象还过第四象限，所以B选项错误； C中、由于，则随增大而增大，且当时，，则当时，时，所以C选项错误； D中、当时，，则图象必经过点，所以D选项错误； 故选：A． 2.（23-24八年级下·全国·期末）对于函数，下列说法正确的是（     ） A．y的值随x值的增大而增大 B．它的图象经过点 C．它的图象与x轴的交点坐标是 D．它的图象不经过第一象限 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数图象上点的坐标特征，一次函数解析式系数的几何意义是解题的关键． 根据一次函数的图象和性质，以及一次函数图象上点的坐标特征，一次函数解析式系数的几何意义，逐一判断选项即可． 【详解】A．， y值随x值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意； B．∵，令，解得， 它的图象不经过点，故该选项不正确，不符合题意； C．∵，令，解得：， 它的图象与x轴交点坐标为，故该选项正确，符合题意； D．，， 它的图象经过第一、二、四象限，故该选项不正确，不符合题意． 故选C． 3.（23-24八年级下·辽宁营口·期末）一次函数（k、b为常数，且）的x与y的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（    ） x … 0 1 2 … y … 4 1 … A．y随x的增大而增大 B．当时，y的值为6 C．图象不经过第三象限 D．图象与x轴的交点在x轴负半轴上 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，先利用待定系数法求出函数解析式为，据此可得y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，再求出当时，y的值，当，x的值即可得到答案． 【详解】解：把，代入中得： ， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故A说法错误，C说法正确； 当时，，故B说法错误； 当，， ∴图象与x轴的交点坐标为， ∴图象与x轴的交点在x轴负正轴上，故D说法错误， 故选：C． 题型七 利用一次函数的增减性比较函数值的大小 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知点，都在直线上，则、大小关系是 ． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据已知函数的解析式得出y随x的增大而减小，再比较即可． 【详解】解：∵， ∴随x的增大而减小， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·山东日照·期末）已知点，都在直线上，则 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，正确判断出一次函数的增减性是解题的关键． 先根据一次函数解析式判断一次函数的增减性，据此即可解答． 【详解】解：∵直线中，， ∴对于，y随x增大而减小， ∵点，都在直线上，且， ∴． 故答案为：． 2.（23-24八年级下·山东济宁·期末）直线 经过三点， 则的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的增减性求参数，根据得出随的增大而增大，结合，即可作答． 【详解】解：∵ ∴随的增大而增大 ∵经过三点，且 ∴ 故答案为： 3.（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知正比例函数（）的图象经过第二、四象限，不同的两点均在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据的图象经第二、四象限，判断出，可知的图象中，y随x值的增大而减小，由此可解．解题的关键是根据经过的象限判断出k值的正负． 【详解】解：∵（）的图象经第二、四象限， ∴， ∴的图象中，y随x值的增大而减小， 若，则， ∴，， ∴． 反之，也成立，即， 故答案为：． 题型八 根据一次函数的图象和性质求参数 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数的性质，先一次函数的图象过第一，三，四象限得到，然后根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一，三，四象限， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， 即直线不经过第三象限． 故答案为：三． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数，当时，函数图象经过一、二、三象限，当时，函数图象经过一、三、四象限，当时，函数图象经过一、二、四象限，当时，函数图象经过二、三、四象限． 依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式当中一次项系数小于零，常数项不小于零，进而得到的m取值范围． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， 解得：． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）在一次函数中，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质进行解题． 根据一次函数的性质，即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而增大， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（23-24八年级下·云南昭通·期末）设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的性质，分和，两种情况，结合一次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】解：当时，随的增大而增大， ∴当时，，解得：， 当时，随的增大而减小， ∴当时，，解得：（舍去）； 故答案为：． 题型九 画一次函数的图象 例题：（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）在研究一次函数图象的性质时，小聪想通过列表、描点、连线的方法画出一次函数的图象．下面是小聪列出的表格： … 1 2 … … 4 3 3 0 … (1)小聪在作图时发现表格中有一个点不在该函数图象上，这个点的坐标是______； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (3)写出一个正比例函数关系式，使得这个正比例函数图象与该一次函数图象平行． