专题08 平面直角坐标系求面积、新定义与规律探究问题-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（苏科版）

专题08 平面直角坐标系求面积、新定义与规律探究问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（5大题型） 目录 题型一 平面直角坐标系中点的特征 1 题型二 平面直角坐标系中的动点面积问题 3 题型三 平面直角坐标系中的新定义型问题 11 题型四 平面直角坐标系中点的规律探究问题 14 题型五 平面直角坐标系中的综合变换问题 16 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 平面直角坐标系中点的特征 例题：（23-24七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是． (1)若点在轴上，求的值及点的坐标； (2)若点到轴的距离是，直接写出点的坐标． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)试根据下列条件分别求出点的坐标： ①点在轴上； ②点到轴的距离为3． (2)点的横坐标不大于纵坐标，求出满足条件的正整数． 2．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，则点的坐标为______； (2)若，且轴，则点的坐标为______； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 题型二 平面直角坐标系中的动点面积问题 例题：（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知，三角形的顶点A在x轴的正半轴上，A，B，C三点的坐标分别为，，，且a，b，c满足：．    (1)则______，______，______； (2)若D是x轴上一点，且三角形的面积等于3，试求D点坐标； (3)E是线段上一点，若平分四边形的面积，点N为中点，试求点N的坐标． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 2．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 题型三 平面直角坐标系中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）点是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（其中k为常数且），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点的“2拓点”Q为，即点Q为． (1)求点的“3拓点”Q的坐标； (2)若点的“4拓点”Q的坐标是，求的值． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆·期末）在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系中，点中x，y的值若满足，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题： (1)判断点是否为“直线点”，并说明理由； (2)若点是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？ 2．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知是平面直角坐标系中的一点，若，是关于，的二元一次方程组的解，则称为该方程组的“梦想点”例如：是二元一次方程组，的“梦想点”根据以上定义，回答下列问题： (1)求关于，的二元一次方程组的“梦想点”． (2)若关于，的方程组与的“梦想点”相同，求，的值． 题型四 平面直角坐标系中点的规律探究问题 例题：（23-24七年级下·云南大理·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·北京·期末）如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标是 ． 2．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 题型五 平面直角坐标系中的综合变换问题 例题：（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，长方形的边在轴上，边在轴上，，，在边上取一点，使沿折叠后，点落在轴上，记作点． (1)请直接写出点A的坐标______，点C的坐标______和点B的坐标______； (2)求点D的坐标； (3)求点E关于y轴的对称点的坐标． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·天津河西·期末）在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，其中，其中． (1)当时， ①在图中描出A，B，C，D，再连接，，，，； ②直接写出线段的长度__________；的长度__________； ③求出四边形的面积； (2)若有点，且，使得四边形的面积是四边形面积的，求点M的坐标． 2．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图1，在四边形中，，点是边上一点，，，连接，，可知，此时是等腰直角三角形； (1)【问题提出】如图2，在长方形中，点是边上一点，在边、上分别作出点，使得点是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，；要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； (2)【问题探究】如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是等腰直角三角形，直接写出点的坐标； (3)【问题解决】如图4，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的点，点在第一象限内，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点是轴上的一动点，求的最小值．[注：在平面直角坐标系内，，，则]． 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽·期末）在平面直角坐标系中，若点在第二、四象限的角平分线上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（22-23八年级上·山东济南·期末）已知点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知第一象限内有一点，点P关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，按此规律继续重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·河北沧州·期末）点关于直线对称的点的坐标是 ；关于直线对称的坐标是 ． 