专题02 二次函数y=a（x-h）²+k与y=ax²+bx+c图像性质【十一大考点+知识串讲】-2024-2025学年九年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

专题02 二次函数y=a（x-h）²+k y=ax²+bx+c图像性质 考点类型 知识一遍过 （一）二次函数y=a（x-h）²+k图像性质 a的符号 a>0 a<0 图象     开口方向 向上 向下 对称轴 X=h 顶点坐标 （h，k） 增减性 当x<h时,y随x的增大而减小;当x>h时,y随x的增大而增大 当x<h时,y随x的增大而增大;当x>h时,y随x的增大而减小 最值 当x=h时,y最小值=k 当x=h时,y最大值=k （二）二次函数图像的平移 注：二次函数图像的平移口诀：左加右减；上加下减（左右对x，上下对y） （三）一般式化为顶点式 利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即 y =ax2+bx+c =a =a 顶点是 （四）二次函数y=ax²+bx+c的图像性质 a的符号 a>0 a<0 图象     开口方向 向上 向下 对称轴   顶点坐标   增减性 当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大 当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小 最值 当时 y最小值= 当时 y最大值= （五）待定系数法求解解析式 形式 内容 适用条件 一般式 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) 当已知抛物线上任意三点坐标时,通常设函数的关系式为一般式,然后列出关于a、b、c的三元一次方程组求解 顶点式 y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数,a≠0),抛物线的顶点坐标为(h,k) 当已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时,通常设函数的关系式为顶点式,然后代入已知点的坐标,解方程 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2为常数,a≠0),其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标 当已知抛物线与x轴的两交点坐标时,通常设函数的关系式为交点式,然后代入另一点的坐标,解关于a的一元一次方程 （六）函数图像与各系数的关系 a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号： a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 2a+b的符号，需判 对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小. a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时，-=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边． c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 考点一遍过 考点1：二次函数y=a（x-h）²的图像性质 典例1：已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． 【变式3】对于函数，下列说法正确的是 ． ①开口向下；②对称轴是直线；③最大值为0；④与轴不相交． 考点2：二次函数y=a（x-h）²+k的图像性质 典例2：在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A．y的最大值是1 B．图象的顶点坐标为，对称轴为直线 C．它的图象可以由向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D．当时，y随x的增大而减小． 【变式1】已知二次函数的图象与一次函数的图象交于和两点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1） ； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ． 【变式3】若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 考点3：二次函数图像的平移 典例3：在平面直角坐标系中，将抛物线下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】由函数的图像平移得到函数的图像，则这个平移是（    ） A．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位 B．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位 C．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位 D．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位 【变式2】要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 【变式3】抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则 ， ． 考点4：利用增减性求字母的值 典例4：已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为 【变式3】已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则b的取值范围是 ． 考点5：二次函数y=ax²+bx+c化为顶点式 典例5：二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 老师 甲 乙 丙 丁 → → → → 顶点坐标 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．甲和丁 B．乙和丙 C．乙和丁 D．只有丁 【变式2】将二次函数，化为的形式，结果为，该函数图象不经过第 象限． 【变式3】（1）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ． （2）将二次函数配方后变成 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ；当时，函数的取值范围是 ． （3）二次函数的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ． （4）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 当a 0时，二次函数有最小值，最小值为 ． 考点6：求二次函数的顶点与对称轴 典例6：如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，图中点E，F关于y轴对称，其中点E的坐标为，点F的坐标为，若点E到x轴的距离小于它到y轴的距离，则二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D．