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】画一次函数图象、求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】（1）根据当时，或1，得到和有一个点不在该函数图象上，再根据待定系数法求出一次函数的解析式，求出当时x的值，即可得到答案； （2）根据描点法进行画图即可； （3）根据斜率相同，两直线平行，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，或1， ∴和有一个点不在该函数图象上，和在该函数图象上， 设一次函数的解析式为， 则， 解得：，， ∴一次函数的解析式为， 当时，，解得， ∴点不在该图象上， 故答案为：； （2）解：一次函数的图象如下所示， （3）解：∵当一次函数斜率相同时，两直线平行，一次函数的解析式为 ∴正比例函数的解析式为：． 【点睛】本题考查求一次函数的解析、描点法画一次函数的图象和一次函数图象的性质，解题的关键是求出一次函数的解析式． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数的图象不经过第四象限． (1)求的取值范围； (2)当时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)在（2）的情况下，当时，根据图象求出的取值范围． 【答案】(1)的取值范围是 (2)图见详解 (3)的取值范围是 【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知函数经过的象限求参数范围、画一次函数图象 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意不等式组即可求解； （2）根据，求出一次函数解析式，然后画函数图像即可． （3）将和分别代入中，分别求出的值，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得， ∴的取值范围是． （2）解：当时，一次函数解析式为 即， 在图上画上该函数的图象如下： （3）解：将和分别代入中， 可分别得出和， ∴当时，的取值范围． 2.（23-24八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象如图： 令，解得，令，则， ∴直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是， 故答案为：4； （2）解：由图可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴平移3个单位长度得，即或． 题型十 一次函数的平移问题 例题：（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为； 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，直线的图象不动，将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，此时该直线的解析式变为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握解析式的“左加右减，上加下减”平移规律是解题的关键． 将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，相当于是把直线向下平移2个单位，据此求解即可． 【详解】解：由题意，可知本题是求把直线向下平移2个单位后的解析式， 则所求解析式为，即． 故答案为：． 2.（23-24八年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则 ． 【答案】2 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：将直线向下平移1个单位长度得， ∵， ∴，解得， 故答案为：2． 3.（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知一次函数的图象向上平移个单位后，与轴、轴分别相交于两点，则的面积等于 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据“上加下减”得平移规律即可求出点坐标，从而求得的长，最后根据三角形面积公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象向上平移个单位， ∴平移后得解析式为， 当时，；当时，； ∴，， ∴，， ∴的面积等于， 故答案为：． 题型十一 利用待定系数法求一次函数的表达式 例题：（23-24八年级下·陕西西安·期末）已知一次函数图象过点，两点． (1)求这个一次函数的解析式． (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该函数图象上 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时的函数值即可得到结论． 【详解】（1）解：设这个一次函数解析式为， 把，代入中得：， 解得， ∴这个一次函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴点不在该函数图象上． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·河南许昌·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数表达式； (2)求该一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）设这个函数的解析式是，把点的坐标代入，即可求出答案； （2）求出函数图象与坐标轴的交点，再根据三角形面积公式求出即可． 本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，先根据题意得出一次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 一次函数的图象经过点和点， ， 解得， 一次函数的解析式为：； （2）由（1）知，一次函数的解析式为， 令，则；令，则， 此函数与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为， 该一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． 2.（23-24七年级上·山东淄博·期末）已知正比例函数的图象与一次函数的图象交与点． (1)求，的值； (2)如果一次函数与轴交于点A，求点A的坐标． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的知识，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求一次函数解析式的相关知识． （1）只要把P点坐标代入两关系式即可； （2）设即可求出A点坐标． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴ ∴， ∵点在上， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵一次函数与x轴交于点A， 又∵当时，， ∴． 