5．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，等边三角形中，，点D是上一点，且．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段上一动点．当的值最小时，点F的横坐标为 ．（用含a的式子表示） 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律则点的坐标是 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求点的坐标； (2)点的坐标为，直线轴，求点的坐标； (3)若点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 8．（24-25八年级上·全国·期末）我们约定：若点的坐标为，则把坐标为的点称为点的“阶益点”（其中为正整数），例如，即就是点的“阶益点”． (1)已知点是点的“阶益点”，求点的坐标； (2)已知点是点的“阶益点”，将点先向右移动个单位，再向下移动个单位得到点，若点落在第四象限，求的取值范围． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点时停止）． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动4秒时，连接，，求出点P的坐标，写出，，之间满足的数量关系并给予证明 (3)在运动过程中，是否存在点P，使得的面积是9？若存在，求出点P运动的时间：若不存在，请说明理由 10．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，满足：． (1)求m和n的值； (2)如图，点是A点左侧的轴上一动点，连接，以为直角边作等腰直角，连接、，交于点． ①若，求点E的坐标； ②求证：． 11．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点D，使得，连接、，平分． (1)A点的坐标为 ；的度数为 ． (2)如图1，若点C在第四象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由． (3)如图2，连接，平分，若点C的坐标为，连接交于点E，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 12．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且x，y满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点C的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 平面直角坐标系求面积、新定义与规律探究问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（5大题型） 目录 题型一 平面直角坐标系中点的特征 1 题型二 平面直角坐标系中的动点面积问题 3 题型三 平面直角坐标系中的新定义型问题 11 题型四 平面直角坐标系中点的规律探究问题 14 题型五 平面直角坐标系中的综合变换问题 16 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 平面直角坐标系中点的特征 例题：（23-24七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是． (1)若点在轴上，求的值及点的坐标； (2)若点到轴的距离是，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了平面坐标系内的点，掌握平面坐标系内点的特点是解题的关键． （1）根据点在轴上，可得，求出值，即可求解； （2）根据点到轴的距离是，可得，求出值，即可求解． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得：， ， 点的坐标是； （2）点到轴的距离是， ，即或， 解得：或， 或， 点的坐标是或． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)试根据下列条件分别求出点的坐标： ①点在轴上； ②点到轴的距离为3． (2)点的横坐标不大于纵坐标，求出满足条件的正整数． 【答案】(1)①；②或 (2)1，2，3，4 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查点的坐标、解一元一次方程、坐标与图形，熟练掌握相关点的坐标特征是解题的关键， （1）①根据x轴上点的纵坐标为列方程求出的值，再求解即可； ②根据到y轴的距离等于，列方程求出的值，再求解即可； （2）根据横坐标比纵坐标大，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①点在轴上，， ， 解得：． ， 点的坐标为：． ②点到轴的距离为3，， ， 解得：或． 当时，，， 当时，， 点的坐标为：或． （2）由题意可得： 解得，． 取正整数 可取1，2，3，4． 2．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，则点的坐标为______； (2)若，且轴，则点的坐标为______； (3)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解此题的关键． （1）由点的坐标特点可知，点在轴上，即点P的纵坐标为0，即可求出a值，然后代入可求出点点P的横坐标． （2）根据轴，可得出点P的横坐标等于点Q的横坐标，即可求出a的值，进一步即可求出点P的纵坐标． （3）根据题意得出，求出a的值，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得： ∴， 所以点P的坐标为， 故答案为：； （2）根据题意可得：， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：； （3）∵点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ∴， 解得：， 把代入． 题型二 平面直角坐标系中的动点面积问题 例题：（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知，三角形的顶点A在x轴的正半轴上，A，B，C三点的坐标分别为，，，且a，b，c满足：．    (1)则______，______，______； (2)若D是x轴上一点，且三角形的面积等于3，试求D点坐标； (3)E是线段上一点，若平分四边形的面积，点N为中点，试求点N的坐标． 