专题08 求解二次函数的表达式和二次函数与一元二次方程-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（苏科版）

专题08 求解二次函数的解析式和二次函数与一元二次方程 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 利用顶点式求二次函数的解析式 1 题型二 利用一般式求二次函数的解析式 2 题型三 利用交点式求二次函数的解析式 4 题型四 求抛物线与坐标轴的交点坐标 6 题型五 已知二次函数的函数值求自变量的值 7 题型六 图象法确定一元二次方程的近似根 8 题型七 图象法解一元二次不等式 10 题型八 根据交点确定不等式的解集 12 ☛第二层 能力提升练 题型一 利用顶点式求二次函数的解析式 ⭐技巧积累与运用 顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k） 例题：（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，则二次函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于，则抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则此二次函数的解析式为 ． 题型二 利用一般式求二次函数的解析式 ⭐技巧积累与运用 一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c） 例题：（24-25九年级上·重庆·期中）若二次函数的与的部分对应值如右表，则当时，的值为（   ） … … … 0 3 4 3 … A． B． C．0 D．3 巩固训练 1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数，当时，；当时，，则该二次函数的表达式为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）经过，，三点的抛物线的解析式是： ． 题型三 利用交点式求二次函数的解析式 ⭐技巧积累与运用 交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0） 例题：（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东淄博·开学考试）二次函数的图象如图所示，则其解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东东营·期中）二次函数的图象如图所示，与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，对称轴为，则其解析式为 ． 题型四 求抛物线与坐标轴的交点坐标 ⭐技巧积累与运用 与X轴的交点令y=0求解，与Y轴的交点令x=0求解 例题：（24-25九年级下·全国·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y交于C点，则的面积为（   ） A．6 B．3 C． D．5 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）二次函数的图象与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得到的新抛物线与y轴的交点坐标为 ． 题型五 已知二次函数的函数值求自变量的值 ⭐技巧积累与运用 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 例题：（24-25九年级上·云南红河·期中）点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 2．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）已知在二次函数的图象上，比较 ．（填或） 题型六 图象法确定一元二次方程的近似根 ⭐技巧积累与运用 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 例题：（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是(   ) A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，点，，在二次函数的图象上，则方程的一个近似值可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）下列表格是小江对方程的一个解进行近似计算所列的表格，若小江要进一步精确估算，则他要选择的范围是 之间． 0 0.5 1 1.5 2 10 5.625 1.75 题型七 图象法解一元二次不等式 ⭐技巧积累与运用 图象在X轴的上方的，直线与抛物线的比较，谁大谁的图象在上方 例题：（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为 ． 题型八 根据交点确定不等式的解集 ⭐技巧积累与运用 例题：（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，那么当时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点，则的解集是 ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）二次函数的图象与坐标轴的交点个数（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）如图是二次函数图像的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线（，，是常数且）的部分图象与轴交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如果一条抛物线的形状和开口方向与相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·四川自贡·期中）如图，抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为 ． 8．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）二次函数（a、b、c为常数，）的部分图象如图所示，对称轴为，可知关于x的方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则n的值为 ． x 0 1 3 4 y 7 n 2 10．（24-25九年级上·全国·期末）已知二次函数的部分图象如图所示．若，则的取值范围是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，交y轴于点，且矩形面积为8． (1)求此抛物线的解析式； (2)求当时，y的取值范围； (3)直接写出当时，x的取值范围． 12．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，抛物线与直线交于点和点B． (1)求b和m的值及点B的坐标； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 13．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知二次函数（m为常数，）． (1)抛物线经过点时，求该函数的关系式； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标． 14．（24-25九年级上·广东惠州·期中）【课本再现】 例1 在同一直角坐标系中，画出函数，的图象． 例2 分别列表，再画出它们的图象（图1）． 0 1 2 3 4 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 0 0.5 1 1.5 2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 （1）如图2是二次函数的图像，在图中画出一次函数的图像，并求出二次函数与一次函数的交点； （2）利用图像直接写出当时，自变量的取值范围． 【拓展应用】 秦明同学在解题中发现，两个函数的交点情况与一元二次方程的解的情况有密切的联系．既而深入思考“将一次函数的图像向下平移多少个单位长度能与二次函数的图像有且只有一个交点”，请你帮他解决这个问题． 15．（24-25九年级上·上海·阶段练习）将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移m（）个单位，所得新抛物线经过点，求： (1)新抛物线的表达式． (2)新抛物线与坐标轴交点的坐标． 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利用一般式求二次函数的解析式 ⭐技巧积累与运用 一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c） 例题：（24-25九年级上·重庆·期中）若二次函数的与的部分对应值如右表，则当时，的值为（   ） … … … 0 3 4 3 … A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再代入计算即可得解． 【详解】解：将，，代入二次函数得， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数，当时，；当时，，则该二次函数的表达式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式解题的关键． 将当时，；当时，，代入求解即可； 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∴抛物线解析式为． 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）经过，，三点的抛物线的解析式是： ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，设二次函数的一般式，把三点坐标代入可解得答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， ∵抛物线经过，，三点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 故答案为：． 题型三 利用交点式求二次函数的解析式 ⭐技巧积累与运用 交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0） 例题：（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求解抛物线的解析式，由题意设抛物线为，结合抛物线与x轴相交于点，，可得答案． 【详解】解：∵抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴设这样的抛物线为， ∵抛物线与x轴相交于点，， ∴，， ∴抛物线为； 故选：A 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东淄博·开学考试）二次函数的图象如图所示，则其解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数解析式．设交点式，然后把代入求出a即可． 【详解】由图象可得抛物线过、、三点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为， 故选：A． 2．（23-24九年级上·山东东营·期中）二次函数的图象如图所示，与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，对称轴为，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．根据抛物线的对称性求得与x轴另一个交点坐标，然后利用待定系数法即可求得． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交点坐标为，对称轴为， ∴与x轴另一个交点坐标为， 设二次函数的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， ∴其解析式为， 故答案为：． 题型四 求抛物线与坐标轴的交点坐标 ⭐技巧积累与运用 与X轴的交点令y=0求解，与Y轴的交点令x=0求解 例题：（24-25九年级下·全国·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y交于C点，则的面积为（   ） A．6 B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与轴的交点坐标，二次函数与轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别令，，代入，得，，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点， ∴令时，则， 得 ∴， ∴， 令时，， ∴． ∴， ∴． 故选：B． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）二次函数的图象与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键． 根据轴上点的坐标特征，把代入解析式，计算出对应的函数值即可得到交点坐标． 【详解】解：把代入解析式得， 解得， ∴二次函数的图象与轴交点坐标为， 故选： C． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得到的新抛物线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数与y轴的交点，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 根据“左加右减、上加下减”的原则得到新抛物线析式为，然后根据将代入求解即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后， 所得抛物线析式为：， 当时， ∴所得到的新抛物线与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 题型五 已知二次函数的函数值求自变量的值 ⭐技巧积累与运用 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 例题：（24-25九年级上·云南红河·期中）点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的函数值比大小．正确计算各函数值是解题的关键． 分别计算的值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：C． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：令，得到， 即， 解得：或6． 故选：B 2．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）已知在二次函数的图象上，比较 ．（填或） 【答案】 【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小．正确计算函数值是解题的关键． 将点坐标代入可求对应的函数值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 故答案为：． 题型六 图象法确定一元二次方程的近似根 ⭐技巧积累与运用 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 例题：（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 故选：C． 