专题04 二次函数实际应用【六大考点+知识串讲】-2024-2025学年九年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

专题04 二次函数实际应用 考点类型 考点训练 考点1：几何面积型 典例1：某小区业主委员会决定把一块长，宽的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于，且不大于，设每块绿化区的较长边为，活动区的面积为． (1)写出y与x之间的函数关系式及x的取值范围； (2)求活动区的面积y的最大值； (3)预计活动区造价为50元，绿化区造价为40元，如果业主委员会计划投资不超过72000元来建造，则当x为整数时，共有几种建造方案？ 【变式1】如图，用长为的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃． (1)设矩形的一边为，面积为，求关于的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)并写出自变量的取值范围； (4)当时，所围苗圃的面积是多少？ 【变式2】小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm． (1)设垂直于墙的一边长为ym，求y与x之间的函数关系式； (2)设菜园的面积为，求S与x的函数关系式，并求出当时x的值； (3)请问菜园的最大面积能达到吗？如能，求出x的值；如不能，说明理由． 【变式3】某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米，已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为米，长方形电动车棚的面积为． (1)求与的函数关系式，并写出的取值范围． (2)当时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 考点2：拱桥型 典例2：上杭县东门大桥改建工程项目，于2023年列入上杭县“为民办实事”的16个重点工程项目之一，该项目全长米，桥梁全长290米，从稳定性角度考虑．通过桥梁专家设计论证，桥梁部分按“中承式飞燕提蓝拱桥双向6车道”桥型方案设计．如下图，该“飞燕提蓝拱桥”设计数据为，中间提篮拱桥部分形如抛物线，两桥墩间距（跨径）为180米，桥墩与桥头间距为55米，桥面上方的桥拱与桥面用竖直的吊杆连接，吊杆间距5米，正常水位时（水刚好淹没桥墩），桥面距离水面15米，拱顶距离水面60米． (1)建立恰当的直角坐标系，求拱桥抛物线的解析式； (2)请问每侧桥拱需要几条吊杆？（参考数据：） 【变式1】根据以下素材，探索完成任务 如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？ 素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示． 某时测得水面宽，拱顶离水面最大距离为，抛物线拱形最高点与x轴的距离为．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计） 任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式． 任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标． 任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数） 问题解决 (1)任务1：确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式． (2)任务2：拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标． (3)任务3：探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数） 【变式2】如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧道．如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面．以的中点为原点、所在直线为轴．建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围； (2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为　　　　； (3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度． 【变式3】如图①，是我市一条河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图②）． (1)求抛物线的解析式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离； (3)有一条货船宽6米，货箱高3米，问货船能否安全通过该拱桥？ 考点3：抛掷型 典例3：在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 【变式1】如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【变式2】如图，某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点30米时达到最大高度40米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为50米，与地面的竖直距离为10米，是高度为9米的防御墙．若以点为原点，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离． 【变式3】海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强．海豚表演是武汉海昌极地海洋公园最吸引人的节目之一．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚落水点所在的直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度y（单位：m）与距离起跳点O的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员放在空中的离O点水平距离为，离水面高度为的小球． (1)求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m? (2)求当海豚离水面的高度是时，距起跳点O的水平距离是多少m? (3)在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长，高的泡沫箱，若海豚能够顺利跳过泡沫箱（不碰到），求点D横坐标n的取值范围． 考点4：喷泉型 典例4：某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式． (2)游乐园决定对喷水设施做如下设计改进，在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 米，各方面喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合．请求出扩建改造后喷水池水柱的最大高度？ 【变式1】周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 【变式2】如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【变式3】某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为，水流与之间的水平距离为，y与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置高度为3.5米，水流最高处离喷水装置的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米． (1)求水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式； (2)若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置多少米处，才不会被喷出的水流击中？ 考点5：销售利润型 典例5：为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式． (2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 【变式1】5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： 樱桃园 第天的单价、销售量与的关系如下表： (1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）； (2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） (3)①与x的函数关系式是______； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ (4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 【变式2】大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y件，售价为x元/件. (1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元? (2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式； (3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大. 【变式3】新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为元，经市场调研，销售定价为每袋元时，每天可售出袋；销售单价每提高元，每天销售量将减少袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于袋． (1)直接写出：每天的销售量（袋）与销售单价（元）之间的函数关系式________； 每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式________． (2)小王希望每天获利元，则销售单价应定为多少元？ (3)若每袋口罩的利润不低于元，则小王每天能否获得元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由． 考点6：动点型 典例6：如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接．在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 【变式1】如图，在四边形中，，，点P以的速度由运动，到达点D停止；同时点Q以的速度由运动，到达点C停止．设的面积为y，运动时间为xs． (1)请写出y与x之间函数关系式并画出图像； (2)当时，求运动时间． 【变式2】如图，二次函数的图像交x轴于A，两点，交y轴于．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)点M为这个二次函数图像上一个动点，点N为坐标平面上任意一点，设点M的横坐标为m，则点N的横坐标为，且轴． ①若点N也在二次函数的图像上，求m的值； ②当线段与二次函数的图像有两个公共点时，请直接写出m的取值范围． 【变式3】如图，在等腰直角三角形中，，．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段向终点A运动，连接，．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2）（）． (1)的长为______cm（用含x的代数式表示）． (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． (3)当为钝角三角形时，直接写出x的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数实际应用 考点类型 考点训练 考点1：几何面积型 典例1：某小区业主委员会决定把一块长，宽的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于，且不大于，设每块绿化区的较长边为，活动区的面积为． (1)写出y与x之间的函数关系式及x的取值范围； (2)求活动区的面积y的最大值； (3)预计活动区造价为50元，绿化区造价为40元，如果业主委员会计划投资不超过72000元来建造，则当x为整数时，共有几种建造方案？ 【答案】(1) (2) (3)4种 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用， （1）首先根据其宽度不小于，不大于，求出，然后用大矩形的面积减去4个小矩形的面积即可求解； （2）将整理为顶点式，利用抛物线性质即可求解； （3）设费用为w，由题意得，利用抛物线性质和x的取值范围结合即可求解． 【详解】（1）出口的宽度为， ∵其宽度不小于，不大于， ∴． 解得， ∵四周的4个出口宽度相等，设绿化区的宽为a， ∴ ∴ 根据题意得， ∴y与x的函数关系式为； （2）， ∵，抛物线的开口向下，对称轴为， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，． ∴活动区的面积y的最大值为； （3）设投资费用为w， 由题意得，， ∴当时，解得，． ∵，对称轴为， ∴当时，W随x增大而减小， 又∵w不超过72000元， ∴，且x为整数， ∴共有4种建造方案． 【变式1】如图，用长为的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃． (1)设矩形的一边为，面积为，求关于的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)并写出自变量的取值范围； (4)当时，所围苗圃的面积是多少？ 【答案】(1) (2)二次函数 (3) (4) 【知识点】求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值、二次函数的识别、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）篱笆只有两边，且其和为18，设一边为，则另一边为，根据公式表示面积求解即可； （2）根据二次函数定义可得答案； （3）根据实际意义，矩形边长应大于0，列不等式组求解即可； （4）把代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：由已知，矩形的另一边长为， 则； 即； （2）解：是二次函数； （3）解：根据实际意义，得， 解得：． ∴自变量的取值范围为 （4）解：把代入，得 ， 答：当时，所围苗圃的面积是． 【变式2】小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm． (1)设垂直于墙的一边长为ym，求y与x之间的函数关系式； (2)设菜园的面积为，求S与x的函数关系式，并求出当时x的值； (3)请问菜园的最大面积能达到吗？如能，求出x的值；如不能，说明理由． 【答案】(1)； (2)，当时，； (3)菜园的最大面积不能达到． 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题． （1）根据“垂直于墙的长度”可得函数解析式； （2）根据矩形的面积公式列出总面积关于的函数解析式； （3）根据矩形的面积公式列出总面积关于的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得． 【详解】（1）解：根据题意知，， 故与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得，， 当时，， 解这个方程，得，， ， 当时，； （3）解：菜园的最大面积不能达到， 理由：， ， 当时，随的增大而增大． 当时，最大，此时． 菜园的最大面积不能达到． 【变式3】某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米，已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为米，长方形电动车棚的面积为． (1)求与的函数关系式，并写出的取值范围． (2)当时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】(1)； (2)小路的宽为1米． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决第2问的关键． （1）用木板总长度加2米减去与院墙垂直的两边长，再利用长方形的面积公式列式即可求解； （2）先求出院墙平行的边长，再根据空白面积为54平方米列出方程，求解后进行选择即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 即车棚与墙平行的一面长米； ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴的取值范围为； （2）解：当时，， 设小路的宽为x米，根据题意得： ， 整理得， 解得：，（舍去）， 答：小路的宽为1米． 考点2：拱桥型 典例2：上杭县东门大桥改建工程项目，于2023年列入上杭县“为民办实事”的16个重点工程项目之一，该项目全长米，桥梁全长290米，从稳定性角度考虑．通过桥梁专家设计论证，桥梁部分按“中承式飞燕提蓝拱桥双向6车道”桥型方案设计．如下图，该“飞燕提蓝拱桥”设计数据为，中间提篮拱桥部分形如抛物线，两桥墩间距（跨径）为180米，桥墩与桥头间距为55米，桥面上方的桥拱与桥面用竖直的吊杆连接，吊杆间距5米，正常水位时（水刚好淹没桥墩），桥面距离水面15米，拱顶距离水面60米． (1)建立恰当的直角坐标系，求拱桥抛物线的解析式； (2)请问每侧桥拱需要几条吊杆？（参考数据：） 【答案】(1)见解析， (2)需32根吊杆 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意． （1）如图，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为轴，建立直角坐标系．得出，，根据待定系数法即可求解； （2）根据题意得出点的纵坐标为15，结合（1）将代入即可求出，即可解答； 【详解】（1）解：如图示，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为轴，建立直角坐标系． 则有另一桥墩，拱桥顶点，桥面， 设桥拱抛物线解析式为， 把点坐标代入求得， 所以拱桥抛物线的解析式为． （2）解：因桥面距离水面15米，所以点的纵坐标为15， 当时，， 解得， ， 所以，， ∴， ∵， 故单侧需32根吊杆． 【变式1】根据以下素材，探索完成任务 如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？ 素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示． 某时测得水面宽，拱顶离水面最大距离为，抛物线拱形最高点与x轴的距离为．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计） 任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式． 任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标． 任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数） 问题解决 (1)任务1：确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式． (2)任务2：拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标． (3)任务3：探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数） 【答案】(1) (2)桥面可挂6个， (3) 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理： （1）如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为，待定系数法求解得． （2）抛物线，得与横轴交点，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴成轴对称，由，得桥面可挂6个． （3）如图，当水位达到最高时，水位线为，当时，，，，勾股定理求得中，． 【详解】（1）如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为，抛物线经过，，得，解得 ∴． （2）解：在，当，，解得或， ∴点    如题，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴成轴对称， ∵ ∴左侧可挂3个， 由对称性只看右面，右面可挂3个，则此时最中间的两个救生圈的水平距离为，符合题意， ∴桥面一共可以挂6个救生圈，最右侧位于点上方处，即该点的坐标为． （3）解：如图，当水位达到最高时，水位线为， 救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，当时，，，， 中，， ∴绳长至少需． 【变式2】如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧道．如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面．以的中点为原点、所在直线为轴．建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围； (2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为　　　　； (3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度． 【答案】(1) (2)12 (3)该隧道车辆的限制高度为5米． 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，顶点，从而可设抛物线为，又，，则，，进而可得，求出即可得解； （2）依据题意，由贴黄黑立面标记的区域抛物线面积抛物线面积矩形面积，从而贴黄黑立面标记的区域的面积为，进而可以得解； （3）依据题意，由车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，从而可令，则，又（米），故可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，顶点， 可设抛物线为． 又，， ，． ． ． 所求抛物线的解析式为； （2）解：由题意，如图， 将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域抛物线面积抛物线面积矩形面积． 贴黄黑立面标记的区域的面积为． 故答案为：12； （3）解：由题意，车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶， 可令，则． 又（米）， 该隧道车辆的限制高度为5米． 【变式3】如图①，是我市一条河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图②）． (1)求抛物线的解析式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离； (3)有一条货船宽6米，货箱高3米，问货船能否安全通过该拱桥？ 【答案】(1) (2) (3)能安全通过 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程与二次函数的关系，从图象中可以看出的坐标是解题的关键． （1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为，与y轴交点坐标是，设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程； （2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是他们的距离． （3）求出时的函数值，与船高比较即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 把点代入得：，即， ∴抛物线解析式为． （2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4， ∴ ∴ ∴， ∴两景观灯间的距离为米． （3）货船走桥洞的正中间最容易通过， ∵货船宽6米， ∴左侧距离桥的距离为, 当时， ∵货箱高3米，， ∴货船能安全通过改拱桥。 