【答案】(1)5，4，3 (2)点的坐标为或 (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了算术平方根的的非负性及面积的计算，熟练掌握分割面积求点的坐标是关键． （1）根据非负数的性质进行解答即可； （2）根据三角形的面积等于3，得，求解即可； （3）由（1）可知，，过点作轴，轴，根据，平分四边形的面积，可求得点E的坐标，再根据中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ，，， 故答案为：5，4，3． （2）由（1）可知，，    ∵三角形的面积等于3， ∴，则 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）由（1）可知，， 过点作轴，轴，则，，，， 则，， ∴ ，    ∵平分四边形的面积， ∴，即：， ∴，即：， ∵点为中点， ∴点的坐标为：， 即：点的坐标为． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)或 【知识点】坐标与图形、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标系中的面积问题、中点坐标公式等，解题的关键是根据题意熟练应用上述知识． （1）依据题意，由，可得，进而计算可以得解； （2）作轴于点，由三点的坐标可知，再根据代入计算即可； （3）依据题意，可分为当点在线段上时、点在的延长线上和点在的反向延长线上三种情况，分别进行讨论即可得解． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）如图，作轴于点， 由（1）可得，，， ， ， ． （3）由题意，①如图，当点在线段上时， ， ， ， 边上的高是边上的高的3倍， ， 的纵坐标为2， ， ， ， 边上的高是边上的高的， ， 的横坐标为2， ； ②如图，当点在的延长线上时， ， 是线段的中点， 设， ，， ，， ，， ； ③当点在的反向延长线上时， 不成立，不合题意； 综上所述，或． 2．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)；或 【知识点】坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据非负数的性质得，据此可得出，的长； （2）过点C作轴于E，则，进而得，然后根据可得出答案； （3）连接，过点D作于M，于N，根据点D在线段AB上，且，可得，从而可求出，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且，可分为两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：过点C作轴于E，如图1所示： ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． （3）解：连接，过点D作于M，于N，如图2所示： ∵点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵点Q在x轴上且， ∴有以下两种情况： 设， ①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作轴于P，如图3所示： ∵点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴点Q的坐标为； ①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作轴于P，如图4所示： ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上所述：点Q的坐标为或． 题型三 平面直角坐标系中的新定义型问题 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）点是平面直角坐标系中的一点，若点Q的坐标为（其中k为常数且），则称点Q为点P的“k拓点”，例如：点的“2拓点”Q为，即点Q为． (1)求点的“3拓点”Q的坐标； (2)若点的“4拓点”Q的坐标是，求的值． 【答案】(1)点Q的坐标为 (2) 【知识点】新定义下的实数运算、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查点的坐标，根据题目中的新定义正确列出式子是解题的关键． （1）根据题目中的新定义，求出横坐标和纵坐标即可； （2）根据新定义列出式子，求出的值，即可求出． 【详解】（1）解：由定义可知： ∴点Q的坐标为 （2） 解得 ∴ 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆·期末）在学习了“数形结合”讨论问题后，某校数学兴趣小组开展“你命我解”互助学习活动．其中有一组的同学给出了这样一个问题：在平面直角坐标系中，点中x，y的值若满足，则称点Q为“直线点”，请你来解答这位同学提出的问题： (1)判断点是否为“直线点”，并说明理由； (2)若点是“直线点”，请通过计算判断点M在第几象限？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)点M在第一象限 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、新定义下的实数运算 【分析】（1）由，可得，，解得，，，由，满足，进而可知点是“直线点”； （2）由是“直线点”，可知，，解得，，，由，可得，解得，，即，然后判断点M所在的象限即可． 【详解】（1）解：点是“直线点”，理由如下： ∵， ∴，， 解得，，， ∵， ∴点是“直线点”； （2）解：∵是“直线点”， ∴，， 解得，，， ∵， ∴， 解得，， ∴，即点M在第一象限． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，点坐标，一元一次方程的应用．解题的关键在于理解题意． 2．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知是平面直角坐标系中的一点，若，是关于，的二元一次方程组的解，则称为该方程组的“梦想点”例如：是二元一次方程组，的“梦想点”根据以上定义，回答下列问题： (1)求关于，的二元一次方程组的“梦想点”． (2)若关于，的方程组与的“梦想点”相同，求，的值． 【答案】(1) (2)的值为，的值为 【知识点】加减消元法、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）解方程组，可得出关于，的二元一次方程组的解为，进而可得出关于，的二元一次方程组的“梦想点”为； （2）解方程组，可得出关于，的方程组的解为，进而可得出关于，的方程组的“梦想点”为，再将代入中，解之即可求出，的值． 【详解】（1）解：， 得：， 将代入得：， 解得：， 关于，的二元一次方程组的解为， 关于，的二元一次方程组的“梦想点”为； （2）， 得：， 将代入得：， 解得：， 关于，的方程组的解为， 关于，的方程组的“梦想点”为． 将代入得：， 解得：， 的值为，的值为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组以及点的坐标，熟练掌握用加减法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键． 