专题07 二次函数的图象与性质-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（苏科版）

专题07 二次函数的图象与性质 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 目录 题型一 二次函数的概念辨析 1 题型二 根据二次函数的解析式判断其性质 2 题型三 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 3 题型四 二次函数的平移变换问题 4 题型五 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 6 题型六 根据二次函数的性质求最值 7 题型七 二次函数的图象与各项系数符合问题 9 ☛第二层 能力提升练 题型一 二次函数的概念辨析 ⭐技巧积累与运用 二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 例题：（24-25九年级下·全国·阶段练习）下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据形如(为常数，）的函数是二次函数，判断即可． 【详解】解：A、自变量的次数最高是3次，不是关于的二次函数，故本选项不符合题意； B、，分母中含有自变量，不是关于的二次函数，故本选项不符合题意； C、，是关于的二次函数，故本选项符合题意； D、，当时不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 巩固训练 1．（2025九年级下·全国·专题练习）若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握解二次函数的定义是解题关键．由二次函数的定义列出关于的一元二次方程和不等式，解方程与不等式即可． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解得：， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东阳江·期中）若函数是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义二次项系数不为，最高次数为，列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且 解得： 故答案为：． 题型二 根据二次函数的解析式判断其性质 ⭐技巧积累与运用 1. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 2. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它de 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点； 例题：（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．与y轴的交点是 D．函数的最大值是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的相关性质逐项判断即可． 【详解】解：在二次函数中，函数的对称轴为直线，顶点坐标为，故选项A、B错误，不符合题意； 当时，，即函数图象与y轴的交点坐标为，故选项C错误，不符合题意； ∵， ∴函数有最大值，故选项D正确，符合题意， 故选：D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知抛物线经过、两点，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据解析式可得对称轴为直线，，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可求解． 【详解】解：∵，对称轴为直线，， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵、在抛物线上，且， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的解析式即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 题型三 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 ⭐技巧积累与运用 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 例题：（24-25九年级上·陕西渭南·期中）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的对称轴．根据二次函数一般式的对称轴公式：直线计算即可． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线， 故选：A． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴下方，以下结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴下方， ∴抛物线开口向下，，抛物线与轴有两个交点，， ∴，， ∴选项正确，选项错误， 故选：． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知抛物线（）的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．由于二次函数的图像的开口向上，对称轴为直线，然后根据点和点离对称轴的远近可判断与的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的图像的对称轴为直线， 又∵， ∴该函数图像的开口向上， ∵，， ∴点离对称轴的距离比点要远， ∴． 故答案为：． 题型四 二次函数的平移变换问题 ⭐技巧积累与运用 二次函数的平移 （1） 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2） 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 例题：（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）抛物线向左平移5个单位，再向下平移3个单位后，所得的抛物线表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变换规律，熟练掌握二次函数图象平移变换规律是解题的关键．根据左加右减，上加下减的平移变换规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式为， 故选：C． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·期末）抛物线 经过平移后得到抛物线，其平移方法是（   ） A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B．向右平移4个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移2个单位 D．向左平移4个单位，再向上平移2个单位 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，先分别算出两个函数的顶点，根据顶点的变化即可得到平移规律； 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 平移后抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为：向左平移4个单位，再向上平移2个单位． 选：D． 2．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得图象的解析式的一般式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，首先把把二次函数的解析式化为顶点坐标式，可知二次函数图象的顶点坐标为，根据平移的方向和距离可知平移后的顶点坐标为，写出平移后二次函数的顶点坐标式解析式，把平移后二次函数的顶点坐标式解析式化为一般式即可． 【详解】解：把二次函数的解析式化为顶点坐标式， 可得：， 二次函数的顶点坐标为， 把图象先向左平移个单位长度，再向上平移单位长度后的顶点坐标为， 平移后二次函数的解析式为， 把化为一般式可得： 故答案为： ． 题型五 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 ⭐技巧积累与运用 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x=﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=． 例题：（24-25九年级上·江苏南通·期中）若二次函数在时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 当时，的值随值的增大而减小， 而时，的值随值的增大而减小， ， 故选A． 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江·期末）点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线，若，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解． 根据，可确定出对称轴的取值范围． 【详解】解：∵， ， 解得：， ， ， ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，得到，即可得出结果． 【详解】解：当时，即：，此时，不符合题意； 当时，则：为二次函数，对称轴为轴， ∵当时，函数值y随着自变量x的增大而减小， ∴抛物线的开口向下， ∴， ∴； 故答案为：． 题型六 根据二次函数的性质求最值 ⭐技巧积累与运用 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 例题：（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）二次函数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，函数最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质得出，当时，函数取得最小值为2． 【详解】解：根据题意得，当时，函数取得最小值为， 故选：A ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．1 B．1或 C．2或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握对称轴，顶点坐标中最值的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，，可得对称轴在轴左边，即，由此得到二次函数图象的大致图形，当时，，当时，函数的最小值为，由此求出的值，即可求解． 【详解】解：已知二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，， ∴对称轴在轴左边，即， ∴， 如图所示， ∴当时，， ∴当时，函数的最小值为， 解得，， 又∵， ∴， ∴， 故选：D ． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键． 设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：当，则， 解得：， 设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， ∵， 当时，C有最大值8． 故答案为：8． 题型七 二次函数的图象与各项系数符合问题 ⭐技巧积累与运用 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交 例题：（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解∶A、由抛物线可知，，，，则，由直线可知， ，，故本选项不合题意； B、由抛物线可知， ，， ，则，由直线可知， ，，故本选项符合题意； C由抛物线可知，， ，，则，由直线可知，，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，， ，，则，由直线可知， ，，故本选项不合题意． 故选∶B． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①；②；③；④（是任意实数）．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可分别求出a、b、c的符号，可判断①；当时，，可判断②；当时，，再根据对称轴即可判断③；根据二次函数的最值问题可知时，y有最大值，则（是任意实数），变形得可判断④. 本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线的开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定. 【详解】解：由图象可知开口方向向下，抛物线与y轴的交点在正半轴 ∴，. 对称轴，且在时，有最大值，且为． ∴， ∴， ∴，故①错误； 由图象可知，当时. 如图所示： 即.故②正确； ∵，且当时，， 即，故③正确； ∵当时，的值最大，此时；且当，， ∴（是任意实数）． 即. 故④错误． 故选：B. 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论中， ①；②；③；④，正确的有 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口方向以及与轴的交点可知， ，根据对称轴为直线得出，即可判断①；由对称轴为直线得出，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由时，，得出，由得出即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线（，，为常数）关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵时，，对称轴为直线， ∴时，， ∴，故③错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴，即，故④错误； 故答案为：①②． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东珠海·阶段练习）已知点，，在抛物线上．当，，时，，，三者之间的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键． 由抛物线解析式可知，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，且离对称轴距离越远，值越大， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·贵州毕节·阶段练习）若二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（    ） x y 3 5 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据表格找到函数值相同的两个自变量的值，确定出对称轴，再根据对称性进行判断即可．本题考查利用抛物线的对称性求函数值，解题的关键是根据表格中的数据确定抛物线的对称轴． 【详解】解：由表格可知：和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为， 则关于对称轴直线所对称的是， ∴和的函数值相同，即为； 故选C． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列选项是对二次函数的描述，其中正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可． 【详解】解：由二次函数，可知： A：∵，其图象的开口向上，故此选项错误； B．∵其图象的对称轴为直线，故此选项错误； C．其最小值为1，故此选项正确； D．抛物线开口向上，对称轴为直线，则当时，随的增大而减小，故此选项错误． 故选：C． 4．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）下列函数是二次函数的是（   ） A． B．（，，是常数） C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，故该选项不符合题意； B．，当时是二次函数，故该选项不符合题意； C．是二次函数，故该选项符合题意； D．是一次函数，故该选项不符合题意． 故选：C． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④的解集为．其中结论正确的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各项系数符号等知识点，熟练掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是解决此题的关键．根据抛物线的开口方向判断①，把代入，即可判定②，结合对称轴，即可判定③，根据抛物线对称轴为直线，开口向下，得出函数的增减性综合进行判断④即可作答． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，①符合题意； ∵抛物线过， ∴当时，，②符合题意； ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，③符合题意； 依题意，把代入，得出， ∵抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，但时，y随x的增大而减小，且关于对称轴直线所对称的， 则的解集为或． 故④不符合题意； 综上所述，正确的结论有：①②③， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）将二次函数的图象向左平移3个单位，得到的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的平移，掌握二次函数的图象的平移规律是解题的关键．按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题即可． 【详解】二次函数的图象向左平移3个单位， 得到的抛物线的表达式为． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，旋转的性质，掌握二次函数图像的顶点式，旋转的性质是解题的关键． 根据题意，可得抛物线中，图像开口向上，顶点坐标为，由点的旋转可得图像开口向下，顶点坐标为，由此即可求解． 【详解】解：抛物线中， ∵， ∴图像开口向上，顶点坐标为， ∵将抛物线绕原点旋转， ∴图像开口向下，顶点坐标为， ∴旋转后的抛物线解析式为：， 故答案为： ． 8．（2025九年级下·贵州广西·专题练习）若是二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如是常数，）的函数，叫做二次函数；根据二次函数的定义分析即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（内蒙古鄂尔多斯市三校联考2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷）已知，，三点都在二次函数的图象上，那么，，的大小关系是 （用小于号连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握利用点与对称轴远近比较函数值大小的方法是解题的关键． 由抛物线解析式可求得其开口方向及对称轴，再由点离对称轴的远近可求得答案． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点离对称轴越近则函数值越大， 离对称轴最近，离对称轴最远， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数解析式为，若小球在发射后第3秒与第9秒时的高度相等，小球的高度达到最高的时间是 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． 根据题中已知条件求出函数的对称轴，即可得出答案． 【详解】解：由题意小球在发射后第与第时的高度相等， 故函数的对称轴为： 又∵竖直向上发射 故 故时取得最大值 故答案为： 三、解答题 11．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，与x轴的一个交点为C．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求出直线的函数解析式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式． （1）利用二次函数的性质求解即可； （2）利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，． ∴点B的坐标是． 当时，即． 解得，． ∵点C在对称轴的右侧， ∴点C的坐标是． ∵， ∴顶点A的坐标是； （2）解：设直线的函数解析式为， 将点，的坐标代入，得， 解，得， ∴直线的函数解析式是． 12．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式； (2)观察图象，当时，直接写出的取值范围； (3)设二次函数的图象的顶点为，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)的面积为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将抛物线利用配方法转化为顶点式，即可求解． （2）由（1）知，顶点坐标为，计算出和时对应的值，即可求解； （3）设交轴于点，先根据二次函数的解析式求出点、的坐标，由（1）知，设直线的解析式为，利用待定系数法求的解析式，进而求出点的坐标，根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）由（1）知，二次函数的顶点坐标为， 将代入， 得， 将代入， 得， 当时，的取值范围为； （3）如图，设交轴于点， 由（1）知，二次函数的顶点坐标为， 二次函数的图象与轴交于、两点， 令，则， 解得：，， ，， 二次函数的图象与轴交于点， 令，得， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）抛物线与轴交于、两点在左侧），与轴交于点，过，两点的直线． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为_______； (2)抛物线顶点坐标为_________________； (3)当时，函数值的取值范围是_________； (4)当时，自变量的取值范围是__________． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式（组、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线为，可令，则，求出或，进而可以判断得解； （2）依据题意，由，可得其顶点为，，进而得解； （3）依据题意，由，可得当时，取最小值为，又当时，；当时，，进而可以判断得解； （4）依据题意，令，则，故，又当时，二次函数图象在一次函数图象上方，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，抛物线为， 令，则． 或． ，． 故答案为：，． （2）由题意，， 其顶点为，． 故答案为：，． （3）由题意，， 当时，取最小值为． 又当时，；当时，， 当时，函数值的取值范围是． 故答案为：． （4）由题意，令， ． ． 由题意，当时，二次函数图象在一次函数图象上方， 此时，或． 故答案为：或． 14．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”． (1)请写出二次函数的“对称二次函数”； (2)已知关于的二次函数和，若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）根据“对称二次函数”的定义解答即可； （）把转化为顶点式，再根据“对称二次函数”的定义可得的解析式，进而根据二次函数的性质可得的最大值； 本题考查了二次函数的新定义，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：二次函数的“对称二次函数”是； （2）∵， 又∵与互为“对称二次函数”， ∴， ∴的对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，． 15．（24-25九年级上·安徽·期中）若函数． (1)当m为何值时，该函数为二次函数？ (2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不可能为反比例函数，理由见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数以及二次函数的定义． （1）直接利用二次函数的定义分析得到且，解方程得出答案； （2）直接利用反比例函数的定义得到，且，解方程得出答案． 【详解】（1）解：∵函数， 且时，该函数为二次函数， 解得：， 时，该函数为二次函数； （2）该函数不可能为反比例函数．理由如下： 当该函数为反比例函数，则，且， 整理得， 此时，方程无实数根， 故该函数不可能为反比例函数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数的图象与性质 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 目录 题型一 二次函数的概念辨析 1 题型二 根据二次函数的解析式判断其性质 2 题型三 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 3 题型四 二次函数的平移变换问题 4 题型五 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 6 题型六 根据二次函数的性质求最值 7 题型七 二次函数的图象与各项系数符合问题 9 ☛第二层 能力提升练 题型一 二次函数的概念辨析 ⭐技巧积累与运用 二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 例题：（24-25九年级下·全国·阶段练习）下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2025九年级下·全国·专题练习）若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·广东阳江·期中）若函数是二次函数，则 ． 题型二 根据二次函数的解析式判断其性质 ⭐技巧积累与运用 1. 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 2. 二次函数（）的图象是一条抛物线，它de 对称轴是直线，顶点坐标是 ，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点； 例题：（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．与y轴的交点是 D．函数的最大值是 巩固训练 1．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知抛物线经过、两点，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 2．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 题型三 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 ⭐技巧积累与运用 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 例题：（24-25九年级上·陕西渭南·期中）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴下方，以下结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知抛物线（）的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小： ．（填“”“”或“”） 题型四 二次函数的平移变换问题 ⭐技巧积累与运用 二次函数的平移 （1） 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2） 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 例题：（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）抛物线向左平移5个单位，再向下平移3个单位后，所得的抛物线表达式是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·期末）抛物线 经过平移后得到抛物线，其平移方法是（   ） A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 B．向右平移4个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移2个单位 D．向左平移4个单位，再向上平移2个单位 2．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得图象的解析式的一般式为 ． 题型五 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 ⭐技巧积累与运用 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x=﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=． 例题：（24-25九年级上·江苏南通·期中）若二次函数在时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江·期末）点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线，若，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是 ． 题型六 根据二次函数的性质求最值 ⭐技巧积累与运用 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 例题：（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）二次函数的最小值是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．1 B．1或 C．2或 D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为 ． 题型七 二次函数的图象与各项系数符合问题 ⭐技巧积累与运用 二次函数（）的系数与图象的关系 （1）的符号由抛物线的开口方向决定： ，； （2）的符号由抛物线的对称轴的位置及的符号共同决定：对称轴在轴左侧同号，对称轴在轴右侧异号； （3）的符号由抛物线与轴的交点的位置决定：与轴正半轴相交，与轴正半轴相交 例题：（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①；②；③；④（是任意实数）．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论中， ①；②；③；④，正确的有 （填序号）． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东珠海·阶段练习）已知点，，在抛物线上．当，，时，，，三者之间的大小关系是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州毕节·阶段练习）若二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（    ） x y 3 5 3 A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列选项是对二次函数的描述，其中正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 4．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）下列函数是二次函数的是（   ） A． B．（，，是常数） C． D． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④的解集为．其中结论正确的个数是（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）将二次函数的图象向左平移3个单位，得到的抛物线的表达式为 ． 7．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线表达式为 ． 8．（2025九年级下·贵州广西·专题练习）若是二次函数，则的值是 ． 9．（内蒙古鄂尔多斯市三校联考2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷）已知，，三点都在二次函数的图象上，那么，，的大小关系是 （用小于号连接）． 10．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数解析式为，若小球在发射后第3秒与第9秒时的高度相等，小球的高度达到最高的时间是 三、解答题 11．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，与x轴的一个交点为C．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求出直线的函数解析式． 12．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式； (2)观察图象，当时，直接写出的取值范围； (3)设二次函数的图象的顶点为，求的面积． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）抛物线与轴交于、两点在左侧），与轴交于点，过，两点的直线． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为_______； (2)抛物线顶点坐标为_________________； (3)当时，函数值的取值范围是_________； (4)当时，自变量的取值范围是__________． 14．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”． (1)请写出二次函数的“对称二次函数”； (2)已知关于的二次函数和，若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值． 15．（24-25九年级上·安徽·期中）若函数． (1)当m为何值时，该函数为二次函数？ (2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$