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，点，，在二次函数的图象上，则方程的一个近似值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关．根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， ∴当时，，时，， ∴当时，， ∴只有选项D符合， 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）下列表格是小江对方程的一个解进行近似计算所列的表格，若小江要进一步精确估算，则他要选择的范围是 之间． 0 0.5 1 1.5 2 10 5.625 1.75 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据表格数据可得答案． 【详解】解：由表格得：当时，， 当时，， 的近似根是，即他要选择的范围是之间． 故答案为：． 题型七 图象法解一元二次不等式 ⭐技巧积累与运用 图象在X轴的上方的，直线与抛物线的比较，谁大谁的图象在上方 例题：（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，或， 故选：B． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方，进而得到的的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：， ， 由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 的的取值范围为， 故答案为：． 题型八 根据交点确定不等式的解集 ⭐技巧积累与运用 例题：（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数和一次函数的图象和性质等知识点，根据两函数的图象和A、B的坐标得出即可． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点A、B的坐标分别为，， ∴当时，x的取值范围是或， 故选：C． 巩固训练 1．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，那么当时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图象法求不等式的解集，结合函数图象找到一次函数图像在二次函数图象上方自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点，则的解集是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，待定系数法求函数解析式．先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得和， 解得和， ∴一次函数和二次函数的解析式分别为和， 联立得，解得或， 当时，， ∴， 观察图象可得，当时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）二次函数的图象与坐标轴的交点个数（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，分别求出二次函数与轴和轴的交点个数即可得解． 【详解】解：当时，，故二次函数与轴的交点为， 当时，，此时，故二次函数与轴有两个交点， 综上所述，二次函数的图象与坐标轴的交点个数为个， 故选：D． 2．（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）如图是二次函数图像的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像与性质，抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点问题等．根据抛物线的开口方向、对称轴和与坐标轴的交点可得出，，，即可判断A选项；根据抛物线的对称轴可得出，即可判断B选项；根据抛物线与坐标轴的交点和一元二次方程根的判别式，可得，即可判断C选项；根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的交点坐标，即可判断D选项． 【详解】解：∵抛物线的开口向上 ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， 即， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， 故；A选项正确，不符合题意． ∵， 故，B选项正确，不符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， 故方程有两个不相等的实数根， 即，故C选项错误，符合题意； ∵抛物线的对称轴是直线，且过点， 故抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，D选项正确，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线（，，是常数且）的部分图象与轴交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点与一元二次方程的关系，掌握抛物线与轴的交点是对应一元二次方程的解是关键．根据抛物线与轴的两个交点到对称轴的距离相等，则可得另一个交点的坐标，关于的方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是，图象与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 方程的解为， 故选：C． 4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如果一条抛物线的形状和开口方向与相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，设抛物线的顶点式为，再由顶点坐标是，确定解析式即可． 【详解】解：一条抛物线的形状和开口方向与相同， ， 顶点坐标是， ∴它的解析式为， 故C满足条件， 故选：C． 5．（24-25九年级上·四川自贡·期中）如图，抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，由图可得，当或时，一次函数的图象在二次函数图象上方，据此即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由图可得，当或时，一次函数的图象在二次函数图象上方， 即， ∴不等式的解集是或， 故选：． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据、两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可． 【详解】解：抛物线与直线相交于点，， 关于x的方程的解为，， 故答案为：，． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，根据对称轴求得的值，解方程，即可求解． 【详解】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，即， 解得：， ∴, ∴， ∴, 故答案为：． 8．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）二次函数（a、b、c为常数，）的部分图象如图所示，对称轴为，可知关于x的方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二次函数图像确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键． 