专题06 函数应用（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

高一数学上学期·期末复习大串讲 专题06 函数应用 苏教版(2019) 必修第一册 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 4大常考点：知识梳理、思维导图 9个题型典例剖析+技巧点拨 精选23道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点透视 考点1.函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 A ωx＋φ φ 若函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0)表示简谐振动，则 考点透视 考点 2.三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中 的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画 规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 建立函数模型的一般步骤 周期现象 周期变化 考点透视 考点3.参数φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响 左 右 (1)φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 考点透视 考点3.参数φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响 缩短 伸长 (2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 考点透视 考点3.参数φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响 伸长 缩短 (3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 考点透视 考点4.由函数y＝sinx的图象得到函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的途径 由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象有两种主要途径：“_______________”与“_______________”． 先平移后伸缩 先伸缩后平移 y＝sin(ωx＋φ) 考点透视 考点4.由函数y＝sinx的图象得到函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的途径 y＝sin(ωx＋φ) 考点透视 考点4.由函数y＝sinx的图象得到函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的途径 (－∞，＋∞) [－A，A] kπ，k∈Z 知识点　　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 考点透视 考点4.由函数y＝sinx的图象得到函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的途径 题型剖析 02 PART 题型剖析 题型1.三角函数在物理中的应用 题型剖析 题型1.三角函数在物理中的应用 解 题型剖析 题型1.三角函数在物理中的应用 解 题型剖析 题型2.三角函数在生活中的应用 【例题2】如图所示，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化． (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)； (2)估计当年3月1日动物种群数量． 题型剖析 题型2.三角函数在生活中的应用 解 题型剖析 题型3.数据拟合问题 【例题3】某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量．已知其车流量y(单位：千辆)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记为y＝f(t)，下表是某日桥上的车流量的数据： 经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看作函数f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋b(其中A>0，ω>0，b>0，－π≤φ ≤ 0)的图象． t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(千辆) 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1 题型剖析 题型3.数据拟合问题 (1)根据以上数据，画出散点图，并求函数y＝f(t)的近似解析式； (2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？ 题型剖析 题型3.数据拟合问题 解 题型剖析 题型3.数据拟合问题 解 题型剖析 题型4.三角函数图象的平移变换 解析　将函数y＝sinx的图象沿x轴向右平移π个单位长度，得到y＝sin(x－π)＝－sinx的图象．故选B. 【例题4】将函数y＝sinx的图象沿x轴向右平移π个单位长度，得到的函数图象的解析式为(　　) A．y＝sinx B．y＝－sinx C．y＝cosx D．y＝－cosx 答案 解析 题型剖析 题型5.三角函数图象的伸缩变换 答案 解析 题型剖析 题型6.三角函数图象的综合变换与“五点法”作图 题型剖析 解 题型6.三角函数图象的综合变换与“五点法”作图 题型剖析 题型6.三角函数图象的综合变换与“五点法”作图 解 题型剖析 题型7.求三角函数的解析式 题型剖析 题型7.求三角函数的解析式 解 题型剖析 题型7.求三角函数的解析式 解 题型剖析 题型8.三角函数图象与性质的综合应用 题型剖析 题型8.三角函数图象与性质的综合应用 解 题型剖析 题型8.三角函数图象与性质的综合应用 解 题型剖析 题型9.y＝Asin(ωx＋φ)在匀速圆周运动中的应用 题型剖析 题型9.y＝Asin(ωx＋φ)在匀速圆周运动中的应用 解 题型剖析 题型9.y＝Asin(ωx＋φ)在匀速圆周运动中的应用 解 押题预测 03 PART 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 答案 解析 题型剖析 答案 解析 题型剖析 解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8. 答案 解析 题型剖析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 题型剖析 答案 题型剖析 解析 题型剖析 答案 解析 20.5 题型剖析 19．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为____________． 答案 解析 t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 t 0.5 0.6 0.7 0.8 y 2.8 0.0 －2.8 －4.0 题型剖析 答案 解析 0.02 题型剖析 题型剖析 解 解 解 题型剖析 题型剖析 解 eq \f(2π, ω) eq \f(ω,2π) (1)先平移后伸缩 y＝sinx的图象eq \o(――――――――――→,\s\up17(向左（φ＞0）或向右（φ＜0）),\s\do15(平移|φ|个单位长度))y＝sin(x＋φ)的图象 _____________的图象eq \o(――――――――→,\s\up17(纵坐标变为原来的A倍),\s\do15(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)的图象． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω))) (2)先伸缩后平移 y＝sinx的图象________________的图象eq \o(―――――――――――――――→,\s\up17(向左（φ＞0）或向右（φ＜0）),\s\do15(平移_____个单位长度)) y＝sin(ωx＋φ)的图象eq \o(――――――――――→,\s\up17(纵坐标变为原来的A倍),\s\do15(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)的图象． [提醒]　(1)两种变换中平移的长度不同，分别是|φ|和eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))，但平移方向是一致的． (2)平移的长度是对于自变量“x”而言的． eq \f(2π,ω) kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z eq \f(kπ,2)，k∈Z 定义域 _______________ 值域 _______________ 周期 T＝_______ 奇偶性 当φ＝____________时为奇函数 当φ＝_______________时为偶函数 当φ≠_____________时为非奇非偶函数 (kπ,ω)INCLUDEPICTURE"A左括.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\A左括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\A左括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\A左括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\A左括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\赵娜\\535数学（必修第一册导学案（A版\\A左括.TIF" \* MERGEFORMATINET －eq \f(φ,ω)，0 ，k∈Z 图象的 对称轴 直线x＝________________________ 求法：令ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z可求 图象的 对称中心 对称中心：________________________ 求法：令ωx＋φ＝kπ，k∈Z可求 单调性 求法：令－eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z可求单调递增区间 求法：令eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z可求单调递减区间 eq \f(kπ,ω)＋eq \f(π,2ω)－eq \f(φ,ω)，k∈Z 【例题1】已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．作出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解　列表如下： 2t＋eq \f(π,3) eq \f(π,3) eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π t 0 eq \f(π,12) eq \f(π,3) eq \f(7π,12) eq \f(5π,6) sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3))) eq \f(\r(3),2) 1 0 －1 0 s 2eq \r(3) 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图所示．再利用周期性，不断向右平移(每次移动π个单位长度)，得t∈[0，＋∞)上的图象． (1)将t＝0代入s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sineq \f(π,3)＝2eq \r(3)， 所以小球开始振动时的位移是2eq \r(3) cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 解　(1)设动物种群数量y关于t的函数表达式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－A＋b＝700，,A＋b＝900，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝100，,b＝800.))又周期T＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6)，∴y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋800. 又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×6＋φ))＋800， ∴sin(π＋φ)＝1，∴sinφ＝－1，∴取φ＝－eq \f(π,2)， ∴y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋800(0≤t≤11，t∈N)． (2)当t＝2时，y＝100sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×2－\f(π,2)))＋800＝750， 即当年3月1日动物种群数量约是750. 解　(1)画出散点图，如图： 依题意，A＝eq \f(ymax－ymin,2)＝eq \f(5－1,2)＝2， b＝eq \f(ymax＋ymin,2)＝eq \f(5＋1,2)＝3，T＝12＝eq \f(2π,ω)， 解得ω＝eq \f(π,6)，当t＝9时，y取最大值， 则9×eq \f(π,6)＋φ＝2nπ＋eq \f(π,2)，n∈Z， 而－π≤φ≤0，于是n＝0，φ＝－π， 所以函数y＝f(t)的近似解析式为f(t)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－π))＋3. (2)若车流量超过4千辆时，即y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－π))＋3>4，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－π))>eq \f(1,2)， 解得2kπ＋eq \f(π,6)<eq \f(π,6)t－π<2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，即12k＋7<t<12k＋11，k∈Z，而0≤t≤24， 因此7<t<11和19<t<23满足条件，(11－7)＋(23－19)＝8， 所以一天中有8小时不允许这种货车通行． 解析　将函数y＝sinx图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sineq \f(1,2)x的图象，纵坐标伸长为原来的3倍，得到y＝3sineq \f(1,2)x的图象．故选C. 【例题5】将函数y＝sinx图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，所得函数图象的解析式为(　　) A．y＝3sin2x B．y＝2sin3x C．y＝3sineq \f(1,2)x D．y＝eq \f(1,3)sineq \f(1,2)x (π,3)【例题6】将函数y＝sinx＋1图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标伸长到原来的2倍，再沿x轴向左平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象． (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)用“五点法”画出函数y＝f(x)在一个周期内的图象． 解　(1)将函数y＝sinx＋1图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到y＝3sinx＋3的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝3sineq \f(x,2)＋3的图象，最后沿x轴向左平移eq \f(π,3)个单位长度得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋3的图象，即函数y＝f(x)的解析式为y＝f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋3. (2)列表： eq \f(x,2)＋eq \f(π,6) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x －eq \f(π,3) eq \f(2π,3) eq \f(5π,3) eq \f(8π,3) eq \f(11π,3) y＝f(x) 3 6 3 0 3 描点，画出图象如图． \lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))【例题7】如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式． 解　解法一(逐一定参法)： 由图象知A＝3，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π， ∴ω＝eq \f(2π,T)＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)． ∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))在函数图象上， ∴0＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)×2＋φ))， ∴－eq \f(π,6)×2＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)． ∵|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,3)， ∴y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). 解法二(待定系数法)： 由图象知A＝3. 由图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))处下降，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))处上升， 可令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(πω,3)＋φ＝π，,\f(5πω,6)＋φ＝2π，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ω＝2，,φ＝\f(π,3).)) ∴y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). 解法三(图象变换法)： 由A＝3，T＝π，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))在图象上，可知函数图象是由 y＝3sin2x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到的， ∴y＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))，即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))). (3)【例题8】已知函数f(x)＝1＋2INCLUDEPICTURE"例2灰.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\535数学（必修第一册导学案（A版\\例2灰.TIF" \* MERGEFORMATINET sinxcosx－2sin2x，x∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若把函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上的最小值和最大值． 解　(1)f(x)＝1＋2eq \r(3)sinxcosx－2sin2x＝eq \r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))， 令2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))，k∈Z. (2)把函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象， ∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7π,6)，－\f(π,6)))， ∴2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈[－2，1]． 故g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上的最小值为－2，最大值为1. 【例题9】如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离y与时间t之间的函数解析式； (2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？ (3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大？并求出最大值． 解　(1)可以用余弦型函数来表示该函数解析式， 由已知可设y＝40.5－40cosωt(t≥0)， 由周期为12分钟可知，T＝eq \f(2π,ω)＝12， 解得ω＝eq \f(π,6)， 所以y＝40.5－40coseq \f(π,6)t(t≥0)． (2)令y＝40.5－40coseq \f(π,6)t＝60.5， 得coseq \f(π,6)t＝－eq \f(1,2)， 所以eq \f(π,6)t＝eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z或eq \f(π,6)t＝eq \f(4π,3)＋2kπ，k∈Z， 解得t＝4＋12k，k∈Z或t＝8＋12k，k∈Z， 又t≥0，故第四次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)． (3)与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰好相反，故过(6k＋2)(k∈N)分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，最大值为40米． 解析：当t＝0时，θ＝eq \f(1,2)sineq \f(π,2)＝eq \f(1,2)，由函数解析式易知单摆周期为eq \f(2π,2)＝π，故单摆频率为eq \f(1,π). 1.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(单位：s)满足函数关系式θ＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　　) A．2，eq \f(1,π) B.eq \f(1,2)，eq \f(1,π) C.eq \f(1,2)，π D．2，π 2．(2024·浙南名校联盟高一下开学考试)在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：y1＝4sin(100πt)，y2＝4cos(100πt)，则这两个声波合成后即y＝y1＋y2的振幅为(　　) A．4eq \r(2) B．8 C．4 D．8eq \r(2) 解析：∵y＝y1＋y2＝4sin(100πt)＋4cos(100πt)＝4eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,4)))，∴利用函数的性质可得函数的振幅为4eq \r(2).故选A. 3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sineq \f(t,2)(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分．则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] 解析：当10≤t≤15时，有eq \f(3π,2)<5≤eq \f(t,2)≤eq \f(15,2)<eq \f(5π,2)，此时F(t)＝50＋4sineq \f(t,2)是增函数，即车流量在增加．故选C. 4．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的图象如图所示，则当t＝eq \f(1,100)时，电流强度是(　　) A．－5安 B．5安 C．5eq \r(3)安 D．10安 解析：由题图知A＝10，T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,300)－\f(1,300)))＝eq \f(1,50)＝eq \f(2π,ω)，所以ω＝100π，则I＝10sin(100πt＋φ)．因为点(0，5)在图象上，所以10sinφ＝5，即sinφ＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6)，所以I＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6))).当t＝eq \f(1,100)时，I＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝10sineq \f(7π,6)＝－5. 5．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波抵消噪音(如图)．已知噪音的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2π，初相为eq \f(π,2)，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波曲线为(　　) A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝－sinx D．y＝－cosx 解析：由噪音的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2π，初相为eq \f(π,2)，可得ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,2π)＝1，所以噪音的声波曲线为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx，所以通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波曲线为y＝－cosx.故选D. 6.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式为s＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,3)))，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为(　　) A．2 s B．1 s C.eq \f(1,2) s D.eq \f(1,4) s 解析：由题意，知周期T＝eq \f(2π,2π)＝1(s)．单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为eq \f(1,2) s. 7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 8．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,6)))，s2＝10cos2t确定，则当t＝eq \f(2π,3)时，s1与s2的大小关系是(　　) A．s1>s2 B．s1<s2 C．s1＝s2 D．不能确定 解析：当t＝eq \f(2π,3)时，s1＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋\f(π,6)))＝5sineq \f(3π,2)＝－5，s2＝10coseq \f(4π,3)＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－5，故s1＝s2. 