题型十二 一次函数与方程、不等式的关系 例题：（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，已知一次函数与的图象交于点． (1)求a，k的值； (2)根据图象，关于x的不等式的解集为______； (3)结合两个一次函数图象与x轴的交点坐标，求不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查两条直线的交点问题、一次函数与坐标轴的交点问题、用待定系数法求一次函数解析式， （1）把代入求得，再把代入求解即可； （2）观察图象求解即可； （3）分别把代入、求得与x轴的交点坐标，再观察图象求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， 把代入得，， ∴， ∵一次函数的图象过点， 把代入得，， 解得； （2）解：由图可得，x的不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：把代入得，， 解得， ∴一次函数与x轴交于点， 由（1）可得，，即一次函数， 把代入得，， 解得， ∴一次函数与x轴的交点为， 由图象可得，不等式组的解集为． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】求一次函数解析式、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据一次函数的图象与轴交于点，利用函数图象分析即可解题； （2）①利用待定系数法求得一次函数的解析式，再根据不等式的解集是，将代入中求解，即可得到点B的坐标； ②根据、以及点B的坐标，结合函数图象分析，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点， 由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：①一次函数的图象与轴交于点， ， 一次函数的图象与x轴交于点， ， 解得， ， 不等式的解集是， 当时，， 点B的坐标为； ②由图知，不等式组的解集是， 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数不是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．一次函数的定义：一般地，形如、是常数的函数，叫做一次函数． 根据一次函数的定义，可得答案． 【详解】解：A、不是一次函数，故此选项符合题意；     B、是正比例函数，也是一次函数，故此选项不符合题意； C、是正比例函数，也是一次函数，故此选项不符合题意； D、是一次函数，故此选项不符合题意；     故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·期末）点在一次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数的增减性．对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而增大； ∵， ∴， 故选：C 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若将直线向下平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线说法正确的是（　　） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．随的增大而减小 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】此题主要考查了一次函数图象的平移以及一次函数的性质，正利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后得到直线， A、直线经过第二、三、四象限，故本选项错误； B、直线与轴交于，故本选项错误； C、直线与轴交于，故本选项错误； D、直线，随的增大而减小，故本选项正确． 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程与时间之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（    ） A．乙队比甲队提前到达终点 B．当乙队划行时，此时落后甲队 C．后，乙队比甲队每分钟快 D．自开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数图象的应用，根据两队到达时间可判断A选项；先计算出两队的速度，再依次计算出乙队划行所用时间、乙队划行时甲队划行距离，可判断B选项；根据两队速度可判断C选项；先计算出时甲队距离终点的路程，以及乙队到达终点还需要的时间，利用路程、时间、速度关系求出甲队需要提高到的速度，可判断D选项． 【详解】解：根据图象信息可知，甲队用到达终点，乙队用到达终点，所以乙队比甲队提前到达终点，故A选项说法正确； 甲队的速度不变，为， 前，乙队的速度为，后，乙队的速度为， 当乙队划行时，所用时间为，此时甲队划行， 乙队落后甲队，故B选项说法正确； 后，乙队比甲队每分钟快，故C选项说法正确； 时，甲队划行，距离终点还有， 乙队到达终点还需，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到，故D选项说法错误； 故选D． 5．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，直线与轴交于点，下列叙述正确的是（    ） A．关于的方程的解为 B．， C．直线经过第三象限 D．若是直线上的两点，则 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，由直线与坐标轴交点求方程的解．熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键． 由直线的图象可知，即可判断B；又可得出，即得出直线经过第一、二、四象限，可判断C；进而由一次函数的性质可判断D；由直线与坐标轴交点的横坐标即为其相关一元一次方程的解，可判断A． 【详解】解：由图象可知直线经过第一、二、三象限，且与y轴的交点位于x轴上方， ∴，故B错误，不符合题意； ∵， ∴． 又∵， ∴直线经过第一、二、四象限，故C错误，不符合题意； ∵直线与x轴交于点， ∴关于x的方程的解为，故A正确，符合题意； ∵直线经过第第一、二、三象限， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：A． 二、填空题 6．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）写出一个一次函数，使其图象经过点，且y随x的增大而减小，该函数表达式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的性质，属于开放类题目，只要满足随的增大而减小，可以任意赋值．根据一次函数的性质，随的增大而减小时值小于0，令，然后求解即可． 【详解】随的增大而减小， ， 不妨设为， 把代入得，， 则函数解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（23-24八年级下·山东聊城·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，且经过点，则 0（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的图象不经过第三象限可得，，由过点，可得，然后根据即可得到答案． 【详解】∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴，， ∵过点， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·全国·期末）如图，已知直线与直线相交于点，由图象可得不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系．先求出交点的坐标，再根据函数图象找到直线的图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 解得， 直线与直线相交于点， 由函数图象可知，直线的图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围为， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·江苏·期末）如图，将一块含角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边与x轴交于点D．已知，点A坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、等腰三角形的性质和判定 【分析】如图，作轴于，证明，则，，，，待定系数法求直线的解析式为，当时，，可求，进而可得． 【详解】解：如图，作轴于， 由题意知，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点是解题的关键． 10．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）若直线经过点，与x轴交于点A，且，则 ． 【答案】或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数关系式．先利用三角形面积公式求出或，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设， ， 由题意得，则， 解得或， ∴或， 把，代入， ，解得； 把，代入， ，解得； 综上，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知直线分别与轴交于点A、B，与直线相交于点，点为直线上一点． (1)______，______； (2)若的面积为1，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、坐标与图形综合 【分析】本题考查了两直线交点，一次函数解析式，坐标与图形等知识．熟练掌握两直线交点，一次函数解析式，坐标与图形是解题的关键． （1）将代入，可求，即，将代入，可求，然后作答即可； （2）由直线与轴交于点A，可求，由题意知，，当点在的下方时，如图，由，可知为的中点，可求；当点在的上方时，如图，由，可知为的中点，进而可求． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 将代入得，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：∵直线与轴交于点A， ∴， 由题意知，， 当点在的下方时，如图， ∵， ∴为的中点， ∴； 当点在的上方时，如图， ∴， ∴为的中点， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 12．（23-24八年级下·全国·期末）已知一次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)在图中的网格中画出该函数的图象； (3)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】画一次函数图象、求一次函数解析式、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数的上点的坐标特点、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据一次函数的图象经过点，可以求得的值； （2）根据（1）中的值可以画出该函数对应的函数图形； （3）根据函数图象可以写出当时，的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得， ∴． （2）图象如下图所示． （3），解得． 13．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知与成正比例，且当时，．求： (1)与之间的函数表达式； (2)若点，在该一次函数的图象上，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数解析式 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）根据一次函数的增减性，可得，据此即可求解； 本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设，将，代入得， ， 解得， ∴， ∴； （2）解：∵ ， ∴随的增大而增大， ∵点，在该一次函数的图象上，且， ∴， ∴． 14．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/(m/s) 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ． (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为． (4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 【答案】(1)温度，声音在空气中的传播速度 (2)0.6 (3) (4)小乐与燃放烟花所在地大约相距 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查函数的表示方法，常量与变量及一次函数的应用，理解常量与变量的定义，求出函数的关系式是正确解答的前提． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案； （3）利用（2）中的变化关系得出函数关系式； （4）当时，求出，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可． 【详解】（1）解：（1）根据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）由表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高， 故答案为：0.6； （3）由表格中两个变量对应值的变化规律可得，， 故答案为：； （4）当时，， ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距． 15．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． AI (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与三角形面积的综合应用； （1）分别令，，即可求解； （2）当时求出的纵坐标，由三角形的面积，即可求解； （3）求出的面积，由，即可求解； 掌握一次函数与坐标轴的交点的求法，并熟练利用三角形面积求解是解题的关键． 【详解】（1）解：当时， ， 当时， ， 解得：， ，； （2）解：当时， ， ； （3）解：由题意得 ， ， ， ， 解得：或， 故m的值为或． 16．（24-25八年级上·海南海口·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)的长为_____，点的坐标是_____；直线与直线的位置关系是_____； (2)求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若，求出点的坐标； (4)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5，，垂直 (2) (3)点的坐标为或 (4)第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，即可得到点D的坐标；由折叠的性质得到，结合，，即可得到，进而证明； （2）设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标； （3）先求出，设点的坐标为，则，根据列方程求出的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 点的坐标是， 由折叠的性质得到， ，， ， ； 故直线与直线的位置关系是垂直， （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，即， 点的坐标为； （3）解：，， ，， 则， 则， 点是轴上一动点， 设点的坐标为， ， 则， 或－4， 点的坐标为或； （4）解：在第一象限内存在点，使为等腰直角三角形；理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图1，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， ， 点的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图2，过点作轴于点， 同理可证，， ，， ， 点的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图3，过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， 设点的坐标为， ， ，， ， 解得：， 则点的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 17．（22-23八年级上·福建漳州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求m的值； (2)点D是直线上一动点． ①如图2，当点D恰好在的角平分线上时，求直线的函数表达式； ②是否存在点D，使得，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①；②存在，或 【知识点】一次函数与几何综合、判断三边能否构成直角三角形、角平分线的性质定理、等腰三角形的定义 【分析】（1）把代入，可得答案； （2）①过点作，垂足为点．求解直线表达式为．可得．证明，过作，垂足为点．证明．可得，则，从而可得答案； ②若点在射线上时，如图．过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点．证明．可得，结合点B坐标为，可得点的坐标为．若点在的延长线上时，如图．过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点．同理．从而可得答案． 【详解】（1）解：将代入，得； （2）解：①过点作，垂足为点．   ． ， ． ． 点在直线上， ． 直线表达式为． 把代入中， 得 ． ． ． 在中，． ， ． 过作，垂足为点． ． ． 又平分， ． ， ． ． 在直线上，令，得， ， 设直线的函数表达式为． 把代入，得． 直线的表达式为． ②存在． 若点在射线上时，如图．    过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点． ． ． 又， ． ． ， 为等腰直角三角形， ． ． ． 点B坐标为 ． ． 点的坐标为． 若点在的延长线上时，如图．    过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点． 同理． ． 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键． 18．（24-25八年级上·全国·期末）【问题背景】 已知一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点B，A．以为边在第一象限内作等腰直角三角形，且 作的垂直平分线l，交直线于点E，交x轴于点G． 【知识技能】 （1）求点C的坐标； 【数学理解】 （2）若在的垂直平分线l上有一点M，且点 M与点C位于直线的同侧，使得 ，求点 M的坐标： 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，连接，求证：是等腰直角三角形． 【答案】（1）（2）；（3）见解析 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明等腰三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点 H．先求出点 A 的坐标为，点 B 的坐标为．得到．再证明，得到，则，据此可得点C的坐标为． （2）先求出直线l即为直线，则，由勾股定理，得，则，进而得到；设点 M的坐标为， 根据建立方程求解即可； （3）根据（1）（2）所求可得轴，．再证明，即可证明是等腰直角三角形． 【详解】解：（1）如图，过点C作x轴的垂线，交x轴于点 H． 在中，当时，，当时，， ∴点 A 的坐标为，点 B 的坐标为． ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． （2）∵直线l是的垂直平分线，， ∴直线l即为直线， 在中，当时，， ∴， 由勾股定理，得， ， ∵， ∴， 设点 M的坐标为， ， 解得． ∴点M的坐标为． （3）如图，连接． ∵点， ∴轴，． 又∵轴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$