或 【变式1】在下面的数学魔术盒中输入，得到，则二次函数的对称轴为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】将抛物线的图象关于原点对称，得到新抛物线的顶点坐标为 ． 【变式3】抛物线的对称轴为 ． 考点7：二次函数y=ax²+bx+c图像性质 典例7：抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中不正确的是（    ） A．抛物线与轴的一个交点为 B．在对称轴左侧，随的增大而增大 C．抛物线的对称轴是直线 D．函数的最大值为6 【变式1】对于二次函数的图象，下列说法正确的有（    ） ①开口向上；②函数最小值是；③与直线有两个交点；④当时，y随x的增大而减小 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】已知，在二次函数的图象上，当时，，若图象上，满足，则m的取值范围是 ． 【变式3】已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 那么该抛物线的顶点坐标是 ；当时，总有，则的取值范围是 考点8：二次函数对称性的应用 典例8：二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下： … … … … 则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知二次函数（为常数，且）的图象经过，，，四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【变式2】如图所示，分别为图象上的两点，且直线垂直于轴，若，则点的纵坐标为 ． 【变式3】已知点，点都在关于x的函数的图象上，且，则n的取值范围是 ． 考点9：二次函数图像与系数的关系 典例9：二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中，正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的有 ． 【变式3】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 （填序号）． 考点10：二次函数的最值 典例10：已知y关于x的函数关系式中，自变量x的取值范围为． (1)当函数为时，y的最大值为______，y的最小值为______； (2)当函数为时，求y的最大值和最小值． 【变式1】已知二次函数的图象过不同的三点，，． (1)若二次函数的最大值为4，求a的值． (2)若，求n的取值范围． 【变式2】已知二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系； (3)若，且当时，y有最小值为，求a的值． 【变式3】已知二次函数（a为实数，）． (1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）． (2)设二次函数在时的最大值为p，最小值为q，，求a的值． 考点11：待定系数法求解析式——顶点式 典例11：多解法 已知二次函数值y和自变量x部分的对应取值如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 0 0 … 求该二次函数的解析式． 【变式1】二次函数的图象顶点坐标为，且过． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，求函数值的取值范围． 【变式2】已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，若点在该函数图象上，求的值． 【变式3】已知抛物线过，顶点坐标为，求的值． 考点12：待定系数法求解析式——一般式 典例12：已知二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 5 2 1 2 5 (1)求该二次函数的关系式． (2)当x为何值时，y有最小值？ 最小值是多少？ (3)若，两点都在该函数的图象上，当时，求m的取值范围． 【变式1】已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的解析式，并写出抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)当时，求y的取值范围． 【变式2】已知函数，为常数）的图象经过点，． (1)求b，c的值； (2)当时，求y的最大值与最小值之差； (3)当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示） 【变式3】如图，抛物线与x轴只有一个交点B，对称轴是直线，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若P是对称轴右侧抛物线上的一动点，且满足，求点P的坐标； (3)在y轴右侧抛物线上是否存在点M，得以M，A，B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数y=a（x-h）²+k y=ax²+bx+c图像性质 考点类型 知识一遍过 （一）二次函数y=a（x-h）²+k图像性质 a的符号 a>0 a<0 图象     开口方向 向上 向下 对称轴 X=h 顶点坐标 （h，k） 增减性 当x<h时,y随x的增大而减小;当x>h时,y随x的增大而增大 当x<h时,y随x的增大而增大;当x>h时,y随x的增大而减小 最值 当x=h时,y最小值=k 当x=h时,y最大值=k （二）二次函数图像的平移 注：二次函数图像的平移口诀：左加右减；上加下减（左右对x，上下对y） （三）一般式化为顶点式 利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即 y =ax2+bx+c =a =a 顶点是 （四）二次函数y=ax²+bx+c的图像性质 a的符号 a>0 a<0 图象     开口方向 向上 向下 对称轴   顶点坐标   增减性 当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大 当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小 最值 当时 y最小值= 当时 y最大值= （五）待定系数法求解解析式 形式 内容 适用条件 一般式 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) 当已知抛物线上任意三点坐标时,通常设函数的关系式为一般式,然后列出关于a、b、c的三元一次方程组求解 顶点式 y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数,a≠0),抛物线的顶点坐标为(h,k) 当已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值时,通常设函数的关系式为顶点式,然后代入已知点的坐标,解方程 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2为常数,a≠0),其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标 当已知抛物线与x轴的两交点坐标时,通常设函数的关系式为交点式,然后代入另一点的坐标,解关于a的一元一次方程 （六）函数图像与各系数的关系 a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号： a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 2a+b的符号，需判 对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小. a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时，-=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边． c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 考点一遍过 考点1：二次函数y=a（x-h）²的图像性质 典例1：已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：如图所示， A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意； 故选：D 【变式1】设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键． 