9．将函数y＝sin2x的图象向右平移eq \f(π,2)个单位长度，所得图象对应的函数是(　　) A．奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．偶函数 D．非奇非偶函数 解析：y＝sin2x的图象y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))))＝sin(2x－π)＝－sin(π－2x)＝－sin2x的图象．由于x∈R，－sin(－2x)＝sin2x，所以是奇函数． 10.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则(　　) A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) 解析：根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，可得A＝2，eq \f(1,2)T＝eq \f(1,2)·eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))，∴ω＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)．又函数图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2))，∴2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,3)＋φ))＝2，∴2×eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z.∵|φ|＜π，∴φ＝－eq \f(π,6)，∴函数的解析式为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).故选A. 11．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象，则下列说法正确的是(　　) A．ω＝2，φ＝eq \f(2π,3) B．ω＝1，φ＝eq \f(2π,3) C．ω＝2，φ＝eq \f(π,3) D．ω＝2，φ＝eq \f(π,6) 解析：由图象得A＝2，eq \f(T,2)＝eq \f(11π,12)－eq \f(5π,12)，则T＝π，∴eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(11π,12)＋φ))＝2，得φ＝－eq \f(4π,3)＋2kπ，k∈Z，又|φ|<π，∴φ＝eq \f(2π,3).故选A. 12．要得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象(　　) A．向左平移eq \f(π,4)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,4)个单位长度 C．向左平移eq \f(π,8)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,8)个单位长度 解析：由y＝3sin[2(x＋φ)]＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，得2φ＝eq \f(π,4)，φ＝eq \f(π,8).故向左平移eq \f(π,8)个单位长度． 13．将函数y＝sinx图象上所有的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式为(　　) A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,10))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,5))) C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,20))) 解析：将函数y＝sinx图象上所有的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,10)))，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10))).故选C. 14．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图1所示，则图2的图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,2))) B.y＝f(2x＋1) C．y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,2))) D.y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋1)) 解析：观察图象可知，题图2的图象是由题图1的图象向左平移1个单位长度后得y＝f(x＋1)的图象，再把y＝f(x＋1)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)得到的，所以题图2的图象对应的函数解析式为y＝f(2x＋1)．故选B. 15.(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<φ<π)，则下列说法正确的是(　　) A．该函数的周期是16 B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14 C．该函数的解析式是y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20(6≤x≤14) D．这一天的函数关系式也适用于第二天 解析：由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20.∵eq \f(T,2)＝14－6，∴T＝16，A正确；∵T＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝eq \f(π,8)，∴y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ))＋20.∵图象经过点(14，30)，∴30＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)×14＋φ))＋20，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)×14＋φ))＝1，又0<φ<π，∴φ＝eq \f(3π,4)，∴y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20(0≤x≤24)，B正确，C错误；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，D错误． 16．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin2x和g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，下列说法正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析：对于A，令f(x)＝sin2x＝0，解得x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，即为f(x)的零点，令g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＝0，解得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)，k∈Z，即为g(x)的零点，显然f(x)与g(x)的零点不同，A错误；对于B，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B正确；对于C，根据周期公式，可知f(x)，g(x)的最小正周期均为eq \f(2π,2)＝π，C正确；对于D，根据正弦函数的性质，f(x)图象的对称轴满足2x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z⇔x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)，k∈Z，g(x)图象的对称轴满足2x－eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z⇔x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(3π,8)，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D错误．故选BC. 6．(多选)为了得到函数y＝2sin2x的图象，下列变换正确的是(　　) A．将函数y＝(sinx＋cosx)2的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度 B．将函数y＝1－cos2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度 C．将函数y＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度 D．将函数y＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度 解析：将函数y＝(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度，得到函数y＝1＋sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))))＝1＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝1－cos2x＝2sin2x的图象，故A正确；将函数y＝1－cos2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，得到函数y＝1－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝1＋sin2x的图象，故B错误；将函数y＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝1－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝1－coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝1－cos2x＝2sin2x的图象，故C正确，D错误．故选AC. 17．(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　) A．该质点的运动周期为0.8 s B．该质点的振幅为5 cm C．该简谐运动可用x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t＋\f(3π,4)))表示 D．该质点在1 s时位移约为3.5 cm 解析：由题图可知，该质点的运动周期为0.8 s，振幅为5 cm，故A，B正确；设x＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则A＝5，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(5π,2)，所以x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t＋φ)).因为图象经过点(0.3，0)且在附近下降，所以eq \f(5π,2)×0.3＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)，所以x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t＋\f(π,4)))，故C错误；将t＝1代入，得x≈3.5，故D正确．故选ABD. 18．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acoseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）))(A>0，x＝1，2，3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为_______ ℃. 解析：依题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋A＝28，,a－A＝18，))则a＝eq \f(28＋18,2)＝23，A＝eq \f(28－18,2)＝5，则y＝23＋5coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)（x－6）))，当x＝10时，y＝23＋5coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×4))＝20.5. y＝－4coseq \f(5π,2)t 解析：设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中可以得到A＝4，T＝0.8，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,0.8)＝eq \f(5π,2).又由4sinφ＝－4.0，可得sinφ＝－1，取φ＝－eq \f(π,2)，故y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t－\f(π,2)))，即y＝－4coseq \f(5π,2)t. eq \f(1,300) 20．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))来表示，则电压值重复出现一次的时间间隔为______s，当t＝_____时，电压第一次取得最大值． 解析：T＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50)(s)，即时间间隔为0.02 s．当100πt＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即t＝eq \f(1,300)时，电压第一次取得最大值． 21．动点A(x，y)在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 s旋转一周．已知当t＝0时，点A的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))). (1)求当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数解析式； (2)求该函数的单调递增区间． 解：(1)因为T＝12，所以ω＝eq \f(2π,12)＝eq \f(π,6)，从而可设y关于t的函数为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))(t≥0)，又t＝0时，y＝eq \f(\r(3),2)， 所以φ＝eq \f(π,3)，所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(π,3)))，0≤t≤12. (2)当－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(π,6)t＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z， 即－5＋12k≤t≤1＋12k，k∈Z时，函数单调递增， 因为0≤t≤12， 所以该函数的单调递增区间为[0，1]和[7，12]． 22．已知函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，x∈R. (1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(9π,2)))上的简图； (2)先把f(x)的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式． 解：(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图． eq \f(1,2)x－eq \f(π,4) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x eq \f(π,2) eq \f(3π,2) eq \f(5π,2) eq \f(7π,2) eq \f(9π,2) f(x) 0 3 0 －3 0 (2)把f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度得到f1(x)＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))－\f(π,4)))＝3sineq \f(1,2)x的图象．把f1(x)＝3sineq \f(1,2)x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)＝3sineq \f(1,4)x的图象．把f2(x)＝3sineq \f(1,4)x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(横坐标不变)得到g(x)＝sineq \f(1,4)x的图象．所以g(x)＝sineq \f(1,4)x. 23.(2024·福建厦门第一中学高一上期末)如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位：cm)由关系式h＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt＋\f(π,4)))确定，其中A>0，ω>0，t∈[0，＋∞)．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用的时间为1 s，且最高点与最低点间的距离为10 cm. (1)求小球相对平衡位置的高度h(单位：cm)和时间t(单位：s)之 间的函数关系； (2)小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，求t0的取值范围． 解：(1)首先根据题意得到A＝eq \f(10,2)＝5，T＝2＝eq \f(2π,ω)，ω＝π，从而得到h＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πt＋\f(π,4)))，t≥0. (2)根据题意，当t＝eq \f(1,4)时，小球第一次到达最高点，从而得到eq \f(1,4)＋49T≤t0<eq \f(1,4)＋50T，再根据周期为2，即可得到98eq \f(1,4)≤t0<100eq \f(1,4). $$