由关于x的方程的一个根为，可得抛物线与x轴的一个交点为，由二次函数对称轴为直线，可得抛物线与x轴的另一个交点为，从而可得出方程的另一个根． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根为， ∴抛物线与x轴的一个交点为， ∵对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的另一个根为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则n的值为 ． x 0 1 3 4 y 7 n 2 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求出二次函数的解析式的方法是解题的关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解． 【详解】解：把点代入中，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·全国·期末）已知二次函数的部分图象如图所示．若，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，对称轴与交点坐标的关系，利用数形结合的思想，正确求得抛物线与轴的另一个交点的坐标是解题的关键． 根据抛物线的对称轴为，一个交点为，可推出另一交点为，结合图象求出时，的范围． 【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为，一个交点为， 根据对称性，则另一交点为， 所以，的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，交y轴于点，且矩形面积为8． (1)求此抛物线的解析式； (2)求当时，y的取值范围； (3)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)时，或 【分析】（1），由矩形面积及长度，求出点F坐标，根据顶点设抛物线顶点式，然后将点F坐标代入解析式求解； （2），抛物线开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远的点，y值越大； （3），先求出时一元二次方程的解，然后根据抛物线开口方向求解． 【详解】（1）解：∵为抛物线顶点， ∴抛物线对称轴为y轴. ∵点C，F在抛物线上， ∴. ∵矩形面积为， ∴， ∴， ∴点F坐标为. 设抛物线解析式为， 把代入解析式得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y取最小值为1. ∵， ∴时y取最大值. 把代入， 得． ∴； （3）解：把代入， 得， 解得或， ∴时，或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数关系式，矩形的性质，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程，灵活选择二次函数的关系式是解题的关键． 12．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，抛物线与直线交于点和点B． (1)求b和m的值及点B的坐标； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】对于（1），将点代入，可得b，再将点代入，可得m，然后将两个函数关系式联立得到方程组，求出解即可； 对于（2），根据交点坐标，观察图象，再根据抛物线在直线上方求出自变量取值范围即为不等式的解集． 【详解】（1）∵点代在二次函数的图象上， ∴， 解得； ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴二次函数的关系式为，一次函数的关系式为. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得或， ∴点； （2）当或时，． 【点睛】本题主要考查了求出二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数与一次函数的交点问题，会根据图象求不等式的解集是解题的关键． 13．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知二次函数（m为常数，）． (1)抛物线经过点时，求该函数的关系式； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标． 【答案】(1) (2)定点坐标为， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识点， （1）利用待定系数法求解即可； （2）把化为，即可求出定点坐标； 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入， 得， 解得， ∴该二次函数关系式为：； （2）解：∵， ∴当时，抛物线过定点， ∴， ∴当时，，当 时，， ∴所有定点的坐标为． 14．（24-25九年级上·广东惠州·期中）【课本再现】 例1 在同一直角坐标系中，画出函数，的图象． 例2 分别列表，再画出它们的图象（图1）． 0 1 2 3 4 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 0 0.5 1 1.5 2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 （1）如图2是二次函数的图像，在图中画出一次函数的图像，并求出二次函数与一次函数的交点； （2）利用图像直接写出当时，自变量的取值范围． 【拓展应用】 秦明同学在解题中发现，两个函数的交点情况与一元二次方程的解的情况有密切的联系．既而深入思考“将一次函数的图像向下平移多少个单位长度能与二次函数的图像有且只有一个交点”，请你帮他解决这个问题． 【答案】（1）图见解析，和；（2）；［拓展应用］将一次函数的图像向下平移个单位长度能与二次函数的图像有且只有一个交点 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合： ［课本再现］（1）令，算出对应的；再令，算出对应的的值；根据两点确定一条直线，建立与的方程组，解出的值，即可作答． （2）结合（1）的图，以及两个函数的交点坐标，即可作答． ［拓展应用］设将一次函数的图像向下平移个单位长度能与二次函数的图像有且只有一个交点，建立方程，结合判别式的情况，即可作答． 【详解】解：（1）如图所示： 联立，解得或． 二次函数与一次函数的交点为和， （2）由函数图象可得： 当时，即； ［拓展应用］设将一次函数的图像向下平移个单位长度，得，联立， 则． 能与二次函数的图像有且只有一个交点， ， 解得， 将一次函数的图像向下平移个单位长度能与二次函数的图像有且只有一个交点， 15．（24-25九年级上·上海·阶段练习）将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移m（）个单位，所得新抛物线经过点，求： (1)新抛物线的表达式． (2)新抛物线与坐标轴交点的坐标． 【答案】(1) (2)与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为或 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的平移的规律是解题的关键． （1）设平移后新抛物线的表达式为，把点代入，即可确定函数关系式， （2）将和代入函数关系式求解，即可． 【详解】（1）解：设平移后新抛物线的表达式为， ∵新抛物线经过点， ， 解得：， ， ， ∴新抛物线的表达式为； （2）解：将代入得：， ∴与轴的交点坐标为． 将代入得：或， ∴与轴的交点坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$