【变式2】有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键，根据函数图像与性质，结合A、B、C三个选项可以求出符合题意的二次函数关系式； 【详解】根据A的描述可设二次函数关系式为， 根据C的描述可知，则， 再结合B的描述可得出，且， 所以满足上述所有性质的二次函数关系式可以是， 故答案为： (答案不唯一)． 【变式3】对于函数，下列说法正确的是 ． ①开口向下；②对称轴是直线；③最大值为0；④与轴不相交． 【答案】①②③ 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：①∵，∴抛物线的开口向下，故①正确； ②抛物线的对称轴是直线，故②正确； ③的最大值为0，故③正确； ④把代入得，∴与轴的交点为，故④错误； 综上分析可知，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 考点2：二次函数y=a（x-h）²+k的图像性质 典例2：在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A．y的最大值是1 B．图象的顶点坐标为，对称轴为直线 C．它的图象可以由向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D．当时，y随x的增大而减小． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据函数解析式的性质判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：二次函数，， ∴该函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为，当时，y有最大值1，当时，y的值随x值的增大而减小，当时，y的值随x值的增大而增大； 故选项A、B的说法正确，D的说法错误； 根据平移的规律，的图象向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到； 故选项C的说法正确， 故选：D． 【变式1】已知二次函数的图象与一次函数的图象交于和两点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线，由函数图象与系数的关系讨论和两点中与的关系． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线， 若，， 抛物线开口向下，一次函数中随增大而减小， 设，则， ， ． 故选：C． 【变式2】如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1） ； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ． 【答案】 4 8 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的平移及性质，先得出抛物线的顶点坐标为：，结合顶点在线段上运动可得；当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出此时D点横坐标为5；当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值，结合平移，可判断出D点横坐标最大值． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为：， ∵顶点在线段上运动，点A，B的坐标分别为和， ∴，， 当点C的横坐标最小值为时，抛物线顶点在线段的最左端点处， 即对称轴为， 此时D点横坐标为5， 当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值， 此时顶点向右平移了与线段等长的距离， ∵，平移前D点横坐标为5， ∴平移后D点横坐标为：， 此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8． 故答案为：4，8． 【变式3】若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据二次函数的对称性和增减性即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴关于直线对称的点为， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质． 考点3：二次函数图像的平移 典例3：在平面直角坐标系中，将抛物线下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线下平移一个单位长度，再向左平移一个单位长度， 根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线为， 故选：． 【变式1】由函数的图像平移得到函数的图像，则这个平移是（    ） A．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位 B．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位 C．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位 D．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了抛物线图象的平移， 求得原抛物线的顶点坐标及新抛物线的顶点坐标，看顶点坐标是如何平移得到的即可，解题的关键知道抛物线图象的平移和抛物线顶点的平移一致． 【详解】解：∵函数 的顶点为， 函数的顶点为， ∴向右平移4个单位，再向上平移5个单位可得到, ∴函数图象的平移也是先向右平移4个单位，再向上平移5个单位得到的， 故选：． 【变式2】要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，代数式求值，先把配方得到，根据题意反向平移，即把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，于是可得到，，，代入代数式即可计算即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：， 把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线的解析式为， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【变式3】抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则 ， ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 由题意知，，根据上加下减，左加右减，可得平移后的抛物线为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的抛物线为， ∴，， 故答案为：，． 考点4：利用增减性求字母的值 典例4：已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性成为解题的关键 先根据函数解析式确定抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵二次函数 ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， ． 故选：． 【变式1】已知，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数增减性、解一元一次不等式等知识，根据题意，确定的增减性，再由条件限制得到关于取值范围即可确定答案，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解： 知抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， ，解得， 故选：A． 【变式2】已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式，得出，顶点坐标为，最小值为，确定，再由，得出，然后求不等式解集即可，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴对称轴为， ∵对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，开口向上， ∴，顶点坐标为，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则b的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而增大，由于时，的值随值的增大而增大，于是得到． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 因为， 所以抛物线开口向下， 所以当时，的值随值的增大而增大， 而时，的值随值的增大而增大， 所以， 解得． 故答案为：． 考点5：二次函数y=ax²+bx+c化为顶点式 典例5：二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，利用配方法把二次函数一般式转化为顶点式即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标是， 故选：． 【变式1】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 老师 甲 乙 丙 丁 → → → → 顶点坐标 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．甲和丁 B．乙和丙 C．乙和丁 D．只有丁 【答案】A 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数顶点式的计算，掌握配方法将二次函数一般是改写为顶点式的方法是解题的关键． 根据二次函数一般是改写为顶点式的计算方法即可求解． 【详解】解： ∴甲出现错误， ，故乙正确， ，故丙正确， ∴顶点坐标为，故丁错误； 综上所述，错误的是甲、丁， 故选：A ． 【变式2】将二次函数，化为的形式，结果为，该函数图象不经过第 象限． 【答案】二 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，根据函数解析式确定出顶点坐标与对称轴解析式是解题的关键．根据顶点坐标与对称轴确定出函数图象经过第一四象限，根据与轴的交点求出函数图象经过第三象限，从而可以确定不经过的象限． 【详解】解：， 顶点坐标为，对称轴为直线， 函数图象经过第一四象限， 令，则， 所以，函数图象与轴的交点坐标为， 所以，函数图象经过第三象限， 所以，该函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 【变式3】（1）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ． （2）将二次函数配方后变成 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ；当时，函数的取值范围是 ． （3）二次函数的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ． （4）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 当a 0时，二次函数有最小值，最小值为 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．把二次函数配成顶点式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1），对称轴是直线； 故答案为：，； （2），顶点坐标是． ∵，∴当时，函数的最大值为，当时，；当时，；∴当时，函数的最大值为，最小值为；当时，；当时，；∴当时，函数的取值范围是； 故答案为：，，，，； （3），则对称轴是直线，顶点坐标是．∵，∴当时，函数的最小值为，当时，；当时，；∴当时，函数的最大值为，最小值为． 故答案为：，，，； （4），对称轴是直线，顶点坐标是；当时，二次函数有最小值，最小值为． 故答案为：，，，，． 考点6：求二次函数的顶点与对称轴 典例6：如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，图中点E，F关于y轴对称，其中点E的坐标为，点F的坐标为，若点E到x轴的距离小于它到y轴的距离，则二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】求点到坐标轴的距离、把y=ax²+bx+c化成顶点式、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标系中的轴对称，直角坐标系中点的特征，二次函数的顶点坐标，熟练掌握这些性质是解题的关键．先利用轴对称求出和的值，再利用点E到x轴的距离小于它到y轴的距离排除不合题意的和的值，最后直接求二次函数的顶点坐标即可． 【详解】解：∵点E，F关于y轴对称，点，点， ∴， 解得或， ∴或， ∵点E到x轴的距离小于它到y轴的距离， ∴不合题意，舍去， ∴，， ∴二次函数， ∴其顶点坐标为， 故选：B． 【变式1】在下面的数学魔术盒中输入，得到，则二次函数的对称轴为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、解一元二次方程——配方法 【分析】先根据魔术盒中的运算法则列方程求出a的值，再将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出函数图象的对称轴． 【详解】解：由题意知， 整理，得，即， 解得， ， 二次函数的对称轴为， 故选B． 【点睛】本题考查解一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是根据图示列方程求出a的值． 【变式2】将抛物线的图象关于原点对称，得到新抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了将抛物线的解析式化为顶点式、关于原点对称的点的坐标特征，先求出原抛物线的顶点坐标为，再根据关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标均变为相反数，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的图象关于原点对称， 得到新抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 【变式3】抛物线的对称轴为 ． 【答案】1 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 把解析式化为顶点式即可求得答案． 【详解】解：∵， 对称轴是直线， 故答案为：1． 考点7：二次函数y=ax²+bx+c图像性质 典例7：抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中不正确的是（    ） A．抛物线与轴的一个交点为 B．在对称轴左侧，随的增大而增大 C．抛物线的对称轴是直线 D．函数的最大值为6 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据图表信息，先确定出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的对称性对各选项分析判断后利用排除法求解， 本题考查了，二次函数的性质，仔细分析图表数据，判断出抛物线的对称轴是解题的关键，也是本题的突破口． 【详解】解：由表可知，抛物线的对称轴为直线， A、∵对称轴为，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的一个交点为，说法正确，故此选项不合题意； B、由表可知，抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧，随的增大而增大，说法正确，故此选项不合题意； C、抛物线的对称轴是直线，说法正确，故此选行不合题意； D、在时，函数的最大值，当时，， ∴函数的最大值为6，说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】对于二次函数的图象，下列说法正确的有（    ） ①开口向上；②函数最小值是；③与直线有两个交点；④当时，y随x的增大而减小 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下；故①错误； ∵ ∴时，， ∴函数最小值是，故②正确； ∵ ∴顶点为， ∴与直线有两个交点，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而减小，故④正确． 故选：B． 【变式2】已知，在二次函数的图象上，当时，，若图象上，满足，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再根据已知判断出开口方向，然后根据的大小关系列出不等式即可得到的范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵在二次函数的图象上， 当时，， ∴抛物线开口向上， ∵图象上满足， ∴或， 解得或， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【变式3】已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 那么该抛物线的顶点坐标是 ；当时，总有，则的取值范围是 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质进行求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵当和时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴由表格可知：该抛物线的顶点坐标是， 由表格可知抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 当时，总有， ∴， 故答案为：，． 考点8：二次函数对称性的应用 典例8：二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下： … … … … 则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据二次函数经过，，可得对称轴，再根据二次函数的对称性可设关于的对称性点为，即得，求出为，再将其代入，即可求出． 【详解】解：由表格可得二次函数经过，， ∴二次函数的对称轴为， 又∵二次函数经过， 设的关于的对称性点为， ∴， 解得 ， 即二次函数经过， 将代入中， 可得， 故选． 【变式1】已知二次函数（为常数，且）的图象经过，，，四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数的性质．求得抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线的对称点为，求得，根据抛物线开口向下，即可求解d的取值范围，据此即可判断． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴或， 观察四个选项，d的值可能为，，4，不可能是， 故选：B． 【变式2】如图所示，分别为图象上的两点，且直线垂直于轴，若，则点的纵坐标为 ． 【答案】1 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，能够熟练运用对称轴求点的横坐标是解题关键．求出对称轴后根据对称性求点B横坐标，再代入解析式即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴点B横坐标为， 将代入得， ∴点B的纵坐标为1． 故答案为：1 【变式3】已知点，点都在关于x的函数的图象上，且，则n的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】根据抛物线的对称轴，求出的值，进而得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为：， ∵点，点都在抛物线上，且函数值相同， ∴两个点关于对称轴对称， ∴，解得：； ∴， ∴， ∵，对称轴为， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，有最大值为，当时，有最小值为：； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性求出的值． 考点9：二次函数图像与系数的关系 典例9：二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤；本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于． 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示， ∴开口向下， ∵图象过点，对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）． ∴ ∴ 故①错误； ∵ ∴ 故③正确； ∵如图： 则图象过点，抛物线开口向下 把代入 ∴ ∴ 故②错误； ∵则图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∵抛物线开口向下 ∴当时， 故④正确的； 把代入， 得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故⑤正确的 故选：B． 