考点3：抛掷型 典例3：在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 【答案】(1)抛物线L的函数解析式为； (2)小球P在x轴上的落点坐标为； (3)竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由题意知，抛物线L的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）对于，令，求解一元二次方程，据此计算即可求解； （3）由题意先求出，当和时，求得对应的值，再设竖直摆放的回收箱有个，根据题意得出关于的不等式组，求出的整数解即可． 【详解】（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线L对应的函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线L对应的函数解析式为； （2）解：对于， 令，则， 解得，， ∴小球P在x轴上的落点坐标为； （3）解：∵，， ∴，对于， 当时，； 当时，； 设竖直摆放的回收箱有个， 则， 解得， ∵是正整数， ∴可以是3或4或5或6或7， 答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个． 【变式1】如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【答案】(1)3.05米； (2)0.2米； (3)1米； 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数图象上点坐标的特征． （1）求出篮圈中心的横坐标为，在中，令可得篮圈中心到地面的距离为3.05米；（2）设球出手时，他跳离地面的高度是米，知出手点坐标为，故，解出的值可得答案； （3）在中，令得（舍去）或，即知两名运动员之间的距离不能超过1米． 【详解】（1）解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为， 在中，令得， 篮圈中心的纵坐标为3.05， 篮圈中心到地面的距离为3.05米； （2）解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为， ， 解得， 球出手时，他跳离地面的高度是0.2米； （3）解：在中，令得：， 解得（舍去）或， ， 两名运动员之间的距离不能超过1米． 【变式2】如图，某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点30米时达到最大高度40米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为50米，与地面的竖直距离为10米，是高度为9米的防御墙．若以点为原点，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离． 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙 (3)在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及一次函数的应用，正确确定石块运动轨迹所在抛物线的解析式是解题关键． （1）设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为，把代入，求得的值，即可获得答案； （2）把代入，解得的值，即可获得答案； （3）设直线的解析式为，利用待定系数法解得直线的解析式；设直线上方的抛物线上的一点的坐标为，过点作轴，交于点，交轴于点，则，易得 ，利用二次函数的图像与性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 即； （2）解：石块能飞越防御墙， 理由如下： 把代入，得， ∵， ∴石块能飞越防御墙； （3）解：设直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 故直线的解析式为， 如图， 设直线上方的抛物线上的一点的坐标为， 过点作轴，交于点，交轴于点，则， ∴， ， ∵， ∴该函数图像开口向下，有最大值， ∴当时，取最大值，最大值为． 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米． 【变式3】海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强．海豚表演是武汉海昌极地海洋公园最吸引人的节目之一．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚落水点所在的直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度y（单位：m）与距离起跳点O的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员放在空中的离O点水平距离为，离水面高度为的小球． (1)求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m? (2)求当海豚离水面的高度是时，距起跳点O的水平距离是多少m? (3)在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长，高的泡沫箱，若海豚能够顺利跳过泡沫箱（不碰到），求点D横坐标n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、图象法解一元二次不等式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际问题，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式然后配方得到最大值即可； （2）令，解一元二次方程方程即可； （3）令，解出的值，然后借助图象解题即可． 【详解】（1）由抛物线，过点， 得 海豚此次训练中离水面的最大高度是． （2）依题意得： 解得 答：海豚距起跳点O的水平距离是或． （3）若海豚恰好接触到纸箱边缘，则点F或点E在抛物线上， 令，则， 解得， 当点F在抛物线上时，D点的横坐标n为． 当点E在抛物线上时，D点的横坐标n为． 的取值范围是． 考点4：喷泉型 典例4：某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式． (2)游乐园决定对喷水设施做如下设计改进，在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 米，各方面喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合．请求出扩建改造后喷水池水柱的最大高度？ 【答案】(1) (2)扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键． （1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出a值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，代入点可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论． 【详解】（1）由喷出的水柱为抛物线，在距水池中心4米处达到最高，高度为6米，设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （2）解：当时， ． 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． ∵该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为， ∵ ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【变式1】周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或 【知识点】解一元二次方程——配方法、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查求抛物线的解析式，二次函数的实际应用，解题的关键是根据实际问题构造数学模型． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入，即可求出抛物线的解析式； （2）对应的的值即为小琴距喷水头的水平距离，结合（1）中结论列一元二次方程，解方程求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为，将代入得： ， 解得， ， 答：抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 他与小江的水平距离为或， 答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或． 【变式2】如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】(1)上边缘抛物线喷出水的最大射程为； (2)； (3)不能，理由见解析 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解； （3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， 且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为： 将代入可得： 即上边缘的抛物线为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即 上边缘抛物线喷出水的最大射程为； （2）解：由（1）可得， 上边缘抛物线为：，可得对称轴为： 点关于对称轴对称的点为： 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即点； （3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下； ∵， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到， 由题意可得： 将代入到可得： 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 【变式3】某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置喷水能力最强，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为，水流与之间的水平距离为，y与x之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置高度为3.5米，水流最高处离喷水装置的水平距离为3米，离地面竖直距离为8米． (1)求水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式； (2)若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置多少米处，才不会被喷出的水流击中？ 【答案】(1) (2)7米 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的顶点式，以及二次函数的应用，理解题意是关键． （1）依据题意得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，又抛物线过，进而计算可以得解； （2）依据题意，由抛物线为，进而令，则，求出x的值即可判断得解． 【详解】（1）由题意得，抛物线的顶点为， ∴可设抛物线为． 又抛物线过， ∴． ∴． ∴水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式为． （2）由题意，∵抛物线为， ∴令，则． ∴或（不合题意，舍去）． ∴花盆需至少离喷水装置为7米处，才不会被喷出的水流击中． 考点5：销售利润型 典例5：为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式． (2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元 (3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出函数关系式． （1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式． （2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值． （3）把代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴w与x的函数关系式为：． （2）解：， ∵， ∴当时，w有最大值．w最大值为200． 答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元． （3）解：当时，可得方程， 解得，． ∵， ∴不符合题意，应舍去． 答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元． 【变式1】5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： 樱桃园 第天的单价、销售量与的关系如下表： (1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）； (2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） (3)①与x的函数关系式是______； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ (4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 【答案】(1) (2) (3)①；②第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元； (4)4 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求结合利润单价销售量固定成本进行求解即可； （3）①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质求解即可； （4）根据题意建立不等式，求出不等式的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：第天的单价与满足的一次函数关系式为， 把代入中得， ∴， ∴第天的单价与满足的一次函数关系式为， ∴A樱桃园第x天的单价是元/盒， 故答案为：； （2）解：由题意得， （3）解：①把代入中得：， 解得， ∴； ②∵，， ∴ ， ∵，且（x为正整数）， ∴当时，有最大值，最大值为4800， ∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元； （4）解：当时，则， ∴， ∴， ∴， ∵x的正整数解有4个， ∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 【变式2】大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y件，售价为x元/件. (1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元? (2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式； (3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大. 【答案】(1)每月的总利润最多是 1200 元 (2) (3)m的最小值是30，售价为70元时，她每月获利最大 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键． （1）根据题意得出总利润，再由一次函数的性质即可求解； （2）当售价在元时，设每月销售量，利用待定系数法进行计算即可； （3）求出二次函数解析式，再根据二次函数的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：当售价在元时， 每月的总利润为元. 则总利润， ， 当时，总利润最多，为(元)， 每月的总利润最多是元； （2）解：当售价在元时，设每月销售量， ， 解得， 每月销售量． （3）解：当售价在元时，设每月的总利润为元. 每月的总利润 ，二次函数的对称轴为直线 ，且要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大， ，解得， m的最小值是30， 此时 当时，取得最大值，最大值为200元， m的最小值是30，此时售价为70元时，她每月获利最大． 【变式3】新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为元，经市场调研，销售定价为每袋元时，每天可售出袋；销售单价每提高元，每天销售量将减少袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于袋． (1)直接写出：每天的销售量（袋）与销售单价（元）之间的函数关系式________； 每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式________． (2)小王希望每天获利元，则销售单价应定为多少元？ (3)若每袋口罩的利润不低于元，则小王每天能否获得元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由． 【答案】(1) ； ； (2)要想获利元，则销售单价应定为元； (3)能，理由见解析． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，不等式组的应用，以及一元二次方程的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （）根据销售定价为每袋元时，每天可售出袋；销售单价每提高元，每天销售量将减少袋，即可列出函数关系式； 根据每天的销售利润（元）等于每袋的利润乘以每天的销售量即可列出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （）根据平台要求该类型口罩每天销售量不得少于袋，可得关于的一元一次不等式，从而可解得的取值范围；根据小王希望每天获利元，可得关于的一元二次方程，解方程并作出取舍即可； （）根据每袋口罩的利润不低于元及每天销售量不得少于袋，可得的取值范围；根据利润为元，得出关于的一元二次方程，解方程并与的取值范围相比较，即可作出判断； 【详解】（1）解：∵销售定价为每袋元时，每天可售出袋；销售单价每提高元，每天销售量将减少袋， ∴， 故答案为：； 根据题意得：， 故答案为：； （2）∵ ∴, ∵小王希望每天获利元， ∴， 解得：，（舍去） 答：要想获利元，则销售单价应定为元； （3）能，理由： ∵， ∴， 由（）得：， ∴， 由， 当时， ∴， 解得：或， ∴， ∴每袋口罩的利润不低于元，小王每天能获得元的总利润． 考点6：动点型 典例6：如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接．在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意得到，利用角的直角三角形的性质得到，根据，，则，证明四边形是平行四边形，利用勾股定理求出，，根据即可解答． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 根据题意得：，，则， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，，，， ，， ． 即． 【点睛】本题主要考查了二次函数，平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式1】如图，在四边形中，，，点P以的速度由运动，到达点D停止；同时点Q以的速度由运动，到达点C停止．设的面积为y，运动时间为xs． (1)请写出y与x之间函数关系式并画出图像； (2)当时，求运动时间． 【答案】(1)，图见解析 (2)2秒 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）分点Q到达点B之前和到达点B之后，两种情况进行讨论，即可得到答案． （2）根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得： 作交于点M ∵ ∴点Q到达点B上的时间是，点P到达点D的时间是 当时， ∵ ∴在中， ∴． 当点Q到达终点C的时间是，故当时，如图，的底为，高为，为定值． ∴． 综上所述：． 列表如下： 0 2 4 5 8 0 2 8 8 8 画出函数图像如图： （2）同理，当时， ． 当时，P到达点D，三角形不存在． 当时，则：， 整理，得：， 解得：（舍去）或，即运动时间时． 【变式2】如图，二次函数的图像交x轴于A，两点，交y轴于．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)点M为这个二次函数图像上一个动点，点N为坐标平面上任意一点，设点M的横坐标为m，则点N的横坐标为，且轴． ①若点N也在二次函数的图像上，求m的值； ②当线段与二次函数的图像有两个公共点时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式及二次函数与线段的交点问题．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合法是解题的关键． （1）把，分别代入，利用待定系数法求解即可． （2）①先求出抛物线的对称轴，由轴可知M点与N点关于对称轴对称，由此即可求解； ②先求得点M关于抛物线对称轴的对称点的横坐标为，然后分两种情况：（ⅰ）M点在对称轴左侧，N点在的右侧；（ⅱ）M点在对称轴右侧，N点在的左侧，列不等式求解即可． 【详解】（1）把，分别代入，得： 解得， 抛物线的解析式为； （2）①抛物线的对称轴是， 轴，且点N在抛物线上， 点M和点N关于抛物线对称轴对称， ， 解得， 的值为；   ② 点M的横坐标为m， 点M关于抛物线对称轴的对称点的横坐标为． （ⅰ）M点在对称轴左侧，N点在的右侧时 ， 解得：； （ⅱ）M点在对称轴右侧，N点在的左侧时 ， 解得：； ∴当线段与二次函数的图像有两个公共点时， m的取值范围或． 【变式3】如图，在等腰直角三角形中，，．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段向终点A运动，连接，．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2）（）． (1)的长为______cm（用含x的代数式表示）． (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． (3)当为钝角三角形时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当时，；当时， (3)或 【知识点】解直角三角形的相关计算、图形运动问题(实际问题与二次函数)、几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查动点的函数，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，恰当分类是解题的关键． （1）分两种情况：和，根据动点运动的路程、速度和时间的关系，结合勾股定理求解即可； （2）分两种情况：和，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （3）先画出是直角三角形的图形，求出此时的值，再结合的取值范围求解即可． 【详解】（1）当时， 点E运动的路程就是的长，即：=， 当时，作于点，如图所示， 在中，，， 在中，，。 故答案为：或； （2）点F运动的路程就是线段的长，即， 当时，，即； 当时，作于点，如图所示， ∴， ∵， ∴， 综上可得，求y关于x的函数解析式为：； （3）当时，是直角三角形，如图所示， 在中，，，， ∴， 解得：， 当时，是直角三角形，如图所示， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴当为钝角三角形时，x的取值范围是：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$