题型四 平面直角坐标系中点的规律探究问题 例题：（23-24七年级下·云南大理·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点坐标规律探索，根据蚂蚁的运动规律找出“蚂蚁每运动12个单位长度是一圈”是解题的关键．先求出的长，再用2024除以上述长度，利用余数来确定蚂蚁的位置. 【详解】解：点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， ， 则，余数为8， 故可判断蚂蚁爬了168个循环后，停在了点， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·北京·期末）如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．根据题意得： ，，，，……，由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ，，，，……， 由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律为， ∵， ∴点的坐标为． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【答案】(1)2，0，4，0 (2)，0 (3) 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律求解，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）由图即可求解； （2）根据点的坐标规律可知，即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可直接写出，， 故答案为2，0，4，0． （2）解：根据点的坐标规律可知，， 故答案为，0． （3）解：∵， ∴． 题型五 平面直角坐标系中的综合变换问题 例题：（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，长方形的边在轴上，边在轴上，，，在边上取一点，使沿折叠后，点落在轴上，记作点． (1)请直接写出点A的坐标______，点C的坐标______和点B的坐标______； (2)求点D的坐标； (3)求点E关于y轴的对称点的坐标． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【知识点】坐标与图形、勾股定理与折叠问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化对称，解决本题的关键是掌握折叠的性质． （1）根据矩形的性质即可解决问题； （2）根据折叠的性质和勾股定理即可得的长，进而可得点的坐标； （3）根据折叠的性质和勾股定理即可得的长，可得点的坐标，进而求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标、点的坐标和点的坐标； 故答案为：；；； （2）解：由折叠可知：， 在中，根据勾股定理，得 ， ∴点的坐标； （3）解：在中，，， 根据勾股定理，得 ， ， 解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点E关于y轴的对称点的坐标为． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·天津河西·期末）在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，其中，其中． (1)当时， ①在图中描出A，B，C，D，再连接，，，，； ②直接写出线段的长度__________；的长度__________； ③求出四边形的面积； (2)若有点，且，使得四边形的面积是四边形面积的，求点M的坐标． 【答案】(1)①见详解  ②，4． ③ (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标系中描点、两点间的距离、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）①根据点的坐标，描点，连线即可． ②根据两点之间的距离公式即可求解． ③设与相交于点E，根据点B与点D的坐标可知，点B与点D关于对称，从而可得出，根据代入求解即可． （2）由题意可得出四边形的面积为，又四边形的面积为，根据四边形的面积是四边形面积的为等量关系，列出关与t的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：①当时， 则 ， ∴按照题意画图如下： ②，， 故答案为：，4． ③设与相交于点E， 根据点B与点D的坐标可知，点B与点D关于对称， ∴， ∴ （2）∵四边形的面积为的面积加上的面积， 即 又四边形的面积为， ∴由题意得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了基本作图，两点之间的距离，以及轴对称的性质，一元一次方程的应用等知识，画图图形是解题的关键． 2．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图1，在四边形中，，点是边上一点，，，连接，，可知，此时是等腰直角三角形； (1)【问题提出】如图2，在长方形中，点是边上一点，在边、上分别作出点，使得点是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，；要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； (2)【问题探究】如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是等腰直角三角形，直接写出点的坐标； (3)【问题解决】如图4，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的点，点在第一象限内，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点是轴上的一动点，求的最小值．[注：在平面直角坐标系内，，，则]． 【答案】(1)见解析 (2)综上所述，点的坐标为或或； (3)最小值为． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）本题以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、、，，由图1的题干同理可知等腰直角三角形即为所求． （2）本题根据是等腰直角三角形，分以下三种情况讨论，①，，②，，③，，根据以上三种情况作辅助线构造三角形全等，利用全等的性质得出线段长度，即可得到点的坐标． （3）本题作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，交轴于点，连接，利用得到点的坐标，推出点的坐标，根据两点之间，线段最短，得到的最小值为，再根据勾股定理两点间距离公式，即可解题． 【详解】（1）解：所作等腰直角三角形如图所示： （2）解：是等腰直角三角形， 分以下三种情况， ①，， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 点，点， ，，， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， 点的坐标为； ②，， 过点作于点，过点作轴于点，如图所示： 点，点， ，，， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， 点的坐标为； ③，， 过点作轴于点，过点作轴于点，作于点，如图所示： 点，点， ，，， ， ，， ， ，， ， ，， 由作图知，四边形为矩形， ，， ， 即，解得，则，， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）解：作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，交轴于点，连接，如图所示： 点，点是轴上的点， ，， 由题知轴于点， 由（2）同理可证，， ，， ， 的坐标为， 的坐标为， 由对称的性质可知， 要最小，即最小， 当、、三点在同一直线上时，最小，且， ， 最小值为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形、矩形的性质和判定、轴对称求最小值、勾股定理求两点间距离、解题的关键在于作辅助线构造全等． 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽·期末）在平面直角坐标系中，若点在第二、四象限的角平分线上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知点所在的象限求参数 【分析】此题考查了坐标系中点的规律，由题意可得点的横坐标和纵坐标互为相反数，则，解方程即可得到答案. 【详解】解：∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴点的横坐标和纵坐标互为相反数， ∴ 解得， 故选：A 2．（22-23八年级上·山东济南·期末）已知点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，根据直线轴得出点的纵坐标为，再结合，分两种情况点在点的左边时，点在点的右边时，分别求解即可得解． 【详解】解：∵直线轴，点A的坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴点在点的左边时，横坐标为，点在点的右边时，横坐标为， ∴点B的坐标为或， 故选：C． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知第一象限内有一点，点P关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，按此规律继续重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了点的坐标规律探索、点的坐标—轴对称，得出每个点一循环即可得解． 【详解】解：∵第一象限内有一点，点P关于轴的对称点为， ∴， ∵关于轴的对称点为， ∴， ∵关于轴的对称点为， ∴， ∵关于轴的对称点为， ∴， ∵关于轴的对称点为， ∴， ……， 由此可得，每个点一循环， ∵， ∴点的坐标为， 故选：B． 二、填空题 4．（24-25八年级上·河北沧州·期末）点关于直线对称的点的坐标是 ；关于直线对称的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中，点关于直线对称的性质，进行解答，即可． 【详解】解：如图所示： 关于直线对称的点的坐标，关于直线对称的坐标． 故答案为：；． 5．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，等边三角形中，，点D是上一点，且．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段上一动点．当的值最小时，点F的横坐标为 ．（用含a的式子表示） 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称最短路径以及含的直角三角形的性质，根据题意得出的值最小时的情况是解本题的关键．作点D关于轴的对称点M，过点作，过点作，如图，此时的值最小，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：作点D关于轴的对称点M，过点作，过点作，如图，此时的值最小， 等边三角形中，，点D是上一点，且． ，， 点D关于轴的对称点是M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点F的横坐标为， 故答案为： 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、用勾股定理解三角形 【分析】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，勾股定理，通过计算发现规律，然后根据规律求解． 【详解】解：由已知，点M每次旋转转动，则转动一周需转动8次， ∵， ∴点的在第一象限的角平分线上， ∵是等腰直角三角形， ∴， 同理可求：，，…， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求点的坐标； (2)点的坐标为，直线轴，求点的坐标； (3)若点到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了求点的坐标以及已知点所在的象限求参数、坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据在x轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算，即可作答； （2）根据直线轴，得出点和点的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答； （3）根据点到x轴、y轴的距离相等，得出点的纵坐标和横坐标互为相反数或相等，求出点坐标即可． 【详解】（1）解： 在轴上， ， ， ， 点的坐标为； （2）解：，点的坐标为，直线轴， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：到轴、轴的距离相等， ， 或， 解得或， 当时，，，则 当时，，，则 综上所述，点的坐标为或． 8．（24-25八年级上·全国·期末）我们约定：若点的坐标为，则把坐标为的点称为点的“阶益点”（其中为正整数），例如，即就是点的“阶益点”． (1)已知点是点的“阶益点”，求点的坐标； (2)已知点是点的“阶益点”，将点先向右移动个单位，再向下移动个单位得到点，若点落在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）依据题意构建方程组求解即可； （2）依据题意构建不等式组解决问题即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：， 点的坐标为； （2）解：由题意可得： ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，坐标与图形变化——平移，已知点所在的象限求参数，解一元一次不等式组等知识点，理解题意，学会构建方程组或不等式组解决问题是解题的关键． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点时停止）． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动4秒时，连接，，求出点P的坐标，写出，，之间满足的数量关系并给予证明 (3)在运动过程中，是否存在点P，使得的面积是9？若存在，求出点P运动的时间：若不存在，请说明理由 【答案】(1)，， (2)点的坐标是， (3)或或或 【知识点】绝对值非负性、写出直角坐标系中点的坐标、根据平行线的性质探究角的关系、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了平行线的性质、绝对值与二次根式的非负性、坐标与图形的性质，解题的关键是掌握非负数的性质，坐标与图形的性质． （1）根据非负数的性质求得，的值，再结合图形即可写出坐标； （2）当运动4秒时，求出，即可得到，在根据平行线的性质可得； （3）分四种情况，当时，即点在上时，当时，即点在上时，当时，即点在上时，当时，即点在上时，根据面积建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ，， ，， 根据平面直角坐标系得：，，； （2）解：如图，当运动4秒时，点运动了8个单位长度， ， 点运动4秒时，点在线段上，且， 点的坐标是， ，证明如下： 过点作的平行线，交于点，则， ∴， ， ． （3）解：存在，理由如下： 设点的运动时间为， 当时，即点在上时，， 则，解得：； 当时，即点在上时，， 则，解得：； 当时，即点在上时，， 则，解得：； 当时，即点在上时，， 则，解得：； 综上，当点的运动时间为或或或时，使得的面积为9． 10．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，满足：． (1)求m和n的值； (2)如图，点是A点左侧的轴上一动点，连接，以为直角边作等腰直角，连接、，交于点． ①若，求点E的坐标； ②求证：． 【答案】(1)，； (2)①，②证明见解析 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求解即可； （2）①过点作轴于点，首先根据同角的余角相等得到，然后证明，结合全等三角形的性质与，，即可求解； ②由，进而得到为等腰直角三角形，即可求解；． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴，； （2）解：①如图，过点作轴于点．则． ∵． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①得：． ∴，，． 而． ∴． ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质、算术平方根的非负性的应用，等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 11．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点D，使得，连接、，平分． (1)A点的坐标为 ；的度数为 ． (2)如图1，若点C在第四象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由． (3)如图2，连接，平分，若点C的坐标为，连接交于点E，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，； (3)①；②． 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、等边对等角、根据三线合一证明、坐标与图形综合 【分析】（1）将已知式子化为，可得，再求解即可；（2）设与轴的交点为，与轴的交点为，证明，可得，，再求，可得；（3）①由（2）可知，，过点作轴交轴于，证明，即可求出；②延长交于点，证明，再证明，即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2）解：设与轴的交点为，与轴的交点为， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①由（2）可知，，过点作轴交轴于， ，， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ； ②延长交于点， ， ， ，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，二次根式有意义的条件，数形结合是解题的关键． 12．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且x，y满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点C的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)6 (2)或 (3)①证明见解析②的大小不变，总为，理由见解析 【知识点】绝对值非负性、全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、坐标与图形综合 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解． （2）分类讨论：当点C在上方时和当点C在下方时，利用全等三角形的判定及性质即可求解． （3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，． ，， 的面积． （2）当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ； 当点C在下方时； 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：   ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ，即：， 解得：， ， ， 综上所述：点的坐标为：或． （3）①延长，，它们相交于点，如图：   等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图：   ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、矩形的判定及性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 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