【变式1】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中，正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：①抛物线开口向下，则， 抛物线对称轴， ， ， 抛物线与轴交于正半轴，则， ， 故①错误； ② ， ，即， 故②正确； ③抛物线对称轴为直线， 函数的最大值为：， 当时，， 即， 故③正确； ④抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在的右侧， 当时，， ， 故④错误； ⑤ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故⑤正确． 综上所述，正确的有②③⑤． 故选：C． 【变式2】抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的有 ． 【答案】①②④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握相关结论是解题关键．①由图可知抛物线与轴的另一个交点在和之间，进而得抛物线与y轴交点必然位于负半轴，结合开口方向和对称轴可得 ，即可判断；②根据当时，，即可判断；③当时，;当时，;根据，即可判断；④点和点关于对称轴直线对称，可得，即可判断； 【详解】解：由图可知：抛物线与轴的一个交点在和之间 ∵对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间 ∴抛物线与y轴交点必然位于负半轴 ∴ ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴ ∴，故①正确； 由分析可知：当时， ∵ ∴ ∴ 即：，故②正确； 当时，; 当时，; ∴ 即： ∵ ∴，故③错误； ∵点和点，满足， ∴点和点关于对称轴直线对称 ∴ ∵ ∴ 即：，故④正确； 故答案为：①②④ 【变式3】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、一次函数、二次函数图象综合判断、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点，可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，则当时，，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到时，二次函数有最大值，可对③进行判断；由于直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得时，一次函数值比二次函数值大，即，然后把代入解a的不等式，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧， ∴当时， ， ∴，所以②错误； ∵时，二次函数有最大值， ∴m为任意实数时， ， ∴，即，所以③正确； ∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3， ∴时，一次函数值比二次函数值大， 即， 而， ∴，解得，所以④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 考点10：二次函数的最值 典例10：已知y关于x的函数关系式中，自变量x的取值范围为． (1)当函数为时，y的最大值为______，y的最小值为______； (2)当函数为时，求y的最大值和最小值． 【答案】(1)3；1 (2)，12 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据一次函数的增减性求解即可； （2）根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，是最大值； 当时，是最小值． 故答案为：3；1； （2）解：∵抛物线 ∴对称轴为直线， ∵， 当时，是最小值； 当时，是最大值． 【变式1】已知二次函数的图象过不同的三点，，． (1)若二次函数的最大值为4，求a的值． (2)若，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数最值，分类讨论是解决本题的关键． （1）将解析式，根据条件函数有最大值4，则，当时，，则； （2）将解析式转化为，先判断不满足再分析时的情况，当时，顶点，即为顶点，则为最小值，再分析、两个点所在不同位置时的情况，最后得到的取值范围即可． 【详解】（1）解：据题得， 函数有最大值4，则， 当时，， ， （2）， ①当时，顶点，则为顶点， 为最大值，不满足， ②当时，顶点，即为顶点， 为最小值， 又， 当、都在对称轴右侧，则， 当、都在对称轴左侧，则无解， 当、在异侧时，左右，则 ， 解得； 当在左侧时，则，无解， 综上所述． 【变式2】已知二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系； (3)若，且当时，y有最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）把代入可得，然后根据对称轴公式计算即可； （2）由（1）得抛物线的解析式为，然后把和代入得到，然后对于a分为和两种情况讨论即可； （3）分为和两种情况，利用最值讨论即可解题． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：， ∴对称轴为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 把点和点代入得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，，则； 当时，，则； （3）解：∵， ∴抛物线的解析式为， 当时，即时，有最小值，即，解得； 当时，即时，有最小值，即，解得； 综上所述，a的值为或． 【变式3】已知二次函数（a为实数，）． (1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）． (2)设二次函数在时的最大值为p，最小值为q，，求a的值． 【答案】(1)对称轴直线，顶点坐标为 (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）将两点式转化为一般式，再转化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的对称性和增减性，求出的值，进一步求出的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴对称轴直线，顶点坐标为． （2）令，则：， ∴点关于对称轴对称， ∴和在对称轴的两侧， ∴关于对称轴的对称点为， ∵，抛物线开口向上， ∴当时，函数取得最大值． 当时，函数取得最小值． ∵， ∴． 解得：（不合题意，舍去） ∴． 考点11：待定系数法求解析式——顶点式 典例11：多解法 已知二次函数值y和自变量x部分的对应取值如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 0 0 … 求该二次函数的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 解法一：用顶点式求解； 解法二：用两点式求解； 解法三：用一般式求解． 【详解】解：解法一：根据表格可知二次函数图象的顶点坐标为， 可设二次函数的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴该二次函数的解析式为． 