精品解析：陕西省汉中市汉中二中类校2024-2025学年高三上学期第三次校际联考（12月）数学试题

2025届高三第三次校际联考 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟． 2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，命题，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为8.96）（ ） A. 1kg B. 2kg C. 3kg D. 0.5kg 7. 已知，C是以为直径的圆上一点，，D是的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列和等比数列，，则满足的数值m（ ） A. 有且仅有1个值 B. 有且仅有2个值 C. 有且仅有3个值 D. 有无数多个值 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某公司为保证产品的生产质量，连续7天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品件数的一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于这组数据的结论正确的是（ ） A. 极差是4 B. 众数等于平均数 C. 方差是 D. 分位数是1 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且双曲线C的两条渐近线的夹角为θ，若（e为双曲线C的离心率），则（ ） A. B. 双曲线C的一条渐近线的斜率为 C. D. 11. 设，函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数为增函数 B. 点为函数图象的对称中心 C. 存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D. 函数至少有一个零点 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，常数项是______．（用数字作答） 13. 已知等差数列的前n项和为，若，则______． 14. 已知抛物线，若过点的直线与抛物线C只有一个交点，则这样的直线一共有______条． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记的三个内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求证：为直角三角形. 16. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆E经过点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线交椭圆E于M，N两点，若线段中点的横坐标为，求直线l的方程． 17. “九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. （1）若，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望； （2）现有两种赛制：赛制一：采用3局2胜制，赛制二：采用5局3胜制，乙选手要想获胜概率大，应选哪种赛制？并说明理由. 18. 如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和一个直三棱柱拼接而成，其中，点G为弧的中点，且四点共面． （1）证明：四点共面； （2）若二面角的余弦值为，求的长． 19. 函数满足：对任意恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线． （1）已知函数与在定义域上存在支撑线，请你从中选择其中一个函数进行证明； （2）若直线是在定义域上的支撑线，求实数a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第三次校际联考 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟． 2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：B 2. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数，根据复数的几何意义即可判断. 【详解】由，可知复数在复平面内对应的点的坐标是. 故选：C. 3. 已知命题，，命题，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断命题、的真假，即可得答案. 【详解】解：因为命题，，所以为真命题； 命题当时，，故为真命题. 故选：A. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数平移规律即得. 【详解】依题意, . 故选:D. 5. 若函数在上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，分离参数，再根据三角函数的图象来求得正确答案. 【详解】由，得， 画出函数在区间上的图象如下图所示， 要使函数在上有两个不同的零点， 由图可知，的取值范围是. 故选：C 6. 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为8.96）（ ） A. 1kg B. 2kg C. 3kg D. 0.5kg 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式，结合质量公式求解即可. 【详解】由题意可得惊鸟铃的体积约为长， 所以该惊鸟铃的质量约为（kg）． 故选：A． 7. 已知，C是以为直径的圆上一点，，D是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到，再以为基底，利用数量积的运算律求解. 【详解】如图所示： 因为，C是以AB为直径的圆上一点，，所以， 又D为AC的中点， 所以， ， 故选：D 8. 已知等差数列和等比数列，，则满足的数值m（ ） A. 有且仅有1个值 B. 有且仅有2个值 C. 有且仅有3个值 D. 有无数多个值 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求公差和公比，令，分情况讨论，结合数列单调性分析即可判断. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因， 则有，解得， 令， 可得，此时满足的只有成立； 当时，显然， ①若是奇数，则，显然不满足； ②若是偶数，则，且， 即，可得即不成立； 综上所述：满足的数值有且仅有1个值，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查摆动数列的单调性应用，属于难题. 对于摆动数列通项的处理，一般考虑对负底数的幂指数按照为奇为偶进行分类讨论，有时还需得对个别项赋值求值判断，再综合考虑即可. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某公司为保证产品的生产质量，连续7天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品件数的一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于这组数据的结论正确的是（ ） A. 极差是4 B. 众数等于平均数 C. 方差是 D. 分位数是1 【答案】ABC 【解析】 【分析】由极差的定义计算后判断选项A；由众数和平均数的定义计算后判断选项B；计算数据方差判断选项C；计算30%分位数判断选项D. 【详解】该组数据从小到大排列为， 对于A，该组数据的极差为，故A正确； 对于B，众数为2，平均数为，故B正确； 对于C，该组数据的方程为， 故C正确； 对于D，因为，所以这组数据的百分位数为第三个数2，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且双曲线C的两条渐近线的夹角为θ，若（e为双曲线C的离心率），则（ ） A. B. 双曲线C的一条渐近线的斜率为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得双曲线的焦点，渐近线方程，结合离心率公式，对选项判断可得结论． 