解法二：根据表格可知二次函数图象与x轴的交点坐标为和，可设二次函数的解析式为， 将代入得， 解得a＝1， ∴该二次函数的解析式为． 解法三：设二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点， ∴． 将和代入， 得 解得 ∴该二次函数的解析式为． 【变式1】二次函数的图象顶点坐标为，且过． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数图象的增减性是解题的关键． （1）由抛物线顶点式表达式得：，将点代入上式即可求解； （2）根据的取值范围和函数图象增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴设抛物线顶点式为：， ∵二次函数的图象过， 代入抛物线解析式得：， 解得：， 故二次函数解析式为：； （2）解：∵，其中，对称轴为直线， ∴在对称轴直线左侧随的增大而减小，在对称轴直线右侧随的增大而增大， 又∵到直线的距离大于到直线的距离，且当时，，当时，， ∴当时，函数值的取值范围是． 【变式2】已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，若点在该函数图象上，求的值． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式∶在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 设顶点式，然后把已知点的坐标代入求出，从而得到抛物线解析式，把代入函数解析式中求解即可． 【详解】解∶设抛物线解析式为， 把 代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 把代入得， 解得． 【变式3】已知抛物线过，顶点坐标为，求的值． 【答案】，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过， ， 解得， 抛物线的解析式为， ，，． 考点12：待定系数法求解析式——一般式 典例12：已知二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 5 2 1 2 5 (1)求该二次函数的关系式． (2)当x为何值时，y有最小值？ 最小值是多少？ (3)若，两点都在该函数的图象上，当时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，有最小值，最小值为 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数最值、二次函数的对称性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出答案； （2）将二次函数解析式化为顶点式即可得出答案； （3）由（1）得出，将二次函数解析式化为顶点式即可得出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，得出关于直线对称的点的坐标为，即可得解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴该二次函数的关系式是； （2）解：∵， ∴当时，有最小值，最小值为； （3）解：由（1）可得：，即， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∵，两点都在该函数的图象上，， ∴． 【变式1】已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的解析式，并写出抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)二次函数的解析式为．对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将，两点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）利用数形结合的思想即可解决问题． 【详解】（1）将，两点坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 因为， 所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）因为，且抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以当时，；当时，， 所以的取值范围是：． 【变式2】已知函数，为常数）的图象经过点，． (1)求b，c的值； (2)当时，求y的最大值与最小值之差； (3)当时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示） 【答案】(1)， (2)当时，求的最大值与最小值之差为9 (3)y的最小值为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的特点，并用分类讨论思想分析计算求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中． （1）是与轴的交点，可得，再将代入求值，可求得的值； （2）根据二次函数的解析式；当时，仅当时，取得最大值；仅当时，取得最小值；再计算的最大值与最小值之差； （3）分类讨论：当时及当时，根据函数特点，计算求出y的最小值． 【详解】（1）函数，为常数）的图象经过点，， ，， 将点代入可得：，解得：， ，； （2）， 当时， ①仅当时，取得最小值，此时； ②仅当时，取得最大值，此时； ， 当时，求的最大值与最小值之差为9； （3）， 当时，则在时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值，最小值为； 当时，则在时，抛物线的顶点在图象上处于最低点， 当时，y有最小值，最小值为； 综上所述，y的最小值为或． 【变式3】如图，抛物线与x轴只有一个交点B，对称轴是直线，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若P是对称轴右侧抛物线上的一动点，且满足，求点P的坐标； (3)在y轴右侧抛物线上是否存在点M，得以M，A，B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）连接，设，根据求出m，得到点P的坐标； （3）设在y轴右侧抛物线上存在点M使得以M，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，分两种情况讨论：当为腰且为等腰三角形顶点时，当为底时，分别求出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴只有一个交点，对称轴是直线， ∴顶点为， ∵抛物线与y轴交点为， 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图1， 连接，设， ． ∴， 解得（舍去），， ． （3）解：存在． 设在y轴右侧抛物线上存在点M使得以M，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，如图2， 当为腰且为等腰三角形顶点时，A，M关于直线对称， ; 当为底时，M是的垂直平分线和抛物线的交点， ， ， 是等腰直角三角形， 的垂直平分线是的平分线， 的垂直平分线是， 联立解得 ， 综上所述，在y轴右侧抛物线上存在点M使得以M，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为或或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$