【详解】由题知，，所以双曲线的焦点，，， 由，可得，故A正确，C错误； 由双曲线的渐近线方程，则两条渐近线的倾斜角为，， 故两渐近线的夹角为，可得，故BD正确． 故选：ABD． 11. 设，函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，函数为增函数 B. 点为函数图象的对称中心 C. 存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D. 函数至少有一个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据可判断B，利用导函数的性质与图象，结合零点存在性定理可判断ACD. 【详解】由题意，，， 因为对，有， 所以点为函数图象的对称中心，故B正确； 函数的导函数，， ①当时，恒成立，此时函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ②当时，，则方程有唯一解， 当时，，当时，，所以函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ③当时，由，得，即， 因为，所以方程有两个不相等的根，不妨设，， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 此时，函数有两个极值点， 又时，，时，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数至少有一个零点； 综上所述，当时，函数为减函数，故A错误， 当时，函数没有极值点，且有一个零点，当时，函数有两个极值点，且至少有一个零点，故C错误，D正确； 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，常数项是______．（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【分析】根据二项式写出其通项，令通项中的指数为0，计算即得. 【详解】二项式的通项为：， 令，解得，故常数项是. 故答案为：15. 13. 已知等差数列的前n项和为，若，则______． 【答案】36 【解析】 【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：36. 14. 已知抛物线，若过点的直线与抛物线C只有一个交点，则这样的直线一共有______条． 【答案】2 【解析】 【分析】结合图象，不难发现过点与抛物线只有一个交点的直线共有两条，一条与对称轴平行，另一条与抛物线相切，且切点为. 【详解】 如图，因在抛物线上，则过点与抛物线只有一个交点的直线共有两条， 一条是与抛物线对称轴平行的直线，另一条是以点为切点的直线，以下求出该切线方程. 设过点的切线方程为，即， 将其代入，可得， 由，解得， 即抛物线在点处的切线方程为. 综上，过点与抛物线只有一个交点的直线有和两条. 故答案为：2. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记的三个内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求证：为直角三角形. 【答案】（1） （2） 由（1）可知，， 又， 在中，由余弦定理可得， 解得，所以，由勾股定理的逆定理可得， 所以为直角三角形. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式可求得，进而可求； （2）结合（1）与余弦定理可求得，进而计算可得，可得结论. 【小问1详解】 由，可得，解得， 因为，所以. 【小问2详解】 略 16. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆E经过点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线交椭圆E于M，N两点，若线段中点的横坐标为，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出的值，代入椭圆方程即得； （2）将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用中点的横坐标建立方程，求出的值，即得直线l的方程. 【小问1详解】 椭圆E经过点，， 椭圆E的长轴长是短轴长的倍，， 椭圆E的标准方程为； 【小问2详解】 如图，设， 由消去得：， 由，可得， 则， 线段中点的横坐标为， ， 解得，则，因两个值都满足， 故直线l的方程为，即或. 17. “九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. （1）若，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望； （2）现有两种赛制：赛制一：采用3局2胜制，赛制二：采用5局3胜制，乙选手要想获胜概率大，应选哪种赛制？并说明理由. 【答案】（1）的分布列为 2 3 ， （2） 应选择方案一3局2胜制，理由如下： 若选赛制一3局2胜制时，记乙获胜为事件A， 则， 若选赛制二5局3胜制时，记乙获胜为事件B， 则 因为，所以选方案一3局2胜制. 【解析】 【分析】（1）因为，所以比赛采用3局2胜制，求出的所有可能取值及其概率，再由均值公式求解即可. （2）由独立事件的概率公式分别求出3局2胜制和5局3胜制的概率，比较大小即可得出答案. 【小问1详解】 因为，所以比赛采用3局2胜制，的所有可能取值为2，3， ，， 的分布列为 2 3 所以. 【小问2详解】 略 18. 如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和一个直三棱柱拼接而成，其中，点G为弧的中点，且四点共面． （1）证明：四点共面； （2）若二面角的余弦值为，求的长． 【答案】（1） 证明：    连接，因为， 所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，， 在半圆上，是弧中点，所以， 所以，又， 所以，所以四点共面. 法二：直三棱柱中，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，设则， 所以 所以，则， 所以四点共面. （2）． 【解析】 【分析】（1）法一：连接，由题意可得，根据平行线性质有，即可证结论；法二：建立空间直角坐标系，设由即可求证； （2）建立空间直角坐标系，应用向量法求面面角列方程求线段长； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 直三棱柱中，，以为原点，建立如图空间直角坐标系， ，设，则， ， 设平面的法向量为， 则，即，化简得，取， 又为平面的一个法向量， ，解得， 即的长为． 19. 函数满足：对任意恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线． （1）已知函数与在定义域上存在支撑线，请你从中选择其中一个函数进行证明； （2）若直线是在定义域上的支撑线，求实数a的值． 【答案】（1） 选择函数，令， 则，由，得，由，得， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， ，即，即是的一条支撑线； 选择函数，所以是函数的一条支撑线. （2）1 【解析】 【分析】（1）根据函数支撑线的概念对函数逐一判断； （2）先根据是的支撑线，得出，再构造函数根据导函数得出函数单调性计算求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 直线是在定义域上的支撑线， 若，则时，， 时，，不合题意， ， 直线是在定义域上的支撑线， 恒成立， 令， ，由，得， 时，，在上单调递增；时，，在上单调递减， 的最大值为， 令， 在上单调递减， 在上单调递增，， ，． 【点睛】方法点晴：（1）数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.（2）利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个:其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构造函数利用导数证明；其三先做适当的变换后再做差构造函数利用导数证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $